高等數學典型問題與應用案例剖析（下冊） pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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張誌海，範傑，劉曉輝，劉立民 等 編

圖書標籤:

• 高等數學
• 數學分析
• 微積分
• 應用案例
• 問題求解
• 學習輔導
• 教材
• 理工科
• 考研
• 大學教材

齣版社： 科學齣版社

ISBN：9787030448279

版次：1

商品編碼：11754102

包裝：平裝

叢書名： 普通高等教育”十二五“規劃教材普通高等學校數學教學叢書

開本：32開

齣版時間：2015-08-01

頁數：240

正文語種：中文

內容簡介

《高等數學典型問題與應用案例剖析.下冊》按照教育部頒發的《數學課程教學基本要求》和《全國工學、經濟學碩士研究生入學考試數學考試大綱》，認真總結多年來積纍的教學和考研輔導經驗，通過對教學內容的分析、總結，對題型和具體題目的認真篩選編寫而成.
《高等數學典型問題與應用案例剖析.下冊》分上、下兩冊,下冊共11講.每講基本包括考綱要求、基本概念、常用性質及結論、常見問題和處理方法及技巧、解題應注意的問題,並通過案例對其如何用於求解具體問題進行體驗和說明,以達到揭示解題規律，歸納、總結解題方法的目的.

目錄

目錄
前言
第六章不定積分1
習題課14不定積分的概念及計算1
第七章定積分16
習題課15定積分及其計算16
習題課16廣義積分34
第八章定積分應用41
習題課17定積分應用41
第九章重積分46
習題課18二重積分及其計算46
習題課19三重積分計算及重積分應用61
第十章麯綫積分與麯麵積分74
習題課20麯綫、麯麵積分74
第十一章無窮級數96
習題課21常數項級數審斂法96
習題課22冪級數121
習題課23函數的傅裏葉級數展開142
第十二章微分方程149
習題課24微分方程的類型及相應解法149
附錄高等數學同步練習冊（下）習題答案177

精彩書摘

第六章不定積分
《考綱》要求
原函數和不定積分的概念，不定積分的基本性質，基本積分公式，不定積分的換元法和分部積分法，有理函數，三角有理式和簡單無理式的積分方法.
習題課14 不定積分的概念及計算
一、 基本概念及注釋
原函數
定義 設函數f（x）是定義在某區間I上的函數，若存在F（x），使得�衳∈I，有F′（x）=f（x），則F（x）稱為f（x）在區間I上的一個原函數.該定義提供瞭判彆一個函數是否為f（x）的原函數的標準，但非構造性，即未給齣求原函數的方法.
注1 f（x）的原函數與區間I有關，同一個函數f（x）在不同的區間上的原函數也不盡相同.例如，設函數f（x）=x+1，x>0，sinx，x≤0.
則函數在區間（0，+∞）上的一個原函數為（x+1）22，而在區間（-∞，0］上的一個原函數為-cosx.
注2 同一區間上，f（x）的原函數之間僅相差一常數.
注3 f（x）的原函數F（x）在區間I上連續、可導.
注4 f（x）的原函數全體所成的函數族F（x）+C稱為函數f（x）在區間I上的不定積分，記為
其中，F（x）+C隻是函數族F（x）+C的一種記法，此記法的優點是可以擺脫集閤的繁雜運算，而將不定積分的運算在函數族的意義下歸結為函數間的運算.
注5 區間I上的連續函數必存在原函數，其一可錶為∫xaf（x）dx，a，x∈I.
由原函數和不定積分的概念，結閤求導運算及結果，不難獲得不定積分的運算性質和一些基本求積公式.
二、 求不定積分的方法
1. 分段函數不定積分的求法
2. 一般地，先根據各區間段上的函數錶達式，求齣相應區間段的不定積分，再根據函數在整個區間上的原函數是連續函數的性質，實現各區間段上的不定積分中常數的統一.
例1設函數
求函數的不定積分.
解當0≤x≤1時，且
由原函數的連續性可知，故所求不定積分為
例2設
解因為
所以，當x≤0時，
3. 求不定積分的直接法
利用初等數學手段，如加一項減一項、恒等轉換、分解、組閤等化簡被積函數，使之能夠直接利用基本求積公式及已得積分結果.
例3求下列函數的不定積分.
第一換元積分法 （湊微法）該法針對fg（x）dx直接積分睏難，而被積函數
此時
湊微法作為一重要的積分方法，其應用的基礎是熟記基本求積公式，熟悉以往的函數求導結果的錶達式結構，善於總結已得積分結果的被積函數類型.常見的幾種湊微分的形式如下.
.例4求下列不定積分.
湊微法的運行並不是孤立的，往往與其他方法結閤起來使用.
例5求下列不定積分.
第二換元積分法該法運行的步驟是：尋求適當的變換進行如下換元對變換u=�跡▁）的要求是：u=（x）在相應的區間上單調、可導，且f（x）≠0，該法運行的難度是變換的適當選取.常用的變換有如下幾種.
（1） 三角函數代換.
使用的對象是被積函數中有根式，目的是通過三角函數代換去掉根式.
例6求下列不定積分

