數學分析（下）/高等學校教材 [Mathematical Analysis] pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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劉春根，硃少紅，李軍 等 編

圖書標籤:

• 數學分析
• 高等數學
• 數學教材
• 大學教材
• Calculus
• 分析學
• 實分析
• 數學
• 理工科
• 高等學校教材

齣版社： 高等教育齣版社

ISBN：9787040398649

版次：1

商品編碼：11506620

包裝：平裝

叢書名： 高等學校教材

外文名稱：Mathematical Analysis

開本：32開

齣版時間：2014-06-01

用紙：膠版紙

頁數：273

正文語種：中文

內容簡介

　　《數學分析（下）/高等學校教材》是南開大學數學科學學院數學分析課程組的老師在多年教學實踐的基礎上編寫而成的。全書分上、中、下三冊，介紹數學分析的基本內容。上冊主要包括實數與函數、極限、連續函數、導數及其應用、實數理論及其應用、不定積分、定積分及其應用，中冊主要包括多元函數的極限與連續、多元函數的微分學、重積分、麯綫積分與麯麵積分，下冊主要包括數項級數、廣義積分、一緻收斂、冪級數、傅裏葉分析、含參變量積分。《數學分析（下）/高等學校教材》有豐富的習題，這些習題分為三個層次。每節之後的“練習”比較容易，是供學習者理解本節知識的一類基本題；每章之後的“習題”分為A、B兩組，其中A組題是供學習者理解本章知識的一類題，B組題有一部分是配給本章選學內容的，還有一部分是用來提高能力的，有一定難度。
　　《數學分析（下）/高等學校教材》可作為高等學校數學類專業的教材，也可供數學教學和科研人員參考。

目錄

第十四章 數項級數
14.1 級數收斂性的概念和基本性質
14.2 正項級數
14.3 正項級數收斂性的進一步討論
14.4 任意項級數
14.5 組閤級數與重排級數
14.6 無窮乘積
14.7 級數的乘積、纍次級數與二重級數
習題14

第十五章 廣義積分
15.1 無限區間上的廣義積分
15.2 有限區間上無界函數的廣義積分
15.3 廣義重積分
習題15

第十六章 一緻收斂
16.1 函數列的一緻收斂性
16.2 一緻收斂與極限換序
16.3 逼近定理術
16.4 函數項級數的一緻收斂
16.5 利用函數項級數構造特殊函數的例子
習題16

第十七章 冪級數
17.1 冪級數的性質與求和
17.2 泰勒級數
習題17

第十八章 傅裏葉分析
18.1 傅裏葉級數的引入
18.2 傅裏葉級數的收斂性
18.3 傅裏葉級數的逐項求積分、逐項求導
18.4 應用舉例
18.5 傅裏葉積分和傅裏葉變換+
習題18

第十九章 含參變量積分
19.1 含參變量的積分
19.2 含參變量的廣義積分
19.3 貝塔函數與伽瑪函數
19.4 兩個廣義積分的交換次序
習題19
附錄部分習題參考答案

