廣義最小二乘問題的理論和計算 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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魏木生 著

圖書標籤:

• 廣義最小二乘
• 最小二乘法
• 數值計算
• 優化算法
• 矩陣分析
• 統計模型
• 誤差分析
• 迭代方法
• 綫性模型
• 參數估計

齣版社： 科學齣版社

ISBN：9787030177988

版次：1

商品編碼：11872275

包裝：平裝

叢書名： 大學數學科學叢書

開本：32開

齣版時間：2016-02-01

用紙：膠版紙

頁數：368

正文語種：中文

內容簡介

　　本書總結瞭各種廣義的小二乘問題的理論與計算的新成果。主要包括小二乘問題、總體小二乘問題、等式約束小二乘問題以及剛性加權小二乘問題等的理論與科學計算問題。由於各種廣義奇異值分解在解決矩陣論和數值代數問題中有著重要的作用，書中也較詳細地介紹瞭廣義的奇異值分解，並應用於解決若乾矩陣論和數值代數問題。本書需要的預備知識為數值代數和矩陣論。本書可作為研究生和高年級本科生的教材，也可作為計算數學及應用學科中需要科學計算的科技工作者的參考書。

目錄

第一章 預備知識
§1.1引言
§1.2特徵值和特徵嚮量
§1.3矩陣分解
1.3.1若乾基本分解
1.3.2SVD的推廣
§1.4Hermite矩陣的特徵值和矩陣的奇異值
1.4.1Hermite矩陣特徵值的極小極大定理
1.4.2矩陣奇異值的極小極大定理
§1.5廣義逆
1.5.1Moore—Penrose逆
1.5.2其他廣義逆
§1.6投影
1.6.1冪等矩陣和投影
1.6.2正交投影
1.6.3投影AA+和A+A的幾何意義
§1.7範數
1.7.1嚮量範數
1.7.2矩陣範數
§1.8行列式，Hadamard不等式和Kronecker乘積
1.8.1Binet—Cauchy公式
1.8.2Hadamard不等式
1.8.3Kronecker乘積
§1.9矩陣廣義逆的進一步討論
1.9.1矩陣乘積廣義逆的反序律
1.9.2加邊矩陣的廣義逆
1.9.3矩陣加權廣義逆的結構
習題一
第二章 奇異值，奇異子空間和MP逆的擾動
§2.1酉不變範數的性質
2.1.1von Neumann定理
2.1.2SG函數
2.1.3酉不變範數的性質
§2.2奇異值的擾動和降秩最佳逼近
2.2.1奇異值的擾動
2.2.2降秩最佳逼近
§2.3正交投影和奇異子空間的擾動
§2.4MP逆的擾動
習題二
第三章 綫性最小二乘問題
§3.1綫性最小二乘問題
3.1.1綫性最小二乘及其等價性問題
3.1.2LS問題的正則化
§3.2LS問題的擾動
§3.3若乾矩陣方程的LS解
§3.4加權最小二乘問題
§3.5WLS問題的誤差估計
3.5.1第一種類型的誤差界
3.5.2第二種類型的誤差界
習題三
第四章 總體最小二乘問題
§4.1總體最小二乘問題及其解集
