幾何新方法和新體係（第二版） pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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張景中 著

圖書標籤:

• 幾何學
• 初等幾何
• 進階幾何
• 幾何新體係
• 幾何教學
• 數學教育
• 平麵幾何
• 立體幾何
• 數學方法
• 問題解決

齣版社： 科學齣版社有限責任公司

ISBN：9787030446831

版次：1

商品編碼：11741463

包裝：平裝

叢書名： 走進教育數學

開本：16開

齣版時間：2015-07-01

頁數：280

正文語種：中文

編輯推薦

《幾何新方法和新體係》可供中學數學教師、師範院校數學教師、數學愛好者、數學奧林匹剋工作者和參賽者以及數學研究工作者參考.

內容簡介

幾何新方法和新體係第二版張景中著北京《幾何新方法和新體係》分上下兩篇.上篇通俗地闡述瞭作者所開創的幾何解題的“消點法”.用這個方法可以機械地判定所謂“等式型可構造幾何命題”的真假.命題成立時還能夠産生人容易檢驗和理解的證明，即可讀證明.《幾何新方法和新體係》先引入作者所發展的係統麵積方法的兩個基本工具，即共邊定理和共角定理.接著在共邊定理的基礎上把麵積方法算法化，係統地建立瞭麵積消點方法.此外還進一步指齣，消點不限於麵積法，在全角法、三角法、嚮量法以及復數法的基礎上也能建立消點法.下篇則對幾何公理體係提齣瞭新的見解，指齣傳統的歐幾裏得公理體係和希爾伯特公理體係的不足，並提齣一個與麵積法相適應的平麵幾何公理體係，證明瞭這個體係和希爾伯特公理體係的等價性.

目錄

總序第二版前言
第一版前言
上篇
第1章大師談小題九點七綫麵積奏奇效一箭三雕3
第2章總結經驗按圖索驥探索規律摸石過河9
第3章見微知著從偶然到必然得隴望蜀識技巧齣方法15
第4章由此及彼說瞭共邊講共角舉一反三算過三角比四邊24
第5章步步為營行看風起雲湧層層消點坐等水落石齣35
第6章單直尺作圖名傢點題平行綫消點新法立功47
第7章垂直綫難用麵積相比勾股差恰如嚮量點乘61
第8章勾股差消去垂綫上點新公式證明三高共心71
第9章有圓有綫豐富多彩看弧看角簡捷明快86
第10章有嚮弦破解共圓點問題消點法證明托勒密等式100
第11章消兩圓交點勾股差再立功解多支問題消點法須發展111
第12章全角概念粉墨登場西姆鬆綫輕鬆獲證122
第13章改造幾何體係舊瓶新酒梳理消點方法長話短說136
第14章三角和嚮量也能消點復數比麵積更善攻堅148
第15章幾何機器證明萬題同法數學自動推理美夢成真158
下篇
第16章幾何世界說古論今公理體係追本溯源167
第17章歐幾裏得創原本開宗明義希爾伯特論基礎嚴謹精深173
第18章現代數學慣用抽象結構古典幾何嵌入度量空間180
第19章幾何公理服務現代教育數學泰鬥撰寫初中教材186
第20章四大概念引領公理體係三種度量演繹平麵幾何191
第21章四點共麵新法新招兩綫平行換湯換藥197
第22章角度登颱原為方便平行新證更加嚴謹215
第23章體係對比多位一體結構互容各有韆鞦228
第24章度量為綱輕車熟路體積唱戲故道新蹤243
第25章拋磚引玉願益學子投石問路敬待來人251
參考文獻 254

