現代芬斯勒幾何初步（英文版） [Introduction to Modern Finsler Geometry] pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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瀋一兵，瀋忠民 著

圖書標籤:

• Finsler geometry
• Riemannian geometry
• Differential geometry
• Metric geometry
• Topology
• Mathematics
• Geometry
• Analysis
• Modern mathematics
• Curvature

齣版社： 高等教育齣版社

ISBN：9787040444247

版次：1

商品編碼：11876559

包裝：精裝

外文名稱：Introduction to Modern Finsler Geometry

開本：16開

齣版時間：2016-01-01

用紙：膠版紙

頁數：393

字數：530000

正文語種：英文

內容簡介

　　This comprehensive book is an introduction to the basics of Finsler geometry with recent developments in its area. It includes local geometry as well as global geometry of Finsler manifolds. In Part Ⅰ， the authors discuss differential manifolds， Finsler metrics， the Chern connection， Riemannian and non- Riemannian quantities. Part Ⅱ is written for readers who would like to further their studies in Finsler geometry. It covers projective transformations，comparison theorems， fundamental group， minimal immersions，harmonic maps， Einstein metrics， conformal transformations，amongst other related topics.The authors made great efforts to ensure that the contents are accessible to senior undergraduate students， graduate students， mathematicians and scientists.

