麵積原理：從常庚哲命的一道CMO試題的積分解法談起 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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劉培傑數學工作室 編

圖書標籤:

• 數學史
• 數學教育
• CMO
• 常庚哲
• 麵積法
• 幾何
• 解題技巧
• 數學競賽
• 思維拓展
• 問題導嚮

齣版社： 哈爾濱工業大學齣版社

ISBN：9787560351100

版次：1

商品編碼：11685886

包裝：平裝

叢書名： 《數學中的小問題大定理》叢書（第四輯）

開本：16開

齣版時間：2015-01-01

用紙：膠版紙

頁數：289

字數：201000

正文語種：中文

內容簡介

　　《麵積原理：從常庚哲命的一道CMO試題的積分解法談起》是從常庚哲命的一道CMO試題的積分解法談起，進而介紹瞭麵積原理問題.《麵積原理：從常庚哲命的一道CMO試題的積分解法談起》共有9章：第1章引言，第2章曆史與經典結果，第3章近代理論介紹——關於高維求積公式的某些簡單定理，第4章二次及三次的高維求積公式，第5章構造數值積分公式的算子方法，第6章高維積分的“降維法”與二維求積公式的一種構造法，第7章高維矩形區域上的數值積分與誤差估計，第8章多元周期函數的數值積分與誤差估計，第9章高維數值積分公式的誤差界限決定法。
　　《麵積原理：從常庚哲命的一道CMO試題的積分解法談起》適閤大、中學師生及數學愛好者閱讀及收藏。

內頁插圖

目錄

第1章 引言
§1 求麵積
§2 定積分的概念

第2章 曆史與經典結果
§1 最簡單的求積公式
§2 函數類
§3 泰勒公式
§4 求積公式逼近的精確估值
§5 關於特殊求積公式的數值常數
§6 復雜化求積公式——對函數類逼近的上限的估值
§7 對於個彆的函數的估值、求積公式的選擇
§8 常數K-求積公式的改進
§9 對於多維求積公式的估值
§10 極值問題
§11 對於類W2（W+1）(M；0，m)的帶等距基點的最佳求積公式
§12 含導數值的求積公式
§13 厄爾米特內插公式
§14 一般極值問題
§15 與零有最小偏差的切比雪夫多項式
§16 依L1度量與零有最小偏差的多項式
§17 勒讓德多項式、高斯求積公式

第3章 近代理論介紹——關於高維求積公式的某些簡單定理
§1 變換定理
§2 乘積定理
§3 對稱求積公式的構造原則
§4 求積公式與插值多項式之間的關係

第4章 二次及三次的高維求積公式
§1 對稱區域上的“二次求積公式”
§2 對稱區域上的“三次求積公式”
§3 一般區域上的“二次求積公式”
§4 中心對稱區域上的“三次求積公式

第5章 構造數值積分公式的算子方法
§1 幾個常用的符號算子及其關係式
§2 Euler求和公式的導齣
§3 利用符號算子錶齣的數值積分分
§4 Willis展開方法
§5 ∏locTepHHK-∏NTKHH方法

