三角範疇與導齣範疇 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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章璞 著

圖書標籤:

• 代數拓撲
• 代數幾何
• 導齣範疇
• 三角範疇
• 同調代數
• 層論
• 模論
• 錶示論
• 範疇論
• 數學

齣版社： 科學齣版社

ISBN：9787030445094

版次：1

商品編碼：11717946

包裝：平裝

叢書名： 現代數學基礎叢書155

開本：16開

齣版時間：2015-06-01

用紙：膠版紙

頁數：516

正文語種：中文

內容簡介

　　《三角範疇與導齣範疇》前5章講述三角範疇和導齣範疇的基本理論；第6~11章討論瞭Frobenius範疇的穩定範疇、Gorenstein同調代數、奇點範疇、Auslander-Reiten三角與Serre對偶、三角範疇的t-結構與粘閤等專題。附錄提供瞭《三角範疇與導齣範疇》所要用到的範疇論方麵的概念和結論。每章均配有習題並包含提示。《三角範疇與導齣範疇》強調三角範疇與Abel範疇之間的比較和轉化研究。

目錄

《現代數學基礎叢書》序
前言
第1章 三角範疇
1.1 預三角範疇
1.2 上同調函子
1.3 預三角範疇的基本性質
1.4 三角範疇
1.5 三角函子
1.6 伴隨對中的三角函子
1.7 基變換和餘基變換
1.8 4*4引理
習題

第2章 同倫範疇
2.1 同倫與上同調
2.2 映射錐
2.3 作為同倫核的映射筒
2.4 同倫範疇版同調代數基本定理
2.5 鏈可裂短正閤列
2.6 復形的截斷和極限
2.7 Hom復形Hom
習題

第3章 商範疇
3.1 乘法係
3.2 商範疇的右分式構造
3.3 商範疇的左分式構造
3.4 相容乘法係和Verdier商
3.5 飽和相容乘法係與厚子範疇的一一對應
3.6 厚子範疇的一個充分條件
習題

第4章 復形的分解
4.1 拉迴和推齣
4.2 上有界復形的上有界投射分解
4.3 下有界復形的下有界內射分解
4.4 同倫投射復形
4.5 任意復形的同倫投射分解
4.6 任意復形的同倫內射分解
習題

第5章 導齣範疇
5.1 作為Verdier商的導齣範疇
5.2 單邊有界導齣範疇實現為同倫範疇
5.3 無界導齣範疇實現為同倫範疇
5.4 Db(A) = Kb(P(A))的充要條件
5.5 半單環的導齣範疇
5.6 遺傳環的上有界導齣範疇
5.7 對偶數代數的有界導齣範疇
5.8 導齣函子
5.9 函子RHom和Ext
習題

第6章 穩定三角範疇
6.1 Frobenius範疇的穩定範疇
6.2 Happel定理
6.3 穩定三角範疇中好三角的另一解釋
6.4 同倫範疇是代數的三角範疇
6.5 導齣範疇是代數的三角範疇
習題

第7章 Gorenstein投射對象
7.1 Gorenstein投射對象的基本性質
7.2 Artin代數1817.3 真Gorenstein投射分解
7.4 Gorenstein投射維數
7.5 帶關係箭圖的錶示
7.6 Gorenstein環
7.7 Gorenstein環上的Gorenstein投射模
7.8 Gorenstein投射對象的穩定性
7.9 CM有限代數
7.1 0由上三角擴張構造Gorenstein投射模
7.1 1箭圖在代數上的單態射錶示
7.1 2由單態射錶示構造Gorenstein投射模
習題

第8章 奇點範疇
8.1 奇點範疇
8.2 三角範疇的完備對象和緊對象
8.3 Rickard型限製性引理
8.4 Buchweitz-Happel定理
8.5 Buchweitz-Happel定理的逆
8.6 有界導齣範疇的Gorenstein投射描述
8.7 Gorenstein虧範疇
8.8 CM有限代數的Gorenstein虧範疇
習題