目錄

Preface
Foundations
1． Differentiable Manifolds
1．1 Differentiable manifolds
1．1．1 Differentiable manifolds
1．1．2 Examples of differentiable manifolds
1．2 Vector fields and tensor fields
1．2．1 Vector bundles
1．2．2 Tensor fields
1．3 Exterior forms and exterior differentials
1．3．1 Exterior differential operators
1．3．2 de Rham theorem
1．4 Vector bundles and connections
1．4．1 Connection of the vector bundle
1．4．2 Curvature of a connection
Exercises
2． Finsler Metrics
2．1 Finsler metrics
2．1．1 Finsler metrics
2．1．2 Examples of Finsler metrics
2．2 Cartan torsion
2．2．1 Cartan torsion
2．2．2 Deicke theorem
2．3 Hilbert form and sprays
2．3．1 Hilbert form
2．3．2 Sprays
2．4 Geodesics
2．4．1 Geodesics
2．4．2 Geodesic coefficients
2．4．3 Geodesic completeness
Exercises
3． Connections and Curvatures
3．1 Connections
3．1．1 Chern connection
3．1．2 Berwald metrics and Landsberg metrics
3．2 Curvatures
3．2．1 Curvature form of the Chern connection
3．2．2 Flag curvature and Ricci curvature
3．3 Bianchi identities
3．3．1 Covariant differentiation
3．3．2 Bianchi identities
3．3．3 Other formulas
3．4 Legendre transformation
3．4．1 The dual norm in the dual space
3．4．2 Legendre transformation
3．4．3 Example
Exercises
4． S-Curvature
4．1 Volume measures
4．1．1 Busemann-Hausdorff volume element
4．1．2 The volume element induced from SM
4．2 S-curvature
4．2．1 Distortion
4．2．2 S-curvature and E-curvature
4．3 Isotropic S-curvature
4．3．1 Isotropic S-curvature and isotropic E-curvature
4．3．2 Randers metrics of isotropic S-curvature
4．3．3 Geodesic flow
Exercises
5． Riemann Curvature
5．1 The second variation of arc length
5．1．1 The second variation of length
5．1．2 Elements of curvature and topology
5．2 Scalar flag curvature
5．2．1 Schur theorem
5．2．2 Constant flag curvature
5．3 Global rigidity results
5．3．1 Flag curvature with special conditions
5．3．2 Manifolds with non-positive flag curvature
5．4 Navigation
5．4．1 Navigation problem
5．4．2 Randers metrics and navigation
5．4．3 Ricci curvature and Einstein metrics
Exercises
Further Studies
6． Projective Changes
6．1 The projective equivalence
6．1．1 Projective equivalence
6．1．2 Projective invariants
6．2 Projectively flat metrics
6．2．1 Projectively flat metrics
6．2．2 Projectively fiat metrics with constant flag curvature
6．3 Projectively fiat metrics with almost isotropic S-curvature
6．3．1 Randers metrics with almost isotropic S-curvature
6．3．2 Projectively flat metrics with almost isotropic
S-curvature
6．4 Some special projectively equivalent Finsler metrics
6．4．1 Projectively equivalent Randers metrics
6．4．2 The projective equivalence of （α， β）-metrics
6．4．3 The projective equivalence of quadratic （α， β）
metrics
Exercises
7． Comparison Theorems
7．1 Volume comparison theorems for Finsler manifolds
7．1．1 The Jacobian of the exponential map
7．1．2 Distance function and comparison theorems
7．1．3 Volume comparison theorems
7．2 Berger-Kazdan comparison theorems
7．2．1 The Kazdan inequality
7．2．2 The rigidity of reversible Finsler manifolds
7．2．3 The Berger-Kazdan comparison theorem
Exercises
8． Fundamental Groups of Finsler Manifolds
8．1 Fundamental groups of Finsler manifolds
8．1．1 Fundamental groups and covering spaces
8．1．2 Algebraic norms and geometric norms
8．1．3 Growth of fundamental groups
8．2 Entropy and finiteness of fundamental group
8．2．1 Entropy of fundamental group
8．2．2 The first Betti number
8．2．3 Finiteness of fundamental group
8．3 Gromov pre-compactness theorems
8．3．1 General metric spaces
8．3．2 δ-Gromov-Hausdorff convergence
8．3．3 Pre-compactness of Finsler manifolds
8．3．4 On the Gauss-Bonnet-Chern theorem
Exercises
9． Minimal Immersions and Harmonic Maps
9．1 Isometric immersions
9．1．1 Finsler submanifolds
9．1．2 The variation of the volume
9．1．3 Non-existence of compact minimal submanifolds
9．2 Rigidity of minimal submanifolds
9．2．1 Minimal surfaces in Minkowski spaces
9．2．2 Minimal surfaces in （α， β）-spaces
9．2．3 Minimal surfaces in special Minkowskian （α， β）
spaces
9．3 Harmonic maps
9．3．1 A divergence formula
9．3．2 Harmonic maps
9．3．3 Composition maps
9．4 Second variation of harmonic maps
9．4．1 The second variation
9．4．2 Stress-energy tensor
9．5 Harmonic maps between complex Finsler manifolds
9．5．1 Complex Finsler manifolds
9．5．2 Harmonic maps between complex Finsler manifolds
9．5．3 Holomorphic maps
Exercises
10． Einstein Metrics
10．1 Projective rigidity and m-th root metrics
10．1．1 Projective rigidity of Einstein metrics
10．1．2 m-th root Einstein metrics
10．2 The Ricci rigidity and Douglas-Einstein metrics
10．2．1 The Ricci rigidity
10．2．2 Douglas （α， β）-metrics
10．3 Einstein （α， β）-metrics
10．3．1 Polynomial （α， β）-metrics
10．3．2 Kropina metrics
Exercises
11． Miscellaneous Topics
11．1 Conformal changes
11．1．1 Conformal changes
11．1．2 Conformally flat metrics
11．1．3 Conformally flat （α， β）-metrics
11．2 Conformal vector fields
11．2．1 Conformal vector fields
11．2．2 Conformal vector fields on a Randers manifold
11．3 A class of critical Finsler metrics
11．3．1 The Einstein-Hilbert functional
11．3．2 Some special g-critical metrics
11．4 The first eigenvalue of Finsler Laplacian and the generalized maximal principle
11．4．1 Finsler Laplacian and weighted Ricci curvature
11．4．2 Lichnerowicz-Obata estimates
11．4．3 Li-Yau-Zhong-Yang type estimates
11．4．4 Mckean type estimates
Exercises
Appendix A Maple Program
A．1 Spray coefficients of two-dimensional Finsler metrics
A．2 Gauss curvature
A．3 Spray coefficients of （α， β）-metrics
Bibliography
Index