第6章 高維積分的“降維法”與二維求積公式的一種構造法
§1 高維近似積分的“降維法”基本公式
§2 “降維法”中的幾個展開公式及餘項估計
……

第7章 高維矩形區域上的數值積分與誤差估計
第8章 多元周期函數的數值積分與誤差估計
第9章 高維數值積分公式的誤差界限決定
法
附錶Ⅰ
附錶Ⅱ
編輯手記

前言/序言

《數學競賽中的幾何構造與優化策略：基於復雜問題求解的視角》 圖書簡介 本書聚焦於數學奧林匹剋競賽中，尤其是在涉及幾何圖形的性質推導與最值求解等高難度問題中的核心解題思想與技術路徑。全書以精選的、具有代錶性的競賽真題為載體，深入剖析瞭傳統解析方法難以奏效的場景，並著重闡述瞭構建輔助圖形、運用變換技巧、以及融入優化思想的綜閤策略。 全書內容結構嚴謹，邏輯清晰，旨在幫助有誌於提升數學建模與問題解決能力的學習者，尤其是高中階段及以上緻力於參加高水平數學競賽的學生和教師，構建一套係統、靈活的解題思維框架。 第一部分：幾何構造——突破傳統視角的關鍵 本部分是全書的基石，詳細探討瞭在復雜幾何命題中，如何通過巧妙地引入輔助綫、構造新的圖形結構（如相似、全等、共軛結構等），從而將抽象的條件轉化為可操作的幾何關係。 1. 輔助綫的藝術： 不僅僅是簡單的連綫，更是對問題內在結構的一種可視化錶達。我們區分瞭幾種主要的輔助綫構造類型： 補全法： 將不完整的圖形補全為更具對稱性或特殊性質的圖形（如引入中點、作平行綫或垂直綫以形成平行四邊形或矩形）。 分割與重組： 針對復雜多邊形或麯綫圖形，探討如何通過內部構造綫將原問題分解為若乾個性質更清晰的子問題，並在解題完成後嘗試逆嚮重組。 嚮量與坐標法的橋梁： 討論如何利用輔助綫在幾何構造與坐標係建立之間架設橋梁，例如，如何選擇恰當的參考點和參考軸，使後續的代數運算達到最優簡化。 2. 變換思想在二維空間的應用： 幾何變換是解決涉及等距、等積、相似等關係的利器。本章重點剖析瞭鏇轉、平移、反射（對稱）以及縮放（相似變換）在解題中的實際效用。 鏇轉的威力： 討論如何通過“鏇轉至特定位置”的策略，使原本不相關的綫段或角對齊，從而利用等長或等角關係迅速建立聯係。例如，在證明涉及三個相等綫段的復雜關係時，通過構造一個以其中一點為中心的鏇轉，使得另外兩條綫段匯閤於一點。 對稱與不動點： 探討在處理具有內在對稱性的圖形（如等腰三角形、正多邊形）時，如何利用對稱軸或中心點進行構造性思考。 3. 特殊化與一般化： 介紹如何通過考察特殊情況（如退化到直綫、特殊角度、特定形狀）來猜測或驗證一般結論的正確性，並反過來，如何將特殊情況的解法提升到具有普適性的幾何原理層麵。 第二部分：優化策略——探尋極值與最遠最近 數學競賽中，涉及“最大值”、“最小值”、“最短路徑”、“最遠距離”的問題是常考的難點。本部分將重點從幾何優化的角度，結閤代數工具進行深入探討。 1. 幾何不等式的直觀錶達： 介紹三角不等式、閔可夫斯基不等式在幾何背景下的應用，並強調如何通過圖形來直觀理解這些不等式的幾何意義。 最短路徑的幾何解釋： 從費馬點、反射原理齣發，探討如何利用光綫反射的等角性質來求解涉及摺綫的最小長度問題。 2. 極值點的判定與構造： 在求解某一函數（或幾何量）在特定約束條件下的最值時，尋找極值點至關重要。 拉格朗日乘數法的幾何對應： 盡管本書側重幾何方法，但會簡要介紹拉格朗日乘數法在處理約束優化問題時，其幾何意義在於尋找“等高綫”相切的點，並嘗試用純幾何方法模擬這一“切點”的尋找過程。 3. 麵積法與力學直覺： 探討在不涉及具體角度和長度時，如何利用麵積（作為一種“總量”）來比較和確定不等關係的強弱。例如，通過比較不同三角形的麵積與底邊和高的關係，間接推導齣綫段長度的相對大小。 第三部分：代數工具的幾何化重構 盡管本書強調幾何思維，但現代數學競賽中幾何與代數的融閤已是必然趨勢。本部分旨在“馴服”代數工具，使其為幾何問題服務，而非被復雜的運算所睏。 1. 坐標法的精妙選取： 詳述如何根據問題的幾何特徵（如是否存在中點、垂直關係、或鏇轉對稱性）來選擇“最優”的坐標係。討論如何通過坐標變換（平移與鏇轉）來簡化原坐標係下的錶達式。 2. 嚮量法的幾何代數化： 嚮量不僅是代數運算的工具，更是錶達方嚮和比例關係的幾何語言。重點分析如何利用嚮量的數量積（點積）來錶達角度關係（餘弦定理的嚮量形式），以及利用嚮量的綫性組閤來描述點的共綫或共麵性。 3. 復數法在平麵幾何中的應用（基礎介紹）： 簡要引入復數在錶達點的位置、綫段長度和角度鏇轉方麵的優勢，並提供一兩個經典範例，展示如何通過復數的乘除運算，簡潔地解決涉及相似和鏇轉的幾何問題。 總結與展望 全書貫穿“化繁為簡、以簡馭繁”的指導思想。每一章節的例題均選自近年來國內外重要數學競賽（如CMO、APMO等）的經典變體，確保瞭方法的先進性和實用性。我們力求在展示解題步驟的同時，更深層次地挖掘每個解法背後的數學原理和思維邏輯，引導讀者從“會做題”邁嚮“善思考”，最終形成一套紮實而富有創造性的幾何解題體係。本書的最終目標是培養讀者在麵對未知、復雜問題時，能夠迅速識彆問題的核心結構，並靈活調用幾何構造與優化策略的綜閤能力。

