大學生數學手冊(李威) pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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李威 等編 編

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齣版社： 化學工業齣版社

ISBN：9787122218506

版次：1

商品編碼：11556097

包裝：平裝

開本：64開

齣版時間：2014-11-01

頁數：422

內容簡介

本手冊包含三部分內容：高等數學(微積分)、綫性代數、概率論與數理統計．歸納總結瞭三部分內容中的定義、定理、公式、法則和方法．為便於讀者學習和使用，在內容的編排順序上與同濟大學版高等數學保持一緻；在目錄上列齣瞭手冊中的重點條目；在每一章的最後，提供瞭本章知識點之間的關聯網絡．本手冊對正在學習高等數學、綫性代數、概率論與數理統計和復習準備考研究生的讀者都有極大參考價值；此外，對於曾經學過大學數學課程，並希望在短時間內迅速復習和迴憶大學數學內容的讀者也具有重要的參考價值．

目錄

第1章函數極限連續1
§1��1映射與函數1
集閤1
常用數集1
鄰域1
映射2
函數3
函數的基本特性6
基本初等函數8
初等函數12
§1��2數列的極限及其性質13
數列13
數列極限13

數列的有界性14
收斂數列的性質14
§1��3函數的極限及其性質15
極限定義（x→x0）15
極限定義（x→∞）16
函數極限的性質17
§1��4無窮小與無窮大19
無窮小19
無窮小與函數極限關係19
無窮大19
無窮大與無窮小關係20
§1��5極限運算法則20
無窮小運算法則20
極限的四則運算法則20
§1��6極限存在準則兩個重要極限21
夾逼準則21
單調數列22
單調有界準則22
兩個重要極限22
§1��7無窮小的比較23
無窮小的比較23
常用等價無窮小23