現代芬斯勒幾何初步（英文版） [Introduction to Modern Finsler Geometry] 導言與本書定位 《現代芬斯勒幾何初步》旨在為數學研究生、高級本科生以及研究人員提供一個全麵而嚴謹的芬斯勒幾何學入門。本書的創作靈感源於經典微分幾何嚮更廣闊、更具應用潛力之領域的拓展需求。芬斯勒幾何，作為黎曼幾何的自然推廣，用一個依賴於位置和方嚮的度量——芬斯勒函數——來取代黎曼幾何中隻依賴於位置的度量張量。這種推廣極大地豐富瞭研究的層次和應用的可能性，尤其在物理學、工程學以及計算機科學的特定領域展現齣強大的生命力。 本書的編寫遵循“由淺入深、循序漸進”的原則，力求在保持數學嚴謹性的同時，提供清晰的幾何直覺和計算工具。我們假設讀者已具備紮實的微分幾何基礎，包括流形、切叢、張量分析以及基礎的微分形式理論。然而，對於芬斯勒幾何特有的核心概念，本書將進行詳盡的闡述和推導。 第一部分：基礎構建與核心概念 本書的第一部分緻力於奠定堅實的代數和分析基礎，這是理解後續復雜結構的關鍵。 第一章：預備知識迴顧與流形上的張量分析 本章首先簡要迴顧瞭光滑流形、切空間、張量積、外微分和李導數的經典概念。重點在於將這些工具無縫地過渡到依賴於方嚮的框架中。我們詳細討論瞭切叢（Tangent Bundle $TM$）的結構，強調其作為 $2n$ 維流形的性質，並引入縴維叢（Fiber Bundle）的一般視角。 第二章：芬斯勒結構：定義與核心要素 本章是全書的基石。我們嚴格定義瞭芬斯勒流形 $(M, F)$，其中 $F: TM o mathbb{R}^+$ 是一個正規函數，滿足關於速度 $y in T_xM$ 的二階可微性和特定條件（即赫斯矩陣的正定性）。 1. 芬斯勒函數 $F$ 的性質: 詳細分析 $F$ 的二次化特性、光滑性要求以及其與黎曼度量的區彆。 2. 芬斯勒度量張量 $g_{ij}$: 定義沿 $y$ 的誘導度量 $g_{ij}(x, y) = frac{1}{2} frac{partial^2 F^2}{partial y^i partial y^j}$，並探討其在不同切方嚮上的性質。 3. 垂直張量與水平張量: 介紹在切叢 $TM$ 上構造微分幾何結構的關鍵工具。引入垂直張量（Vertical Tensor）$V_{ij}$ 和水平張量（Horizontal Tensor）$h_{ij}$ 的概念，它們是分解切叢上任意嚮量場的結構基礎。 第三章：芬斯勒聯絡的構建 與黎曼幾何中唯一的列維-奇維塔聯絡不同，芬斯勒幾何中存在一個由芬斯勒函數誘導齣的自然聯絡——芬斯勒聯絡（Finsler Connection）。 1. Hadamard 矩陣與自然性: 證明芬斯勒函數唯一誘導瞭所謂的張量係數聯絡（或稱 $F$-聯絡）。我們詳細推導瞭張量係數 $C_{jk}^i$、聯係係數 $Gamma_{jk}^i$ 以及扭率係數 $N_{jk}^i$ 的顯式錶達式。 2. 平行移動與張量場: 探討在芬斯勒聯絡下，沿麯綫的平行移動如何依賴於速度，以及這如何影響協變導數的定義。 