4.1.1總體最小二乘問題的定義
4.1.2TLS問題的解集
§4.2TLS和截斷的LS問題的擾動
4.2.1TLS問題的擾動
4.2.2截斷的LS問題的擾動
§4.3TLS和截斷的LS問題的比較
4.3.1TLS和截斷的LS問題的解的比較
4.3.2TLS和截斷的LS問題殘量的比較
4.3.3TLS和截斷的LS問題極小F範數修正矩陣的比較
4.3.4一個實例
§4.4推廣的降秩最佳逼近定理
§4.5LS—TLS問題
§4.6約束總體最小二乘問題
習題四
第五章 等式約束最小二乘問題
§5.1等式約束最小二乘問題
5.1.1等式約束最小二乘問題的定義與解集
5.1.2等式約束最小二乘問題的等價性問題
§5.2關於KKT方程
5.2.1WLS問題的KKT方程
5.2.2LSE和WLS問題的KKT方程解的比較
5.2.3對應於B和B（t）零特徵值的特徵子空間
§5.3LSE問題的誤差估計
§5.4等式約束加權最小二乘問題
5.4.1等式約束加權最小二乘問題的定義與解集
5.4.2加權最小二乘問題的等價性問題
§5.5WLSE問題的擾動
§5.6多重約束MP逆和多重約束最小二乘問題
§5.7嵌入總體最小二乘問題
習題五
第六章 加權MP逆和約束加權MP逆的上確界
§6.1基本問題
§6.2加權MP逆的上確界
§6.3約束加權MP逆的上確界
§6.4雙側加權MP逆的上確界
習題六
第七章 WLS問題和WLSE問題的穩定性擾動
§7.1加權MP逆和約束加權MP逆的穩定性
7.1.1加權MP逆的穩定性
7.1.2約束加權MP逆的穩定性
7.1.3雙側加權MP逆的穩定性
§7.2加權投影矩陣的擾動上界
§7.3加權最小二乘問題的穩定性擾動
§7.4約束加權最小二乘問題的穩定性擾動
習題七
第八章 剛性加權最小二乘問題
§8.1預備知識
§8.2剛性加權最小二乘和多重約束最小二乘問題
§8.3剛性加權投影矩陣和剛性加權MP逆的擾動
§8.4剛性加權最小二乘問題的擾動
習題八
第九章 廣義最小二乘問題的直接解法
§9.1基本知識
9.1.1算法和浮點運算
9.1.2正定矩陣綫性方程組的數值計算
9.1.3矩陣的預條件處理
§9.2正交分解的數值計算
9.2.1QR分解
9.2.2完全正交分解
9.2.3奇異值分解
§9.3最小二乘問題的直接解法
9.3.1QR分解方法
9.3.2法方程法
9.3.3完全正交分解方法
9.3.4SVD方法
§9.4總體最小二乘問題的直接解法
9.4.1基本SVD方法
9.4.2完全正交方法
9.4.3Cholesky分解法
§9.5約束最小二乘問題的數值解法
9.5.1零空間法
9.5.2加權LS法
9.5.3直接消去法
9.5.4QR分解和Q—SVD方法
§9.6剛性WLS問題和剛性WLSE問題的直接解法
9.6.1行穩定的QR分解
9.6.2剛性WLS問題的穩定解法
9.6.3剛性WLSE問題的穩定解法
習題九
……
第十章 廣義最小二乘問題的迭代解法
第十一章 非綫性最小二乘問題的迭代解法
參考文獻
《大學數學科學叢書》已齣版書目

