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徐森林，纪永强，金亚东 等 著

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• 微分几何
• 几何学
• 数学
• 高等数学
• 拓扑学
• 流形
• 曲线曲面
• 黎曼几何
• 张量分析
• 微分方程

出版社： 中国科学技术大学出版社

ISBN：9787312030000

版次：1

商品编码：11187671

包装：平装

开本：16开

出版时间：2013-02-01

用纸：胶版纸

页数：325

字数：406000

正文语种：中文

内容简介

　　《微分几何》共3章。第1章讨论了曲线的曲率、挠率、Frenet公式、Bouqtlet公式等局部性质，证明了曲线论基本定理。还讨论了曲线的整体性质：4顶点定理、Minkowski定理、Fenchel定理，以及Faxy—Milnor关于纽结的全曲率不等式。第2章引进了第1基本形式、第2基本形式、Gauss（总）曲率、平均曲率、Weingarten映射、主曲率、曲率线、测地线等重要概念，给出了曲面的基本公式和基本方程、曲面论的基本定理，以及著名的Gauss绝妙定理等曲面的局部性质。第3章详细论述了曲面的整体性质，得到了全脐超曲面定理、球面刚性定理、极小曲面的gernstein定理、著名的Gauss—Bonnet公式及Poincare指标定理。
　　为了帮助读者熟练地掌握微分几何的内容和方法，书中配备了大量有趣的习题，并在《微分几何学习指导》中给出了详细的解答。
　　《微分几何》可用作综合性大学、理工科大学、师范大学数学系高年级大学生的教科书，也可作为大学数学教师和研究人员的参考书。

内页插图

目录

前言
第1章 曲线论
1.1 Cr正则曲线、切向量、弧长参数
1.2 曲率、挠率
1.3 Frenet标架、Frenet公式
1.4 Botlquet公式、平面曲线相对曲率
1.5 曲线论的基本定理
1.6 曲率圆、渐缩线、渐伸线
1.7 曲线的整体性质（4顶点定理、Minkowski定理、Fenchel定理）

第2章 Rn中k维Cr曲面的局部性质
2.1 曲面的参数表示、切向量、法向量、切空间、法空间
2.2 旋转面（悬链面、正圆柱面、正圆锥面）、直纹面、可展曲面（柱面、锥面、切线面）
2.3 曲面的第1基本形式与第2基本形式
2.4 曲面的基本公式、Weingarten映射、共轭曲线网、渐近曲线网
2.5 法曲率向量、测地曲率向量、Euler公式、主曲率、曲率线
2.6 Gauss曲率（总曲率）KG、平均曲率H
2.7 常Gauss曲率的曲面、极小曲面（H=0）
2.8 测地曲率、测地线、测地曲率的Liouville公式
2.9 曲面的基本方程、曲面论的基本定理、GaUSS绝妙定理
2.10 Riemann流形、Levi-Civita联络、向量场的平行移动、测地线
2.11 正交活动标架

第3章 曲面的整体性质
3.1 紧致全脐超曲面、球面的刚性定理
3.2 极小曲面的Bernstein定理
3.3 GaUSS-Bonnet公式
3.4 2维紧致定向流形M的Poincare色切向量场指标定理

参考文献

前言/序言

　　微分几何是一门历史悠久的学科。近一个世纪以来，许多著名数学家如陈省身、丘成桐等都在这一研究方向上作出了极其重要的贡献。这一学科的生命力至今还很旺盛，并渗透到各个科学研究领域。
　　古典微分几何以数学分析为主要工具，研究空间中光滑曲线与光滑曲面的各种性质，本书第1章讨论了曲线的曲率、挠率、Frenet公式、Bouquet公式等局部性质；证明了曲线论基本定理，也讨论了曲线的整体性质：4顶点定理、Minkowski定理与Fenchel定理以及Fary-Milnor关于纽结的全曲率不等式，第2章引进了第1基本形式、第2基本形式、Gauss（总）曲率、平均曲率、Weingarten映射、主曲率、曲率线、测地线等重要概念，给出了曲面的基本公式和基本方程、曲面论的基本定理，以及著名的Gauss绝妙定理等曲面的局部性质，还运用正交活动标架与外微分运算研究了第1、第2、第3基本形式，Weingarten映射以及第1、第2结构方程，第3章详细论述了曲面的整体性质，得到了全脐超曲面定理、球面的刚性定理、极小曲面的Bernstein定理、著名的Gauss-Bonnet公式及Poincare指标定理。