3. 聯絡的分類: 討論一般芬斯勒聯絡的自由度，並重點介紹滿足特定對稱性（如竪直對稱或水平對稱）的特殊聯絡類型。 第二部分：測地綫與麯率理論 在建立瞭基礎結構後，本書轉嚮芬斯勒幾何中最富幾何意義的部分：測地綫和麯率。 第四章：芬斯勒測地綫方程 本章的核心是將變分原理應用於芬斯勒結構。 1. 芬斯勒能量泛函: 定義沿麯綫 $gamma(t)$ 的能量泛函 $E[gamma] = int F^2(gamma(t), dot{gamma}(t)) dt$。 2. 歐拉-拉格朗日方程: 推導作用於該泛函的變分原理，得到芬斯勒測地綫方程。我們清晰地展示瞭在黎曼情形下，該方程如何退化為測地綫方程。 3. 測地綫的性質: 分析測地綫的存在性、唯一性，以及它們在非對稱度規下的非零最短路徑性質。 第五章：芬斯勒麯率理論 麯率是衡量幾何空間彎麯程度的度量。芬斯勒麯率比黎曼麯率復雜得多，它由多個相互獨立的張量描述。 1. 黎曼麯率的推廣: 引入芬斯勒幾何中的主要麯率張量： 張量麯率 $R_{jkl}^i$: 衡量聯絡的非交換性。 偏麯率 $P_{jkl}^i$: 衡量水平方嚮上的“扭麯”。 張量麯率 $Q_{jkl}^i$: 衡量垂直方嚮上的“彎麯”。 2. 裏奇麯率與斯卡拉麯率: 定義依賴於方嚮的裏奇張量 $R_{jk}(x, y)$ 和斯卡拉麯率 $S(x, y)$。這些函數在研究特定應用的物理模型時至關重要。 3. 霍普夫拓撲不變量: 討論與麯率相關的拓撲性質，例如芬斯勒流形的拓撲剛性。 第三部分：函數空間與應用前沿 本書的最後一部分將視角擴展到更高級的分析工具和潛在的應用領域。 第六章：拉格朗日空間與$(alpha, eta)$ 結構 現代芬斯勒幾何經常在拉格朗日空間 $LM$ 上進行研究。本章探討瞭芬斯勒結構在 $2n$ 維空間上的自然嵌入。 1. 辛結構: 在 $TM$ 上引入自然辛形式 $omega = dg_{ij} wedge dy^i wedge dx^j$（需要讀者熟悉辛幾何基礎），並討論芬斯勒函數與哈密頓-雅可比方程的關係。 2. $(alpha, eta)$ 結構: 介紹一類特殊的芬斯勒流形，它們由一個黎曼度量 $alpha$ 和一個 1-形式 $eta$ 定義。這類結構在相對論和 Finsler-Cartan 幾何中有重要意義。 第七章：特殊類彆與應用展望 本章旨在激勵讀者探索更專業的研究方嚮。 1. 準黎曼芬斯勒流形: 討論當芬斯勒函數滿足特定簡化條件（如滿足某些對稱性）時的特殊情況。 2. 應用實例: 簡要概述芬斯勒幾何在以下領域的應用潛力： 廣義相對論: 作為經典引力理論的非對稱擴展。 運動學與控製理論: 描述具有方嚮依賴性的耗散係統。 信息幾何: 作為信息度量的非對稱拓撲結構。 結語 《現代芬斯勒幾何初步》旨在提供一個堅實的研究起點。通過對切叢的深入剖析、對聯絡和麯率的精確定義，本書期望讀者不僅掌握計算技巧，更能培養齣在非對稱幾何空間中進行幾何推理的能力。書中的所有概念和定理都經過細緻的幾何驗證，為後續深入研究打下牢固的理論基礎。

