微分方程数值解：有限差分理论方法与数值计算 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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张文生 著

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• 微分方程
• 数值解
• 有限差分
• 数值方法
• 科学计算
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• 工程数学
• 计算数学
• 偏微分方程
• 常微分方程

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030447463

版次：1

商品编码：11750856

包装：平装

开本：32开

出版时间：2015-08-01

页数：420

正文语种：中文

编辑推荐

《微分方程数值解：有限差分理论方法与数值计算》可作为计算数学、应用数学、科学与工程计算等理工科相关专业的研究生和高年级学生的教材或参考书, 也可供从事相关研究工作的教师和科研人员参考.

内容简介

《微分方程数值解：有限差分理论方法与数值计算》阐述微分方程有限差分数值求解方法. 首先介绍常微分方程初边值问题的求解方法, 以及收敛性、相容性和稳定性分析; 其次介绍偏微分方程(包括椭圆型方程、抛物型方程和双曲型方程)的有限差分求解方法和一些重要的差分格式, 以及相应的理论分析; 最后介绍有限差分方法在波动方程波场模拟中的应用; 在附录中给出了一些常用公式. 《微分方程数值解：有限差分理论方法与数值计算》结合教学和科研的特点, 不但具有理论的严谨性, 还有较多的例题和数值算例, 以促进理解和应用.

