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内容简介

扩展可积方程族的代数方法在简要介绍可积耦合系统国内外研究现状及相关概念的基础上，主要介绍几类李代数及其扩展李代数的构造方法，并利用扩展李代数生成几类方程族的可积耦合，随后利用二次型恒等式得到几类方程族的可积耦合的HAmilton 结构. 内容共分五章. 第1 章为绪论，简单介绍孤子理论与可积耦合系统国内外的研究现状；第2 章介绍可积系统与耦合系统的相关概念；第3 章介绍几类李代数与可积系统；第4 章利用李代数的扩展生成几类方程族的可积耦合；第5 章利用二次型恒等式与变分恒等式得到了几类方程族的可积耦合与HAmilton 结构.

目录

序前言第 1章绪论 1
1.1孤立子理论 1

1.2可积系统 2

1.3方程族的可积耦合 3
第 2章可积系统与耦合系统的相关概念 5

2.1相关定义 5

2.2谱问题的代数化 7

2.3屠格式及其推广 9

2.4二次型恒等式 12
2.5半直和李代数与变分恒等式 . 16第 3章李代数与可积系统 . 18
3.1两个理想子代数及其 AKNS与 KN广义方程族 18
3.2推广的一类李代数及其相关的可积系统 . 21
3.3利用外代数构造 loop代数 26

3.4多分量矩阵 loop代数及其多分量 AKNS和 BPT方程族 33

3.5 loop代数 A.2的子代数及其应用 40

3.6两个高维李代数及其相关的可积耦合 48

3.7一类新的 6维李代数及两类 Liouville可积 HAmilton系统 62
第 4章李代数的扩展与方程族的可积耦合 71

4.1生成可积耦合的简便方法 71

4.2矩阵李代数的扩展与可积耦合 77

4.3李代数 sl(3,R)及其诱导李代数 84
4.4一类 LAx可积族及其扩展可积模型 94

4.5一类多分量的 6维 loop代数及 BPT方程族的可积耦合 .101
4.6矩阵李代数的特征数及方程族的可积耦合 110

4.7可逆线性变换与李代数 122第 5章方程族的可积耦合与 HAmilton结构 . 148
5.1二次型恒等式及其应用 148

5.2 Li族与 Tu族的可积耦合及其 HAmilton结构 154
5.3 Skew-Hermite矩阵构成的李代数及其应用 163
5.4 一个双 loop代数及其扩展 loop代数 181

5.5 (1+1)维 m-cKdV,g-cKdV与 (2+1)维 m-cKdV方程族的扩展及其 HAmilton结构 204参考文献 225索引 229

精彩书摘

第 1 章 绪 论

1.1 孤立子理论

孤立子又称孤立波. 1844 年英国科学家 Scott Russell 在英国科学促进会上做 了题为《论波动》的报告[1] , 他说：“我在观察一条船的运动, 这条船被马拉着沿狭窄 的运河迅速前进着. 船突然停了下来, 然而被船推动的那一大片水并没有停止, 而 是聚集在船头周围剧烈地扰动着, 随后水浪突然呈现出一个滚圆而平滑的轮廓分明 的巨大孤立波峰, 它以巨大速度向前, 急速地离开了船头. 在行进中它的形状和速 度没有明显的改变. 我骑在马上紧跟它, 发现它以 8?9 英里每小时的速度向前行 进, 并保持长约 30 英尺、高 1?1.5 英尺的原始形状, 渐渐地其高度下降了. 当我跟 到 1?2 英里后, 它消失在逶迤的河道中. ”
Russell 在实验室的水箱中做了大量实验, 也观察到了同样的现象, 他称这种波 为孤立波. 他认为这种孤立波应为流体力学方程的一个稳定解, 并请求当时的数学 家在理论上能给予解释, 但限于当时的科学发展水平, 人们并没有给出一个圆满的 解释.
在其后几年, 人们对孤立波的存在产生怀疑. 例如, Airy[2] 认为 Russell 所说的 孤立波根本就不存在. 但有的科学家, 如 Boussinesq[3] 认为孤立波是存在的, 并从 数学角度给出描述和证明, 他给出的描述方程就是 Boussinesq 方程. 即使如此, 有 些科学家仍否认孤立波的存在性.
1894 年, Vries 在阿姆斯特丹大学 (University of AmsterdAm) 发表了他在 Ko- rteweg 指导下的博士论文. 他提出了一种流体中单向波传波流动的数学模型, 即著 名的 KdV 方程, 用来解释 Russell 观察到的现象. 但是他的工作并没有引起人们的 重视, 因为许多人认为这种行波仅是偏微分方程的特解, 用特殊的初值即可得到它, 这在初值研究中是微不足道的; 另外人们还认为由于 KdV 方程是非线性的, 两个 孤立波相互碰撞后, 波形一定会受到破坏, 所以是不稳定的, 这对于描述物理现象 不会有帮助. 于是, KdV 方程与孤立波的研究就搁置起来.
1960 年, GArdner 和 MorikAwA[4] 在无碰撞的磁流波研究中, 重新得到了 KdV 方程; 后来 KdV 方程在不同的研究背景中不断出现, 这激起了人们对 KdV 方程的 研究兴趣. KdV 方程是可积系统与孤立子理论中的一个基本方程, 通过对它的研究 得到了一系列新的数学方法, 得到了许多新的结果, 如守恒律、HAmilton 结构、反 散射方法等.