等價無窮小的充要條件24
無窮小的等價代換24
§1��8函數的連續性與間斷點25
函數在一點處連續定義25
函數在開區間上連續26
函數在閉區間上連續26
函數的間斷點定義26
第一類間斷點27
第二類間斷點27
連續函數的和、差、積、
商的連續性27
反函數的連續性28
復閤函數的極限運算法則28
復閤函數的連續性29
基本初等函數的連續性29
初等函數的連續性29
閉區間上連續函數的性質29
本章知識點及其關聯網絡30
第2章導數與微分31
§２��1導數概念31
導數定義31
導數定義式的不同形式32
左導數定義32
右導數定義32
單側導數32
函數在一點可導的
充要條件32
導數幾何意義32
切綫與法綫33
開區間內可導33
閉區間上可導33
導函數定義33
可導性與連續性的關係33
高階導數定義34
§2��2函數的求導法則34
導數四則運算法則34
反函數求導法則35
復閤函數求導法則35
隱函數求導法則35
對數求導法則36
參數方程求導法則37
常數和基本初等函數的導數公式39
常用高階導數公式39
相關變化率40
§2��3函數微分概念與微分運算法則41
微分定義41
可微的充分必要條件42
函數在任意點的微分42
基本初等函數的微分公式42
函數和、差、積、商的微分
法則44
復閤函數微分法則44
本章知識點及其關聯網絡45
第3章微分中值定理與導數應用46
§3��1微分中值定理46
費馬引理46
羅爾定理46
拉格朗日中值定理46
拉格朗日中值定理推論46
柯西中值定理46
泰勒公式47
§3��2導數應用49
極限的未定式49
洛必達法則49
函數單調性判彆法則51
函數凹凸性定義51
函數拐點定義52
函數凹凸性判彆法53
函數極值定義53
函數極值的必要條件53
函數極值第一充分條件53
函數極值第二充分條件54
函數極值第三充分條件54
麯綫的漸近綫54
麯綫的弧微分公式55
麯率公式56
本章知識點及其關聯網絡57
第4章不定積分58
§4��1不定積分的概念與性質58
原函數定義58
不定積分定義58
積分麯綫59
不定積分性質59
§4��2不定積分的計算方法59
直接積分法60
換元積分法60
分部積分法61
基本積分公式61
§4��3特殊函數的不定積分63
(1)有理函數的積分63
有理函數63
有理函數真分式的部分分
式之和公式64
有理函數積分法65
(2)三角函數有理式的積分65
三角函數有理式65
三角函數有理式積分法65
(3)簡單無理函數的積分66
簡單無理函數66
簡單無理函數積分法66
常見的無法用初等函數
錶示的不定積分66
本章知識點及其關聯網絡67
第5章定積分68
§5��1定積分的概念與性質68
定積分定義68
可積的充分條件69
關於定積分的兩點規定70
定積分性質70
§5��2微積分基本公式72
積分上限函數定義72
積分上限函數的性質73
牛頓�怖巢寄嶙裙�式73
§5��3定積分的計算74
定積分的換元積分法74
定積分的分部積分法75
定積分的幾個常用結果75
§5��4反常積分76
無窮限的反常積分定義76
無窮限反常積分的計算78
無界函數反常積分的定義79
無界函數反常積分的計算80
本章知識點及其關聯網絡82
第6章定積分應用83
§6��1定積分元素法83
定積分元素法83
§6��2幾何應用84
(1)平麵圖形麵積84
直角坐標係中平麵圖
形麵積84
極坐標係中平麵圖形麵積85
(2)空間體的體積86
鏇轉體的體積86
平行截麵麵積已知的
空間體的體積86
(3)平麵麯綫弧長87
平麵麯綫弧長的定義87
麯綫弧長公式88
§6��3物理應用89
變力沿直綫做功89
水壓力90
引力91
§6��4平均值94
函數的平均值94
函數的均方根94
本章知識點及其關聯網絡95
第7章空間解析幾何與嚮量代數96
§7��1空間直角坐標係96
空間直角坐標係96
空間點的坐標97
空間兩點間的距離公式98
§7��2空間嚮量及其運算98
嚮量98
空間點M的嚮徑98
自由嚮量99
嚮量a與b相等99
嚮量a與b平行99
嚮量的模99
單位嚮量99
嚮量加法99
嚮量加法的運算算律100
負嚮量101
嚮量的差101
嚮量與數的乘法101
嚮量與數的乘法運算算律101
嚮量平行的充分必要條件102
非零嚮量的單位化102
§7��3嚮量的坐標102
嚮量坐標102
嚮量加法、減法和數乘運
算的坐標錶示102
嚮量a//b的坐標錶示103
嚮量模的坐標錶示103
兩嚮量的夾角103
嚮量的方嚮角103
嚮量的方嚮餘弦及其性質103
嚮量在軸上的投影104
投影定理104
投影性質104
§7��4數量積嚮量積混閤積105
(1)嚮量的數量積105
數量積定義105
數量積的性質106
數量積的運算算律106
數量積的坐標錶示106
兩個嚮量夾角餘弦
的坐標錶示106
(2)嚮量的嚮量積107
嚮量積定義107
嚮量積的性質107
嚮量積的運算算律107
嚮量積的坐標錶示107
(3)嚮量的混閤積108
混閤積的定義108
混閤積的坐標錶示108
混閤積的幾何意義108
§7��5空間麯麵及其方程109
麯麵方程的概念109
鏇轉麯麵109
鏇轉麯麵方程109
柱麵110
空間麯麵的參數方程111
二次麯麵111
二次麯麵方程111
§7��6空間麯綫及其方程112
空間麯綫112
空間麯綫的一般方程112
空間麯綫的參數方程112
空間麯綫在坐標麵
上的投影113
§7��7平麵及其方程113
平麵的法嚮量113
平麵的一般方程113
平麵的點法式方程113
平麵的截距式方程114
平麵的兩點式方程114
平麵束方程114
兩平麵的夾角114
兩平麵垂直的條件115
兩平麵平行的條件115
平麵外一點到平麵的距離115
§7��8空間直綫及其方程115
直綫的方嚮嚮量115
空間直綫的一般方程115
空間直綫的對稱式方程116
空間直綫的參數方程116
兩直綫的夾角116
兩直綫夾角的餘弦公式117
直綫與平麵的夾角117
直綫與平麵夾角的公式117
直綫外一點到直綫的距離117
本章知識點及其關聯網絡118
第8章多元函數微分法及其應用119
§8��1多元函數的基本概念119
坐標平麵119
平麵點集119
平麵上兩點間的距離119
平麵上點P0的δ鄰域120
平麵上點P0
的去心δ鄰域120
內點120
外點120
邊界點與邊界120
聚點121
開集121
閉集121
連通集121
區域(或開區域)121
閉區域122
有界點集和無界點集122
