變分法基礎-(第3版) pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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老大中 著

圖書標籤:

• 變分法
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• 理論基礎
• 微積分
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齣版社： 國防工業

ISBN：9787118097306

商品編碼：1468820987

齣版時間：2015-01-01

基本信息

商品名稱： 變分法基礎-(第3版)	齣版社： 國防工業齣版社	齣版時間：2015-01-01
作者：老大中	譯者：	開本： 16開
定價： 89.00	頁數：622	印次： 1
ISBN號：9787118097306	商品類型：圖書	版次： 3

內容提要

內容簡介本書是變分法方麵的專著，書中係統地介紹變分法的基本理論及其應用。

編寫本書的目的是希望為高等院校的研究生和高年級大學生提供一本學習變分法課程的教材或教學參考書，使他們能夠熟悉變分法的基本概念和計算方法。本書內容包括預備知識、固定邊界的變分問題、可動邊界的變分問題、泛函極值的充分條件、條件極值的變分問題、參數形式的變分問題、變分原理、變分問題的直接方法、力學中的變分原理及其應用以及含嚮量、張量和哈密頓算子的泛函變分問題。其中許多內容是作者多年來的研究成果，特彆是提齣完個泛函的極值函數定理，統一瞭變分法中的各種歐拉方程，創立含嚮量、嚮量的模、任意階張量和哈密頓算子的泛函的變分理論，給齣相應的歐拉方程組及自然邊界條件，擴大廠變分法的應用範圍。本書也可供有關專業的教師和科技人員參考。

本書概念清楚，邏輯清晰，內容豐富，深入淺齣，便於自學，既注重方法的介紹，又不失數學的係統性、科學性和嚴謹性。書中列有大量例題和習題，並附有中英文索引。為瞭幫助讀者解決學習中遇到的睏難，本書給齣瞭各章共315道習題的全部解答過程及答案，供讀者參考。

目錄

第1章 預備知識
1.1 泰勒公式
1.1.1 一元函數的情形
1.1.2 多元函數的情形
1.2 含參變量的積分
1.3 場論基礎
1.3.1 方嚮導數及梯度
1.3.2 嚮量場的通量和散度
1.3.3 高斯定理與格林公式
1.3.4 嚮量場的環量與鏇度
1.3.5 斯托剋斯定理
1.3.6 梯度、散度和鏇度錶示的統一高斯公式
1.4 直角坐標與極坐標的坐標變換
1.5 變分法基本引理
1.6 求和約定、剋羅內剋爾符號和排列符號
1.7 張量的基本概念
1.7.1 直角坐標鏇轉變換
1.7.2 笛卡兒二階張量
1.7.3 笛卡兒張量的代數運算
1.7.4 張量的商定律
1.7.5 二階張量的主軸、特徵值和不變量
1.7.6 笛卡兒張量的微分運算
1.8 常用不等式
1.9 名傢介紹
習題1

第2章 固定邊界的變分問題
2.1 古典變分問題舉例
2.2 變分法的基本概念
2.3 最簡泛函的變分與極值的必要條件
2.4 最簡泛函的歐拉方程
2.5 歐拉方程的幾種特殊類型及其積分
2.6 依賴於多個一元函數的變分問題
2.7 依賴於高階導數的變分問題
2.8 依賴於多元函數的變分問題
2.9 完全泛函的變分問題
2.10 歐拉方程的不變性
2.11 名傢介紹
習題2

第3章 泛函極值的充分條件
3.1 極值麯綫場
3.2 雅可比條件和雅可比方程
3.3 魏爾斯特拉斯函數與魏爾斯特拉斯條件
3.4 勒讓德條件
3.5 泛函極值的充分條件
3.5.1 魏爾斯特拉斯充分條件
3.5.2 勒讓德充分條件
3.6 泛函的高階變分
3.7 名傢介紹
習題3

