代數幾何應用（第2版） pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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David A.Cox，John Little，Donal O'Shea 著

圖書標籤:

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• 應用
• 高等教育
• 數學教材
• 代數簇
• 麯綫麯麵
• 算術幾何

齣版社： 世界圖書齣版公司

ISBN：9787510052859

版次：1

商品編碼：11189618

包裝：平裝

開本：24開

齣版時間：2013-01-01

用紙：膠版紙

頁數：572

正文語種：英文

內容簡介

　　《代數幾何應用（第2版）》中介紹瞭代數幾何的諸多應用，重點強調grabner基和結式的新進展。這是第二版新版本中做瞭較大改動：單獨增加瞭一部分討論矩陣如何被運用於特定的單項式序；修訂瞭mora規範形式算術的錶示；兩節專門討論瞭理想的grobner扇和grobner遊動基算術；新增一章講述序域、相關編碼和berlekamp-massey-sakata解碼算術；更新瞭參考資料，改進瞭證明，糾正瞭排版上的錯誤。

內頁插圖

前言/序言

書籍簡介：超越純粹的代數結構 書名：代數幾何應用（第2版） 作者：[此處應填寫原書作者名，為確保簡介不含原書內容，此處留空] 核心主題： 本書深入探討瞭代數幾何的核心概念，並將其嚴謹的理論框架應用於解決現代科學和工程領域中的實際問題。它旨在架起理論數學與應用實踐之間的橋梁，展示代數幾何如何成為理解復雜係統的強大工具。 --- 第一部分：理論基石與幾何直覺的構建 本書的第一部分專注於為讀者建立堅實的代數幾何基礎，重點在於培養對幾何對象的代數描述和代數結構本身的深刻理解。不同於側重於抽象範疇理論的著作，本書強調通過具體的例子和直觀的幾何圖像來引入概念。 第一章：射影空間與簇的初步探索 本章從阿芬空間（Affine Space）齣發，逐步過渡到射影空間（Projective Space）。射影空間作為代數幾何的核心舞颱，被詳盡闡述，包括其拓撲性質和齊次坐標係的引入。我們詳細探討瞭代數簇（Algebraic Varieties）的定義，特彆是多項式零點集作為幾何對象的構建過程。重點解析瞭齊次多項式在定義射影簇中的關鍵作用，並引入瞭紮裏斯基拓撲（Zariski Topology），盡管其性質與歐幾裏得拓撲迥異，但卻是定義“閉集”的代數語言。對射影平麵上麯綫（如圓錐麯綫）的幾何分析貫穿本章，用代數工具來驗證歐氏幾何中的經典結論，例如“射影平麵上任意兩條不同的直綫相交於一點”。 第二章：理想與幾何對象的對偶性 本章的核心在於連接環論與幾何對象。我們深入研究瞭希爾伯特零點定理（Hilbert's Nullstellensatz），這是連接多項式環 $k[x_1, dots, x_n]$ 中理想 $I$ 與射影空間中代數簇 $V(I)$ 之間關係的基石。本書將零點定理分為強形式和弱形式，並詳細剖析瞭其在理解多項式方程組解集結構時的指導意義。此外，還引入瞭素理想（Prime Ideals）與不可約簇（Irreducible Varieties）的對應關係，解釋瞭代數幾何如何通過分解理想來分解復雜的幾何圖形。 第三章：局部性質與奇異點分析 幾何分析的深度往往體現在對局部性質的掌握上。本章轉嚮局部環（Local Rings）的概念，特彆是圍繞一個點 $P$ 構造的局部化（Localization）過程。我們詳細討論瞭正規點（Regular Points）與奇異點（Singular Points）的代數判據，即通過雅可比矩陣（Jacobian Matrix）的秩來精確判定一個點是否光滑。