二元函數定義122
n元函數定義122
二元函數極限定義123
二元函數連續定義123
二元函數間斷點定義124
多元連續函數的和、差、
積、商的連續性124
多元連續函數的復閤
函數的連續性124
多元初等函數的概念124
多元初等函數的連續性124
有界閉區域上連續
函數的性質125
§8��2偏導數126
二元函數偏導數定義126
二元函數偏導數的
幾何意義127
二元函數高階偏導數概念128
二階混閤偏導與求導順
序無關的條件129
§8��3全微分129
二元函數的偏增量與
偏微分的概念129
二元函數的全增量與全
微分的定義129
全微分存在的必要條件130
全微分存在的充分條件130
n元函數全微分的錶達式131
§8��4多元復閤函數的求導法則131
中間變量均為一元函
數的情形131
中間變量均為多元函
數的情形132
中間變量既有一元函數又
有多元函數的情形133
全微分形式的不變性133
§8��5隱函數的求導公式134
單一方程情形134
方程組情形135
多元反函數求導公式136
§8��6微分在幾何上的應用139
空間麯綫的切綫概念139
空間麯綫的切嚮量140
空間麯綫的切綫方程140
空間麯綫的法平麵
及其方程140
其他形式的空間麯綫方程
的切綫與法平麵方程140
麯麵的切平麵和法
綫的概念142
麯麵法嚮量的概念142
麯麵的切平麵與法綫方程143
麯麵法嚮量的方嚮餘弦144
二元函數全微分
的幾何意義145
§8��7方嚮導數與梯度145
方嚮導數定義145
方嚮導數的存在條件
和計算公式146
梯度的概念146
梯度與方嚮導數的關係147
§8��8多元函數的極值及其求法148
二元函數極值的定義148
極值的必要條件149
極值的充分條件149
條件極值與無條件極值150
拉格朗日乘子法150
本章知識點及其關聯網絡①(多元函數微分法)152
本章知識點及其關聯網絡②(多元函數微分法應用)153
第9章重積分154
§9��1二重積分的概念與性質154
二重積分定義154
二重積分性質155
§9��2二重積分的計算法 157
直角坐標係中二重
積分的計算157
極坐標係中二重
積分的計算159
二重積分換元定理161
§9��3三重積分162
三重積分定義162
三重積分性質163
直角坐標係中三重
積分的計算163
柱坐標係中三重積
分的計算166
球坐標係中三重積
分的計算168
§9��4重積分應用171
(1)幾何應用171
麯麵麵積171
(2)物理應用172
質心坐標172
轉動慣量174
引力175
本章知識點及其關聯網絡178
第10章麯綫積分與麯麵積分179
§10��1對弧長的麯綫積分179
對弧長麯綫積分的定義179
對弧長麯綫積分存在
的充分條件180
對弧長麯綫積分的性質180
對弧長麯綫積分的
計算公式182
對弧長麯綫積分的
計算步驟183
§10��2對坐標的麯綫積分183
對坐標麯綫積分的定義183
對坐標麯綫積分的
嚮量錶達式185
對坐標麯綫積分存
在的充分條件185
對坐標麯綫積分的性質186
對坐標麯綫積分的
計算公式186
對坐標麯綫積分的
計算步驟188
兩類麯綫積分之間的聯係189
§10��3格林公式190
單連通域與復連通域190
平麵區域邊界的正方嚮190
格林公式190
麯綫積分與路徑無
關的概念191
麯綫積分與路徑無
關的等價條件191
麯綫積分與路徑無關
的充分必要條件191
二元函數全微分求
積的概念192
二元函數全微分求積
的條件與方法192
§10��4麯綫積分的應用194
(1)幾何應用194
弧長的計算194
柱麵的麵積195
(2)物理應用195
綫狀物體的質量195
綫狀物體的質心196
綫狀物體的轉動慣量197
變力沿麯綫作功197
§10��5對麵積的麯麵積分198
對麵積麯麵積分的定義198
對麵積麯麵積分存
在的充分條件199
對麵積麯麵積分的性質199
對麵積麯麵積分的計算
步驟和計算公式200
§10��6對坐標的麯麵積分202
有嚮麯麵的概念202
有嚮麯麵的方嚮202
有嚮麯麵在坐標
麵上的投影203
對坐標麯麵積分的定義203
對坐標麯麵積分存在
的充分條件205
對坐標麯麵積分的性質205
對坐標麯麵積分的計算
步驟和計算公式207
兩類麯麵積分之間的聯係208
§10��7高斯公式通量和散度209
高斯公式209
通量和散度210
§10��8斯托剋斯公式環流量和鏇度210
斯托剋斯公式210
環流量和鏇度211
§10��9麯麵積分的應用212
(1)幾何應用212
空間麯麵麵積212
(2)物理應用212
麯麵狀物體的質量212
麯麵狀物體的質心213
麵狀物體的轉動慣量213
本章知識點及其關聯網絡①(麯綫積分)214
本章知識點及其關聯網絡②(麯麵積分)215
第11章無窮級數216
§11��1常數項級數的概念和性質216
常數項級數定義216
級數的前n項和數列216
級數收斂和發散定義216
級數餘項定義217
收斂級數的基本性質 217
級數收斂的必要條件218
柯西審斂原理218
§11��2常數項級數的審斂法218
正項級數定義218
正項級數收斂的充
分必要條件218
正項級數的比較審斂法219
正項級數的比較
審斂法推論219
三個重要級數的斂散性220
正項級數比較審斂法
的極限形式220
正項級數的極限審斂法221
正項級數的比值
審斂法（ 達朗貝爾
( D’Alembert) 判彆法）221
正項級數的根值
審斂法（柯西
(Cauchy) 判彆法）222
交錯級數定義222
交錯級數審斂法
（萊布尼茲定理）222
絕對收斂和條件收斂222
絕對收斂級數的性質223
§11��3冪級數224
函數項級數定義224
函數項級數的收
斂域和發散域224
函數項級數的和
函數及餘項225
冪級數226
阿貝爾（Abel）定理226
阿貝爾（Abel）定理推論226
冪級數的收斂半徑、
收斂區間和收斂域 226
冪級數收斂半徑的求法227
冪級數的四則運算227
冪級數和函數的性質229
泰勒級數230
麥剋勞林級數231
函數展成泰勒級數231
常用函數的麥剋勞林級數231
§11��4函數項級數的一緻收斂性232
函數項級數的一緻收斂性232
函數項級數一緻收
斂性的判彆法（維
爾斯特拉斯
（Weierstrass）判彆法）233
一緻收斂級數的性質233
冪級數的一緻收斂性235
§11��5復數項級數和歐拉公式235
復數項級數235
復數項級數的收斂性236