1962 年, Perring 和 Skyrme[5] 在研究基本粒子模型时, 对 Sine-Gordon 方程做 了研究, 结果表明, 这个方程具有孤立波, 即使碰撞后两个孤立波也仍保持着原有 的形状与速度.
1965 年, ZAbusky 和 KruskAl[6] 把 KdV 方程用于等离子体的研究, 利用计算机 考察了等离子体中孤立波的互相碰撞过程, 由此进一步证实了孤立波相互作用后不 改变波形的结果. 由于这种孤立波是有类似于粒子碰撞后不变的性质, 所以他们将 孤立波命名为孤立子. 孤立子一词被广泛应用. 数学中将孤立子理解为非线性演化 方程局部化的行波解, 经过相互碰撞后, 波形与速度不改变. 从物理角度上看, 孤立 子主要包含以下两点：一是能量比较集中在一个狭小的区域; 二是两个孤立子相互 碰撞后不改变波形和速度. 20 世纪 70 年代后, 孤立子的研究取得了迅速发展, 在 数学上发现了大量具有孤立子解的非线性发展方程, 也建立了系统的研究方法, 国 内外在这方面已出版很多专著[7?15] . 孤立子理论既包括数学理论, 也包括了物理理 论. 正如 1984 年, 美国数学科学基金来源特别委员会给美国国家研究委员会的题 为 “美国数学的现在与未来” 的报告中提出的：“目前正发生一件振奋人心的大事, 这就是数学与理论物理的重新统一”“看到我们还在进入一个新的时代, 在这个时代 中数学和物理之间的界限实际上已经消失了.”

1.2 可 积 系 统

可积系统一般分为有限维可积系统与无限维可积系统. 20 世纪 70 年代末, 苏联 数学家 Arnold 从辛几何角度叙述了有限维 HAmilton 系统理论中的著名 Liouville- Arnold 定理：一个自由度为 n 的 HAmilton 系统, 若具有 n 个相互对合的首次积分 就是可积的, 即解可用积分表示出来. 其实人们对完全可积的 HAmilton 系统的认 识是反反复复的[16] . 早期的经典力学曾找到一些很好的完全可积的力学系统例子, 如 JAcobi 关于椭球面上测地线方程的积分等. 后来人们认识到多数 HAmilton 系统 并不完全可积, 且在小扰动下可积性受到破坏, 于是研究就停了下来. 可后来人们 发现, 在小扰动下虽然完全可积性被破坏, 但原问题的不变环面的一个大子集保留 下来, 组成一个复杂的具有正测度的不变 CAntor 集, 这就是著名的 KAM 理论. 有 人进一步证明, 在 Whitney 可微意义下, 扰动系统在 CAntor 集上仍是 Liouville 完 全可积的.
寻找和扩充 Liouville 完全可积的有限维 HAmilton 系统很重要, 这不仅是孤立 子理论的一个重要研究方向, 而且还是 Newton 力学和 LAgrAnge 力学等价的描述 形式, 这样就使得运动规律性在 HAmilton 形式下表现得最明显. 一切耗散可忽略 不计的真实物理过程, 包括经典性的、量子性的、相对论性的、有限和无限自由度 等都能表达成 HAmilton 体系. 寻求有限维 HAmilton 系统的关键在于找到对合的守