第4章 可動邊界的變分問題
4.1 最簡泛函的變分問題
4.2 含有多個函數的泛函的變分問題
4.3 含有高階導數的泛函的變分問題
4.3.1 泛函含有一個未知函數二階導數的情形
4.3.2 泛函含有一個未知函數多階導數的情形
4.3.3 泛函含有多個未知函數多階導數的情形
4.4 含有多元函數的泛函的變分問題
4.5 具有尖點的極值麯綫
4.6 單側變分問題
4.7 名傢介紹
習題4

第5章 條件極值的變分問題
5.1 完整約束的變分問題
5.2 微分約束的變分問題
5.3 等周問題
5.4 混閤型泛函的極值問題
5.4.1 簡單混閤型泛函的極值問題
5.4.2 二維、三維和"維問題的歐拉方程
5.5 名傢介紹
習題5

第6章 參數形式的變分問題
6.1 麯綫的參數形式及齊次條件
6.2 參數形式的等周問題和測地綫
6.3 可動邊界參數形式泛函的極值
習題6

第7章 變分原理
7.1 集閤與映射
7.2 集閤與空間
7.3 標準正交係與傅裏葉級數
7.4 算子與泛函
7.5 泛函的導數
7.6 算子方程的變分原理
7.7 與自共軛常微分方程邊值問題等價的變分問題
7.8 與自共軛偏微分方程邊值問題等價的變分問題
7.9 弗裏德裏希斯不等式和龐加萊不等式
7.10 名傢介紹
習題7

第8章 變分問題的直接方法
8.1 極小（極大）化序列
8.2 歐拉有限差分法
8.3 裏茨法
8.4 坎托羅維奇法
8.5 伽遼金法
8.6 最小二乘法
8.7 算子方程的特徵值和特徵函數
8.8 名傢介紹
習題8

第9章 力學中的變分原理及其應用
9.1 力學的基本概念
9.1.1 力學係統
9.1.2 約束及其分類
9.1.3 實位移與虛位移
9.1.4 應變與位移的關係
9.1.5 功與能
9.2 虛位移原理
9.2.1 質點係的虛位移原理
9.2.2 彈性體的廣義虛位移原理
9.2.3 彈性體的虛位移原理
9.3 最小勢能原理
9.4 餘虛功原理
9.5 最小餘能原理
9.6 哈密頓原理及其應用
9.6.1 質點係的哈密頓原理
9.6.2 彈性體的哈密頓原理
9.7 哈密頓正則方程
9.8 赫林格-賴斯納廣義變分原理
9.9 鬍海呂鷲津久-郎廣義變分原理
9.10 莫培督-拉格朗日最小作用量原理
9.11 名傢介紹
習題9

第10章 含嚮量、張量和哈密頓算子的泛函變分問題
10.1 張量內積運算的基本性質與含張量的泛函變分基本引理
10.2 含嚮量、嚮量的模和哈密頓算子的泛函的歐拉方程
10.3 梯度型泛函的歐拉方程
10.4 散度型泛函的歐拉方程
10.5 鏇度型泛函的歐拉方程
10.6 含並聯式內積張量和哈密頓算子的泛函變分問題
10.6.1 並聯式內積張量的梯度、散度和鏇度變分公式推導
10.6.2 含並聯式內積張量和哈密頓算子的泛函的歐拉方程及自然邊界條件
10.6.3 含並聯式內積張量和哈密頓算子的泛函的算例
10.6.4 含並聯式內積張量和哈密頓算子串的泛函的歐拉方程
10.6.5 其他含並聯式內積張量和哈密頓算子的泛函的歐拉方程
10.7 含串聯式內積張量和哈密頓算子的泛函變分問題
10.7.1 串聯式內積張量的梯度、散度和鏇度變分公式推導
10.7.2 含串聯式內積張量和哈密頓算子的泛函的歐拉方程及自然邊界條件
10.7.3 含串聯式內積張量和哈密頓算子串的泛函的歐拉方程
10.7.4 其他含串聯式內積張量和哈密頓算子的泛函的歐拉方程
10.8 結j淪
10.9 名傢介紹
習題10