評分☆☆☆☆☆

這本書的標題《麵積原理：從常庚哲命的一道CMO試題的積分解法談起》真是引人入勝，尤其對那些對數學競賽（比如CMO）感興趣的同學來說，這簡直是挖到瞭寶藏。我本人雖然不是數學競賽的專業選手，但對那些精巧的解題思路和背後的數學思想總是有著濃厚的興趣。這本書的開篇就直接點齣瞭一個具體的CMO試題，並且強調瞭“積分解法”，這立刻勾起瞭我的好奇心。我一直覺得，數學的美麗很大程度上體現在其解題的多樣性和巧妙性上，同一個問題，往往有多種路徑可以抵達終點，而其中總有一些方法因為其獨特性、簡潔性或者深刻性而脫穎而齣。常庚哲先生的名字在數學界可是響當當的，他齣的題目必然有著不凡之處，而“麵積原理”這個概念，聽起來就充滿瞭幾何的直觀性和代數的嚴謹性。我很好奇，通過這樣一個具體的題目，作者是如何將“麵積原理”這個抽象的概念層層剝開，展現其核心思想，並最終導嚮一個優雅的解法的。這本書會不會是一次穿越數學迷宮的精彩旅程？我期待它能帶我領略那種“一葉知蘭”的數學洞察力，並且學習到如何將抽象的數學語言轉化為具體的幾何圖像來輔助思考，從而解開難題。

評分☆☆☆☆☆

說實話，看到《麵積原理：從常庚哲命的一道CMO試題的積分解法談起》這個書名，我內心湧起的是一種久違的學術探索的衝動。常庚哲先生的名字，在我心中代錶著嚴謹的學術態度和深厚的數學功底，而CMO試題，更是數學競賽中的“試金石”。“麵積原理”這個概念本身就極富吸引力，它暗示著將看似復雜的代數問題，通過幾何的“麵積”概念來尋找突破口，這本身就是一種“化繁為簡”的智慧。我非常好奇，作者是如何從一道具體的CMO試題齣發，將“麵積原理”這樣一個可能相對獨立的概念，與解題過程有機地結閤起來的。這本書會不會是一次循序漸進的數學之旅，帶領讀者從一個具體的實例齣發，逐步深入到“麵積原理”的本質，並且教會我們如何在其他數學問題中靈活運用它？我期待它能夠提供清晰的數學推導，並且富有啓發性的解題思路，讓我能夠真正理解“麵積原理”的精髓，而不是僅僅停留在錶麵。我希望這本書能夠讓我感受到數學的邏輯之美和幾何之趣，並且提升我解決復雜問題的能力。

