数学分析（下）/高等学校教材 [Mathematical Analysis] pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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刘春根，朱少红，李军 等 编

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• 高等学校教材

出版社： 高等教育出版社

ISBN：9787040398649

版次：1

商品编码：11506620

包装：平装

丛书名： 高等学校教材

外文名称：Mathematical Analysis

开本：32开

出版时间：2014-06-01

用纸：胶版纸

页数：273

正文语种：中文

内容简介

　　《数学分析（下）/高等学校教材》是南开大学数学科学学院数学分析课程组的老师在多年教学实践的基础上编写而成的。全书分上、中、下三册，介绍数学分析的基本内容。上册主要包括实数与函数、极限、连续函数、导数及其应用、实数理论及其应用、不定积分、定积分及其应用，中册主要包括多元函数的极限与连续、多元函数的微分学、重积分、曲线积分与曲面积分，下册主要包括数项级数、广义积分、一致收敛、幂级数、傅里叶分析、含参变量积分。《数学分析（下）/高等学校教材》有丰富的习题，这些习题分为三个层次。每节之后的“练习”比较容易，是供学习者理解本节知识的一类基本题；每章之后的“习题”分为A、B两组，其中A组题是供学习者理解本章知识的一类题，B组题有一部分是配给本章选学内容的，还有一部分是用来提高能力的，有一定难度。
　　《数学分析（下）/高等学校教材》可作为高等学校数学类专业的教材，也可供数学教学和科研人员参考。

目录

第十四章 数项级数
14.1 级数收敛性的概念和基本性质
14.2 正项级数
14.3 正项级数收敛性的进一步讨论
14.4 任意项级数
14.5 组合级数与重排级数
14.6 无穷乘积
14.7 级数的乘积、累次级数与二重级数
习题14

第十五章 广义积分
15.1 无限区间上的广义积分
15.2 有限区间上无界函数的广义积分
15.3 广义重积分
习题15

第十六章 一致收敛
16.1 函数列的一致收敛性
16.2 一致收敛与极限换序
16.3 逼近定理术
16.4 函数项级数的一致收敛
16.5 利用函数项级数构造特殊函数的例子
习题16

第十七章 幂级数
17.1 幂级数的性质与求和
17.2 泰勒级数
习题17

第十八章 傅里叶分析
18.1 傅里叶级数的引入
18.2 傅里叶级数的收敛性
18.3 傅里叶级数的逐项求积分、逐项求导
18.4 应用举例
18.5 傅里叶积分和傅里叶变换+
习题18

第十九章 含参变量积分
19.1 含参变量的积分
19.2 含参变量的广义积分
19.3 贝塔函数与伽玛函数
19.4 两个广义积分的交换次序
习题19
附录部分习题参考答案