復數項級數的絕對收斂性236
歐拉（Euler）公式236
§11��6傅裏葉級數237
三角級數237
傅裏葉級數237
收斂定理（狄利
剋雷（Dirichler）
充分條件）237
奇函數與偶函數的
傅裏葉係數238
正弦級數238
餘弦級數238
以2l為周期的函數的
傅裏葉級數239
本章知識點及其關聯網絡 ①(數項級數)241
本章知識點及其關聯網絡②（冪級數、傅裏葉級數）242
第12章微分方程243
§12��1微分方程的基本概念243
微分方程定義243
微分方程的階243
n階微分方程的一般形式243
微分方程的解243
微分方程的初始條件244
微分方程的通解和特解244
微分方程的積分麯綫244
§12��2一階微分方程244
可分離變量的微分
方程及其解法244
齊次方程及其解法244
一階綫性微分方程245
一階綫性齊次微分
方程的通解245
一階綫性非齊次微分
方程的通解246
伯努利方程246
伯努利方程解法246
全微分方程247
全微分方程解法247
積分因子247
§12��3高階可降階微分方程248
y(n)=f(x)型的
微分方程248
y″=f(x,y′)型的微
分方程248
y″=f(y,y′)型的微分方程248
§12��4高階綫性微分方程249
二階綫性微分方程249
二階齊次綫性微分方程
解的疊加原理249
函數的綫性相關與
綫性無關249
二階齊次綫性微分方
程的通解結構250
n階齊次綫性微分方程
的通解結構250
二階非齊次綫性微分方
程的通解結構250
二階非齊次綫性微分方
程解的疊加原理251
§12��5常係數齊次綫性微分方程251
二階常係數齊次綫
性微分方程251
二階常係數齊次綫性微分
方程的特徵方程252
二階常係數齊次綫性微分
方程的求解步驟252
n階常係數齊次綫
性微分方程252
n階常係數齊次綫性微分方
程的特徵方程253
n階常係數齊次綫性微
分方程的通解253
§12��6常係數非齊次綫性微分方程254
二階常係數非齊次綫
性微分方程254
f(x)=eλxPm(x)型254
f(x)=eλx［Pl(x)cosωx
+Pn(x)sinωx］型254
本章知識點及其關聯網絡256
第13章行列式257
§13��1行列式的概念257
排列257
排列的逆序與逆序數257
n階行列式的定義257
幾種特殊行列式的值258
§13��2行列式的基本性質259
行列式的基本性質259
餘子式和代數餘子式263
§13��3行列式按行（列）展開定理263
行列式按行(列)展開定理263
範德濛行列式264
§13��4剋萊姆法則解綫性方程組264
剋萊姆法則264
剋萊姆法則的等價定理265
本章知識點及其關聯網絡266
第14章矩陣及其運算267
§14��1矩陣的概念267
矩陣定義267
幾種特殊矩陣267
§14��2矩陣的運算269
矩陣的綫性運算269
矩陣綫性運算的性質269
矩陣的乘法270
矩陣乘法滿足的運算規律270
方陣的冪271
方陣的冪的運算規律271
矩陣的轉置271
矩陣轉置的運算規律272
方陣的行列式272
方陣的行列式的運算性質272
共軛矩陣272
共軛矩陣的運算規律272
對稱矩陣272
反對稱矩陣272
伴隨矩陣273
§14��3逆矩陣273
逆矩陣的定義273
可逆的充分必要條件274
逆矩陣的運算性質274
矩陣方程的求解274
逆矩陣的求法275
§14��4矩陣的初等變換276
矩陣初等變換定義276
等價矩陣276
等價的性質276
初等矩陣276
初等矩陣的性質279
§14��5矩陣的秩281
r階子式281
矩陣秩的定義281
矩陣秩的性質281
利用初等變換求矩陣的秩282
§14��6分塊矩陣法282
分塊矩陣定義282
常用分塊法282
分塊矩陣的運算284
本章知識點及其關聯網絡289
第15章嚮量組的綫性相關性290
§15��1嚮量及其綫性運算290
嚮量的定義290嚮量的綫性運算…………………290
兩嚮量的相等290嚮量綫性運算的性質……………291
§15��2嚮量的綫性相關性292
綫性組閤292
嚮量的綫性錶示292
嚮量能由一組嚮量綫性錶
示的充分必要條件292
兩個嚮量組的綫性
錶示與等價292
兩個嚮量組的綫性錶示與
等價的充要條件293
綫性相關與綫性無關293
嚮量的綫性相關性
的判彆定理293
嚮量綫性相關性的
幾個重要定理294
嚮量綫性相關性的
幾個重要結論295
§15��3最大無關組與嚮量組的秩295
最大無關組定義295
嚮量組的秩296
嚮量組的秩的重要定理296
§15��4嚮量空間296
嚮量空間296
嚮量空間的基297
嚮量空間的維數297
嚮量在某組基下的坐標297
子空間298
基變換公式298
坐標變換公式299
§15��5嚮量的內積299
嚮量的內積299
嚮量的長度300
柯西施瓦茲不等式301
兩嚮量的夾角301
正交嚮量組的性質301
§15��6標準正交基與正交矩陣301
標準正交基301
施密特正交化方法301
正交矩陣302
正交矩陣的性質302
本章知識點及其關聯網絡304
第16章綫性方程組305
§16��1齊次綫性方程組305
齊次綫性方程組305
齊次綫性方程組
有解的判彆306
齊次綫性方程組解的性質306
齊次綫性方程組
的基礎解係306
齊次綫性方程組解的結構306
齊次綫性方程組的求解（利用
矩陣的初等變換）步驟306
§16��2非齊次綫性方程組307
非齊次綫性方程組307
非齊次綫性方程組
有解的判彆308
非齊次綫性方程組
解的性質308
非齊次綫性方程組
解的結構309
解n元非齊次綫性方程
組的步驟309
本章知識點及其關聯網絡310
第17章特徵值特徵嚮量311
§17��1特徵值、特徵嚮量及其性質311
方陣的特徵值、特徵嚮量311
特徵矩陣，特徵多項式，
特徵方程311
特徵值、特徵嚮量的求法312
特徵值、特徵嚮量的性質312
§17��2相似矩陣313
相似矩陣313
相似矩陣的性質313
§17��3矩陣可對角化的條件315
矩陣可對角化…………………315矩陣可對角化的條件315
§17��4實對稱矩陣的對角化315
實對稱矩陣的性質315
本章知識點及其關聯網絡317
第18章二次型及其標準形318
§18��1二次型的矩陣錶示，閤同矩陣318
二次型318
二次型的矩陣318
標準形319
閤同矩陣319
閤同矩陣的性質319
綫性變換320
§18��2綫性變換化二次型為標準形321
配方法321
正交變換法321
用正交變換法化二次型
為標準形的步驟322
慣性定理322
§18��3正定二次型、正定矩陣323
正定二次型、正定矩陣323
n元二次型 f(X)=XTAX是
正定二次型（n階矩陣 A
是正定矩陣）323
n元二次型 f(X)=XTAX是
負定二次型（n階矩陣
A是負定矩陣）324
n元二次型 f(X)=XTAX是
半正定二次型（n階矩陣
A是半正定矩陣）325
本章知識點及其關聯網絡326
第19章隨機事件與概率327
§19��1隨機試驗327
隨機現象327
隨機試驗327
§19��2樣本空間、隨機事件327
樣本空間與樣本點327
隨機事件328
事件的關係和運算328
事件的運算算律329
§19��3頻率與概率330
頻率330
頻率的性質331
概率的統計定義331
概率的公理化定義331
概率的性質332
§19��4等可能概型（古典概率）333
古典概型333
概率的計算公式333
古典概率的性質333
幾何概率334
§19��5條件概率335
條件概率定義335
條件概率的性質335
乘法公式335
劃分（完備事件組）336
全概率公式336
貝葉斯公式（Bayes）
（逆概率公式）336
§19��6獨立性337
兩事件的獨立性337
三事件的獨立性337
n個事件的相互獨立性338
本章知識點及其關聯網絡339
第20章隨機變量及其分布340
§20��1隨機變量340
隨機變量………………………340
§20��2離散型隨機變量及其分布律340
離散型隨機變量340
分布律340
常見的離散型分布341
§20��3隨機變量的分布函數342
分布函數的定義342
分布函數的性質342
§20��4連續型隨機變量及其概率密度343
連續型隨機變量343
連續型隨機變量的性質343
常見的連續型分布343
§20��5隨機變量函數的分布348
離散型隨機變量
函數的分布348
連續型隨機變量函
數的分布348
本章知識點及其關聯網絡350
第21章多維隨機變量351
§21��1二維隨機變量351
二維隨機變量定義351
聯閤分布函數351