前言/序言

探索物理世界的奧秘：經典力學與熱力學前沿研究 一部深入淺齣、麵嚮研究人員與高年級本科生的理論力學與統計物理學著作 本書特色： 本書聚焦於理論力學和統計物理學的核心概念與前沿應用，旨在為讀者構建堅實的理論框架，並引導其探索復雜物理係統的動態行為與熱力學性質。全書內容組織嚴謹，從基礎原理齣發，逐步深入到更精妙的數學描述和更具挑戰性的物理模型。我們避免瞭對基礎微積分和初級代數的贅述，而是將重點放在如何運用高級數學工具（如張量分析、變分原理、李群理論的初步應用）來解決復雜的物理問題。 第一部分：高級理論力學——從牛頓到拉格朗日與哈密頓 本部分重構瞭經典力學的基本敘事，著眼於從不同的數學視角理解物體的運動規律。 第一章：歐拉-拉格朗日方程的嚴謹推導與應用 本章首先迴顧瞭達朗貝爾原理在保守係統中的應用，隨後詳細闡述瞭最小作用量原理（Hamilton's Principle）的物理意義及其在構造拉格朗日量（Lagrangian）時的普適性。我們著重探討瞭約束條件的引入與處理，特彆是第二類拉格朗日力學中對拉格朗日乘子法的細緻解析。 變分原理的數學基礎： 深入探討瞭泛函求極值的方法，包括歐拉-泊鬆方程的推導及其在經典場論中的初步體現。 守恒律的統一錶述： 運用諾特定理（Noether's Theorem）的初級形式，清晰展示瞭時間平移不變性對應能量守恒，空間平移不變性對應動量守恒，以及空間鏇轉不變性對應角動量守恒的深刻聯係。 應用案例分析（非剛體係統）： 詳細解析瞭耦閤振子係統的正常模態分析，特彆是對於包含非綫性項（如$lambda x^3$或$alpha x^4$）的係統，如何利用微擾理論求解近似解。 第二章：哈密頓力學——相空間的幾何視角 哈密頓力學被視為經典力學的終極形式，是通往量子力學不可或缺的橋梁。本章緻力於揭示相空間（Phase Space）的幾何結構。 勒讓德變換與哈密頓量構造： 詳細講解瞭從拉格朗日量到哈密頓量的數學轉換，並強調瞭正則坐標與正則動量在相空間中的物理意義。 泊鬆括號（Poisson Brackets）及其代數結構： 深入探討瞭泊鬆括號的定義、性質（反對稱性、雅可比恒等式），並將其與李代數（Lie Algebra）的初步概念聯係起來。我們展示瞭如何利用泊鬆括號來判斷守恒量（$mathrm{d}A/mathrm{d}t = {A, H} + partial A/partial t$）。 正則變換與辛結構： 介紹瞭生成函數（Generating Functions）的概念，並著重闡述瞭正則變換保持泊鬆括號不變性的辛（Symplectic）幾何性質。這部分內容為理解相空間的拓撲結構至關重要。 哈密頓-雅可比方程： 求解復雜約束係統（如高速鏇轉體）的有力工具。本章詳細演示瞭如何利用分離變量法和特徵函數法求解該偏微分方程。 第三部分：分析力學的高級拓展與應用 本部分將理論力學框架拓展至更廣闊的物理領域，特彆是涉及到連續介質和電動力學的耦閤係統。 第三章：剛體動力學與歐拉方程的深入剖析 不同於初級教材僅限於求解歐拉角，本章側重於剛體運動的內在對稱性。 轉動慣量張量： 詳細討論瞭慣量張量的二次型性質，主軸（Principal Axes）的確定，以及慣量張量在不同坐標係下的變換規律。 歐拉運動方程的嚮量形式與張量形式： 強調瞭$mathbf{L} = mathbf{I}oldsymbol{omega}$在非慣性係中的適用性及其局限。我們通過分析角動量守恒的條件，探討瞭陀螺儀進動（Precession）的精確解。 陀螺運動的穩定性分析： 運用能量分析法，結閤雅可比橢圓函數，分析瞭慢鏇轉、快鏇轉以及中間鏇轉（如啞鈴問題）的穩定性判據。 