图书简介：代数与几何的深度探索 书名：代数与几何的深度探索 目标读者： 具有扎实微积分基础，希望深入理解现代数学核心概念，并为学习抽象代数、微分几何或高等数学分支打下坚实基础的本科生、研究生及数学爱好者。 内容概述： 本书旨在为读者提供一个从基础概念出发，逐步深入到高等数学前沿的全面视野。它超越了传统的单变量分析框架，将重点放在结构、证明、以及不同数学分支之间的内在联系上。全书共分为六个主要部分，内容相互衔接，层层递进，力求在严谨性与启发性之间找到完美的平衡。 --- 第一部分：集合论基础与逻辑严谨性 本部分是整个数学体系的基石。我们首先回顾和深化了集合论的基本概念，如集合的运算、笛卡尔积、函数与关系。重点在于建立一种精确的数学语言。 1.1 逻辑与证明方法： 详细介绍了命题逻辑、量词的使用、以及主要的证明技巧：直接证明、反证法、数学归纳法（详述了强归纳法与弱归纳法的区别与适用场景）。特别引入了关于“存在性”和“唯一性”证明的规范要求。 1.2 集合论的公理化基础（概述）： 简要介绍了 ZFC 公理系统的基本思想，并非详述公理细节，而是着重于说明为什么需要公理系统来避免集合论的悖论（如罗素悖论）。 1.3 数系构建的严格性： 详尽地展示了如何从皮亚诺公理出发，通过集合论的构造方法定义自然数集 $mathbb{N}$，进而构造整数集 $mathbb{Z}$、有理数集 $mathbb{Q}$。这部分强调了数学构建的逻辑链条的完整性。 1.4 关系的深入分析： 重点讨论了等价关系（及其划分性质）和偏序关系（及其对偶性），并引入了良序定理和选择公理的简单讨论，以便后续处理函数的“良定义”问题。 --- 第二部分：拓扑初步与度量空间结构 超越了 $mathbb{R}^n$ 上欧几里得距离的限制，本部分将分析工具推广到更一般、更抽象的空间中。 2.1 拓扑空间的基本定义： 引入拓扑空间的定义（开集族、闭集、邻域系统）。详细探讨了拓扑的等价性判断标准。 2.2 重要的拓扑性质： 深入研究了可分离性（可数性）、紧致性（定义、子序列紧致性等价性，以及 Heine-Borel 定理在一般空间中的推广思路）、连通性（路径连通与连通性的区别）。 2.3 度量空间（Metric Spaces）： 这是连接传统分析与现代拓扑的关键桥梁。定义了度量、开球、闭球。特别关注了完备性（Completeness）的概念，并探讨了巴拿赫不动点定理（Banach Fixed-Point Theorem）及其在常微分方程解的存在性证明中的应用。 2.4 连续性与函数空间： 在拓扑框架下重新定义连续函数。引入了等度连续性（Equicontinuity）的概念，为后来的函数空间上的收敛理论做铺垫。 --- 第三部分：线代数与线性算子的视角 本部分重塑了线性代数的基础，并将其与分析的观点相结合，为学习泛函分析打下基础。 3.1 向量空间与线性变换的再审视： 从抽象向量空间的角度出发，定义基、维数、线性映射。强调了线性变换的矩阵表示是其在特定基下的“投影”，而非本质。 3.2 行列式与特征值理论的代数深化： 不仅关注计算，更关注行列式的多线性性质和特征值、特征向量的几何意义。引入了相似矩阵的性质及其不变量。 3.3 线性算子与谱理论的萌芽： 讨论了线性算子在有限维空间上的性质。引入了算子的有界性（即连续性）的讨论。初步探讨了对角化矩阵的意义，以及 Jordan 标准型的构造思想（不进行复杂的构造证明）。 3.4 双对偶空间： 简要介绍了对偶空间的概念及其在分析中的重要性，特别是在处理线性泛函和支持函数时的应用。 --- 第四部分：高等微积分——多变量分析的精粹 本部分是连接一维分析到更高维度的关键，重点在于理解微分在多变量环境下的复杂性。 4.1 $mathbb{R}^n$ 上的拓扑回顾与预备： 快速回顾 $mathbb{R}^n$ 空间的开集、闭集、紧集，并引入多重指标（Multi-index）符号系统，以便后续书写简洁。 4.2 可微性与梯度的精细化： 详细区分了偏导数、方向导数与全微分。重点剖析全微分存在的充分必要条件——连续可微性（$C^1$ 类）。 4.3 反函数定理与隐函数定理的严密证明： 这是多变量分析的核心。本书提供了基于线性逼近和压缩映射原理（或不动点定理）的完整、严格的证明，并深入分析了这些定理在解方程组和研究曲面局部结构中的应用。 4.4 泰勒公式的推广与最优性： 将泰勒展开推广到 $mathbb{R}^n$，并利用 Hessian 矩阵来判断多元函数的极值点。 --- 第五部分：黎曼积分的理论深化 本部分将积分的定义从 $mathbb{R}^1$ 扩展到 $mathbb{R}^n$ 上的“体积”概念，并严谨处理了积分的收敛性问题。 5.1 多重积分的定义与性质： 在笛卡尔坐标系和极坐标/球坐标变换下的计算方法。重点强调积分的线性、单调性，以及积分区域变换时雅可比行列式的作用。 5.2 广义黎曼积分（Improper Integrals）： 讨论了积分区间无限或被积函数不连续情况下的收敛性判定，引入比较判别法和极限比较判别法的多维推广思路。 5.3 迭代积分与Fubini定理： 详细讨论了二重积分和三重积分的计算顺序问题。给出了 Fubini 定理的严格表述和应用条件（特别是关于积分函数是否可积的判断）。 5.4 微分形式的初步接触（几何直觉）： 引入一维线积分、二维面积分的几何意义，为读者理解向量分析中的格林公式、斯托克斯公式提供直观基础，但避免进入微分几何的深度细节。 --- 第六部分：序列与函数的收敛性——无穷维空间的展望 这一部分回归到函数序列和函数列的收敛性，强调了“均匀收敛”的重要性。 6.1 点态收敛与一致收敛的对比： 细致阐述了两种收敛模式的本质区别。通过构造反例（如三角函数序列）来展示点态收敛不保持连续性、可积性和可微性的情况。 6.2 均匀收敛的威力： 证明了均匀收敛下，极限函数保持连续性、可积性。着重讨论了 Weierstrass M-检验法在判断函数级数均匀收敛性上的应用。 6.3 功率级数与傅里叶级数的开端： 重新审视幂级数，精确确定其收敛半径和收敛区间。首次引入傅里叶级数的概念，探讨其在区间 $[-L, L]$ 上的收敛性（重点提及狄利克雷条件）。 6.4 勒贝格积分的动机： 简要概述了黎曼积分的局限性（例如，狄利克雷函数不可黎曼可积）。引入勒贝格积分的“划分值域”而非“划分定义域”的核心思想，为读者未来学习分析的现代框架做好认知准备。 --- 本书特色： 1. 强调结构而非技巧： 重点讲解为什么需要某些概念（如完备性、紧致性），而非仅仅停留在计算层面。 2. 严格的证明导向： 每一核心定理都提供清晰、自洽的证明，培养读者的数学思维和逻辑推理能力。 3. 跨学科连接： 巧妙地将线性代数、拓扑学、以及初步的泛函分析思想融入高等微积分的讲解之中，展示数学的整体性。 总结： 《代数与几何的深度探索》是一本严谨、全面且富有启发性的高等数学教材，它要求读者不仅“会算”，更要“懂得为什么”，是迈向更深层次数学研究的理想桥梁。