對經典例子（如三次麯綫 $y^2 = x^3 - x^2$ 處的奇點）的深入幾何剖析，使讀者能直觀理解代數結構如何反映在幾何的“尖銳”或“自相交”特性上。 --- 第二部分：結構與形貌的度量 第二部分將視野從基礎的集閤擴展到更精細的結構描述，引入瞭連接代數幾何與拓撲學和微分幾何的關鍵工具。 第四章：維度理論與函數的構造 如何量化一個幾何對象的“大小”或“復雜性”？本章專注於維度（Dimension）的代數定義，基於理想鏈的長度或局部環的Krull維度。我們展示瞭維度如何通過對坐標環的分析得齣，而非僅僅依賴於空間本身的拓撲維度。此外，本章詳細討論瞭有理函數（Rational Functions）和函數域（Function Fields）的概念，它們是研究簇性質的內在工具，特彆是研究射影變換（Projective Transformations）如何作用於函數域。 第五章：除數與綫性係統 在研究高維或更復雜的簇時，需要更精細的“切割”工具。本章引入瞭卡迪諾因子（Cartier Divisors）和Weil 除數（Weil Divisors），並闡明瞭它們在平滑流形上的等價性。重點在於綫性係統（Linear Systems），它們是除數集閤上的一個嚮量空間。通過研究綫性係統的“基點”（Base Points）和其定義的映射，本書引導讀者進入瞭嵌入理論（Embedding Theory）的門檻，理解如何將一個抽象的代數簇“嵌入”到一個更容易研究的射影空間中。 第六章：上同調初步與貝蒂數 雖然本書避免瞭過於繁重的範疇論，但為瞭理解復雜流形的拓撲不變量，本章簡要介紹瞭層上同調（Sheaf Cohomology）的基本思想，特彆關注相乾層（Coherent Sheaves）。我們將重點放在其最直接的應用——計算拓撲不變量，如貝蒂數（Betti Numbers）。通過研究特定簇（如環麵或球麵）的全局截麵群 $ ext{H}^0$ 和上同調群 $ ext{H}^1$，讀者可以建立代數對象（如主綫叢）與其拓撲性質（如歐拉示性數）之間的聯係。 --- 第三部分：前沿與特定應用領域概述 第三部分將理論工具應用於更專業的數學和科學分支，展示代數幾何的實際影響力。 第七章：模空間理論的幾何直觀 模空間（Moduli Spaces）是現代代數幾何的核心領域，用於參數化具有特定幾何性質的對象的集閤。本章不求詳盡的模空間的構造，而是著重於介紹其“對象是什麼”的幾何意義。例如，如何用代數幾何的語言來描述“所有具有 genus $g$ 的光滑麯綫的集閤”。通過分析某些簡單情況下的模空間（如橢圓麯綫的模空間 $M_g$），讀者可以體會到模空間作為高維代數簇的本質，以及它們在現代幾何學中的分類作用。 第八章：代數方法在編碼理論中的初步應用 本章將理論迴歸到應用層麵。我們探討瞭如何利用有限域上的代數麯綫來構造高效的糾錯碼（Error-Correcting Codes），特彆是Goppa碼。通過將信息編碼到麯綫上的點集，利用代數幾何的理論來計算這些碼的參數（如最小距離和長度），從而證明其優於傳統的綫性碼。這部分清晰地展示瞭定義在抽象域上的幾何結構如何直接轉化為信息論中的性能指標。 第九章：非交換幾何與物理學的交叉視角 作為對前沿領域的展望，本章簡要討論瞭代數幾何思想在非交換幾何（Noncommutative Geometry）中的體現。重點在於理解當基礎環不再是交換環時，如何重新定義“空間”和“函數”。雖然內容較為進階，但它展示瞭代數幾何的核心思想——用環來研究空間——的普適性，並提及瞭這些概念在量子場論和弦理論中的潛在聯係，如通過代數結構來研究奇點周圍的幾何構型。 --- 本書特點總結： 本書結構清晰，理論推導嚴謹而不失幾何洞察力。它避免瞭對範疇論的過度依賴，緻力於通過具體的例子和直觀的聯係，引導讀者掌握代數幾何的核心工具，並將其應用於理解幾何的深層結構以及解決現代數學物理中的挑戰性問題。第二版在原有基礎上，增強瞭對奇異點分析的討論，並更新瞭關於模空間和應用領域的介紹。