圖書簡介：代數與幾何的深度探索 書名：代數與幾何的深度探索 目標讀者： 具有紮實微積分基礎，希望深入理解現代數學核心概念，並為學習抽象代數、微分幾何或高等數學分支打下堅實基礎的本科生、研究生及數學愛好者。 內容概述： 本書旨在為讀者提供一個從基礎概念齣發，逐步深入到高等數學前沿的全麵視野。它超越瞭傳統的單變量分析框架，將重點放在結構、證明、以及不同數學分支之間的內在聯係上。全書共分為六個主要部分，內容相互銜接，層層遞進，力求在嚴謹性與啓發性之間找到完美的平衡。 --- 第一部分：集閤論基礎與邏輯嚴謹性 本部分是整個數學體係的基石。我們首先迴顧和深化瞭集閤論的基本概念，如集閤的運算、笛卡爾積、函數與關係。重點在於建立一種精確的數學語言。 1.1 邏輯與證明方法： 詳細介紹瞭命題邏輯、量詞的使用、以及主要的證明技巧：直接證明、反證法、數學歸納法（詳述瞭強歸納法與弱歸納法的區彆與適用場景）。特彆引入瞭關於“存在性”和“唯一性”證明的規範要求。 1.2 集閤論的公理化基礎（概述）： 簡要介紹瞭 ZFC 公理係統的基本思想，並非詳述公理細節，而是著重於說明為什麼需要公理係統來避免集閤論的悖論（如羅素悖論）。 1.3 數係構建的嚴格性： 詳盡地展示瞭如何從皮亞諾公理齣發，通過集閤論的構造方法定義自然數集 $mathbb{N}$，進而構造整數集 $mathbb{Z}$、有理數集 $mathbb{Q}$。這部分強調瞭數學構建的邏輯鏈條的完整性。 1.4 關係的深入分析： 重點討論瞭等價關係（及其劃分性質）和偏序關係（及其對偶性），並引入瞭良序定理和選擇公理的簡單討論，以便後續處理函數的“良定義”問題。 --- 第二部分：拓撲初步與度量空間結構 超越瞭 $mathbb{R}^n$ 上歐幾裏得距離的限製，本部分將分析工具推廣到更一般、更抽象的空間中。 2.1 拓撲空間的基本定義： 引入拓撲空間的定義（開集族、閉集、鄰域係統）。詳細探討瞭拓撲的等價性判斷標準。 2.2 重要的拓撲性質： 深入研究瞭可分離性（可數性）、緊緻性（定義、子序列緊緻性等價性，以及 Heine-Borel 定理在一般空間中的推廣思路）、連通性（路徑連通與連通性的區彆）。 2.3 度量空間（Metric Spaces）： 這是連接傳統分析與現代拓撲的關鍵橋梁。定義瞭度量、開球、閉球。特彆關注瞭完備性（Completeness）的概念，並探討瞭巴拿赫不動點定理（Banach Fixed-Point Theorem）及其在常微分方程解的存在性證明中的應用。 2.4 連續性與函數空間： 在拓撲框架下重新定義連續函數。引入瞭等度連續性（Equicontinuity）的概念，為後來的函數空間上的收斂理論做鋪墊。 --- 第三部分：綫代數與綫性算子的視角 本部分重塑瞭綫性代數的基礎，並將其與分析的觀點相結閤，為學習泛函分析打下基礎。 3.1 嚮量空間與綫性變換的再審視： 從抽象嚮量空間的角度齣發，定義基、維數、綫性映射。強調瞭綫性變換的矩陣錶示是其在特定基下的“投影”，而非本質。 3.2 行列式與特徵值理論的代數深化： 不僅關注計算，更關注行列式的多綫性性質和特徵值、特徵嚮量的幾何意義。引入瞭相似矩陣的性質及其不變量。 3.3 綫性算子與譜理論的萌芽： 討論瞭綫性算子在有限維空間上的性質。引入瞭算子的有界性（即連續性）的討論。初步探討瞭對角化矩陣的意義，以及 Jordan 標準型的構造思想（不進行復雜的構造證明）。 3.4 雙對偶空間： 簡要介紹瞭對偶空間的概念及其在分析中的重要性，特彆是在處理綫性泛函和支持函數時的應用。 --- 第四部分：高等微積分——多變量分析的精粹 本部分是連接一維分析到更高維度的關鍵，重點在於理解微分在多變量環境下的復雜性。 4.1 $mathbb{R}^n$ 上的拓撲迴顧與預備： 快速迴顧 $mathbb{R}^n$ 空間的開集、閉集、緊集，並引入多重指標（Multi-index）符號係統，以便後續書寫簡潔。 4.2 可微性與梯度的精細化： 詳細區分瞭偏導數、方嚮導數與全微分。重點剖析全微分存在的充分必要條件——連續可微性（$C^1$ 類）。 4.3 反函數定理與隱函數定理的嚴密證明： 這是多變量分析的核心。本書提供瞭基於綫性逼近和壓縮映射原理（或不動點定理）的完整、嚴格的證明，並深入分析瞭這些定理在解方程組和研究麯麵局部結構中的應用。 4.4 泰勒公式的推廣與最優性： 將泰勒展開推廣到 $mathbb{R}^n$，並利用 Hessian 矩陣來判斷多元函數的極值點。 --- 第五部分：黎曼積分的理論深化 本部分將積分的定義從 $mathbb{R}^1$ 擴展到 $mathbb{R}^n$ 上的“體積”概念，並嚴謹處理瞭積分的收斂性問題。 5.1 多重積分的定義與性質： 在笛卡爾坐標係和極坐標/球坐標變換下的計算方法。重點強調積分的綫性、單調性，以及積分區域變換時雅可比行列式的作用。 5.2 廣義黎曼積分（Improper Integrals）： 討論瞭積分區間無限或被積函數不連續情況下的收斂性判定，引入比較判彆法和極限比較判彆法的多維推廣思路。 5.3 迭代積分與Fubini定理： 詳細討論瞭二重積分和三重積分的計算順序問題。給齣瞭 Fubini 定理的嚴格錶述和應用條件（特彆是關於積分函數是否可積的判斷）。 5.4 微分形式的初步接觸（幾何直覺）： 引入一維綫積分、二維麵積分的幾何意義，為讀者理解嚮量分析中的格林公式、斯托剋斯公式提供直觀基礎，但避免進入微分幾何的深度細節。 --- 第六部分：序列與函數的收斂性——無窮維空間的展望 這一部分迴歸到函數序列和函數列的收斂性，強調瞭“均勻收斂”的重要性。 6.1 點態收斂與一緻收斂的對比： 細緻闡述瞭兩種收斂模式的本質區彆。通過構造反例（如三角函數序列）來展示點態收斂不保持連續性、可積性和可微性的情況。 6.2 均勻收斂的威力： 證明瞭均勻收斂下，極限函數保持連續性、可積性。著重討論瞭 Weierstrass M-檢驗法在判斷函數級數均勻收斂性上的應用。 6.3 功率級數與傅裏葉級數的開端： 重新審視冪級數，精確確定其收斂半徑和收斂區間。首次引入傅裏葉級數的概念，探討其在區間 $[-L, L]$ 上的收斂性（重點提及狄利剋雷條件）。 6.4 勒貝格積分的動機： 簡要概述瞭黎曼積分的局限性（例如，狄利剋雷函數不可黎曼可積）。引入勒貝格積分的“劃分值域”而非“劃分定義域”的核心思想，為讀者未來學習分析的現代框架做好認知準備。 --- 本書特色： 1. 強調結構而非技巧： 重點講解為什麼需要某些概念（如完備性、緊緻性），而非僅僅停留在計算層麵。 2. 嚴格的證明導嚮： 每一核心定理都提供清晰、自洽的證明，培養讀者的數學思維和邏輯推理能力。 3. 跨學科連接： 巧妙地將綫性代數、拓撲學、以及初步的泛函分析思想融入高等微積分的講解之中，展示數學的整體性。 總結： 《代數與幾何的深度探索》是一本嚴謹、全麵且富有啓發性的高等數學教材，它要求讀者不僅“會算”，更要“懂得為什麼”，是邁嚮更深層次數學研究的理想橋梁。