二維離散型隨機變量352
二維連續型隨機變量353
§21��2邊緣分布354
邊緣分布函數354
邊緣分布律354
邊緣概率密度355
§21��3條件分布355
條件分布律355
條件概率密度356
§21��4相互獨立的隨機變量356
二維隨機變量相互
獨立的定義356
隨機變量相互獨立的
判彆方法356
兩個重要的二維分布357
§21��5二維隨機變量的函數的分布359
Z=X+Y的分布(二維隨機變
量和的分布)359
M=max{X，Y}及N=
min{X，Y}的分布(兩個隨
機變量的最大最小分布)360
本章知識點及其關聯網絡362
第22章隨機變量的數字特徵363
§22��1數學期望（簡稱均值）363
離散型隨機變量的
數學期望363
連續型隨機變量的
數學期望363
隨機變量函數的數學期望364
數學期望的性質365
§22��2方差366
方差的定義366
方差計算公式366
方差的性質366
常見隨機變量的
期望和方差366
§22��3協方差及相關係數367
協方差定義367
協方差的性質367
相關係數368
相關係數性質368
不相關368
§22��4矩369
k階矩369
k階中心矩369
混閤原點矩369
混閤中心矩369
本章知識點及其關聯網絡370
第23章大數定律與中心極限定理371
§23��1大數定律371
切比雪夫不等式371
大數定律371
§23��2中心極限定理372
獨立同分布的中
心極限定理372
棣莫弗�怖�普拉斯定理373
本章知識點及其關聯網絡375
第24章樣本及抽樣分布376
§24��1隨機樣本376
總體376
樣本376
樣本的分布376
§24��2抽樣分布377
統計量377
常用統計量377
χ2分布（卡方分布）378
t分布380
F分布381
正態總體的樣本
均值的分布383
正態總體的樣本
方差的分布383
正態總體的樣本均值與
樣本方差關係的分布383
兩正態總體的樣本均值
差和方差比的分布384
本章知識點及其關聯網絡385
第25章參數估計386
§25��1點估計386
點估計的定義386
矩法估計法387
似然函數…………………………387最大似然估計法388
§25��2估計量的評選標準390
無偏性390
有效性390
相閤性(一緻性)390
§25��3區間估計391
置信區間391
尋求置信區間的方法391
§25��4正態總體均值與方差的區間估計392
單個正態總體均值
的區間估計392
單個正態總體方差
的區間估計393
兩個正態總體均值
差的置信區間393
兩個正態總體方差
比的置信區間394
§25��5（0��1）分布參數的區間估計394
§25��6單側置信區間395
本章知識點及其關聯網絡396
第26章假設檢驗397
§26��1假設檢驗397
假設檢驗397
顯著性檢驗398
假設檢驗的步驟398
假設檢驗的幾種檢驗法398
§26��2正態總體均值的假設檢驗399
單個正態總體均值
的假設檢驗399
兩個正態總體均值差
異的顯著性檢驗400
§26��3正態總體方差的假設檢驗401
單個正態總體方差
的假設檢驗401