目录

前言
第1章常微分方程初值问题的数值解法1
1.1解的适定性1
1.1.1解的唯一性1
1.1.2解的稳定性3
1.2Euler方法5
1.2.1Euler公式5
1.2.2收敛性分析7
1.2.3渐近稳定性分析10
1.3改进的Euler方法10
1.3.1梯形公式10
1.3.2误差分析12
1.4Runge-Kutta方法13
1.4.1显式Runge-Kutta公式13
1.4.2误差分析23
1.4.3隐式Runge-Kutta公式27
1.5线性多步法30
1.6稳定性分析34
1.7一般线性多步法37
1.7.1待定系数法37
1.7.2数值积分法40
1.8Adams线性多步法41
1.8.1Adams-Bashforth公式41
1.8.2Adams-Moulton公式43
1.9其他线性多步法45
1.9.1Nystr"om方法46
1.9.2Milne-Simpson公式47
1.10Richardson外推47
1.11线性差分方程51
1.11.1非常系数线性差分方程52
1.11.2常系数线性差分方程56
1.12多步法的收敛性和稳定性61
1.12.1稳定性理论62
1.12.2强稳定性和弱稳定性69
1.12.3相对稳定性与绝对稳定性69
1.12.4Dahlquist稳定性理论73
1.13预测!--!校正算法75
1.13.1局部截断误差76
1.13.2修正算法79
1.14刚性方程组的解法82
1.15Hamilton系统的辛几何算法89
1.15.1辛几何与辛代数的基本概念89
1.15.2Hamilton系统的辛格式92
练习题96
第2章两点边值问题的试射法101
2.1边值问题解的存在性和唯一性101
2.2二阶常微分方程的试射法103
2.3二阶非线性常微分方程的试射法104
练习题109
第3章椭圆型方程的差分解法111
3.1二阶线性两点边值问题的差分格式111
3.1.1差分近似112 3.1.2有限体积法114
3.2非线性两点边值问题的差分格式117
3.3Laplace方程的五点差分格式118
3.4有限体积法127
3.5边界条件的处理128
3.5.1Dirichlet边界条件128
3.5.2Neumann边界条件129
3.5.3Robbins边界条件132
3.6轴对称Poisson方程的差分格式135
3.7扩散对流方程139
3.8Poisson方程五点差分格式的收敛性分析140
3.9能量分析法143
练习题147
第4章收敛性、相容性和稳定性150
4.1收敛性150
4.2相容性152
4.3稳定性156
4.4Lax定理159
4.5Fourier级数法稳定性分析161
4.5.1初值问题161
4.5.2初边值问题169
4.5.3vonNeumann条件的充分性173
4.6vonNeumann多项式分析177
4.7Hurwitz判别法187
4.8矩阵法稳定性分析195
4.9能量稳定性分析203
4.9.1双曲型问题203
4.9.2热传导问题207
4.9.3非线性初值问题209
练习题213
第5章抛物型方程的差分解法216
5.1一维常系数扩散方程216
5.1.1向前和向后差分格式216
5.1.2加权隐式格式217
5.1.3三层显格式218
5.1.4二层隐式格式222
5.1.5三层隐格式223
5.2变系数抛物型方程224
5.3非线性抛物型方程226
5.3.1三层显格式226
5.3.2线性化差分格式227
5.3.3CN格式和预测校正格式228
5.4二维热传导方程230
5.4.1加权差分格式230
5.4.2Du Fort-Frankel格式231
5.4.3交替方向隐(ADI)格式231
5.4.4局部一维(LOD)法236
5.5三维热传导方程237
5.6高维热传导方程241
5.7算子形式的热传导方程243
5.7.1CN格式243
5.7.2 CN分裂格式244
练习题247
第6章双曲型方程的差分解法250
6.1线性对流方程250
6.1.1迎风格式250
6.1.2Lax-Friedrichs格式252
6.1.3Lax-Wendroff格式253
6.1.4MacCormack格式254
6.1.5Wendroff隐式格式255
6.1.6Crank-Nicolson格式256
6.2特征线与差分格式257
6.2.1特征线与CFL条件257
6.2.2用特征线方法构造差分格式260
6.3偏微分方程的相位速度和群速度262
6.3.1相位速度262
6.3.2群速度263
6.4数值相位速度和群速度264
6.5修正的偏微分方程269
6.6一阶双曲型方程组的特征形式277
6.7一阶双曲型方程组的差分格式280
6.8二维线性对流方程的差分格式284
6.8.1典型差分格式284
6.8.2ADI格式287
6.9一维声波方程289
6.9.1特征线289
6.9.2显式差分格式291
6.9.3隐式差分格式293
6.9.4方程组形式的差分格式295
6.10二维声波方程298
6.10.1显式格式298
6.10.2隐式格式300
6.11三维声波方程301
6.11.1显式格式301
6.11.2隐式格式304
练习题305
第7章波动方程有限差分波场模拟308
7.1ADI格式308
7.1.1二维声波方程309
7.1.2三维声波方程315
7.2LOD格式319
7.2.1二维声波方程319
7.2.2三维声波方程322
7.2.3高维声波方程324
7.3高精度LOD格式325
7.3.1稳定性分析327
7.3.2初边值条件329
7.3.3数值计算330
7.4高阶紧致隐式格式334
7.5二维弹性波方程的交错网格法338
7.6二维弹性波方程的有限体积法343
7.6.1公式推导343
7.6.2数值计算346
7.7三维弹性波方程的交错网格法348
7.8多孔含流体弹性介质方程的交错网格法355
7.8.1弹性多孔介质方程------Biot方程355
7.8.2基于速度压力方程的交错网格法358
7.8.3二维数值计算363
7.8.4三维数值计算364
7.9三维弹性波方程的能量稳定性分析373
7.10三维电磁场方程381
附录1差分系数的计算390
附录2常用公式和定理396
参考文献401
索引406