評分☆☆☆☆☆

從我個人的學習經驗來看，一本優秀的書籍，其價值往往體現在它能否在讀者心中播下思考的種子。對於《Introduction to Modern Finsler Geometry》這本書，我最看重的一點是它是否能夠激發我的獨立思考能力。我希望它不僅僅是知識的搬運工，更能成為我學習過程中的催化劑。我期望在閱讀過程中，我能夠不斷地提齣疑問，並能在書中找到啓發性的解答，或者至少能引導我去尋找答案。我希望這本書能夠鼓勵我跳齣課本的束縛，去思考那些更深層次的問題，去探索那些未被完全解答的數學難題。如果這本書能夠在我讀完之後，讓我對芬斯勒幾何産生更深入的興趣，甚至激發我去進一步的研究和探索，那麼它就成功瞭。我希望它所提供的不僅僅是知識，更是一種學習方法，一種麵對未知領域的勇氣和方法論。我希望這本書能夠讓我體會到數學的魅力，不僅僅在於它的答案，更在於它提齣的問題以及解決問題的過程。

評分☆☆☆☆☆

我一直以來都對數學的某個分支，尤其是在它變得越來越抽象和精深的那一部分，抱有極大的好奇心。當我看到《Introduction to Modern Finsler Geometry》這本書的時候，我的直覺告訴我，這可能是我一直在尋找的那個引路人。雖然我對芬斯勒幾何的具體內容瞭解不多，但這本書的標題本身就帶有一種探索未知的召喚感。我設想這本書會像一位經驗豐富的嚮導，帶領我在一個相對陌生的數學領域中穿梭，它會提供清晰的地圖，解釋復雜的路徑，並在關鍵的十字路口給齣明確的指示。我期待它能夠循序漸進地介紹這個領域的基本概念和核心思想，從最基礎的定義齣發，逐步構建起整個理論的框架。我希望它能夠用一種既嚴謹又不失生動的語言，來闡釋那些聽起來可能令人望而生畏的數學結構。或許，它還會通過一些精心挑選的例子，來幫助我理解抽象概念的實際應用，或者至少能讓我對它在物理學、微分幾何等領域可能的聯係有所認識。總之，這本書在我心中，是一種承諾，承諾著一次深入的智力冒險。

評分☆☆☆☆☆

我一直相信，好的教材能夠讓最復雜的概念變得易於理解。對於《Introduction to Modern Finsler Geometry》這本書，我的期待是它能夠以一種恰到好處的方式，來介紹這個專業領域。我希望它不會過於淺薄，以至於無法深入地探討其核心思想；但同時，它也不能過於晦澀，讓初學者望而卻步。我設想書中會包含大量圖示和例子，它們能夠直觀地展示那些抽象的幾何對象和概念，幫助我建立起直觀的理解。我期待它在引入新的概念時，能夠提供充分的背景信息，解釋這些概念的起源和重要性，並且能夠清晰地說明它們與其他已知概念之間的關係。我希望這本書能夠提供一套完整的學習體係，從基礎概念到進階理論，層層遞進，讓我在掌握基本知識的同時，也能對整個領域的全貌有所瞭解。一本優秀的入門書籍，應該能夠點燃讀者的學習熱情，並為他們未來的深入研究打下堅實的基礎。

評分☆☆☆☆☆

這本書的封麵設計給我留下瞭深刻的第一印象，它沒有那些花裏鬍哨的插圖，而是以一種沉穩、專業的字體排版，配閤柔和但富有質感的紙張，瞬間就營造齣一種學術研究的氛圍。我拿到這本書的時候，就被它厚重的手感所吸引，這不僅僅是紙張的堆砌，更是知識的沉澱，讓我對接下來的閱讀充滿瞭期待。這本書的裝幀也十分精良，無論是書脊的縫閤還是封麵的壓紋，都透露齣齣版方對細節的嚴謹態度，這對於一本麵嚮專業領域的書籍來說，是至關重要的。我甚至在翻閱時，細緻地觀察瞭每一個字體的印刷清晰度，以及章節之間的過渡頁設計，這些微小的元素共同構成瞭我初次接觸這本書時的整體感受。我尤其喜歡書頁邊緣的處理，沒有毛糙感，摸起來十分順滑，這讓我可以在長時間的閱讀中保持舒適。這本書給我的感覺，就像是一塊精心打磨的寶石，初看可能樸實無華，但細品之下，便能感受到其中蘊含的深厚底蘊和精湛工藝。它不僅僅是一本介紹現代芬斯勒幾何的書，更是數學領域匠人精神的體現。

評分☆☆☆☆☆

我總覺得，一些高深的數學理論，就像是散落在宇宙中的璀璨星辰，它們彼此呼應，共同構成瞭一幅宏偉的宇宙圖景。而《Introduction to Modern Finsler Geometry》這本書，在我看來，就是一張指嚮其中一顆閃耀星辰的星圖。我無法想象這本書會如何具體地展開，但我可以想象它的邏輯是嚴密的，它的推理是清晰的，它的錶述是精準的。我期待它能夠用一種極具說服力的方式，來闡述芬斯勒幾何的獨特之處，以及它與其他幾何理論之間的聯係與區彆。我希望這本書能夠展現齣數學研究的嚴謹性與創造性的統一，讓讀者在領略其理論深度的同時，也能感受到數學傢們在探索未知時那種獨特的思維方式。或許，書中會穿插一些曆史性的介紹，講述芬斯勒幾何發展的關鍵節點，以及那些做齣開創性貢獻的數學傢們的故事。這不僅能增加閱讀的趣味性，更能讓我對這個領域有一個更全麵的認識。