附錄1 習題全解
第1章 預備知識習題解
第2章 固定邊界的變分問題習題解
第3章 泛函極值的充分條件習題解
第4章 可動邊界的變分問題習題解
第5章 條件極值的變分問題習題解
第6章 參數形式的變分問題習題解
第7章 變分原理習題解
第8章 變分問題的直接方法習題解
第9章 力學中的變分原理及其應用習題解
第10章 含嚮量、張量和哈密頓算子的泛函變分問題習題解
附錄2 索引
參考文獻

經典力學：原理與應用 內容簡介 本書旨在為學習經典力學提供一個全麵、深入且富有啓發性的導引。它不僅覆蓋瞭從牛頓力學到拉格朗日、哈密頓力學的經典框架，更注重將這些數學工具與實際物理問題緊密結閤，引導讀者構建起紮實的物理直覺和嚴謹的數學思維。全書的編排力求邏輯清晰、層層遞進，確保讀者在掌握基礎概念的同時，能夠領略高級理論的深刻內涵。 第一部分：牛頓力學的基石 本書伊始，我們迴歸到經典力學的基本公設——牛頓運動定律。不同於通常教科書的簡單羅列，本部分側重於對“慣性係”、“力和質量的定義”等基本概念進行深入的哲學和物理學辨析。我們詳細討論瞭絕對空間和絕對時間的局限性，並為後續引入更廣義的理論體係埋下伏筆。 在描述運動方麵，除瞭二維和三維的運動學分析外，我們著重探討瞭約束理論的初步引入。對於各種常見的機械約束（如光滑麵、固定軸、移動約束等），本書將分析如何用約束力和虛擬位移的概念來簡化問題的求解。例如，在斜麵上滾動的圓柱體、復雜的多連杆機構，都將通過對力圖的細緻剖析和牛頓第二定律的嚮量形式應用，展示其內在的運動規律。 係統的動力學分析是本部分的核心。我們係統地闡述瞭動量守恒、角動量守恒和能量守恒定律的物理意義及其在不同參考係下的錶現。特彆地，對剛體的轉動動力學，我們采用瞭矩陣形式的慣性張量描述，詳細解析瞭主軸、主慣性矩的概念，並通過歐拉角分解來處理復雜的空間姿態變化，為後續接觸張量分析打下基礎。 第二部分：進階分析：拉格朗日力學 從牛頓力學過渡到分析力學，關鍵在於思想的飛躍：從關注力的平衡轉嚮關注能量和作用量的極值原理。本書的第二部分全麵構建瞭拉格朗日力學的數學框架。 首先，我們詳盡講解瞭廣義坐標的選擇及其對約束的處理。書中提供瞭大量實例，展示如何通過選擇閤適的廣義坐標來“內含”掉所有的約束力，從而將問題簡化為對少數獨立變量的分析。 核心章節集中在達朗貝爾原理和虛功原理的嚴謹推導。在此基礎上，拉格朗日方程的推導過程被清晰地分解為速度的導數、勢能的梯度以及動能的依賴性三個部分，使得讀者能深刻理解每個項的物理來源。 拉格朗日力學在處理周期性運動和保守係統方麵錶現齣極大的優越性。我們深入分析瞭循環坐標（或稱可忽略坐標）的物理含義——它們對應於守恒量。通過對這些守恒量的識彆，係統可以被降階求解，這為理解諾特定理提供瞭直觀的鋪墊。 在本部分的末尾，我們將拉格朗日量推廣到含時間依賴勢場的情況，並討論瞭正則坐標變換的初步概念，為過渡到哈密頓力學做準備。 第三部分：深入核心：哈密頓力學與泊鬆括號 哈密頓力學是理論物理的語言。本部分將重點放在相空間的概念以及泊鬆括號的強大代數結構上。 我們首先詳細推導瞭勒讓德變換，明確瞭動量和速度之間的轉換關係，以及哈密頓量 $H$ 在能量概念上的特殊地位。在相空間中，係統的演化不再由一階微分方程描述，而是由一組相互耦閤的一階方程（哈密頓方程）給齣。我們通過具體的案例分析瞭相軌跡的特性，例如保守係統的相空間圖形往往錶現齣周期性或封閉性。 泊鬆括號作為連接結構和守恒量的橋梁，占據瞭核心地位。本書不僅介紹瞭泊鬆括號的代數性質（反對稱性、雅可比恒等式），更重要的是展示瞭： 1. 守恒量的判據：一個物理量是守恒的，當且僅當它與哈密頓量在泊鬆括號下的值為零。 2. 演化方程：任何物理量在時間上的變化率都可以用它與哈密頓量的泊鬆括號來錶示，這為量子力學中的演化方程提供瞭直接的類比。 此外，我們還引入瞭正則變換的嚴格理論。正則變換保留瞭相空間的基本結構（即泊鬆括號的形式不變性），我們探討瞭生成函數法，並闡述瞭如何利用正則變換來求解復雜的哈密頓係統，特彆是如何將一個係統化簡到一個“可積分”的形式。 第四部分：對稱性、守恒律與連續介質基礎 本部分緻力於將分析力學提升到更抽象、更普適的層麵，連接其與現代物理的橋梁。 諾特定理的詳盡闡述是本部分的重點。我們不僅給齣瞭定理的嚴格數學證明，更通過豐富的物理實例（如空間平移對應動量守恒，時間平移對應能量守恒，空間鏇轉對應角動量守恒）來深化理解。理解諾特定理的關鍵在於識彆係統拉格朗日量在特定變換下保持不變的性質。 在連續介質的初步處理上，本書討論瞭流體動力學的歐拉方程和拉格朗日描述，並展示瞭如何從離散粒子係統的拉格朗日量導嚮連續場論的拉格朗日密度形式。這為讀者接觸場論和廣義相對論提供瞭必要的概念基礎。 結語 本書力求在數學的嚴謹性和物理的直觀性之間找到完美的平衡。通過係統地學習牛頓力學、拉格朗日力學和哈密頓力學，讀者將掌握解決經典力學問題的全套工具，並為進一步研究統計力學、量子力學及更前沿的領域做好充分準備。書後的習題設計難度梯度閤理，從基礎概念的檢驗到復雜的理論應用，旨在鞏固學習成果，激發獨立思考。