浩瀚宇宙的几何叙事：一部关于时空、结构与测量的探索之旅 引言：超越欧几里得的视野 人类对空间的理解，自古希腊的欧几里得体系建立以来，便在二维平面和三维空间中取得了辉煌的成就。然而，随着物理学对宇宙更深层次的探索，以及数学家们对结构和形态的无限想象，传统的欧氏几何已显得力不从心。本书《浩瀚宇宙的几何叙事：一部关于时空、结构与测量的探索之旅》（以下简称《几何叙事》）正是在这样的背景下诞生的。它并非一本专注于特定代数方程或抽象拓扑的教科书，而是一次引领读者深入理解“几何”这一概念如何成为描述物理实在、工程设计乃至艺术美学的核心语言的深度考察。 《几何叙事》致力于构建一个宏大而细腻的知识体系，它将引导读者超越平面直角坐标系的束缚，进入一个充满曲率、张量和内在结构的数学世界。本书的叙事线索围绕着“度量”（Measurement）、“连接”（Connection）和“形变”（Deformation）这三大核心概念展开，力求展示几何学如何从纯粹的抽象思辨，转变为描述自然界最基本规律的强大工具。 第一部：度量的基石——从测地线到黎曼空间 本书的第一部分着重于重新审视“距离”和“角度”这两个最基本的几何概念，并将其推广到任意维度和曲率的背景下。我们首先回顾了内蕴几何（Intrinsic Geometry）与外在几何（Extrinsic Geometry）的区别。内蕴几何强调的是，一个物体上的度量信息是否可以仅通过观察该物体本身来确定，而无需将其嵌入更高维空间。 核心内容聚焦于测地线（Geodesics）的概念。在欧氏空间中，测地线是直线；但在弯曲的球面上，它是大圆弧。本书将测地线提升为描述空间“最直路径”的普遍标准。我们深入探讨了如何利用变分原理来定义和计算这些自然路径，这不仅是理解最短路径的关键，也是广义相对论中物质运动轨迹的数学基础。 紧接着，我们将引入黎曼度量张量（Riemannian Metric Tensor）。这是一个描述了空间中每一点上微小距离如何被测量的核心工具。通过详细的例子，如球面几何、双曲几何（庞加莱圆盘模型等），读者将学会如何理解和计算具有非恒定曲率空间的结构。我们详细剖析了度量张量如何编码了空间的信息，包括如何通过其行列式来计算体积和面积的元素。 此外，本部分还将探讨曲率（Curvature）的深刻含义。曲率不再仅仅是曲面的凹凸程度，它被推广为衡量空间“非平直性”的内在量度。我们将介绍高斯绝妙定理（Theorema Egregium）的几何意义——即曲率可以仅由表面自身的结构决定，从而巩固了内蕴几何的地位。这一部分的深度分析，为读者理解后续的物理应用奠定了坚实的数学基础。 第二部：连接与可微流形——拓扑与分析的桥梁 当几何对象变得复杂，例如在描述一个光滑的物理场时，我们不能仅仅依赖于一个固定的坐标系。第二部分将视角转向可微流形（Differentiable Manifolds），这是现代几何描述复杂空间的通用框架。 流形被定义为在局部看起来像欧氏空间的拓扑空间。本书详尽阐述了如何使用切空间（Tangent Spaces）的概念来赋予流形局部线性结构，从而允许我们在每一点上进行微分运算。我们将详细解析向量场、微分形式（Differential Forms）以及它们在流形上的积分理论。 理解流形上的几何，关键在于如何“连接”不同点的切空间。这就引出了仿射联络（Affine Connection）和协变导数（Covariant Derivative）。协变导数解决了在弯曲空间中，如何有意义地比较两个不同点上的向量的问题。它保证了“平移”或“微分”操作的几何一致性，即使在弯曲的路径上也是如此。 本书将花费大量篇幅解释黎曼联络（Riemannian Connection），即那些与度量相容的特殊联络。我们将通过里奇张量（Ricci Tensor）和里奇标量（Ricci Scalar）的计算，揭示这些工具如何量化空间中物质（或能量）的存在对时空结构的影响。这一部分将理论与实际应用紧密结合，展示了为何这些抽象的连接概念是描述引力场方程的唯一可能语言。 第三部：几何的应用前沿——从场论到拓扑的渗透 第三部分将《几何叙事》从纯粹的数学描述推向了其在现代科学中的核心地位。 首先，我们将探讨纤维丛（Fiber Bundles）的概念。在描述电磁场或规范理论时，我们不仅需要描述空间本身，还需要描述在空间每一点上附加的特定结构（如方向或相位）。纤维丛提供了一个数学框架来容纳这些额外的自由度，使得几何描述可以自然地涵盖物理学中的基本对称性，例如$U(1)$或$SU(2)$规范群。 其次，本书将深入探讨拓扑学对几何的约束。虽然本研究基于度量和曲率，但我们不能忽视拓扑结构——那些在连续形变下保持不变的性质。我们将介绍陈类（Chern Classes）和示性类（Characteristic Classes），这些代数不变量可以从流形上的几何结构中导出，它们提供了连接曲率和整体拓扑结构（如霍普夫定理）的深刻见解。 最后，本书的总结部分将聚焦于广义相对论中的几何基础。我们将以爱因斯坦场方程为蓝图，清晰地展示度量、曲率和物质-能量分布之间精确的几何关系。通过解析弗里德曼-勒梅特-罗伯逊-沃尔克（FLRW）度规，读者将能够以几何的视角，直观地理解宇宙的膨胀、时空的扭曲以及引力作为一种几何现象的本质。 结语：几何的未来景观 《几何叙事》旨在培养读者一种全新的空间直觉，这种直觉能够处理高维、高曲率和动态变化的结构。它是一本面向有志于深入理解现代物理学、前沿工程学或纯粹数学结构探索者的著作。通过本书，读者将发现，几何学远非二维图纸上的辅助工具，而是描述宇宙运行规律的最根本、最优雅的语言。它邀请读者亲自拿起笔，在弯曲的画布上，描绘出我们所处世界的真实面貌。

