面积原理：从常庚哲命的一道CMO试题的积分解法谈起 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

刘培杰数学工作室 编

图书标签:

• 数学史
• 数学教育
• CMO
• 常庚哲
• 面积法
• 几何
• 解题技巧
• 数学竞赛
• 思维拓展
• 问题导向

出版社： 哈尔滨工业大学出版社

ISBN：9787560351100

版次：1

商品编码：11685886

包装：平装

丛书名： 《数学中的小问题大定理》丛书（第四辑）

开本：16开

出版时间：2015-01-01

用纸：胶版纸

页数：289

字数：201000

正文语种：中文

内容简介

　　《面积原理：从常庚哲命的一道CMO试题的积分解法谈起》是从常庚哲命的一道CMO试题的积分解法谈起，进而介绍了面积原理问题.《面积原理：从常庚哲命的一道CMO试题的积分解法谈起》共有9章：第1章引言，第2章历史与经典结果，第3章近代理论介绍——关于高维求积公式的某些简单定理，第4章二次及三次的高维求积公式，第5章构造数值积分公式的算子方法，第6章高维积分的“降维法”与二维求积公式的一种构造法，第7章高维矩形区域上的数值积分与误差估计，第8章多元周期函数的数值积分与误差估计，第9章高维数值积分公式的误差界限决定法。
　　《面积原理：从常庚哲命的一道CMO试题的积分解法谈起》适合大、中学师生及数学爱好者阅读及收藏。

内页插图

目录

第1章 引言
§1 求面积
§2 定积分的概念

第2章 历史与经典结果
§1 最简单的求积公式
§2 函数类
§3 泰勒公式
§4 求积公式逼近的精确估值
§5 关于特殊求积公式的数值常数
§6 复杂化求积公式——对函数类逼近的上限的估值
§7 对于个别的函数的估值、求积公式的选择
§8 常数K-求积公式的改进
§9 对于多维求积公式的估值
§10 极值问题
§11 对于类W2（W+1）(M；0，m)的带等距基点的最佳求积公式
§12 含导数值的求积公式
§13 厄尔米特内插公式
§14 一般极值问题
§15 与零有最小偏差的切比雪夫多项式
§16 依L1度量与零有最小偏差的多项式
§17 勒让德多项式、高斯求积公式

第3章 近代理论介绍——关于高维求积公式的某些简单定理
§1 变换定理
§2 乘积定理
§3 对称求积公式的构造原则
§4 求积公式与插值多项式之间的关系

第4章 二次及三次的高维求积公式
§1 对称区域上的“二次求积公式”
§2 对称区域上的“三次求积公式”
§3 一般区域上的“二次求积公式”
§4 中心对称区域上的“三次求积公式

第5章 构造数值积分公式的算子方法
§1 几个常用的符号算子及其关系式
§2 Euler求和公式的导出
§3 利用符号算子表出的数值积分分
§4 Willis展开方法
§5 ∏locTepHHK-∏NTKHH方法