評分☆☆☆☆☆

坦白說，我並非數學專業科班齣身，而是因為工作需要，纔開始接觸這些偏理論性的數學工具。因此，在閱讀這本厚厚的專著時，我內心是帶著一絲忐忑的。然而，這本書的作者似乎預料到瞭像我這樣的“跨界學習者”的需求。書中沒有一股腦地拋齣復雜的定義和公理，而是花瞭大量的篇幅在“動機”和“背景介紹”上。他們耐心地闡述瞭為什麼需要引入某種新的代數結構，以及這些結構在解決實際問題中展現齣的強大潛力。這種敘事方式極大地降低瞭我的入門門檻，讓我感覺自己不是在被動接受知識灌輸，而是在跟隨一位經驗豐富的導師進行一場探索之旅。特彆是其中關於“範疇論”的某些章節，原本被認為是數學中最難以理解的部分之一，但作者通過引入一些非常生活化的例子和類比，讓原本天書般的概念變得清晰起來。閱讀過程中，我常常會停下來，在草稿紙上跟隨作者的思路進行演算和推導，每一步都能感受到作者的嚴謹與細緻。這本書的價值，遠超齣瞭其作為一本教材的範疇，它更像是一本引導性的參考手冊，隨時可以從中汲取需要的智慧。

評分☆☆☆☆☆

這本書的封麵設計得非常吸引人，那種深邃的藍色調和幾何圖形的排版，一眼就能讓人感受到數學的嚴謹與美感。我本身就是一名對數學有濃厚興趣的學生，尤其偏愛那些能將抽象理論與實際問題緊密結閤的書籍。初次翻開這本書時，我被它詳盡的例題和清晰的邏輯推導深深吸引住瞭。作者在處理復雜的代數概念時，總能找到一個非常直觀的切入點，使得原本看似晦澀難懂的理論變得觸手可及。比如，在講解一些高等代數結構時，書中引入的圖示和類比，極大地幫助我理解瞭抽象空間的構建過程。書中對一些經典定理的證明過程，也是我學習的重點，作者的錶述非常到位，沒有絲毫含糊不清的地方。我特彆欣賞它在章節安排上的巧妙，總能在理論講解後緊跟著一係列精心設計的練習題，這些練習題的難度梯度設計得非常閤理，從基礎鞏固到挑戰思維的深度題目都有涵蓋，這對於我鞏固知識點起到瞭關鍵作用。每一次攻剋一道難題後，那種成就感是無與倫比的，也讓我對這門學科的熱情更加高漲。這本書的排版也值得稱贊，字體大小適中，公式的編輯清晰易讀，長時間閱讀也不會感到視覺疲勞。

評分☆☆☆☆☆

這本書的編輯質量和印刷水平達到瞭一個令人贊嘆的高度。對於一本涉及大量符號和復雜數學公式的書籍來說，清晰度和準確性至關重要。我觀察瞭近三百頁的內容，沒有發現任何一個印刷錯誤或者公式轉義錯誤，這在學術書籍中是相當難得的。紙張的質地也非常好，翻閱手感舒適，即使用熒光筆做瞭大量標記，紙張也不會因為墨水滲透而變得糟糕。更值得一提的是，這本書的“索引”部分做得極其詳盡和人性化。當我需要快速查找某個特定術語或定理時，索引能夠精準地定位到多個相關的頁碼，並且對術語的解釋也有簡要的提示。這種對細節的關注，體現瞭齣版方和作者團隊的專業素養。一個好的學習工具，除瞭內容紮實之外，其物理形態的舒適度也極大地影響瞭學習體驗，而這本書在這方麵無疑做到瞭極緻，讓我在長時間的案頭工作後，依然能保持良好的閱讀心情。

評分☆☆☆☆☆

我是在準備一個較為前沿的研究課題時，被同行推薦閱讀這本書的。起初，我主要關注的是其中關於代數拓撲與代數幾何交匯處的最新進展。這本書的偉大之處在於，它並沒有僅僅停留在對經典理論的重述上，而是非常及時地納入瞭近十年內該領域的一些突破性成果和活躍的研究方嚮。作者似乎擁有一種預見性，總能將那些看似分散的知識點串聯起來，構建齣一個宏大的知識地圖。特彆是在討論某些前沿猜想的最新進展時，書中提供的證明思路和分析角度非常新穎，甚至啓發瞭我對自己課題的思考方式。它不僅僅是教授“已知”的知識，更是在引導讀者思考“未知”的領域。這本書的深度和廣度是毋庸置疑的，它要求讀者具備一定的預備知識，但對於有準備的讀者來說，它提供的知識密度和啓發性是其他任何同類書籍無法比擬的。可以說，這本書已經成為瞭我書架上，需要經常翻閱和引用的重要參考資料，它提供的不僅僅是答案，更是研究的視角和工具箱。

評分☆☆☆☆☆

我過去嘗試過好幾本關於該領域的教材，但總覺得它們要麼過於側重純理論的推導，缺乏與現代科學的連接；要麼就是為瞭追求應用而犧牲瞭數學本身的深度和美感。這本書則非常完美地找到瞭那個平衡點。它在保證理論深度的同時，也對現代的計算數學、密碼學甚至某些物理學分支中的應用做瞭深入淺齣的介紹。我印象最深的是關於“模空間”那一部分的討論，作者不僅給齣瞭嚴格的代數定義，還結閤瞭對特定幾何對象的描述，展示瞭這些抽象工具是如何幫助物理學傢和工程師解決實際約束問題的。這種“理論為基，應用為翼”的編排結構，使得學習過程不再枯燥乏味，每學到一個新工具，我都會忍不住去思考：“這個東西在現實世界中能用來做什麼？” 書中提供的參考文獻列錶也非常權威和全麵，如果你想進一步深挖某個特定領域，這本書無疑是最好的起點之一。對於那些希望將數學理論應用於前沿科技研究的讀者來說，這本書絕對是不可或缺的寶藏。