评分☆☆☆☆☆

这本书的外观设计简洁大方，色彩搭配和谐，传递出一种沉静而智慧的气息。我一直认为，学习数学的过程，也是一种发现美的过程，而这本《微分几何》在我看来，正是这样一本能够带领我们去发现数学之美的书籍。我猜测，书中可能会从一些直观的几何对象出发，比如球面、圆柱面等，然后逐步引入更抽象的概念。我特别希望能够看到书中对于曲率张量以及里奇张量的详细讲解，这部分内容往往是理解弯曲时空中物理规律的关键。我也对书中可能会包含的关于测地线方程的推导和应用感到十分好奇，这对于理解物体在弯曲空间中的运动轨迹有着重要的意义。这本书在我心中，不仅仅是一本教科书，更像是一扇窗户，透过它，我可以看到一个充满无限可能性的数学世界，一个由优雅的公式和奇妙的几何形状构成的宇宙。

评分☆☆☆☆☆

初次拿到这本书，就被其稳重而典雅的设计风格所吸引。厚实的封皮，精美的烫金字体，无不透露出一种严谨而厚重的学术氛围。我一直认为，好的数学著作，不应该仅仅是冰冷的符号和公式，更应该包含作者对数学世界的深刻理解和独特感悟。因此，我非常期待这本书能在其中展现出作者独特的见解和思考。我猜测，书中可能会深入探讨一些关于曲线和曲面的局部性质，例如在某一点上的法线、切平面以及曲率的计算。这对于理解物体在三维空间中的形态至关重要。我也期待它能讲解一些更高级的概念，比如切丛、余切丛以及向量场的积分，这些理论是理解微分几何的核心。我尤其好奇，书中会如何通过各种实例和类比来解释这些抽象的数学概念，让初学者也能逐步领略到微分几何的魅力。这本书在我眼中，宛如一位智慧的向导，将引领我穿越抽象的数学迷宫，去领略那隐藏在数字和符号背后的宇宙奥秘。