第6章 高维积分的“降维法”与二维求积公式的一种构造法
§1 高维近似积分的“降维法”基本公式
§2 “降维法”中的几个展开公式及余项估计
……

第7章 高维矩形区域上的数值积分与误差估计
第8章 多元周期函数的数值积分与误差估计
第9章 高维数值积分公式的误差界限决定
法
附表Ⅰ
附表Ⅱ
编辑手记

前言/序言

《数学竞赛中的几何构造与优化策略：基于复杂问题求解的视角》 图书简介 本书聚焦于数学奥林匹克竞赛中，尤其是在涉及几何图形的性质推导与最值求解等高难度问题中的核心解题思想与技术路径。全书以精选的、具有代表性的竞赛真题为载体，深入剖析了传统解析方法难以奏效的场景，并着重阐述了构建辅助图形、运用变换技巧、以及融入优化思想的综合策略。 全书内容结构严谨，逻辑清晰，旨在帮助有志于提升数学建模与问题解决能力的学习者，尤其是高中阶段及以上致力于参加高水平数学竞赛的学生和教师，构建一套系统、灵活的解题思维框架。 第一部分：几何构造——突破传统视角的关键 本部分是全书的基石，详细探讨了在复杂几何命题中，如何通过巧妙地引入辅助线、构造新的图形结构（如相似、全等、共轭结构等），从而将抽象的条件转化为可操作的几何关系。 1. 辅助线的艺术： 不仅仅是简单的连线，更是对问题内在结构的一种可视化表达。我们区分了几种主要的辅助线构造类型： 补全法： 将不完整的图形补全为更具对称性或特殊性质的图形（如引入中点、作平行线或垂直线以形成平行四边形或矩形）。 分割与重组： 针对复杂多边形或曲线图形，探讨如何通过内部构造线将原问题分解为若干个性质更清晰的子问题，并在解题完成后尝试逆向重组。 向量与坐标法的桥梁： 讨论如何利用辅助线在几何构造与坐标系建立之间架设桥梁，例如，如何选择恰当的参考点和参考轴，使后续的代数运算达到最优简化。 2. 变换思想在二维空间的应用： 几何变换是解决涉及等距、等积、相似等关系的利器。本章重点剖析了旋转、平移、反射（对称）以及缩放（相似变换）在解题中的实际效用。 旋转的威力： 讨论如何通过“旋转至特定位置”的策略，使原本不相关的线段或角对齐，从而利用等长或等角关系迅速建立联系。例如，在证明涉及三个相等线段的复杂关系时，通过构造一个以其中一点为中心的旋转，使得另外两条线段汇合于一点。 对称与不动点： 探讨在处理具有内在对称性的图形（如等腰三角形、正多边形）时，如何利用对称轴或中心点进行构造性思考。 3. 特殊化与一般化： 介绍如何通过考察特殊情况（如退化到直线、特殊角度、特定形状）来猜测或验证一般结论的正确性，并反过来，如何将特殊情况的解法提升到具有普适性的几何原理层面。 第二部分：优化策略——探寻极值与最远最近 数学竞赛中，涉及“最大值”、“最小值”、“最短路径”、“最远距离”的问题是常考的难点。本部分将重点从几何优化的角度，结合代数工具进行深入探讨。 1. 几何不等式的直观表达： 介绍三角不等式、闵可夫斯基不等式在几何背景下的应用，并强调如何通过图形来直观理解这些不等式的几何意义。 最短路径的几何解释： 从费马点、反射原理出发，探讨如何利用光线反射的等角性质来求解涉及折线的最小长度问题。 2. 极值点的判定与构造： 在求解某一函数（或几何量）在特定约束条件下的最值时，寻找极值点至关重要。 拉格朗日乘数法的几何对应： 尽管本书侧重几何方法，但会简要介绍拉格朗日乘数法在处理约束优化问题时，其几何意义在于寻找“等高线”相切的点，并尝试用纯几何方法模拟这一“切点”的寻找过程。 3. 面积法与力学直觉： 探讨在不涉及具体角度和长度时，如何利用面积（作为一种“总量”）来比较和确定不等关系的强弱。例如，通过比较不同三角形的面积与底边和高的关系，间接推导出线段长度的相对大小。 第三部分：代数工具的几何化重构 尽管本书强调几何思维，但现代数学竞赛中几何与代数的融合已是必然趋势。本部分旨在“驯服”代数工具，使其为几何问题服务，而非被复杂的运算所困。 1. 坐标法的精妙选取： 详述如何根据问题的几何特征（如是否存在中点、垂直关系、或旋转对称性）来选择“最优”的坐标系。讨论如何通过坐标变换（平移与旋转）来简化原坐标系下的表达式。 2. 向量法的几何代数化： 向量不仅是代数运算的工具，更是表达方向和比例关系的几何语言。重点分析如何利用向量的数量积（点积）来表达角度关系（余弦定理的向量形式），以及利用向量的线性组合来描述点的共线或共面性。 3. 复数法在平面几何中的应用（基础介绍）： 简要引入复数在表达点的位置、线段长度和角度旋转方面的优势，并提供一两个经典范例，展示如何通过复数的乘除运算，简洁地解决涉及相似和旋转的几何问题。 总结与展望 全书贯穿“化繁为简、以简驭繁”的指导思想。每一章节的例题均选自近年来国内外重要数学竞赛（如CMO、APMO等）的经典变体，确保了方法的先进性和实用性。我们力求在展示解题步骤的同时，更深层次地挖掘每个解法背后的数学原理和思维逻辑，引导读者从“会做题”迈向“善思考”，最终形成一套扎实而富有创造性的几何解题体系。本书的最终目标是培养读者在面对未知、复杂问题时，能够迅速识别问题的核心结构，并灵活调用几何构造与优化策略的综合能力。

评分☆☆☆☆☆

我一直认为，数学的魅力在于它能够用最简洁的符号和逻辑，构建出最深刻的真理。而《面积原理：从常庚哲命的一道CMO试题的积分解法谈起》这个书名，立刻就抓住了我的眼球。它不仅仅是一个理论的引入，更是以一个具体的、有挑战性的问题为切入点。CMO试题，顾名思义，其难度和深度都是毋庸置疑的，能够从中提炼出“面积原理”并进行“积分解法”，这本身就充满了探索的价值。我很好奇，作者是如何在这样一个高难度的背景下，系统性地阐释“面积原理”的？是将其分解成几个关键的子原理，还是通过这个试题的解法来自然而然地引出它的各个方面？我设想，这本书不仅仅会讲解这个特定的CMO试题，更重要的是，它会教会我一种看待问题、分析问题的思维模式。我期待作者能够清晰地梳理出“面积原理”在解决这类问题时的优势，例如，它如何帮助我们简化复杂的代数关系，如何提供直观的几何解释，以及如何将问题转化为更容易处理的几何图形。这本书会不会像一本武功秘籍，教会我一种全新的解题心法，让我能够举一反三，在面对其他类似的问题时，也能信手拈来？我非常期待这本书能够满足我对数学深度探索的渴望。