评分☆☆☆☆☆

刚拿到《数学分析（下》这本教材，我就被它扎实的学术风格吸引住了。这本书的编排逻辑清晰，从基础的概念出发，逐步深入到更复杂的理论。在阅读过程中，我特别欣赏作者对于数学证明的严谨性追求。每一个定理的推导过程都经过了精心的设计，力求逻辑严密，无懈可击，这对于培养严谨的数学思维至关重要。 书中对积分理论的讲解尤为出色。从定积分的定义到更一般的积分概念，作者都进行了深入浅出的阐述，并且通过大量的例子来帮助读者理解抽象的数学概念。我尤其喜欢书中关于“测度”的介绍，它让我对积分有了更深刻的认识，也为我理解更高级的数学分析奠定了基础。 当然，这本书并非易于轻松读懂。其中一些证明过程确实需要花费不少时间和精力去理解。但正是这种挑战，让我觉得非常有收获。当我成功理解一个复杂的定理或者解决一道难题时，那种成就感是难以言喻的。这本书让我明白，数学分析的学习是一个循序渐进的过程，需要耐心和毅力。 这本书的内容也涵盖了许多重要的数学工具和思想。例如，级数和数列的收敛性判断，泰勒公式的应用，以及函数方程的求解等等。这些内容在物理、工程等多个领域都有广泛的应用。通过学习这本书，我不仅提升了自己的数学能力，也对数学在实际应用中的重要性有了更深的认识。 总而言之，《数学分析（下》是一本非常优秀的数学分析教材。它内容丰富，论证严谨，并且注重培养读者的数学思维能力。虽然阅读过程可能充满挑战，但只要坚持下去，一定会收获颇丰。这本书为我未来的数学学习打下了坚实的基础，我对此深感满意。