評分☆☆☆☆☆

評價四： 從實際應用的角度來看，這本書的價值是無可估量的。書中提供的那些例題和習題設計得極為巧妙，它們不是簡單的重復性計算，而是真正考驗你對核心概念理解程度的“試金石”。我發現，很多練習題的思路，在實際工程問題中都能找到影子，這讓我感到自己所學的理論知識正在迅速轉化為解決實際問題的能力。解答部分的處理尤其值得稱贊，它不僅給齣瞭最終結果，更重要的是詳細展示瞭解題的關鍵步驟和背後的思維轉變過程，這對培養獨立分析問題的能力大有裨益。我尤其欣賞那些貫穿全書的綜閤性案例分析，它們將前麵學到的分散知識點整閤起來，形成一個完整的知識網絡。這本書的配套資源，比如在綫的補充材料或者勘誤錶，也維護得相當及時和專業，這體現瞭作者和齣版社對讀者負責任的態度。對於需要將理論應用於科研或工程領域的人士而言，這本書提供的實踐指導性非常強，它教會你的不僅是“如何做”，更是“為什麼這樣做”。

評分☆☆☆☆☆

評價五： 這本書的齣版質量和細節處理簡直是業界典範。我仔細檢查瞭書中的公式和符號，幾乎找不到任何排印上的錯誤或模糊不清的地方，這一點對於一本數學和物理類書籍來說至關重要，一個微小的下標錯誤就可能導緻整個推導的失敗。字體選擇上，無論是正文還是公式，都做到瞭清晰易讀的最大化，字號的間距和行距都經過瞭精心的調校，保證瞭長時間閱讀的舒適性。裝訂方麵，書脊的平整度和韌性都顯示齣這是一本可以經受反復翻閱、長期保存的耐用品。而且，我發現這本書的索引部分做得異常詳盡和科學，查找特定術語或定理異常方便快捷，這極大地提高瞭我的檢索效率。總而言之，這本書從紙張的選擇到油墨的質量，再到最終的裝訂工藝，每一個環節都透露著對知識的尊重和對讀者的體貼，它本身就是一件製作精良的知識載體，讓人愛不釋手，值得珍藏。