精彩书摘

第1章常微分方程初值问题的数值解法
1.1解的适定性
常微分方程是描述物理模型的重要工具之一，本章介绍求解常微分方程初边值 问题的数值方法.考虑如下一阶常微分方程的初值问题
其中函数f(x，y)已知， 且在区域(x，y) in D= (x，y)| a leqslant xleqslant b， - infty< y< infty 中连续. 对某些常微分方程，可以求得精确解. 例如，
是一个一阶线性微分方程， g(x)在[0， infty)上连续.满足条件y(x_0)=y_0的精确解为
又如， 非线性常微分方程
的通解为
其中c是任意常数. 注意= infty，因此f(x，y)=-y^2的全局光滑性并不保证解的 全局光滑性.在数值求解之前， 本节先论式( ref1.1)的适定性，即解的存在性、唯一性和稳定性. 假定所讨论问题的解总存在.
1.1.1解的唯一性
若f(x，y)是x和y的连续函数，且关于y满足Lipschitz条件条件， 即
使得
对D中所有的(x，y_1)和(x，y_2)均成立， 则式( ref1.1)有唯一解.
证明 将式( ref1.1)改写成等价的积分方程
为证明式(1.1.7)有唯一解， 在[x_0- alpha， x_0+alpha]上定义一个函数序列y_n(x)
常数 alpha的选择要求满足
若 alpha选择得充分小， 则所有y_n(x)仍在D中， 且在[x_0-alpha，x_0+ alpha] 上一致收敛到函数y(x). 在式(ref1.10)中取极限， 得
此即式( ref1.1)的解.
下面分析收敛速度. 由式( ref1.10)和式( ref1.12)得
因右端项与x无关， 左端在[x_0- alpha，x_0+ alpha]上取极大值， 故有
再由式( ref1.11)知， 每次迭代误差减小 alpha L倍，因此是线性收敛的.最后证明解y(x)的唯一性. 设 tildey(x)是另一个解， 则
同式( ref1.14)一样， 有
因为 alpha L<1， 从而 tildey(x)=y(x) vspace1.5mm.
若 dfrac partial f(x，y) partial y在D上存在并有界， 则条件(ref1.6)满足.
实际上取则根据中值定理， 存在 xi_x in [y_1，y_2]，有
再结合式( ref1.7)即得式( ref1.6). square th
例1.1.1 考虑
根据式( ref1.7)， 由
可得Lipschitz常数L=1. 因此对于 forall (x_0，y_0) (0例1.1.2 考虑
y'= dfrac2xa^2y^2， quad y(0)=1，
其中a>0为任意常数. 为确定Lipschitz常数， 计算
dfrac partial f(x，y) partial y= dfrac4xya^2，
为满足Lipschitz条件， 我们选择区域D使得x，y有界即可，从而初值问题有唯一解. 实际上， 该问题的精确解是
y(x)= dfraca^2a^2-x^2， quad -a解的稳定性当初值问题( ref1.1)有扰动时， 讨论解y(x)的稳定性. 考虑扰动问题
其中 delta(x)关于x连续， f(x，y)满足定理 refTheorem1的条件，从而问题( ref2.1) 有唯一解. 解记为y(x; delta， varepsilon)， 即
假设 varepsilon和 delta满足
则解的误差
满足下面的定理1.1.2. beginThm labelTheorem2 rm kaishu
~假定f(x，y)是x和y的连续函数，且关于y满足Lipschitz条件， linebreak delta(x)在D上连续，则扰动解y(x; delta， varepsilon) 满足
其中 tildeL=1/(1- alpha L)，并称初值问题关于数据的扰动是稳定的.th
证明 由式( ref2.4)得
从而
即
定理1.1.2表明解连续依赖于数据.~如果解连续依赖于数据， 就称初值问linebreak题( ref1.1)关于数据的扰动是良态 index良态的，否则就称病态的 index病态. 由式( ref2.5)知， 由于varepsilon和 delta(x)在该式右端的作用等价， 所以为简单起见，可以令 delta=0. th
例1.1.3 考虑
该问题的精确解为y(x)= rm e^-x. 对初值作扰动， 取y(0)=1+varepsilon， 这时精确解为
显然， 对任意 varepsilon neq 0， 扰动解y(x;varepsilon)偏离真实解y(x)= rm e^-x 很大. 该问题是病态linebreak问题.
事实上， 当 dfrac partial f(x，y(x)) partial y>0时， 初值问题(ref1.1)是一个病态问题. 考虑
由式( ref2.4)知
其中z(x; varepsilon)=y(x; varepsilon)-y(x). 式(ref2.12)可转化为线性微分方程
其解为
当 dfrac partial f(t，y(t)) partial y>0时， z(x;varepsilon)是x的增函数.
sectionEuler方法 setcounterequation0
本节首先介绍数值求解一阶常微分方程初值问题(ref1.1)的最简单的一种单步法 !------ ，Euler方法，并分析Euler方法的收敛性和(渐近)稳定性.Euler方法是一个一阶精度的显式计算格式. subsectionEuler公式目标是在一系列网格点 vspace-1mm上求初值问题解的近似值. 数值解的近似值记为 vspace-1mm相应的解的精确值记为 vspace-1mmEuler方法是指用 kaish
u Euler公式
i