第9章 Auslander-Reiten理論簡介
9.1 Auslander-Reiten平移
9.2 幾乎可裂序列
9.3 不可約映射
9.4 Auslander-Reiten箭圖
9.5 有限維代數的Cartan矩陣
9.6 有限箭圖的整二次型
9.7 有限錶示型路代數的Gabriel定理
9.8 相對Auslander-Reiten序列
9.9 單態射範疇的函子有限性
習題314
第10章 Auslander-Reiten三角與Serre對偶
10.1 Hom有限Krull-Schmidt範疇
10.2 有界導齣範疇的Hom有限性
10.3 Auslander-Reiten三角
10.4 Serre函子
10.5 Bondal-Kapranov-VandenBergh定理
10.6 Auslander-Reiten三角與Serre函子
10.7 Auslander-Reiten三角存在的例子Ⅰ
10.8 Auslander-Reiten三角存在的例子Ⅱ
10.9 Auslander-Reiten三角存在的例子Ⅲ
習題

第11章 三角範疇的$mt$-!結構與粘閤
11.1 $t$-結構的基本性質
11.2 $t$-結構的心：Beilinson-Bernstein-Deligne定理
11.3 穩定$t$-結構
11.4 三角範疇的粘閤
11.5 由粘閤的一半到粘閤
11.6 粘閤間的比較函子組
11.7 穩定t-結構和粘閤的關係
11.8 可裂粘閤與Calabi-Yau範疇
11.9 對稱粘閤
11.1 0應用1：有限維數和整體維數
11.1 1應用2：粘閤誘導的$t$-結構
11.1 2導齣範疇的粘閤
1.1 3奇點範疇的粘閤
習題

第12章 附錄：範疇論中若乾基本概念和結論
12.1 範疇
12.2 核與餘核
12.3 函子範疇
12.4 範疇的等價
12.5 直和、直積、加法範疇
12.6 加法函子
12.7 可錶函子和Yoneda引理
12.8 伴隨對
12.9 Abel範疇
12.1 0Abel範疇中有關正閤性的若乾引理
12.1 1正閤函子
12.1 2投射對象與內射對象
12.1 3生成子和餘生成子
12.1 4正嚮極限與逆嚮極限
12.1 5Abel範疇中的Grothendieck條件
12.1 6Grothendieck範疇
習題
主要參考文獻
其他參考文獻
中英文名詞索引
常用記號
《現代數學基礎叢書》已齣版書目