兩個正態總體方差的齊
性檢驗( F檢驗法) 402
本章知識點及其關聯網絡403
附錶404
附錶1標準正態分布錶404
附錶2泊鬆分布錶406
附錶3t分布錶409
附錶4Χ2分布錶412
附錶5Ｆ分布錶417

前言/序言

《高等代數基礎：從理論到應用》 本書特色： 深度與廣度的完美結閤： 本書旨在為理工科、經濟管理類專業學生提供紮實的高等代數基礎。內容覆蓋瞭從集閤論初步、數域擴充、綫性空間、綫性變換到內積空間、二次型等核心概念，並輔以大量的實際應用案例，幫助讀者理解抽象理論在工程、數據科學和經濟學中的具體價值。 強調幾何直觀與代數邏輯的統一： 區彆於傳統教材的純理論推導，本書在講解嚮量空間、綫性變換等抽象概念時，大量引入三維空間及更高維空間的直觀幾何圖像，將代數運算與幾何意義緊密聯係。我們相信，對幾何直觀的深刻理解是掌握高等代數本質的關鍵。 注重計算技能的培養： 詳細闡述瞭高斯消元法、行列式計算、特徵值與特徵嚮量求解等核心計算技巧。每種方法都配有詳盡的步驟解析和多種計算策略的比較，確保讀者不僅“知其然”，更能“知其所以然”，從而在實際問題中快速準確地應用。 豐富的習題設計與精選解析： 習題分為基礎鞏固型、能力提升型和綜閤應用型三類。基礎題旨在鞏固基本概念和運算；能力題則側重於邏輯推理和證明的訓練；應用題則選取瞭如圖論、優化問題中的綫性規劃基礎、密碼學中的有限域應用等前沿交叉領域案例，拓寬學生的視野。每章末均附有精選例題的詳細解題思路分析。 清晰的邏輯脈絡與嚴謹的錶述： 全書結構清晰，從最基礎的數域、矩陣入手，逐步構建起綫性代數理論的宏偉殿堂。所有定義、定理均錶述精確，證明過程邏輯嚴密且易於跟進。 --- 章節內容概述 第一部分：基礎構建與矩陣代數 第一章：預備知識與基礎代數結構 本章迴顧瞭復數域、實數域、有理數域的基本性質，並引入瞭對多項式理論的初步探討，包括多項式環 $mathbb{F}[x]$ 的基本概念、除法與帶餘定理。重點講解瞭多項式的根的性質，為後續引入域擴張打下基礎。同時，對集閤論中的基本操作和映射性質進行瞭必要的梳理。 第二章：綫性方程組與矩陣 本章是綫性代數計算的基石。詳細闡述瞭綫性方程組的相容性判斷、解的結構。係統介紹瞭矩陣的定義、綫性運算及其性質。重點講解瞭矩陣的秩、初等行變換在求解方程組和求矩陣逆過程中的核心作用。引入瞭矩陣的按列（或行）組閤視角，為嚮量空間的概念做鋪墊。 第三章：行列式 本章係統地介紹瞭行列式的定義、性質，包括行列式的乘法法則和按行（列）展開定理。重點分析瞭行列式在判斷矩陣可逆性、求解綫性方程組（剋拉默法則）中的應用。通過行列式與矩陣的幾何意義（如麵積、體積的伸縮因子）的聯係，增強對行列式概念的直觀理解。 第二部分：抽象空間的建立與變換 第四章：綫性空間（嚮量空間） 這是本書理論深化的關鍵章節。嚴格定義瞭綫性空間的概念，引入瞭子空間、綫性組閤、綫性相關性、基與維數等核心概念。詳細討論瞭有限維綫性空間的結構，特彆是如何通過基的選擇來描述空間中的任意元素。對不同綫性空間的同構性進行瞭探討。 第五章：綫性變換（綫性映射） 本章將代數運算提升到映射的層麵。定義瞭綫性變換的性質，探討瞭核（Kernel）與像（Image）子空間的概念，以及它們與變換的秩的關係。重點在於理解矩陣是如何作為綫性變換在特定基下的坐標錶示，以及基變換如何影響矩陣的錶示形式。 第六章：特徵值與特徵嚮量 特徵值問題是分析綫性係統穩定性和動態行為的核心。本章詳細講解瞭如何通過求解特徵多項式來確定特徵值。深入分析瞭特徵嚮量的幾何意義，並探討瞭特徵值和特徵嚮量在微分方程組、動力係統分析中的初步應用。 第三部分：內積結構與二次型分析 第七章：歐幾裏得空間與內積 本章引入瞭內積（點積）的概念，將綫性空間提升為具有度量結構的歐幾裏得空間（或酉空間）。講解瞭內積的性質，特彆是長度、角度的概念。重點介紹施密特（Gram-Schmidt）正交化過程，以及正交基在簡化計算和理論分析中的巨大優勢。 第八章：正交變換與最小二乘法 基於正交基，本章探討瞭正交矩陣的特殊性質。重點講解瞭正交投影的概念，並將其應用於最小二乘問題——這是工程和數據擬閤中最常見的優化問題之一。通過正交化方法，展示如何找到在觀測數據誤差最小情況下的最佳近似解。 第九章：二次型與矩陣的對角化 二次型是理解高維空間麯麵性質的關鍵。本章將二次型錶示為二次函數，並用對稱矩陣來描述。核心內容是實對稱矩陣的譜定理，證明瞭任何實對稱矩陣都可以通過正交變換對角化。這不僅是理論上的重要結論，也是優化問題中麯率分析的基礎。 第十章：應用與拓展（選讀） 本章選取瞭幾個具有代錶性的應用實例： 1. 奇異值分解（SVD）的幾何意義與初步應用： 作為矩陣分解的有力工具，SVD 在數據壓縮和主成分分析（PCA）中的基礎作用。 2. 綫性規劃的基礎： 介紹如何將實際的資源分配問題轉化為綫性規劃模型，並簡述單純形法（Simplex Method）的基本思想。 3. 迭代法在大型係統求解中的地位： 簡要介紹雅可比法和高斯-賽德爾法等，說明其在數值計算中的實際價值。 --- 目標讀者： 兩年製或三年製大專院校理工科專業學生（如數學、物理、化學、電子信息、計算機科學、機械工程等）。 經濟學、金融學、管理科學等需要接觸綫性規劃和矩陣分析的專業學生。 希望係統迴顧並深入理解綫性代數核心概念的自學者。 本書承諾： 通過係統學習本書內容，讀者將不僅掌握高等代數的基本計算方法，更能建立起嚴密的代數思維和抽象邏輯能力，為後續學習綫性規劃、數值分析、傅裏葉分析、機器學習（如綫性迴歸、PCA）等高級課程打下堅實且靈活的基礎。本書力求在“嚴謹”與“實用”之間找到最佳平衡點。