前言/序言

《计算数学基础：算法设计与实现》 图书简介 本书旨在为读者提供一套坚实的计算数学基础，重点关注数值算法的设计、分析与实际应用。内容涵盖了从基础的线性代数运算到复杂的优化问题求解等核心领域，旨在培养读者运用数学工具解决实际工程与科学计算问题的能力。 第一部分：数值计算基础与误差分析 本部分奠定整个计算数学的理论基石。首先，我们将深入探讨实数系统中的浮点表示与运算，详细解析计算机在处理连续数学问题时必然引入的截断误差与舍入误差，并引入有效数字、病态问题等关键概念，使读者对数值计算的局限性有清醒的认识。 随后，我们将系统地介绍误差的传播与放大规律，通过具体的数值算例展示不同算法对误差的敏感性。线性代数方程组的求解是数值计算的基石，本书将详细阐述矩阵的范数、条件数的意义，并对比直接法（如高斯消元法、LU分解、Cholesky分解）和迭代法（如雅可比法、高斯-赛德尔法）的优缺点及其收敛性判据。特别地，针对大规模稀疏矩阵，本书会介绍针对性的分解技术。 第二部分：插值与函数逼近 函数逼近是连接离散数据与连续函数的桥梁。本章从离散数据点出发，系统地构建插值函数。我们将首先讨论拉格朗日插值和牛顿插值的多项式形式，并深入分析其局限性，特别是高次插值可能导致的Runge现象。 为克服高次多项式的波动性，本书重点介绍了分段插值技术。分段线性插值是基础，而三次样条插值（Cubic Spline Interpolation）则被详尽阐述，包括其构造原理（自然边界条件、固定端点条件）和二次导数连续性的几何意义。 在函数逼近方面，本书从最小二乘原理出发，推导了多项式最小二乘拟合，以处理不完全吻合的观测数据。此外，我们还将引入傅里叶级数与离散傅里叶变换（DFT）的基础知识，为后续信号处理和周期性函数的分析打下基础。 第三部分：数值积分 计算定积分是数值分析中另一个核心任务。本部分将不再依赖解析求解，而是采用基于函数值的离散方法。 我们从最直观的牛顿-科茨公式族开始，包括梯形法则和辛普森法则的推导过程，并详细分析其代数精度和误差项。通过复化公式（如复化梯形法则、复化辛普森法则），我们可以显著提高积分精度。 更进一步，本书介绍了精度更高的高斯求积公式，解释了高斯点和高斯权重的确定原理，以及其在特定区间上的优越性。最后，对于积分区域不规则或被积函数奇异的情况，我们将讨论自适应步长控制的数值积分策略，确保在保证精度的前提下优化计算效率。 第四部分：非线性方程求解 求解 $f(x) = 0$ 形式的非线性方程是科学计算中的常见问题。本书将分类讨论一维和多维非线性方程的求解方法。 对于一维非线性方程，我们将对比区间套用法（如二分法）的稳健性与开区间的迭代法，包括不动点迭代、牛顿法（及其收敛性分析，特别是二次收敛的特性）和割线法。我们还会探讨正则假合法（False Position Method），并引入欠牛顿法（Quasi-Newton Methods）的思想，以避免在牛顿法中计算导数。 针对多变量非线性方程组 $mathbf{F}(mathbf{x}) = mathbf{0}$，本书集中介绍多维牛顿法的迭代步骤、雅可比矩阵的构建与求解，以及其在实际工程优化问题中的应用背景。 第五部分：优化算法基础 优化问题是寻求目标函数最优值的过程，是现代计算科学的核心分支。本部分聚焦于无约束优化问题。 我们从必要条件——梯度和Hessian矩阵的性质开始。对于最速下降法（梯度下降法），本书详细分析了其线搜索（Line Search）过程的重要性，并讨论了步长选择策略。 随后，本书将介绍收敛速度更快的牛顿法和拟牛顿法（如DFP和BFGS算法），阐述它们如何通过近似Hessian矩阵来平衡计算成本与收敛速度。我们将详细分析这些算法的迭代更新公式，以及如何在实践中选择合适的终止准则。 第六部分：数值线性代数的进阶话题 本部分是对第一部分线性代数求解的深化，着眼于特征值问题和大规模系统的处理。 特征值问题是结构分析、量子力学和数据降维（如PCA）的基础。本书将介绍幂迭代法用于求解最大特征值和特征向量，以及反幂迭代法用于求解接近特定值的特征值。对于求解所有特征值，我们将介绍QR算法的原理，这是现代数值线性代数中最重要的算法之一。 对于特别庞大的稀疏矩阵，迭代法是唯一的选择。本书将复习雅可比法和高斯-赛德尔法，并引入更强大的Krylov子空间方法，如共轭梯度法（CG）用于对称正定系统，以及GMRES方法用于一般线性系统，分析它们的收敛速度与预处理器的作用。 总结与展望 全书贯穿着算法的严谨推导、收敛性分析、复杂度的评估以及MATLAB/Python等环境下的实现示例。本书旨在为读者提供一个全面、深入且实用的计算数学工具箱，使其能够理解和高效地实施现代数值方法。本书适合高等院校理工科专业高年级本科生、研究生，以及从事科学计算、工程仿真和数据分析的专业技术人员参考。