前言/序言

深入淺齣：現代數學中的代數結構與拓撲聯係 本書聚焦於代數拓撲、同調代數以及範疇論在描述現代數學結構中的核心作用，旨在為讀者構建一座連接抽象代數與幾何概念的橋梁。 本書是一部麵嚮具有紮實代數基礎（群論、環論、綫性代數）和初步拓撲學知識（同倫、同調的初步概念）的讀者，深入探討代數結構如何通過範疇的語言被精確描述、分類和相互轉換的專著。全書結構嚴謹，從基礎概念齣發，逐步引入高階工具，力求在保持數學嚴謹性的同時，兼顧讀者的理解路徑。 第一部分：範疇論的基石與應用 本部分作為全書的理論基礎，詳細闡述瞭範疇論的核心概念及其在數學各個分支中的普遍適用性。我們不會停留在對“對象”和“態射”的簡單羅列，而是深入挖掘範疇論作為一種“元語言”的強大威力。 1. 範疇的基本結構與性質： 我們從定義一個範疇所需的最小元素——對象、態射、復閤、恒等態射——開始。重點剖析瞭函子（Functor）和自然變換（Natural Transformation）的概念，強調自然性如何保證數學結構在不同範疇間的“忠實”映射。通過對“積”和“上積”（極限與上極限）的詳細討論，我們展示瞭範疇論如何抽象地定義集閤論中的笛卡爾積、群論中的直積等結構，揭示瞭它們統一的內在聯係。 2. 特殊範疇的構造： 本章著重介紹瞭幾種在代數和幾何中至關重要的範疇類型。我們詳細討論瞭阿貝爾範疇（Abelian Categories）的特性，例如短正閤列、核與上核的存在性與構造，並闡明瞭為何這些性質是同調代數得以建立的必要前提。此外，也探討瞭預加法範疇和預交錯範疇（Pre-additive and Pre-crossed Categories）的概念，為後續引入鏈復形打下基礎。 3. 伴隨函子（Adjoint Functors）： 伴隨關係被認為是範疇論中最深刻、最富有洞察力的結構之一。本書用大量的例子（如自由函子與遺忘函子、張量積與Hom函子之間的伴隨）來闡釋左伴隨與右伴隨的對偶性。我們深入分析瞭伴隨函子在構建代數結構（如自由代數、張量代數）時所扮演的關鍵角色，並展示瞭其在拓撲語境中（如連續映射與同調類之間的關係）的應用潛力。 --- 第二部分：同調代數的根基與鏈復形理論 本部分將理論的視角轉嚮代數拓撲和錶示論的基石——同調代數。我們強調瞭鏈復形（Chain Complexes）作為信息傳遞載體的核心地位。 4. 鏈復形與鏈映射： 我們精確定義瞭鏈復形，並引入瞭鏈映射的概念，特彆是鏈同倫（Chain Homotopy）。本書通過實例說明，為何僅憑態射本身不足以捕捉到結構間的“柔性”，而鏈同倫則提供瞭處理這種“形變不變性”的工具。我們詳細分析瞭短正閤列在鏈復形範疇中的意義，並推導齣五引理（The Five Lemma）的證明及其在核、上核計算中的實用價值。 5. 導齣函子與張量積的推廣： 這是本書技術性較強但至關重要的一部分。我們首先迴顧在阿貝爾範疇中定義張量積和Hom函子的局限性（特彆是在非交換或非光滑的環境下）。為瞭剋服這些局限，本書詳細構建瞭投射分解（Projective Resolutions）和內射分解（Injective Resolutions）。隨後，我們基於這些分解，係統地定義瞭Tor 函子和Ext 函子。我們展示瞭如何利用這些導齣函子，將原有的代數關係推廣到更廣泛的設置中，例如在環論中計算平坦模和外同集。 6. 譜序列的初步引入（基於長正閤列）： 雖然我們將深入的譜序列分析留待後續更高階的教材，但本部分利用鏈復形範疇中的短正閤列來推導齣長正閤列（Long Exact Sequences）的構造方法。我們展示瞭從一個短正閤列中如何自然地導齣關於上同調群的無限序列，這是所有譜序列結構的最基本體現。 --- 第三部分：拓撲空間與代數結構的互動 本部分將抽象的代數工具應用於具體的拓撲問題，主要關注基礎拓撲不變量的代數實現。 7. 基本群與覆蓋空間： 我們討論瞭基本群（Fundamental Group）作為一種“非交換”的代數不變量，在區分拓撲空間上的“洞”方麵的作用。本書隨後引入瞭覆蓋空間（Covering Spaces）的概念，並利用範疇論的語言描述瞭覆蓋變換群（Covering Transformation Group）。關鍵在於，我們利用群的錶示理論，將覆蓋空間的問題轉化為群作用的代數問題，展示瞭萬有覆蓋（Universal Cover）的唯一性和其在代數結構上的反映。 8. 同倫群與縴維化序列： 在分析更高階的同倫群時，我們引入瞭縴維叢（Fiber Bundles）的概念。本章的核心是證明著名的邁耶-維托裏斯序列（Mayer-Vietoris Sequence）的代數構造過程，該序列是利用鏈復形範疇上的分解結構，將一個空間分解為兩個子空間的同調群聯係起來。我們強調瞭縴維化序列（Fibration Sequences）在同倫理論中的作用，並展示瞭它如何導齣同倫群的長正閤序列，這在計算流形的上同調類時具有不可替代的地位。 9. 範疇論在幾何中的應用： 最後，本書簡要探討瞭代數幾何和微分幾何中範疇論的應用。我們討論瞭層（Sheaves）作為一種“局部到整體”的工具，在代數結構上如何被框架化為一種特殊的範疇結構（層範疇）。通過介紹局部環化（Localization）的概念，我們展示瞭如何通過“反演”某些態射來構造新的、更精細的範疇，這為理解局部化在代數和幾何分析中的重要性提供瞭範疇論的視角。 總結： 本書的最終目標是培養讀者運用範疇論思維來解決復雜代數和幾何問題的能力。它強調瞭抽象結構的統一性，而非孤立知識點的堆砌。讀者在完成本書的學習後，將能夠熟練地在不同的數學領域間切換視角，並具備理解更前沿研究（如$K$理論、高階範疇理論）所需的基礎理論素養。本書的論證過程力求清晰、詳盡，並配有精心挑選的例證和練習，以鞏固對核心概念的掌握。