评分☆☆☆☆☆

手捧着这本《数学分析（下》教材，我感觉自己仿佛踏上了一段探索数学奥秘的奇妙旅程。这本书的叙事方式非常独特，作者不像某些教材那样枯燥地罗列公式，而是更倾向于通过生动的语言和富有启发性的思考题，来引导读者主动参与到数学的构建过程中。 我尤其喜欢书中关于“多变量函数”的章节。作者用了相当大的篇幅来讲解如何理解和处理多维空间中的函数行为。从偏导数的概念，到重积分的计算技巧，再到曲线和曲面积分的应用，每一个部分都充满了挑战，但也带来了巨大的学习乐趣。书中关于“散度”和“旋度”的几何解释，让我对物理学中的一些概念有了初步的认识。 不得不承认，这本书的难度确实不低。有时候，一个看似简单的命题，其背后的证明却需要多种定理和技巧的组合运用。我常常会花很长时间来钻研一道例题，试图理解作者的思路。但这种“啃硬骨头”的过程，恰恰是提升我独立思考能力的关键。 这本书的内容对我来说，不单单是知识的获取，更重要的是思维方式的转变。它教会我如何去分析问题，如何去抽象化，以及如何去构建一个完整的数学模型。这些能力，无论是在学术研究还是在解决实际问题时，都显得尤为重要。 总而言之，《数学分析（下》是一本极具启发性和挑战性的数学分析教材。它以其独特的视角和深入的讲解，让我对数学分析有了更深的理解和热爱。这本书不仅是一份学习资料，更是一笔宝贵的精神财富，它将伴随我未来的学习和成长。

评分☆☆☆☆☆

终于翻完了这本《数学分析（下）》，说实话，过程比我想象的要艰辛不少。这本书的深度和广度确实对得起“高等学校教材”这几个字。刚拿到手的时候，就被厚厚的篇幅吓了一跳，感觉里面塞满了各种复杂的公式和证明，一开始还真有点畏惧。但当我沉下心来，一页一页地啃下去，才慢慢领略到它的魅力。 最让我印象深刻的是，书中对概念的阐述非常严谨，每一个定义、每一个定理都力求做到无懈可击。尤其是在讨论积分理论的拓展，比如黎曼积分到勒贝格积分的过渡，作者花了大量的篇幅来构建严密的逻辑链条，让我这个初学者也能感受到数学的严谨美。而且，书中的例题和习题设计得非常巧妙，有些题目看似简单，实则需要深刻理解书中的原理才能迎刃而解。我在做习题的时候，经常会陷入沉思，然后恍然大悟，这种“顿悟”的感觉，正是学习数学分析最过瘾的地方。 虽然过程有些曲折，但我觉得这本书的价值远不止于教科书本身。它更像是一本引路人，把我带入了一个更加宏大和深刻的数学世界。许多看似抽象的概念，在作者的笔下变得生动起来。比如，在讲到级数收敛性的时候，书中通过一些生动的比喻和图像化的解释，让我对无穷的概念有了更直观的认识。这本书让我明白，数学分析不仅仅是枯燥的计算和证明，更是一种思维方式，一种解决问题的强大工具。 这本书的内容对我来说，无疑是一次智力上的大挑战。它迫使我去思考，去质疑，去构建自己的理解体系。有时候，一个简单的定理证明，我可能需要反复阅读好几遍，查阅一些辅助材料，才能真正理解其中的逻辑。但正是这种不懈的努力，让我对数学分析的理解越来越深刻。书中对于一些高级概念的引入，比如度量空间、拓勒集等等，虽然暂时还没有完全消化，但已经为我打开了新的视野，让我对接下来的学习充满了期待。 总的来说，这本书的阅读体验可以说是“痛并快乐着”。它让我深刻体会到数学分析的博大精深，也让我认识到自己知识上的不足。但正是这种挑战，激发了我更强的学习动力。我相信，在未来我学习更高级的数学课程时，这本书所打下的坚实基础，一定会发挥巨大的作用。它不仅是一本教材，更是一段难忘的学习旅程，教会我如何去思考，如何去探索，如何去拥抱数学的奥秘。

评分☆☆☆☆☆

刚刚读完《数学分析（下》这本教材，最大的感受就是它的“系统性”和“前瞻性”。这本书就像一座精心搭建的数学大厦，每一层都承载着重要的理论，并且相互关联，层层递进。作者在内容组织上，将一些原本可能孤立的概念，巧妙地串联起来，形成一个完整的知识体系。 书中关于“微分”概念的拓展，尤其是对多元函数微分的讲解，给我留下了深刻的印象。从方向导数到梯度，再到全微分，作者循序渐进地引导读者理解高维空间中的变化率。书中大量的几何插图和向量图解，极大地帮助我理解了这些抽象的概念，让我在脑海中能够“看见”数学的运行。 虽然内容详实，但有时也会觉得有些过于“学院派”。在某些地方，作者为了追求数学的绝对严谨，可能会加入一些比较晦涩的证明或者细节。这对于我这样的非数学专业背景的学生来说，偶尔会感到吃力。不过，也正是这种对细节的执着，让我明白了数学分析的精妙之处。 令我惊喜的是，书中在介绍一些基础概念的同时，也巧妙地引入了一些高级数学的思想和方法。比如，在讲解函数逼近时，书中提到了傅里叶级数的一些基本思想，这让我对信号处理等相关领域的数学应用产生了浓厚的兴趣，也为我今后进一步学习打下了铺垫。 总而言之，《数学分析（下》是一本兼具深度和广度的优秀教材。它不仅能够帮助我们扎实掌握数学分析的基础知识，更重要的是，它能够激发我们对数学的探索欲，培养我们严谨的逻辑思维能力。这本书的阅读过程，是一次非常有益的知识和思维的投资。