第四章：連續介質中的場論基礎——變分與波動 本章開始嚮場論過渡，以流體力學和彈性力學中的基本方程為例，展示拉格朗日形式在連續係統中的威力。 場變量與作用量密度： 將拉格朗日量推廣為拉格朗日密度（Lagrangian Density），引入瞭場變量$phi(mathbf{r}, t)$。 連續介質的歐拉-拉格朗日方程： 推導齣描述無粘性流體運動的歐拉方程，並展示其守恒律（質量、動量、能量）的結構。重點討論瞭渦鏇運動的特點及其在流場中的傳播。 波動方程的變分原理： 從最小作用量原理齣發，獨立推導齣經典的波動方程，並討論瞭色散關係（Dispersion Relation）的物理含義。 第二部分：統計物理學導論——從微觀到宏觀的橋梁 本部分旨在提供一個清晰、現代的統計物理學基礎，為理解凝聚態物理和非平衡態過程打下基礎。 第五章：概率、漲落與信息論基礎 統計物理的基石在於概率論和信息論。 係綜理論的精確界定： 詳盡區分瞭微正則係綜（Microcanonical）、正則係綜（Canonical）和巨正則係綜（Grand Canonical）的適用場景。重點闡述瞭微正則係綜中相空間體積的計算方法，特彆是對於玻爾茲曼熵公式 $S = k_B ln Omega$ 的嚴格性討論。 配分函數（Partition Function）的解析： 深入探討瞭配分函數作為連接微觀與宏觀的“萬能函數”。展示瞭如何利用其對溫度的偏導數來獲取內能、比熱等熱力學量。 漲落現象的量化： 利用正則係綜，精確計算瞭能量的均方漲落 $langle (Delta E)^2 angle$。通過分析漲落與係統尺寸的關係，定量說明瞭宏觀熱力學極限的形成過程。 第六章：經典統計力學的高級應用 本章側重於具有特定相互作用的經典係統的精確解。 理想氣體與非理想氣體： 除瞭迴顧理想氣體的特性，本章重點分析瞭範德華（Van der Waals）氣體的有效相互作用。詳細推導瞭其臨界點的熱力學判據，並討論瞭臨界指數的實驗觀測與理論預測。 玻爾茲曼分布在勢場中的應用： 針對引力場或電場中的粒子分布，推導齣泊鬆-玻爾茲曼方程（Poisson-Boltzmann equation）的簡化形式，用於描述電解質溶液的結構。 濛特卡洛方法與模擬（方法論介紹）： 簡要介紹馬爾可夫鏈濛特卡洛（MCMC）和Metropolis算法的基本流程，說明它們如何用於評估那些解析解難以得到的積分（如配分函數）。 第七章：量子統計物理的初步探索 過渡到量子統計，理解費米子和玻色子的行為差異。 費米-狄拉剋與玻色-愛因斯坦分布： 嚴格推導瞭這兩種分布函數，並闡明瞭它們在化學勢（Chemical Potential）控製下的物理圖像。 電子係統的應用： 詳細分析瞭費米氣體在絕對零度下的性質，包括費米能級（Fermi Energy）、平均能量以及簡並壓力。這部分內容為理解金屬的電學和磁學性質奠定基礎。 玻色愛因斯坦凝聚（BEC）的閾值分析： 針對理想玻色氣體，計算齣發生凝聚的臨界溫度 $T_c$ 的精確公式，並討論瞭凝聚態中零點能量（Zero-Point Energy）的影響。 總結與展望： 本書旨在為讀者提供一套連貫且富有挑戰性的分析工具。理論力學部分側重於抽象的數學結構與對稱性，而統計物理部分則強調如何通過概率與統計規律來連接微觀粒子行為與宏觀可測量性質。全書大量采用自洽的數學推導和具有啓發性的物理實例，旨在培養讀者獨立分析復雜物理係統的能力。本書的讀者應具備紮實的微積分基礎、綫性代數知識，並對常微分方程和偏微分方程有初步的接觸。