評分☆☆☆☆☆

說實話，大學數學的學習過程，對我而言，一直是一場艱苦卓絕的“戰鬥”。尤其是在一些抽象概念和復雜公式麵前，我常常感到力不從心，甚至産生瞭畏難情緒。學校的教材雖然是官方的，但它的深度和廣度，對於初次接觸的我們來說，往往顯得過於“硬核”，需要大量的課餘時間去消化吸收。正是在這種背景下，我嘗試性地入手瞭這本《大學生數學手冊》。這本書最打動我的地方，在於它極其注重“化繁為簡”。它不是簡單地把教材上的內容重新排版，而是深入地挖掘瞭每個知識點的本質，用更易於理解的方式呈現齣來。比如，在講解概率論中的一些核心概念時，它沒有直接給齣復雜的數學定義，而是通過一係列生動形象的類比，比如拋硬幣、抽奬等等，來幫助我們建立直觀的認識。而且，這本書的例題選擇非常有代錶性，涵蓋瞭從基礎概念的鞏固到復雜問題的求解，每道例題的解析都提供瞭詳細的解題思路和步驟，能夠讓我們清晰地看到問題是如何被一步步拆解和解決的。我個人尤其喜歡它在一些關鍵節點上設置的“小貼士”和“易混淆點辨析”，這些內容非常實用，能夠有效地幫助我們避開常見的學習誤區。這本書就像一個經驗豐富的嚮導，在我迷茫的時候，能夠指引我找到正確的方嚮，並且教會我如何剋服前進道路上的睏難，極大地增強瞭我學習數學的信心和動力。

評分☆☆☆☆☆

我不得不承認，大學階段的數學學習，對於很多人來說，都是一個不小的挑戰。尤其是在麵對那些抽象的概念和復雜的公式時，那種枯燥和無力感，常常讓我想要放棄。學校的教材固然權威，但對於我們這些初學者來說，常常顯得過於晦澀難懂。就在我感到前途渺茫的時候，一本《大學生數學手冊》闖入瞭我的視野，從此，我與數學的“恩怨情仇”有瞭新的篇章。這本書最讓我贊賞的一點，是它“溫度”十足的講解方式。它不像有些書籍那樣，上來就是一大堆冷冰冰的公式，而是用一種循循善誘的方式，將每一個抽象的數學概念，都變得生動有趣。例如，在講解集閤論時，它會用大傢熟悉的日常用品進行類比，讓我一下子就明白瞭集閤和元素之間的關係。而到瞭更復雜的微積分，它更是用瞭大量的圖示和生活化的場景，把那些抽象的導數和積分，變得仿佛觸手可及。最值得稱道的是，它提供的例題，簡直是“量身定製”的。不僅僅數量多，而且覆蓋麵廣，從最基礎的概念鞏固，到那些讓人頭疼的應用題，幾乎涵蓋瞭我們學習過程中可能遇到的所有“攔路虎”。更重要的是，每一道例題的解析，都清晰明瞭，就像一個經驗豐富的老師，手把手地教你如何一步步地解開謎題。我常常在做題卡殼的時候，翻開這本書，跟著它的思路走，很快就能找到突破口。這本書不僅僅是知識的傳遞，更是一種學習方法的啓迪，它讓我真正體會到瞭學習數學的樂趣，並且極大地提升瞭我獨立解決數學問題的能力。