前言/序言

綫性代數中的矩陣分解、特徵值與奇異值理論：應用與深度解析 本書旨在為讀者提供一個全麵、深入的綫性代數核心概念的現代視角，重點聚焦於矩陣分解、特徵值理論及其在數值分析和數據科學中的實際應用。本書並非專注於優化方法或迴歸分析的特定領域，而是緻力於夯實讀者在處理大規模矩陣運算和理解係統內在結構方麵的理論基礎。 第一部分：矩陣代數基礎與分解的統一視角 本書的第一部分從成熟的矩陣代數概念齣發，但很快將重點轉移到“分解”這一核心思想上。我們首先迴顧瞭嚮量空間、綫性映射以及行列式的定義，但隨後便引入瞭矩陣分解作為理解矩陣結構的主要工具。 矩陣的LU分解與高斯消元法的結構意義： 我們詳細探討瞭LU分解（下三角與上三角矩陣的乘積）如何係統地反映瞭高斯消元過程中執行的行操作。不同於僅僅將LU視為求解綫性方程組的計算步驟，本書強調瞭它作為一種將復雜矩陣轉化為一係列更簡單、更容易處理的變換（行操作）的分解結構。我們深入分析瞭主元選擇（Pivot Selection）對數值穩定性的影響，並引入瞭帶部分或完全主元的LU分解形式，討論瞭其在計算稀疏矩陣逆或求解綫性係統時的計算復雜度。 矩陣的QR分解：正交性與最小二乘的幾何解釋： 隨後，我們詳盡闡述瞭QR分解（正交矩陣與上三角矩陣的乘積）。重點放在瞭Gram-Schmidt過程、Householder反射和Givens鏇轉這三種主要的構造QR分解的方法上。我們從幾何角度解讀瞭QR分解：它本質上是將一個矩陣的列嚮量空間投影到一個正交基上。這種正交性是其在數值計算中穩定性的根本來源。我們清晰地展示瞭，求解最小二乘問題（未涉及具體廣義最小二乘的復雜性）的幾何直觀理解，即尋找投影到列空間中的最佳近似解，如何直接通過QR分解的結構得到簡潔的解法。 Cholesky分解：對正定矩陣的特殊處理： 對於對稱正定矩陣，我們引入瞭Cholesky分解，將其視為QR分解在特定矩陣類彆上的簡化和高效版本。我們分析瞭Cholesky分解在數值穩定性上的優勢，並探討瞭其在某些特定數值模擬中的應用，例如濛特卡洛模擬中的協方差矩陣分解。 第二部分：特徵值、特徵嚮量與相似性理論 本書的第二部分深入探討瞭特徵值理論，這是理解綫性變換作用於嚮量空間內在方嚮的關鍵。 特徵值的代數與幾何性質： 我們詳細推導瞭特徵方程，並區分瞭代數重數和幾何重數。本書強調瞭特徵值和特徵嚮量的“不變性”——即在相似變換下，它們所代錶的係統內在行為保持不變。 相似性、對角化與Jordan標準型： 我們構建瞭矩陣相似變換的理論框架，解釋瞭對角化（Diagonalization）的條件及其意義——即找到一組基，使得綫性變換在該基下錶示為對角矩陣，從而簡化瞭矩陣的冪運算和指數運算。對於不可對角化的情形，本書係統地引入瞭Jordan標準型（Jordan Canonical Form）。我們詳細分析瞭Jordan塊的結構如何精確地捕捉矩陣的非對角化部分，包括廣義特徵嚮量的概念，這對於分析微分方程的解的穩定性至關重要。 實數域上的Schur分解： 考慮到實際應用中矩陣通常是實數矩陣，我們引入瞭實數域上的Schur分解，即將矩陣分解為一個正交矩陣與一個上Hessenberg矩陣的乘積。我們闡釋瞭Schur分解的優勢：即使矩陣不可對角化，Schur分解也能提供一個數值穩定的分解形式，使得特徵值的計算更為可靠。 第三部分：奇異值分解（SVD）——普適性的分解理論 全書的第三部分集中於奇異值分解（Singular Value Decomposition, SVD），將其定位為最強大、最普適的矩陣分解工具。 SVD的構造與幾何意義： 我們從SVD的定義齣發，展示瞭它與特徵值理論（通過$A^TA$和$AA^T$的特徵值）的深刻聯係。我們將SVD的幾何意義解釋為對任意綫性變換（由矩陣$A$錶示）的三步分解：首先是鏇轉（由右奇異嚮量定義的正交基），其次是縮放（由奇異值定義），最後是另一個鏇轉（由左奇異嚮量定義）。 低秩近似與截斷SVD： 本書的重點應用部分在於截斷SVD（Truncated SVD）理論。我們基於Schmidt分解的觀點，證明瞭SVD是實現最佳秩-$k$近似（基於Frobenius範數或2-範數）的唯一方法。我們詳細討論瞭如何選擇奇異值（即“保留多少信息”），並探討瞭由此引齣的主成分分析（PCA）背後的數學原理，將其視為數據在最優子空間上的投影。 SVD在僞逆矩陣中的應用： 最後，我們利用SVD構建瞭Moore-Penrose 僞逆矩陣，並討論瞭如何利用此工具對奇異值進行正則化處理，以剋服矩陣病態性（ill-conditioned matrices）帶來的數值問題。 結論 本書的結構旨在提供一個清晰的知識鏈條：從基礎的綫性變換，到通過LU/QR/Cholesky分解簡化矩陣結構，再到通過特徵值理論理解係統的內在動態，最終通過SVD這一普適工具實現對任意矩陣的高效近似與分析。全書嚴格圍繞這些分解的理論推導、數值穩定性考量及在純數學和基礎科學計算中的應用展開，不涉及優化算法的特定求解技術或迴歸模型的統計推斷。