精彩書摘

上篇
第1章
大師談小題九點七綫
麵積奏奇效一箭三雕
著名數學大師華羅庚，在《1978年全國中學生數學競賽題解》前言中，談到瞭這樣一個有趣的幾何題：
【例1.1】凸四邊形ABCD的兩邊AD、BC延長後交於K，兩邊AB、CD延長後交於L．對角綫BD、AC延長後分彆與直綫KL交於F，G．
求證：KFLF=KGLG.
圖1-1
如圖1-1．隻看圖，不看文字，題目也是一目瞭然的．幾條直綫那麼一交，不附加任何彆的條件，憑空就要你證明一個等式，似乎不容易下手．華羅庚在指齣這個題目包含瞭射影幾何的基本原理之後，給齣瞭用中學生所掌握的知識解決它的方法．下述證明引自華羅庚先生所寫的前言原文：
證明1設△KFD中KF邊上的高為h，利用
得到
同理，再求齣LF，LG與KG的類似錶達式．因而
同樣可得到
所以
類似地可以證明
由此可見KFLF？LGKG2=1， 即證得結論．□
也許你一時還掌握不瞭上述證明的要領．那不要緊．等一下講一個簡單點的證法．為瞭介紹那個簡單的證法，先要復習一點小學生的幾何知識：
三角形的麵積等於底乘高的積的一半．
並且由此可知：
共高三角形的麵積比等於底之比．
彆以為這兩條命題平凡簡單，它們是平麵幾何中最重要的基本事實．從它們齣發，馬上可得一個用途極廣的幾何解題工具，即
共邊定理若直綫AB與PQ交於M，則有
△PAB△QAB=PMQM．
圖1-2
證明1不妨設A與M不同， 則
證明2在直綫AB上取一點N使MN=AB，則△PAB=△PMN，△QAB=△QMN．所以
這兩種證法均適用於圖1-2的四種情形．在證明2中添加的點N，我們在圖1-2中沒有畫齣，留給讀者來做．
有瞭共邊定理，便可以對例1.1給齣一個十分簡捷的證法：
證明2由共邊定理得
這比起前一個證法，不但簡捷，起點也低得多．共邊定理比正弦概念要簡單些，準備知識少得多．不但如此，這個證法還有一箭三雕的效果．請看下麵的例子.
【例1.2】在圖1-1中，試證：
MDMB=FDFB.
圖1-3
證明改寫圖中字母如圖1-3所示，要證的等式成為
KFLF=KGLG，
證法是一字不改地照抄例1.1的證明2，
KFLF=△KBD△LBD=△KBD△KBL？△KBL△LBD
=CDCL？AKAD=△ACD△ACL？△ACK△ACD
=△ACK△ACL=KGLG .□
【例1.3】在圖1-1中，試證：
圖1-4
證明把圖1-1中的字母重新標注如圖1-4所示，則要證的等式為
證法仍然是照抄例1.1的證明2，
看來，例1.1確是一個富有啓發性的題目．它嚮我們提齣瞭一串問題．
第一個問題：數學大師花瞭很大氣力纔證齣來的等式，怎麼會變得如此簡單容易?
首先，不要忘瞭，我們是站在大師的肩膀上，當然應看得更遠，更清楚．後人比前人做得更好，是自然的．其次，具體一點的理由，是我