評分☆☆☆☆☆

終於翻完瞭這本《數學分析（下）》，說實話，過程比我想象的要艱辛不少。這本書的深度和廣度確實對得起“高等學校教材”這幾個字。剛拿到手的時候，就被厚厚的篇幅嚇瞭一跳，感覺裏麵塞滿瞭各種復雜的公式和證明，一開始還真有點畏懼。但當我沉下心來，一頁一頁地啃下去，纔慢慢領略到它的魅力。 最讓我印象深刻的是，書中對概念的闡述非常嚴謹，每一個定義、每一個定理都力求做到無懈可擊。尤其是在討論積分理論的拓展，比如黎曼積分到勒貝格積分的過渡，作者花瞭大量的篇幅來構建嚴密的邏輯鏈條，讓我這個初學者也能感受到數學的嚴謹美。而且，書中的例題和習題設計得非常巧妙，有些題目看似簡單，實則需要深刻理解書中的原理纔能迎刃而解。我在做習題的時候，經常會陷入沉思，然後恍然大悟，這種“頓悟”的感覺，正是學習數學分析最過癮的地方。 雖然過程有些麯摺，但我覺得這本書的價值遠不止於教科書本身。它更像是一本引路人，把我帶入瞭一個更加宏大和深刻的數學世界。許多看似抽象的概念，在作者的筆下變得生動起來。比如，在講到級數收斂性的時候，書中通過一些生動的比喻和圖像化的解釋，讓我對無窮的概念有瞭更直觀的認識。這本書讓我明白，數學分析不僅僅是枯燥的計算和證明，更是一種思維方式，一種解決問題的強大工具。 這本書的內容對我來說，無疑是一次智力上的大挑戰。它迫使我去思考，去質疑，去構建自己的理解體係。有時候，一個簡單的定理證明，我可能需要反復閱讀好幾遍，查閱一些輔助材料，纔能真正理解其中的邏輯。但正是這種不懈的努力，讓我對數學分析的理解越來越深刻。書中對於一些高級概念的引入，比如度量空間、拓勒集等等，雖然暫時還沒有完全消化，但已經為我打開瞭新的視野，讓我對接下來的學習充滿瞭期待。 總的來說，這本書的閱讀體驗可以說是“痛並快樂著”。它讓我深刻體會到數學分析的博大精深，也讓我認識到自己知識上的不足。但正是這種挑戰，激發瞭我更強的學習動力。我相信，在未來我學習更高級的數學課程時，這本書所打下的堅實基礎，一定會發揮巨大的作用。它不僅是一本教材，更是一段難忘的學習旅程，教會我如何去思考，如何去探索，如何去擁抱數學的奧秘。

評分☆☆☆☆☆

剛剛讀完《數學分析（下》這本教材，最大的感受就是它的“係統性”和“前瞻性”。這本書就像一座精心搭建的數學大廈，每一層都承載著重要的理論，並且相互關聯，層層遞進。作者在內容組織上，將一些原本可能孤立的概念，巧妙地串聯起來，形成一個完整的知識體係。 書中關於“微分”概念的拓展，尤其是對多元函數微分的講解，給我留下瞭深刻的印象。從方嚮導數到梯度，再到全微分，作者循序漸進地引導讀者理解高維空間中的變化率。書中大量的幾何插圖和嚮量圖解，極大地幫助我理解瞭這些抽象的概念，讓我在腦海中能夠“看見”數學的運行。 雖然內容詳實，但有時也會覺得有些過於“學院派”。在某些地方，作者為瞭追求數學的絕對嚴謹，可能會加入一些比較晦澀的證明或者細節。這對於我這樣的非數學專業背景的學生來說，偶爾會感到吃力。不過，也正是這種對細節的執著，讓我明白瞭數學分析的精妙之處。 令我驚喜的是，書中在介紹一些基礎概念的同時，也巧妙地引入瞭一些高級數學的思想和方法。比如，在講解函數逼近時，書中提到瞭傅裏葉級數的一些基本思想，這讓我對信號處理等相關領域的數學應用産生瞭濃厚的興趣，也為我今後進一步學習打下瞭鋪墊。 總而言之，《數學分析（下》是一本兼具深度和廣度的優秀教材。它不僅能夠幫助我們紮實掌握數學分析的基礎知識，更重要的是，它能夠激發我們對數學的探索欲，培養我們嚴謹的邏輯思維能力。這本書的閱讀過程，是一次非常有益的知識和思維的投資。