評分☆☆☆☆☆

作為一名即將踏入社會的大學生，我深知數學在未來工作中的重要性，但坦白說，大學數學的某些課程，對我來說，就像一道難以逾越的鴻溝。教材上的內容，雖然全麵，但總感覺缺乏一種“落地”的感覺，很多抽象的理論，我很難將其與實際應用聯係起來。就在我為如何高效學習這些內容而苦惱時，我偶然發現瞭《大學生數學手冊》。這本書最吸引我的地方，在於它將理論與實踐巧妙地結閤。它不僅僅講解瞭數學公式和定理，更重要的是，它深入淺齣地剖析瞭這些知識在各個領域中的應用。例如，在講解微積分時，它不僅詳細解釋瞭導數和積分的概念，還通過工程、經濟等多個領域的實例，生動地展示瞭它們是如何被用來解決實際問題的。這種“知其然，更知其所以然”的學習方式，讓我對數學的理解從“死記硬背”提升到瞭“融會貫通”。而且，這本書在例題設計上也極具匠心，它精心挑選瞭大量具有代錶性的問題，涵蓋瞭從基礎概念的理解到復雜應用題的分析。每道例題都提供瞭詳盡的解題步驟和思路，而且還附帶瞭對解題過程中可能遇到的難點和易錯點的詳細講解。我常常在做題遇到睏惑時，翻閱這本書，它的清晰解析和獨到見解，總能幫助我茅塞頓開，找到解決問題的關鍵。這本書不僅是一本數學工具書，更像是一位經驗豐富的導師，幫助我在掌握理論知識的同時，也培養瞭解決實際問題的能力。

評分☆☆☆☆☆

我一直覺得，數學這門學科，要麼就是你完全能get到它的美妙和邏輯，要麼就是被那些冰冷的符號和公式打得暈頭轉嚮。在我看來，大多數大學生在麵對高等數學時，都處於後者，包括我。學校的課程講義，我承認它很全麵，也很權威，但總感覺少瞭點“人情味”。很多時候，老師講過的東西，迴傢再看，腦子裏依然是漿糊。偶然的機會，朋友推薦瞭《大學生數學手冊》，我抱著試試看的心態翻開瞭。這書最讓我驚喜的地方在於，它不僅僅是內容的堆砌，更像是為我們這些“數學小白”量身定製的“通關秘籍”。它把那些復雜的數學概念，比如綫性代數裏的嚮量空間、矩陣的特徵值等等，用非常具象化的語言去解釋，甚至還穿插瞭一些曆史故事和實際應用，讓我在學習知識的同時，也能感受到數學的魅力。最關鍵的是，它的例題設計非常有針對性，幾乎涵蓋瞭我們學習過程中會遇到的所有難點和易錯點。而且，每道題的解析都詳盡入微，不僅僅給齣答案，更重要的是剖析瞭齣題者的思路，以及解決問題的關鍵步驟。我經常在做題遇到瓶頸的時候，翻開這本書，找到類似的例題，然後跟著它的思路一步步來，很快就能找到解題的竅門。這種“授人以魚不如授人以漁”的學習方式，讓我受益匪淺。它不再是冷冰冰的知識點集閤，而是一個充滿智慧和引導的夥伴，幫助我在數學的道路上少走彎路。

評分☆☆☆☆☆

這本書絕對是每個大學生數學學習路上的“神助攻”！作為一名大一新生，剛開始接觸高等數學的時候，那種懵懂和無助感簡直可以用“迷失在數學的海洋裏”來形容。學校的教材雖然嚴謹，但很多時候對於我們初學者來說，就像一本天書，概念抽象，推導過程看得頭暈眼花。就在我快要放棄的時候，我偶然發現瞭這本《大學生數學手冊》，簡直是及時雨！首先，它的編排非常清晰，章節劃分符閤我們學習的進度，而且每個概念的講解都力求通俗易懂。不像有些參考書，上來就拋一大堆公式和定理，這本書會先用直觀的語言解釋概念的本質，然後纔逐步引入公式和推導。舉個例子，像導數和積分這兩個概念，我之前怎麼也弄不明白它們到底有什麼物理意義或者幾何意義，這本書裏就用瞭大量的圖示和貼近生活的例子來講解，比如用速度和位移的關係來解釋導數，用麵積和體積的纍積來解釋積分，一下子就茅塞頓開。而且，它還提供瞭大量的例題，從基礎到進階，每道題的解題思路和步驟都講解得特彆詳細，就像跟著老師一對一輔導一樣。我常常會對照著書本上的例題，自己動手去解，遇到不懂的地方，再迴頭看書上的講解，這種主動學習的方式讓我對數學的理解更加深刻。這本書不僅僅是知識點的羅列，更是一種學習方法的引導，讓我從被動接受知識轉變為主動探索知識，極大地提升瞭我的學習效率和自信心。