前言/序言

幾何學前沿探索：傳統範式與現代視角的交匯 圖書名稱：《解析幾何的演進：從歐幾裏得到非歐幾何的理論重構》 內容簡介： 本書旨在深入剖析解析幾何在近現代數學發展中的核心地位與演變軌跡，重點探討其如何作為連接經典幾何直覺與抽象代數工具的橋梁，推動瞭數學思想的深刻變革。我們不著眼於對既有經典教材的簡單復述，而是聚焦於解析幾何理論體係的內在邏輯張力、其在跨學科應用中的潛力，以及其麵對非歐幾何和拓撲學挑戰時的理論重構過程。 全書結構圍繞三大核心闆塊展開：“空間模型的構建與基石的再審視”、“高維解析的代數化與微分幾何的興起”，以及“非綫性範式的挑戰與現代幾何的融閤”。 第一部分：空間模型的構建與基石的再審視 在這一部分，我們將首先迴顧歐幾裏得幾何嚮笛卡爾坐標係轉化的曆史必然性。然而，我們的關注點並非停留在坐標係的建立技巧，而是深入探究“空間本質的代數化”這一哲學性飛躍。 1. 綫性空間的預兆：仿射與射影幾何的交融： 傳統解析幾何依賴於特定度量（如歐氏距離）。本書將追溯射影幾何對“點”、“綫”、“麵”基本概念的解耦過程。射影幾何如何通過對無窮遠點的引入，統一瞭平行綫與相交綫的概念，為後來的微分幾何提供瞭更基礎、更具包容性的框架？我們將詳細分析單應（Homography）和對偶性原理，闡釋它們如何為解析錶示法（如齊次坐標）的推廣奠定瞭理論基礎，使得幾何變換的代數描述更加簡潔和統一。 2. 度量選擇的相對性： 經典的解析幾何往往默認使用內積來定義距離和角度。本書將挑戰這一“先驗”的度量假設。在研究二次型（Quadratic Forms）時，我們將係統分析不同度量張量對軌跡方程的影響。例如，洛巴切夫斯基幾何（雙麯幾何）的解析模型，如何通過引入特定的度量矩陣，在不改變基礎綫性代數結構的前提下，導齣瞭與歐氏空間截然不同的幾何結論。這部分強調的是，解析方法本身是中性的，幾何的特性由所選取的度量結構決定。 3. 拓撲的萌芽：不變量的解析錶達： 在綫性代數和初等解析幾何中，我們關注長度和角度等度量不變量。本書將引入拓撲不變量的概念，探討如何用解析工具（如連續映射、同胚）來描述那些在伸縮、彎麯等形變下保持不變的性質。我們探討瞭早期解析拓撲學思想的雛形，即如何用函數的連續性來刻畫空間結構，為後續的微分拓撲打下解析基礎。 第二部分：高維解析的代數化與微分幾何的興起 隨著物理學和工程學對多維空間的探索，解析幾何的重點從二維和三維平麵/空間，轉嚮瞭抽象的$n$維流形。 1. 張量分析的解析基礎： 傳統解析幾何使用坐標分量進行運算。然而，在坐標係鏇轉或變換時，這些分量會發生復雜的混閤。本書將重點解析張量作為解析幾何的“語言革命”。張量如何提供瞭一種獨立於坐標係的幾何描述？我們將詳細剖析協變和逆變分量、黎曼麯率張量等關鍵概念，解釋它們如何使得在任意坐標係下描述測地綫、麯率和張力成為可能，這是經典解析幾何無法企及的深度。 2. 麯綫與麯麵的微分幾何： 微分幾何是解析幾何在連續空間上的自然延伸。我們不會停留在計算麯率的公式層麵，而是關注其背後的微分算子。如何利用偏微分方程（PDEs）來描述空間中的局部幾何特性？例如，錶麵最小化問題（如肥皂膜的形狀）本質上就是對特定泛函的極值求解，這完全依賴於解析工具的集成。本書將深入探討第一、第二基本形式的解析意義，以及它們如何精確量化瞭空間內蘊麯率。 3. 歐拉-拉格朗日方程在幾何中的應用： 通過將幾何量（如長度、麵積）視為泛函，我們可以利用變分法來研究幾何對象的“最優”形態。我們將解析地導齣歐拉-拉格朗日方程在幾何問題中的具體形式，展示解析方法如何直接服務於發現自然界中最簡潔的幾何結構。 第三部分：非綫性範式的挑戰與現代幾何的融閤 現代數學的發展要求幾何學超越綫性空間的局限，直麵非綫性和復雜結構的挑戰。 1. 黎曼幾何的解析結構： 廣義相對論的成功建立在黎曼幾何之上。本書將解析地考察黎曼度規如何被視為一個隨空間變化的二次型張量場，並分析測地綫方程（一個二階非綫性常微分方程組）的解析解法與穩定性。重點將放在度規張量在描述時空彎麯方麵的不可替代性，以及它如何統一瞭引力和運動的幾何描述。 2. 辛幾何與保守係統的解析錶達： 經典力學中的哈密頓係統具有深刻的幾何結構，即辛結構。本書將介紹辛形式（Symplectic Form）的解析定義，它如何提供瞭一種不依賴於度量、專注於描述相空間中流體動力學和保守係統演化的幾何框架。辛幾何的解析工具，如李導數（Lie Derivative）在保持辛結構不變的流下的應用，展示瞭解析方法在動力係統理論中的新方嚮。 3. 拓撲與解析的交匯點：同調理論的解析雛形： 雖然同調論是代數拓撲的核心，但其早期的發展與解析幾何息息相關。我們將探討微分形式（Differential Forms）的概念，以及通過德拉姆上同調（de Rham Cohomology）將拓撲信息編碼到解析函數和微分算子中的方法。斯托剋斯定理的推廣，作為格林、高斯、斯托剋斯定理在微分流形上的統一，完美體現瞭解析計算如何揭示更高維度的拓撲真相。 總結： 《解析幾何的演進：從歐幾裏得到非歐幾何的理論重構》旨在為讀者提供一個超越經典二維繪圖的解析幾何視角。它強調解析工具（坐標係、函數、微分算子、張量）如何成為探索空間本質、構建復雜幾何模型的強大引擎，特彆是在處理高維、非綫性、非歐度量結構時的理論深度和靈活性。本書適閤具備紮實微積分和綫性代數基礎，希望深入理解現代幾何學和理論物理學中解析基礎的讀者。

評分☆☆☆☆☆

坦白說，一開始我對《幾何新方法和新體係（第二版）》抱有很大的期待，但同時也有一絲擔憂，畢竟“新方法”和“新體係”這些詞匯，往往意味著較高的閱讀門檻。然而，在實際閱讀過程中，這種擔憂很快就被驚喜所取代。書的開篇部分，作者就以一種非常吸引人的方式，介紹瞭幾何學發展的曆史脈絡，並引齣瞭為何需要“新方法”和“新體係”的必要性。這種宏觀的視角，讓我對即將展開的深入探討有瞭更清晰的認識。我尤其贊賞書中對不同幾何學派的比較分析，它們之間既有聯係又有區彆，而作者的解讀讓我能夠更好地理解它們的優劣勢以及各自的應用領域。對於書中某些需要數學背景的論證，作者也提供瞭詳盡的解釋和必要的鋪墊，這使得即使我不是專業科班齣身，也能在一定程度上跟隨作者的思路進行理解。總的來說，這本書在保持學術嚴謹性的同時，兼顧瞭內容的易讀性，是一本非常成功的學術著作。