評分☆☆☆☆☆

剛拿到《數學分析（下》這本教材，我就被它紮實的學術風格吸引住瞭。這本書的編排邏輯清晰，從基礎的概念齣發，逐步深入到更復雜的理論。在閱讀過程中，我特彆欣賞作者對於數學證明的嚴謹性追求。每一個定理的推導過程都經過瞭精心的設計，力求邏輯嚴密，無懈可擊，這對於培養嚴謹的數學思維至關重要。 書中對積分理論的講解尤為齣色。從定積分的定義到更一般的積分概念，作者都進行瞭深入淺齣的闡述，並且通過大量的例子來幫助讀者理解抽象的數學概念。我尤其喜歡書中關於“測度”的介紹，它讓我對積分有瞭更深刻的認識，也為我理解更高級的數學分析奠定瞭基礎。 當然，這本書並非易於輕鬆讀懂。其中一些證明過程確實需要花費不少時間和精力去理解。但正是這種挑戰，讓我覺得非常有收獲。當我成功理解一個復雜的定理或者解決一道難題時，那種成就感是難以言喻的。這本書讓我明白，數學分析的學習是一個循序漸進的過程，需要耐心和毅力。 這本書的內容也涵蓋瞭許多重要的數學工具和思想。例如，級數和數列的收斂性判斷，泰勒公式的應用，以及函數方程的求解等等。這些內容在物理、工程等多個領域都有廣泛的應用。通過學習這本書，我不僅提升瞭自己的數學能力，也對數學在實際應用中的重要性有瞭更深的認識。 總而言之，《數學分析（下》是一本非常優秀的數學分析教材。它內容豐富，論證嚴謹，並且注重培養讀者的數學思維能力。雖然閱讀過程可能充滿挑戰，但隻要堅持下去，一定會收獲頗豐。這本書為我未來的數學學習打下瞭堅實的基礎，我對此深感滿意。

評分☆☆☆☆☆

手捧著這本《數學分析（下》教材，我感覺自己仿佛踏上瞭一段探索數學奧秘的奇妙旅程。這本書的敘事方式非常獨特，作者不像某些教材那樣枯燥地羅列公式，而是更傾嚮於通過生動的語言和富有啓發性的思考題，來引導讀者主動參與到數學的構建過程中。 我尤其喜歡書中關於“多變量函數”的章節。作者用瞭相當大的篇幅來講解如何理解和處理多維空間中的函數行為。從偏導數的概念，到重積分的計算技巧，再到麯綫和麯麵積分的應用，每一個部分都充滿瞭挑戰，但也帶來瞭巨大的學習樂趣。書中關於“散度”和“鏇度”的幾何解釋，讓我對物理學中的一些概念有瞭初步的認識。 不得不承認，這本書的難度確實不低。有時候，一個看似簡單的命題，其背後的證明卻需要多種定理和技巧的組閤運用。我常常會花很長時間來鑽研一道例題，試圖理解作者的思路。但這種“啃硬骨頭”的過程，恰恰是提升我獨立思考能力的關鍵。 這本書的內容對我來說，不單單是知識的獲取，更重要的是思維方式的轉變。它教會我如何去分析問題，如何去抽象化，以及如何去構建一個完整的數學模型。這些能力，無論是在學術研究還是在解決實際問題時，都顯得尤為重要。 總而言之，《數學分析（下》是一本極具啓發性和挑戰性的數學分析教材。它以其獨特的視角和深入的講解，讓我對數學分析有瞭更深的理解和熱愛。這本書不僅是一份學習資料，更是一筆寶貴的精神財富，它將伴隨我未來的學習和成長。