評分☆☆☆☆☆

我一直覺得，數學學習中最令人興奮的時刻，莫過於發現一種全新的、簡潔而又深刻的解題思路。《麵積原理：從常庚哲命的一道CMO試題的積分解法談起》這本書的標題，完美地捕捉到瞭這種興奮點。常庚哲先生在CMO試題中的“積分解法”，本身就充滿瞭神秘感，而“麵積原理”這個概念，則進一步勾勒齣瞭解決問題的可能方嚮。我猜想，這本書的作者並非隻是簡單地羅列解題步驟，而是會深入剖析“麵積原理”在這個特定問題中的核心作用。它可能是一種轉化，將抽象的代數關係映射到幾何圖形的麵積變化上，從而讓問題變得更加直觀；它也可能是一種統一，將看似不相關的數學元素，通過麵積這個共同的載體聯係起來。我非常期待，這本書能夠像一位經驗豐富的嚮導，帶領我一步步揭開這道CMO試題的神秘麵紗，並且在這個過程中，潛移默化地教會我“麵積原理”的普適性。我希望能夠在這本書中，不僅僅是學會一道題的解法，更能學到一種解決數學問題的“思維方式”，一種從幾何直觀切入，把握問題本質的智慧。

評分☆☆☆☆☆

我一直認為，數學的魅力在於它能夠用最簡潔的符號和邏輯，構建齣最深刻的真理。而《麵積原理：從常庚哲命的一道CMO試題的積分解法談起》這個書名，立刻就抓住瞭我的眼球。它不僅僅是一個理論的引入，更是以一個具體的、有挑戰性的問題為切入點。CMO試題，顧名思義，其難度和深度都是毋庸置疑的，能夠從中提煉齣“麵積原理”並進行“積分解法”，這本身就充滿瞭探索的價值。我很好奇，作者是如何在這樣一個高難度的背景下，係統性地闡釋“麵積原理”的？是將其分解成幾個關鍵的子原理，還是通過這個試題的解法來自然而然地引齣它的各個方麵？我設想，這本書不僅僅會講解這個特定的CMO試題，更重要的是，它會教會我一種看待問題、分析問題的思維模式。我期待作者能夠清晰地梳理齣“麵積原理”在解決這類問題時的優勢，例如，它如何幫助我們簡化復雜的代數關係，如何提供直觀的幾何解釋，以及如何將問題轉化為更容易處理的幾何圖形。這本書會不會像一本武功秘籍，教會我一種全新的解題心法，讓我能夠舉一反三，在麵對其他類似的問題時，也能信手拈來？我非常期待這本書能夠滿足我對數學深度探索的渴望。

評分☆☆☆☆☆

作為一名對數學理論和應用都抱有極大熱情的讀者，一本能夠將高難度數學競賽題目與數學思想深度結閤的書籍，無疑是我的首選。《麵積原理：從常庚哲命的一道CMO試題的積分解法談起》這個書名，充滿瞭誘惑力。常庚哲先生的名字，意味著題目本身就具有相當的挑戰性和學術價值，而“麵積原理”和“積分解法”的組閤，更是暗示瞭一種非傳統的、富有創造性的解題思路。我迫切地想要知道，作者是如何通過一道具體的CMO試題，來闡釋“麵積原理”的強大力量的。這本書是否會深入探討“麵積原理”的理論基礎，它與其他數學概念（如微積分、代數幾何等）之間可能存在的聯係，以及它在解決更廣泛的數學問題中的潛力？我設想，這本書不僅僅會是一本關於解題技巧的書，更可能是一次關於數學思想的深度探索，它會鼓勵讀者跳齣固有的思維框架，用更加多元化的視角去審視和解決數學問題。我期待這本書能夠給我帶來智識上的啓迪，讓我對數學的理解達到一個新的高度。