評分☆☆☆☆☆

這本書的齣版，對於我這樣一位長期在科研一綫工作的研究者來說，無疑是一場及時雨。我一直緻力於尋找能夠突破現有理論框架的幾何新思路，而《幾何新方法和新體係（第二版）》恰恰滿足瞭我的這一需求。它所探討的並非是陳舊的歐幾裏得幾何或是簡單的解析幾何，而是更加前沿且富有深度的內容。我欣喜地看到書中對一些新興幾何分支的介紹，這些內容在現有主流文獻中並不常見，卻可能蘊含著未來數學發展的重要方嚮。作者在處理這些復雜概念時，並沒有迴避其內在的難度，而是通過嚴謹而又富有洞察力的論述，為讀者構建瞭一個清晰的認知框架。我特彆欣賞作者在闡述某些抽象概念時，所采用的類比和比喻，這使得原本晦澀難懂的理論變得更加易於理解，同時也引導我去思考這些理論背後更深層次的哲學含義。這本書給我帶來瞭許多新的研究靈感，我已經在其中找到瞭一些值得深入挖掘的課題，並計劃將其融入到我近期的研究工作中。

評分☆☆☆☆☆

作為一名業餘愛好者，我對數學的興趣主要源於對世界運行規律的好奇。《幾何新方法和新體係（第二版）》這本書，以其獨特的視角，滿足瞭我這種探索的欲望。它不像我之前讀過的許多科普讀物那樣，僅僅停留在錶麵現象的描述，而是深入到幾何學本身的邏輯結構，並從全新的角度去解讀。書中的一些“新方法”著實令人耳目一新，它們改變瞭我對一些經典幾何問題的固有認知，讓我看到瞭解決問題的更多可能性。作者在講解過程中，非常注重邏輯的連貫性和清晰性，即使是麵對一些相對復雜的理論，也能夠循序漸進地引導讀者理解。我特彆喜歡書中討論的“體係”構建部分，它讓我認識到，幾何學並非是零散知識點的堆砌，而是一個有機整體，不同分支之間存在著深刻的聯係。閱讀這本書的過程，更像是一次智力的冒險，每一次翻頁都充滿瞭期待，每一次理解都帶來瞭深刻的滿足感。

評分☆☆☆☆☆

我一直認為，數學，尤其是幾何學，是理解宇宙運行奧秘的一把鑰匙。《幾何新方法和新體係（第二版）》這本書，無疑為我提供瞭這樣一把更加鋒利的鑰匙。它所提齣的“新方法”並非是嘩眾取寵的噱頭，而是建立在紮實的理論基礎之上，並展現齣強大的生命力。我驚嘆於作者如何能夠將一些看似獨立的概念融會貫通，形成一個全新的、更具解釋力的“體係”。書中對一些基本幾何公理的重新審視，以及由此衍生的全新定理，讓我看到瞭幾何學發展的無限可能。我特彆喜歡書中對一些抽象幾何概念的具象化處理，例如通過巧妙的圖形設計來展示高維空間的性質，這極大地提升瞭我的理解效率。這本書不僅讓我學到瞭新的幾何知識，更重要的是，它改變瞭我看待幾何問題的方式，讓我學會從更廣闊的視野去思考和探索。這不僅僅是一本書，更像是一次深刻的思維訓練。

評分☆☆☆☆☆

這本《幾何新方法和新體係（第二版）》真是讓我眼前一亮！我一直對幾何學抱有濃厚的興趣，但傳統的教材總給我一種過於抽象、缺乏直觀性的感覺。這本書的齣現，無疑為我打開瞭一扇新的大門。它沒有拘泥於枯燥的定理推導，而是巧妙地將幾何學的概念與一些現實世界的現象聯係起來，讓我感覺不再是孤立地學習數學，而是能看到幾何學在生活中的應用。書中的插圖和圖示也做得非常齣色，它們清晰地展示瞭復雜的幾何構造，讓我能夠更直觀地理解那些抽象的數學語言。我尤其喜歡其中關於“空間想象力”培養的部分，作者提供瞭一些非常有趣且具有挑戰性的練習，不僅鍛煉瞭我的邏輯思維能力，更重要的是，它激發瞭我對幾何學的探索欲。閱讀過程中，我時常會停下來，試圖在腦海中構建齣作者所描繪的幾何模型，這種主動思考的過程讓我對知識的掌握更加深刻。總的來說，這是一本非常值得推薦的書，它以一種新穎且富有啓發性的方式，重新點燃瞭我對幾何學的熱情。

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