評分☆☆☆☆☆

這本書的理論深度令人印象深刻，它絕非泛泛而談的入門讀物，而是真正觸及瞭問題的核心。在深入探討特定優化技術時，作者展現瞭極強的數學洞察力。例如，在某一章節中，作者對某些矩陣分解在數值計算中的穩定性進行瞭深入剖析，其中引用的不等式和定理的論證過程嚴密且極具啓發性。我曾嘗試在其他教材中尋找類似的詳盡論述，但大多都一筆帶過。這本書卻毫不吝惜筆墨，詳細闡述瞭每一步推導背後的數學原理和潛在的數值陷阱。這種對底層機製的徹底揭示，使得讀者不僅知其然，更知其所以然。對於那些希望在理論上有所突破的研究生或者資深工程師而言，這本書提供的深度足以支撐起一篇高質量的學術論文。它提供的不僅僅是知識，更是一種批判性思考問題的框架。

評分☆☆☆☆☆

這本書的裝幀設計實在讓人眼前一亮，封麵采用瞭深邃的藏藍色調，配以簡潔的銀色字體，顯得既專業又不失典雅。紙張的選擇也相當考究，觸感細膩，即便是長時間閱讀也不會感到疲憊。我尤其欣賞作者在排版上的用心，無論是公式的對齊還是圖錶的清晰度，都達到瞭很高的水準。閱讀過程中，那些復雜的數學錶達式在清晰的排版下變得更容易理解和追蹤。尤其是在介紹核心算法推導的部分，圖文並茂的展示方式極大地降低瞭學習的門檻。對於我們這些需要經常處理大量數據和模型的科研人員來說，一本在細節上如此下功夫的書，無疑是值得珍藏的工具書。可以說，從拿起書本的那一刻起，就能感受到作者對知識傳播的熱忱與專業態度。這種對細節的極緻追求，為後續深入理解那些艱澀的理論打下瞭堅實的基礎。

評分☆☆☆☆☆

這本書的價值在於它提供瞭一種全麵的視角，將理論的優美與計算的殘酷完美結閤。我特彆欣賞作者在總結部分所體現的哲學思辨。他不止步於“如何解決問題”，更引導我們思考“為什麼選擇這個問題”以及“在何種約束下這個解是最優的”。在探討模型選擇的局限性時，作者引用瞭大量的反例和實際工程中的失敗教訓，這讓閱讀體驗充滿瞭警醒意味。它教會瞭我們，在追求數學上的完美解的同時，必須兼顧工程實現中的魯棒性和可解釋性。這種高度的成熟度和批判精神，貫穿全書，使得每一次閱讀都像是一次與領域內頂尖專傢的深入對話。這本書不僅僅是一本技術手冊，更是一部關於如何審慎對待復雜係統建模的思考錄。

評分☆☆☆☆☆

這本書的敘事邏輯簡直是一絕，它仿佛帶著讀者進行瞭一場精心規劃的學術探險。開篇部分對背景知識的梳理可謂是鞭闢入裏，作者並沒有急於拋齣復雜的模型，而是從最直觀的問題引入，層層遞進，引導我們逐步認識到現有方法的局限性。這種循序漸進的教學方法，對於初學者來說簡直是福音。我發現自己很容易就能跟上作者的思路，每一個新的概念或工具的引入，都有明確的動機和清晰的上下文支撐。特彆是當涉及算法的收斂性和穩定性分析時，作者巧妙地穿插瞭一些曆史上的經典案例作為對比，使得抽象的理論討論立刻變得鮮活和具有實踐意義。這種敘事節奏的把握，充分體現瞭作者深厚的學術功底和齣色的溝通能力。讀完前幾章，我對於整個領域的認知結構清晰瞭不少，感覺自己仿佛被一位經驗豐富的大師手把手地領進瞭門檻。

評分☆☆☆☆☆

不得不提的是書中對計算復雜度和實現細節的關注，這使得這本書的實用價值遠超純理論著作。在介紹完復雜的迭代過程後，作者緊接著分析瞭不同求解策略在實際計算資源消耗上的差異。錶格數據清晰地對比瞭不同算法在處理大規模數據集時的運行時間和內存占用情況。更重要的是，書中附帶的一些僞代碼示例，雖然沒有直接給齣完整的可執行程序，但其清晰的結構和對邊界條件的考慮，極大地簡化瞭我們將理論轉化為代碼的過程。我嘗試根據書中的描述，復現瞭其中一個關鍵的驗證過程，發現隻要嚴格遵循書中的指導，結果的一緻性非常高。這錶明作者在理論與實踐之間架起瞭一座堅實的橋梁，避免瞭理論在實際應用中“水土不服”的問題，這是很多純理論書籍所欠缺的寶貴特質。

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