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这是一本充满智慧的学术著作，它不仅仅是一本关于数值方法的教科书，更是一门关于如何用数学工具解决实际科学问题的艺术。作者在书中展现了深厚的理论功底和丰富的工程实践经验，将有限差分法的精髓展现得淋漓尽致。我尤其欣赏作者在处理数值稳定性问题时的独到见解。通常，关于稳定性条件的推导会非常枯燥，但作者通过引入诸如“冯·诺依曼稳定性分析”等方法，并结合具体的算例，将抽象的稳定性概念转化为可理解、可操作的指导原则。在我看来，书中最有价值的部分之一是关于“非线性问题的数值解”的探讨。很多实际问题都涉及到非线性微分方程，其数值求解难度远大于线性问题。作者在这方面提供了非常系统和全面的方法，从迭代法的选择到收敛性的判断，再到如何处理方程组的求解，都做了深入的讲解。这些内容对于我目前正在进行的研究项目具有直接的指导意义。书中的许多图表都经过精心设计，不仅美观，而且能够非常直观地展示数值计算的结果和方法的特点。我尝试着将书中的一些算法应用到我自己的研究领域，发现效果非常好，大大提高了我的研究效率。

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初次翻开这本书，我就被其严谨而又不失活泼的学术风格所吸引。作者对于有限差分法的阐述，可谓是既有理论的高度，又不乏实践的深度。对我而言，最困难的部分往往是理解数值方法的收敛性和稳定性分析，但在这本书中，作者用了一种非常直观的方式来解释这些概念。例如，在讨论一些经典的差分格式时，作者会借助相速度的概念来分析离散化误差的传播，并用生动的比喻来解释为何某些格式会在特定条件下表现出不稳定性。这种将抽象的数学概念“具象化”的处理方式，对于我这样更加偏向应用和理解的读者来说，非常有帮助。而且，书中的数学推导过程清晰流畅，每一步的逻辑都衔接得非常自然，不会让人感到突兀。更重要的是，书中不仅仅满足于介绍各种数值算法，而是更进一步地探讨了不同算法在特定物理场景下的适用性和优缺点。比如，在模拟一些具有激波或边界层特性的问题时，作者会详细分析各种差分格式在该场景下的表现，并提出一些改进建议，这对于实际工程应用来说，具有非常重要的指导意义。我尤其喜欢书中关于“离散化误差”和“截断误差”的讨论，作者非常细致地分析了这两类误差的来源及其对最终解的影响，并给出了如何通过优化网格、选择合适的差分格式以及提高数值精度来减小这些误差的方法。这让我对数值解的理解不再仅仅停留在“解出个数字”的层面，而是更深入地认识到“如何解出个可靠的数字”。

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