評分☆☆☆☆☆

我一直堅信，好的數學書籍不僅要嚴謹地傳遞知識，更要能夠激發讀者的思考和探索欲。這本書的名字，"三角範疇與導齣範疇"，光聽起來就充滿瞭高級數學的氣息，讓我聯想到那些在現代代數研究中扮演著核心角色的重要工具。我一直對如何將不同數學分支的深刻思想融會貫通感到好奇，而範疇論正是實現這一目標的有力武器。這本書似乎在嘗試著將某些看似獨立的數學概念聯係起來，構建一個更宏觀、更統一的理論框架。我非常期待它能提供一些新穎的視角，讓我能夠跳齣原有的思維定勢，看到數學研究中那些更深層次的聯係。也許，通過學習這本書，我能夠更好地理解那些在頂尖數學期刊中齣現的論文，理解那些研究者們是如何構建和運用這些強大的理論工具的。這種學習的動力，來自於對未知數學世界的渴望，來自於對知識邊界的不斷拓展。

評分☆☆☆☆☆

當我看到這本書的書名時，一種強烈的求知欲油然而生。我一直認為，數學的魅力在於它能夠用抽象的語言描述極其普遍的規律，而範疇論無疑是這種抽象化和普遍化的集大成者。我對於“三角範疇”和“導齣範疇”的理解，目前還停留在一些非常初步的層麵上，更多的是一種模糊的概念認知，而缺乏係統性的學習。我深信，掌握瞭這些概念，將能夠極大地提升我在代數幾何、錶示論、甚至代數拓撲等領域的分析能力。我非常期待這本書能夠提供一種係統、深入的學習路徑，讓我能夠真正掌握這些強大的數學工具。我希望它能夠幫助我建立起一套嚴謹的邏輯框架，能夠清晰地理解不同數學對象之間的同態關係，以及如何在不同範疇之間進行遷移和轉換。

評分☆☆☆☆☆

我最近在啃一些同調代數的經典文獻，發現很多地方都會涉及到“三角範疇”和“導齣範疇”的概念。坦白說，我之前對這些概念的理解一直都是斷斷續續的，像是拼湊起來的碎片，缺乏一個整體性的認識。我希望能通過這本書，能夠係統地學習這些內容，構建起一個完整的知識體係。我特彆希望書中能夠解釋清楚，為什麼“三角範疇”和“導齣範疇”在同調代數中如此重要，它們到底解決瞭哪些問題，又提供瞭哪些新的視角。我期待書中能有詳細的例子，能夠展示這些抽象概念如何在具體的代數結構中得到體現。對我而言，這本書不僅僅是關於數學概念的學習，更是一種數學思維的訓練，一種理解數學深層結構的嘗試。

評分☆☆☆☆☆

老實說，我對範疇論的初次接觸，是在學習某些代數幾何教材的時候，當時感覺像是霧裏看花，很多概念雖然寫在書上，但總覺得缺少一些內在的聯係和清晰的圖景。這本書的齣現，就像是在一片迷霧中點亮瞭一盞燈。我一直認為，“三角範疇”和“導齣範疇”是連接不同代數結構，尤其是同調代數和錶示論之間橋梁的關鍵。我希望這本書能夠循序漸進地引導我，從基礎的範疇論概念齣發，逐步深入到這些更復雜但又至關重要的結構。我期待它能夠提供清晰的定義、豐富的例子，以及一些巧妙的論證，幫助我理解這些概念的本質和它們之間的關係。我希望這本書不僅僅是一本工具書，更是一本能夠啓發我思考，讓我能夠真正“理解”這些數學概念的書。

評分☆☆☆☆☆

我剛拿到這本書，就被它的封麵設計吸引瞭，那種深邃的藍色搭配抽象的幾何圖形，似乎預示著裏麵蘊含著令人著迷的數學世界。我一直對抽象代數和同調代數有著濃厚的興趣，而“範疇論”這個詞本身就充滿瞭神秘感和吸引力。盡管我之前接觸過一些範疇論的基礎概念，比如函子、自然變換，但對於“三角範疇”和“導齣範疇”這樣更深入的主題，我一直感到有些望而卻步。這本書的齣現，讓我看到瞭一個深入探索這些高級概念的絕佳機會。我期待著它能夠為我揭開範疇論神秘的麵紗，讓我能夠更清晰地理解那些看似抽象卻又至關重要的數學結構。這本書的題目本身就帶著一種挑戰感，也充滿瞭數學的美感，仿佛是通往更高層次數學理解的一扇門。我希望能在這本書的指引下，一步步構建起對這些復雜概念的直觀認識，並最終能夠將它們應用於解決更具體的問題，比如在代數幾何或者錶示論中的應用。

評分☆☆☆☆☆

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評分☆☆☆☆☆

一本三角範疇理論的入門書，每章均配有習題並包含提示，值得每個代數專業的研究生擁有。

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值得研究生們購買閱讀

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一本好書，值得購買。