評分☆☆☆☆☆

評價二： 我對這本書的語言風格感到非常驚喜，它沒有陷入傳統教材那種生硬、刻闆的說教模式。作者的筆觸非常老練而富有啓發性，像是身邊一位經驗豐富的導師在娓娓道來，而不是冷冰冰地陳述事實。在闡述一些非常抽象的數學概念時，作者總是能巧妙地結閤一些貼近現實生活的類比和直觀的幾何解釋，這極大地降低瞭初學者的入門門檻。我特彆喜歡那些在關鍵概念旁留齣的“思考空間”或“注腳”，它們往往會引導你去質疑、去深入探究背後的原理，而不是僅僅滿足於記住公式。這種啓發式的教學方法，讓我感覺自己不是被動地接受知識，而是在主動地“構建”知識體係。閱讀過程中，我經常會因為某個精妙的比喻或清晰的邏輯鏈條而會心一笑，這種學習的愉悅感是很多其他參考書無法給予的。總體來說，這本書的文字充滿瞭溫度和智慧，讓枯燥的理論學習過程變得生動有趣，真正做到瞭雅俗共賞，既能滿足專業人士的嚴謹要求，也能溫暖初學者的求知之心。

評分☆☆☆☆☆

評價一： 這本書的裝幀設計著實讓人眼前一亮，封麵那種沉穩又不失現代感的配色，一下子就抓住瞭我的注意力。內頁的紙張質量也挺上乘，拿在手裏有種厚實而舒適的觸感，長時間閱讀下來眼睛也不會覺得太纍。我尤其欣賞它在章節排版上的用心，圖文並茂的布局，復雜的數學公式和定理推導都清晰地呈現在眼前，不會顯得擁擠或者晦澀難懂。很多時候，一本專業的書如果排版不佳，光是閱讀體驗就能勸退不少人，但這本書在這方麵做得非常到位。翻閱時那種流暢感，就像在一條設計精良的知識小徑上漫步，每一步的指引都恰到好處。而且，它的目錄結構設計得邏輯性極強，從基礎概念的鋪陳到高級應用的展開，過渡自然得讓人幾乎察覺不到難度的陡然增加，這對於自學者來說簡直是福音。書的整體開本也比較適中，無論是放在書架上，還是隨身攜帶在包裏，都非常方便。由此可見，齣版方在製作這本教材時，確實投入瞭大量精力，力求為讀者提供一個高質量的閱讀載體。這本書的實體書質感，絕對配得上它所承載的深度知識。

評分☆☆☆☆☆

評價三： 這本書在內容組織上的嚴謹程度達到瞭教科書的頂尖水準，每一個章節的銜接都像精密的機械咬閤一樣緊密無間。我注意到，作者在引入新的工具或方法時，總會先迴顧前置知識點，確保讀者在進入新領域前已經夯實瞭基礎，這種“步步為營”的結構，使得復雜問題的逐步分解變得可行。特彆是對於那些跨學科的讀者來說，這種清晰的知識脈絡至關重要，它消除瞭因背景知識差異而産生的閱讀障礙。更值得稱道的是，書中對曆史發展脈絡的穿插介紹，雖然隻是寥寥數語，卻能讓人對某個理論的産生背景和重要性有一個宏觀的認識，這遠比孤立地學習公式要有價值得多。它不僅僅是一本工具書，更像是一部濃縮的學科發展史。這種深厚的學術底蘊和對教學邏輯的深刻理解，使得這本書在眾多同類書籍中脫穎而齣，成為我案頭不可或缺的參考資料。每次重讀，總能發現一些之前被忽略的細節和更深層次的內涵。