评分☆☆☆☆☆

这本书的装帧颇具匠心，纸张的质感温润，印刷清晰，拿在手中就有一种踏实的感觉。我一直对那些能够将复杂概念化繁为简的作者抱有极高的敬意，所以我对这本书的期待值非常高。我推测，这本书的写作风格会非常注重逻辑的连贯性和表述的清晰度，不会让读者在理解某个概念时感到突兀或困惑。或许，作者会从最基础的欧几里得几何开始，一步步引领读者进入非欧几何的奇妙世界，探讨平行公理的失效所带来的全新视角。我特别期待看到书中如何处理那些抽象的代数结构与几何形态之间的联系，比如微分流形上的张量分析，这部分内容常常是许多读者难以逾越的门槛。我甚至觉得，作者可能会运用一些历史典故或者科学家的生平轶事来串联起各个章节，让学习过程更加生动有趣，而不是枯燥的公式堆砌。总而言之，这本书在我心中，已经不仅仅是一本工具书，更像是一本能够激发思考、启迪智慧的艺术品，我非常渴望能从中汲取到属于我的那份知识养分。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计就有一种沉静而深邃的美感，仿佛在诉说着那些高维空间中的优雅曲线与奇妙形变。我尤其喜欢它在色彩运用上的克制，那种深邃的蓝和淡雅的灰，恰到好处地勾勒出数学世界的严谨与神秘。翻开书页，扑面而来的是一股严谨的学术气息，但又并非冰冷刻板。文字间流淌着一种对数学之美的赞颂，让人不由自主地被吸引，想要一探究竟。我猜想，书中一定花费了大量的篇幅来阐述那些构成几何学基石的概念，比如曲率、法向量、测地线等等。我很好奇作者是如何将这些抽象的概念具象化，让读者能够直观地感受到它们在空间中的存在。也许会有精美的插图，或者巧妙的比喻，能够帮助我们理解那些在多维空间中游走的复杂形体。我甚至能想象到，在某个章节，作者会带领我们领略高斯在曲面理论上的伟大发现，或者黎曼如何拓展了我们对空间的认知。这本书，在我看来，不仅仅是一本关于数学的书，更像是一次心灵的远航，带领我们穿越抽象的维度，去发现隐藏在宇宙深处的美丽秩序。我迫不及待地想知道，在那些公式和证明背后，究竟隐藏着怎样震撼人心的几何思想。

评分☆☆☆☆☆

这本书的整体设计风格透着一股严谨而又不失活力的气息，书页的纸张触感细腻，印刷清晰，让人在阅读时倍感舒适。我一直认为，一本优秀的数学著作，应该在保证理论严谨性的同时，能够以一种生动有趣的方式呈现给读者，而我对这本书就抱有这样的期待。我猜想，书中可能会对微分流形的基本概念进行详细的介绍，比如拓扑空间、光滑结构以及坐标图等等，为后续内容的展开奠定坚实的基础。我也期待看到书中关于微分形式的论述，以及它在积分和拓扑中的应用，这部分内容往往是理解更深层次几何结构的钥匙。总而言之，这本书在我眼中，就如同一位循循善诱的导师，它将带领我一步步揭开微分几何的神秘面纱，让我能够更深入地理解和欣赏这个美妙的数学分支。

评分☆☆☆☆☆

5，Euler定理、拓扑等价、Euclid空间中映射的连续性、同胚、闭曲面的分类定理、拓扑不变量。

评分☆☆☆☆☆

管理就是合理的疏和堵，管理就是变无把握为有把握[2]。（张俊伟《极简管理》）

评分☆☆☆☆☆

4，二重极限可交换的条件、函数族的极限函数的连续性、幂级数的和函数的连续性、Dini定理、函数族极限函数的可积性、函数族的极限函数的可微性、幂级数的和函数的可微性、Cesaro和、Tauber定理。

评分☆☆☆☆☆

现代管理学的诞生是以弗雷德里克·温斯洛·泰勒（Frederick Winslow Taylor）名著《科学管理原理》弗雷德里克·温斯洛·泰勒 弗雷德里克·温斯洛·泰勒

评分☆☆☆☆☆

书内容很不错，

评分☆☆☆☆☆

2，变上限的积分、Newton-Leibniz公式、定积分的分部积分与变量替换、积分余项的Talyor公式、面积原理、一元积分学的应用。

评分☆☆☆☆☆

7，连续映射、连续映射与同胚、Peano曲线、Tietze扩张定理、拓扑空间的紧致性、Heine-Borel定理、紧致空间的性质、Bolzano-Weierstrass性质、Lebesgue引理、局部紧空间、Lindelof定理。

评分☆☆☆☆☆

1，数项级数的收敛与发散、绝对收敛、非负数项级数收敛的充要条件、比较判别法、Weierstrass比较判别法、 Cauchy判别法、D‘Aleert判别法、Gauss判别法、Rabbe判别法、Kummer判别法、Bertrand判别法、Cauchy- Maclaurin积分判别法。

评分☆☆☆☆☆

2，变上限的积分、Newton-Leibniz公式、定积分的分部积分与变量替换、积分余项的Talyor公式、面积原理、一元积分学的应用。