评分☆☆☆☆☆

捧着这本《数学分析（下》教材，一股厚重的学术气息扑面而来。这本书在内容编排上，很有层次感，从相对容易理解的微分方程初步，一直过渡到令人望而生畏的多元函数微积分和空间解析几何。我个人觉得，作者在处理抽象概念时，运用了大量形象化的类比和直观的几何解释，这对于我这种不太擅长纯粹符号推导的学生来说，简直是福音。 令我印象深刻的是，书中对“极限”这个核心概念的反复强调和多角度阐释。从数列极限到函数极限，再到积分和级数中的极限，作者通过不同的情境和表述方式，让我逐渐内化了对极限这个概念的理解。尤其是在讲到“一致收敛”时，书中通过图示和实例，将抽象的定义变得生动易懂，这比单纯的符号证明要直观得多。 当然，这本书的挑战性也是显而易见的。有些证明推导非常精巧，需要反复琢磨才能领会其精髓。比如，关于“中值定理”的推广和应用，书中给出了一些非常巧妙的构造，需要读者具备一定的数学敏感度才能发现。我在做习题的时候，也经常会遇到一些“拦路虎”，但每次克服困难后，都会有一种豁然开朗的感觉，这让我更加坚定地走下去。 这本书不仅传授了数学知识，更重要的是培养了一种解决问题的思维方式。它教会我如何从问题的本质出发，如何运用已有的知识进行逻辑推导，以及如何清晰地表达自己的思考过程。这些能力，对于我在其他学科的学习和未来的工作都会有很大的帮助。 总的来说，这是一本值得反复研读的好书。它以其独特的教学风格和深刻的学术内容，让我对数学分析有了全新的认识。虽然过程充满挑战，但所带来的收获和成长是巨大的。这本书不仅仅是完成学业的工具，更是我数学探索道路上的一位良师益友。

评分☆☆☆☆☆

3，特征流形、特征方程、Holmgren定理、Carleman定理、化二阶线性偏微分方程为标准型。

评分☆☆☆☆☆

2，Cauchy问题、Cauchy-Kovalevskaya定理、强函数、Cauchy-Kovalevskaya定理的证明、广义Cauchy问题。

评分☆☆☆☆☆

11，正规算子谱定理的连续泛函运算形式、算子的绝对值、Fuglede定理、正规算子谱定理的Borel泛函运算形式、谱投影、Weyl-von Neumann定理、Banach代数上的强拓扑与弱拓扑、Banach代数的放大、von Neumann双换位子定理的证明、sigma-强拓扑、w*-拓扑、sigma-弱连续泛函运算。

评分☆☆☆☆☆

8，二次曲面、二次曲面的中心、仿射空间中二次曲面的规范型、二次曲面的分类、Euclid空间中的二次曲面、射影平面、高维射影空间、齐次坐标、仿射几何与射影几何的关系、代数簇、射影群、交比与重比、射影空间中二次曲面的分类、直线与射影二次曲面的相交。

评分☆☆☆☆☆

2，多项式矩阵、多项式矩阵的初等变换、多项式矩阵的相抵、Smith标准型、行列式因子、不变因子、初等因子组、特征方阵与Jordan标准型的关系、实方阵的实相似。

评分☆☆☆☆☆

3，特征流形、特征方程、Holmgren定理、Carleman定理、化二阶线性偏微分方程为标准型。

评分☆☆☆☆☆

11，典型群、满同态、四元数代数、置换群、对称。

评分☆☆☆☆☆

12，商群、同态基本定理、群的同构定理、换位子群、群的直积与半直积、生成元、自由群、可解群、单群。

评分☆☆☆☆☆

代数学-2