恒积分. 1975 年 Moses[17] 提出了著名的 CAlogero 模型和 SutherlAnd 模型的完全 可积系统. 1989 年, 曹策问[18] 提出了在位势函数和特征函数的适当约束下, LAx 对 非线性化产生有限维完全可积系统的重大思想, 其结果表现为 LAx 对的空间部分 化为一个有限维完全可积的 HAmilton 系统, 而它的时间部分恰为 N 个对合守恒积 分. 曾云波、李翊神发展了非线性化方法, 提出了在位势函数与特征函数高阶约束 条件下, 将生成有限维可积 HAmilton 系统的一般方法, 在零曲率方程范围内统一 处理了一族有限维 HAmilton 系统的分解[19,20] .
无限维可积 HAmilton 系统理论在 20 世纪 60 年代后期取得长足发展[21,22] , 由 于无限维 HAmilton 系统的对合守恒积分不能完全地将其解表示出来, 因此我们还 不完全了解无穷维 HAmilton 系统的完全可积性, 并且对于无限维可积系统的可积 性问题也没有一个确切定义. 人们通常采用两种可积定义, 即 LAx 可积与 Liouville 可积. 1981 年, Drinfeld 和 Sokolov 用 KAc-Moody 代数为工具系统地构造了 KdV 方程的 LAx 表示. 1986 年, 谷超豪、胡和生基于曲面论中的基本方程提出了一类方 程的可积性准则[23] . 1988 年, 屠规彰[24] 提出了用带约束变分计算孤立子方程族的 HAmilton 结构的方法, 即迹恒等式方法, 马文秀[25] 称其为屠格式. 利用屠格式, 人 们得到了一些具有物理背景和丰富数学结构的无限维可积 HAmilton 系统, 如文献 [26],[27].

1.3 方程族的可积耦合

可积系统的 τ 对称代数可视为孤子理论中 VirAsoro 代数的实现. 这样的 τ 对 称代数及其相应的 VirAsoro 代数都是 Lie 代数的半直和, 其中的强对称起着非理 想半直和作用[28] . 在研究 VirAsoro 代数与遗传算子的关系时, 人们提出了可积耦 合问题. 可积耦合的定义可表述如下[29] .
对于给定的一个可积系统, 我们构造一个非平凡的微分方程系统, 要求它也是 可积的, 并且包含原来的可积系统作为一个子系统. 具体地说, 给定一个演化可积
系统[29,30]
ut = K (u) . (1-1)
我们构造一个新的大可积系统

ut = K (u),
vt = S (u, v),
(1-2)
其中向量值函数 S 满足非平凡条件 ?S = 0, 而 [u] 表示由 u 及其关于空间变量
? [u]
的导数组成的一个向量, 如 [u] = (u, ux , uxx , ? ? ?), x 表示空间变量. 称系统 (1-2) 为

ut = K (u) 的一个可积耦合. 研究可积耦合不仅能推广对称问题, 而且为可积系统 的分类提供了线索.
目前, 寻求可积系统的可积耦合的方法主要有两种：1 原方程加上它的对称方 程; 2 摄动方法. 事实上, 寻找求可积耦合的一个简单方法可在零曲率表示范围中 进行. 马文秀和 Fuchssteiner[29] 利用扰动方法给出了寻求一个可积方程的可积耦 合的方法, 但这种方法计算起来相当繁杂. 于是在 2002 年, 郭福奎和张玉峰利用方 阵李代数提出了生成可积耦合的一类简便方法, 并得到了 AKNS 方程族的一类可 积耦合[30] , 但利用迹恒等式无法求出该可积耦合的 HAmilton 结构. 关于方程族的 扩展可积模型的 HAmilton 结构, 郭福奎和张玉峰提出的二次型恒等式[31] 及广义的 屠格式[32] 、马文秀提出的变分恒等式[33] 都是迹恒等式的推广, 是寻求可积耦合的 HAmilton 结构的强有力工具, 并由此成功获得了一大批扩展可积模型的 HAmilton 结构. 最近楼森岳教授获得了一个具有广泛物理意义的可积耦合模型 (2013 年潍 坊论坛 —— 留数对称及其局域化和群不变解), 为可积耦合这一方向的研究提供了 应用背景.