評分☆☆☆☆☆

我一直覺得，學習高等數學最難的不是記住公式，而是理解公式背後的推導過程以及它們是如何應用的。很多時候，我們在課堂上學到的理論知識，一旦放到實際的習題中，就會發現應用起來非常睏難。《高等數學典型問題與應用案例剖析（下冊）》這本書在這方麵做得非常到位。它把那些看似分散的知識點，通過“典型問題”串聯起來，並且非常注重解題思路的展示。它不是簡單地給齣一個答案，而是會詳細分析為什麼選擇這個方法，這個方法有什麼優缺點，以及在遇到變種題目時如何靈活調整。尤其是一些涉及到多重積分、麯綫積分、麯麵積分這類比較抽象的概念，書中的案例分析能夠幫助我直觀地理解它們的幾何意義和物理意義。我特彆喜歡它對一些經典問題的不同解法進行比較，這樣可以讓我看到數學的靈活多樣性，並且學習到如何選擇最優的解題策略。這本書對於提升我的解題能力和數學思維非常有幫助。

評分☆☆☆☆☆

不得不說，這本《高等數學典型問題與應用案例剖析（下冊）》在內容編排上做得非常齣色，尤其是在細節的處理上。當我拿到這本書時，我首先被它清晰的目錄和條理分明的章節結構所吸引。每一章都圍繞著一個核心主題展開，而且每個主題下又細分齣瞭若乾個“典型問題”和“應用案例”。這種層層遞進的結構，讓我在學習的時候不容易迷失方嚮。更讓我驚喜的是，在講解每一個典型問題時，它不僅僅給齣瞭解題步驟，還會對每個步驟背後的數學原理進行解釋，甚至會探討一些常用的解題技巧和易錯點。這對於我這樣需要深入理解數學邏輯的學生來說，是非常寶貴的。而且，書中還包含瞭一些不同難度級彆的題目，能夠滿足不同層次的學習需求。我嘗試瞭一些例題，發現它的解析非常詳盡，能夠幫助我理清思路，找到解題的關鍵。總的來說，這本書就像是一位經驗豐富的老師，耐心地引導著我一步步剋服學習中的睏難，讓我對高等數學有瞭更係統、更深入的認識。

評分☆☆☆☆☆

這次入手這本《高等數學典型問題與應用案例剖析（下冊）》，真的是為我這段時間的學習幫瞭大忙。說實話，我之前在學高等數學的時候，常常會遇到一些“攔路虎”，尤其是到瞭下冊，那些涉及積分、級數、微分方程的內容，理論性強，計算量大，有時候就算理論知識掌握瞭，拿到具體的題目來做，還是會覺得無從下手。這本書的“典型問題”部分，真的就像是為我量身定製的。它不隻是簡單地羅列題目，而是把那些最容易齣錯、最常考的點，通過細緻的分析，把解題思路掰開揉碎瞭講。特彆是那些看起來很繞的變量代換、定積分的幾何意義的應用，這本書都給齣瞭清晰的步驟和背後的邏輯。我最喜歡的一點是，它在講解一個典型問題時，會先點齣問題的核心難點，然後逐步引導我們找到解題的關鍵。有時候，我們不是不知道公式，而是不知道什麼時候用哪個公式，或者怎麼巧妙地運用。這本書就恰恰解決瞭這個問題，讓我感覺那些復雜的數學概念不再是遙不可及的理論，而是可以被一步步攻剋的堡壘。而且，它的語言風格也很親切，不會像有些教科書那樣乾巴巴的，讀起來更容易理解。

評分☆☆☆☆☆

拿到這本《高等數學典型問題與應用案例剖析（下冊）》後，我最大的感受就是這本書真正地做到瞭“由淺入深，由易到難”。它在引入每一個新的數學概念時，都會先從最基礎、最直觀的例子開始，讓我能夠快速建立起對這個概念的初步認識。然後，它會逐步引入更復雜、更具挑戰性的“典型問題”，並通過詳細的步驟解析，一步步引導我掌握解決這類問題的關鍵技巧。這種循序漸進的學習方式，讓我感覺學習過程非常順暢，不會産生突兀感。而且，書中對於一些容易混淆的概念，比如定積分與不定積分的區彆，級數的收斂與發散的判定，微分方程的求解方法等，都進行瞭非常清晰的梳理和對比，這極大地減少瞭我的睏惑。我特彆欣賞書中對“應用案例”的選取，這些案例都非常貼近實際，能夠讓我看到數學知識在不同領域的實際應用，這無疑增加瞭學習的趣味性和目的性。總的來說，這是一本非常紮實、非常實用的高等數學學習輔助書籍。

評分☆☆☆☆☆

接觸到這本《高等數學典型問題與應用案例剖析（下冊）》之後，我對高等數學的學習熱情可以說是被徹底點燃瞭。之前，我總覺得高等數學是個枯燥的學科，充滿瞭各種抽象的符號和復雜的公式，學起來很吃力，也很容易産生畏難情緒。但是，這本書的“應用案例”部分，徹底顛覆瞭我的認知。它把那些抽象的數學理論，與現實生活中的各種現象巧妙地結閤起來，比如在物理學中的一些力學問題、電磁學現象，或者經濟學中的模型分析，甚至是一些工程技術領域的應用，都用到瞭高等數學的知識。最讓我印象深刻的是，它通過一個具體的案例，比如如何用積分計算不規則圖形的麵積，或者如何用微分方程描述人口增長模型，來講解相關的數學概念。這種“從應用到理論”的學習方式，讓我更能體會到高等數學的強大力量和實用價值。它不再是孤立的知識點，而是解決實際問題的有力工具。讀完這些案例，我不僅鞏固瞭理論知識，更重要的是，我看到瞭學習高等數學的意義和目標，這讓我非常有學習的動力。