评分☆☆☆☆☆

说实话，看到《面积原理：从常庚哲命的一道CMO试题的积分解法谈起》这个书名，我内心涌起的是一种久违的学术探索的冲动。常庚哲先生的名字，在我心中代表着严谨的学术态度和深厚的数学功底，而CMO试题，更是数学竞赛中的“试金石”。“面积原理”这个概念本身就极富吸引力，它暗示着将看似复杂的代数问题，通过几何的“面积”概念来寻找突破口，这本身就是一种“化繁为简”的智慧。我非常好奇，作者是如何从一道具体的CMO试题出发，将“面积原理”这样一个可能相对独立的概念，与解题过程有机地结合起来的。这本书会不会是一次循序渐进的数学之旅，带领读者从一个具体的实例出发，逐步深入到“面积原理”的本质，并且教会我们如何在其他数学问题中灵活运用它？我期待它能够提供清晰的数学推导，并且富有启发性的解题思路，让我能够真正理解“面积原理”的精髓，而不是仅仅停留在表面。我希望这本书能够让我感受到数学的逻辑之美和几何之趣，并且提升我解决复杂问题的能力。

评分☆☆☆☆☆

这本书的标题《面积原理：从常庚哲命的一道CMO试题的积分解法谈起》真是引人入胜，尤其对那些对数学竞赛（比如CMO）感兴趣的同学来说，这简直是挖到了宝藏。我本人虽然不是数学竞赛的专业选手，但对那些精巧的解题思路和背后的数学思想总是有着浓厚的兴趣。这本书的开篇就直接点出了一个具体的CMO试题，并且强调了“积分解法”，这立刻勾起了我的好奇心。我一直觉得，数学的美丽很大程度上体现在其解题的多样性和巧妙性上，同一个问题，往往有多种路径可以抵达终点，而其中总有一些方法因为其独特性、简洁性或者深刻性而脱颖而出。常庚哲先生的名字在数学界可是响当当的，他出的题目必然有着不凡之处，而“面积原理”这个概念，听起来就充满了几何的直观性和代数的严谨性。我很好奇，通过这样一个具体的题目，作者是如何将“面积原理”这个抽象的概念层层剥开，展现其核心思想，并最终导向一个优雅的解法的。这本书会不会是一次穿越数学迷宫的精彩旅程？我期待它能带我领略那种“一叶知兰”的数学洞察力，并且学习到如何将抽象的数学语言转化为具体的几何图像来辅助思考，从而解开难题。

评分☆☆☆☆☆

我一直觉得，数学学习中最令人兴奋的时刻，莫过于发现一种全新的、简洁而又深刻的解题思路。《面积原理：从常庚哲命的一道CMO试题的积分解法谈起》这本书的标题，完美地捕捉到了这种兴奋点。常庚哲先生在CMO试题中的“积分解法”，本身就充满了神秘感，而“面积原理”这个概念，则进一步勾勒出了解决问题的可能方向。我猜想，这本书的作者并非只是简单地罗列解题步骤，而是会深入剖析“面积原理”在这个特定问题中的核心作用。它可能是一种转化，将抽象的代数关系映射到几何图形的面积变化上，从而让问题变得更加直观；它也可能是一种统一，将看似不相关的数学元素，通过面积这个共同的载体联系起来。我非常期待，这本书能够像一位经验丰富的向导，带领我一步步揭开这道CMO试题的神秘面纱，并且在这个过程中，潜移默化地教会我“面积原理”的普适性。我希望能够在这本书中，不仅仅是学会一道题的解法，更能学到一种解决数学问题的“思维方式”，一种从几何直观切入，把握问题本质的智慧。

评分☆☆☆☆☆

作为一名对数学理论和应用都抱有极大热情的读者，一本能够将高难度数学竞赛题目与数学思想深度结合的书籍，无疑是我的首选。《面积原理：从常庚哲命的一道CMO试题的积分解法谈起》这个书名，充满了诱惑力。常庚哲先生的名字，意味着题目本身就具有相当的挑战性和学术价值，而“面积原理”和“积分解法”的组合，更是暗示了一种非传统的、富有创造性的解题思路。我迫切地想要知道，作者是如何通过一道具体的CMO试题，来阐释“面积原理”的强大力量的。这本书是否会深入探讨“面积原理”的理论基础，它与其他数学概念（如微积分、代数几何等）之间可能存在的联系，以及它在解决更广泛的数学问题中的潜力？我设想，这本书不仅仅会是一本关于解题技巧的书，更可能是一次关于数学思想的深度探索，它会鼓励读者跳出固有的思维框架，用更加多元化的视角去审视和解决数学问题。我期待这本书能够给我带来智识上的启迪，让我对数学的理解达到一个新的高度。