第 2 章 可积系统与耦合系统的相关概念


2.1 相 关 定 义

定义 2.1 设 pi , qi (i = 1, ? ? ? , n) 是力学系统的广义坐标和广义动量. 例如, 存 在 HAmilton 函数 H = H (pi , qi ), 使 pi , qi 的演化满足以下方程


dqi = ?H ,


dpi = ?H


(i = 1, 2,


, n), (2-1)

dt ?pi dt
引进泊松 (Poisson) 括号

? ?qi

? ? ?

n / ?F ?G

?F ?G

F, G = 旦
?qj ?pj ?pj ?qj

, (2-2)


则方程 (2-1) 可改写为

j=1


q˙ =


q , H


, p˙ =


p , H


, q˙


dqi
= , p˙


dpi
= , (2-3)

i { i }

i { i }

i dt

i dt

而且 pi , qi 满足以下基本关系式：

{qi , qj } = {pi , pj } = 0, {qi , pj } = δij . (2-4)

再引进泊松括号, 且 pi , qi 满足式 (2-4) 时, 方程 (2-1) 称为 HAmilton 系统. pi , qi 也 称为动力学变量.
定义 2.2 如果存在 I = I (p , q ), 使得当 p , q 是方程 (2-1) 的解时, 有 dI = 0,
i i i i dt
则称 I 是系统 (2-1) 的一个守恒量.
如果两个互相独立的守恒量 I1 , I2 满足 {I1 , I2 } = 0, 则称 I1 , I2 是对合的.
定义 2.3 如果 HAmilton 系统 (2-1) 存在 n 个互相独立的守恒量 Ii (i =
1, 2, ? ? ? , n), 它们两两对合, 则称系统 (2-1) 是在 Liouville 意义下的可积系统.
定义 2.4 设非线性演化方程

ut = K (u), (2-5)

这里 K (u) = K (x, t, u, ux , uxx , ? ? ? ). 如果 u(x, t) 是方程 (2-5) 的解, 而函数 σ = σ(u)
满足以下线性方程 (这里 σ(u) 可能也包含变量 x, t)：

σt = K ' σ,

则称 σ(u) 是方程 (2-5) 的对称. K ' 是函数 K 在 u 点处沿 σ 方向的 G?AteAux 导数.
定义 2.5 如果一个算子 ?, 它将方程 ut = K (u) 的对称 σ 变为对称, 即若
σt = K ' σ, 有 (φσ)t = K ' (φσ), 则称算子 ? 是这个方程的强对称算子.
设 S 为定义在 R 上的 SchwArtz 空间, Sp = S ? ? ? ? ? S, 且

u(x, t) = (u1 (x, t), ? ? ? , up (x, t))T ∈ Sp , x, t ∈ R.

定义 2.6 对 ?f, g ∈ Sp , 定义它们的内积为

J
(f, g) =

J
f gdx =


p
旦 fi gi dx.
i=1


定义 2.7[34] 一个线性算子 J 称为 HAmilton 算子或辛算子, 如果 J 满足以
下条件：
(1) J ? = ?J , 即 (J f, g) = ?(f, J g), 对 ?f, g ∈ Sp ;
(2) (J ' (u)[J f ]g, h) + (J ' (u)[J g]g, f ) + (J ' (u)[J h]f, g) = 0, 即 JAcobi 恒等式成

立, 其中 J ' (u)[f ] =

d
dε J (u + εf )

|ε=0

为 G?AteAux 导数.

定义 2.8 如果线性算子 J 为 HAmilton 算子, 定义 Poisson 括号如下

/ δf

δg

{f, g} =

若 {f, g} = 0, 则称 f, g 为对合的, 且

,
δu δu



δH

, (2-6)

ut = J δu
为广义的 HAmilton 方程, H 为 HAmilton 函数, 变分导数 δ = / δ




, ? ? ? ,

(2-7)
δf T
,


其中
δ = 旦 (??)n ?




, ? =

δu δu1 δup

d , u(n) = ?n u .

δui

对于线性问题

(n)
i=0,1,2,??? i

dx i i

Lψ = λψ, ψt = M ψ,
其中 L, M 为 n × n 矩阵, ψ 为 n 维向量. 由相容性条件可得 LAx 方程

Lt + [L, M ] = 0. (2-8)


而对于线性问题



ψx = U ψ, ψt = V ψ,

前言/序言

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