評分☆☆☆☆☆

捧著這本《數學分析（下》教材，一股厚重的學術氣息撲麵而來。這本書在內容編排上，很有層次感，從相對容易理解的微分方程初步，一直過渡到令人望而生畏的多元函數微積分和空間解析幾何。我個人覺得，作者在處理抽象概念時，運用瞭大量形象化的類比和直觀的幾何解釋，這對於我這種不太擅長純粹符號推導的學生來說，簡直是福音。 令我印象深刻的是，書中對“極限”這個核心概念的反復強調和多角度闡釋。從數列極限到函數極限，再到積分和級數中的極限，作者通過不同的情境和錶述方式，讓我逐漸內化瞭對極限這個概念的理解。尤其是在講到“一緻收斂”時，書中通過圖示和實例，將抽象的定義變得生動易懂，這比單純的符號證明要直觀得多。 當然，這本書的挑戰性也是顯而易見的。有些證明推導非常精巧，需要反復琢磨纔能領會其精髓。比如，關於“中值定理”的推廣和應用，書中給齣瞭一些非常巧妙的構造，需要讀者具備一定的數學敏感度纔能發現。我在做習題的時候，也經常會遇到一些“攔路虎”，但每次剋服睏難後，都會有一種豁然開朗的感覺，這讓我更加堅定地走下去。 這本書不僅傳授瞭數學知識，更重要的是培養瞭一種解決問題的思維方式。它教會我如何從問題的本質齣發，如何運用已有的知識進行邏輯推導，以及如何清晰地錶達自己的思考過程。這些能力，對於我在其他學科的學習和未來的工作都會有很大的幫助。 總的來說，這是一本值得反復研讀的好書。它以其獨特的教學風格和深刻的學術內容，讓我對數學分析有瞭全新的認識。雖然過程充滿挑戰，但所帶來的收獲和成長是巨大的。這本書不僅僅是完成學業的工具，更是我數學探索道路上的一位良師益友。

評分☆☆☆☆☆

5，域的擴張、代數擴張、超越擴張、分裂域、Kronecker定理、可分多項式、有限域擴張、有限域的子域、有限域的自同構、Mobius反演公式、分圓多項式。

評分☆☆☆☆☆

12，商群、同態基本定理、群的同構定理、換位子群、群的直積與半直積、生成元、自由群、可解群、單群。

評分☆☆☆☆☆

5，域的擴張、代數擴張、超越擴張、分裂域、Kronecker定理、可分多項式、有限域擴張、有限域的子域、有限域的自同構、Mobius反演公式、分圓多項式。

評分☆☆☆☆☆

法律是一係列的規則，通常需要經由一套製度來落實。但在不同的地方，法律體係會以不同的方式來闡述人們的法律權利與義務。其中一種區分的方式便是分為歐陸法係和英美法係兩種。有些國傢則會以他們的宗教法條為其法律的基礎。

評分☆☆☆☆☆

9， Lebesgue積分與Riemann積分的關係、符號測度、符號測度的Hahn分解與Jordan分解、Radon-Nikodym定理、測度空間的乘積。

評分☆☆☆☆☆

12，商群、同態基本定理、群的同構定理、換位子群、群的直積與半直積、生成元、自由群、可解群、單群。

評分☆☆☆☆☆

12，商群、同態基本定理、群的同構定理、換位子群、群的直積與半直積、生成元、自由群、可解群、單群。

評分☆☆☆☆☆

8，Lebesgue可積函數空間的完備性、Lebesgue控製收斂定理、Levi單調收斂定理、Fatou定理、可積性的判據。

評分☆☆☆☆☆

8，光滑函數的局部逼近定理、光滑函數的大範圍逼近定理、延拓定理、Sobolev空間中函數的跡、跡定理、零跡函數定理、H_0^1{Omega}空間上的函數的跡的連續依賴性。Gagliardo-Nirenberg—Sobolev 不等式。