基本信息

內容提要

內容簡介本書是變分法方麵的專著，書中係統地介紹變分法的基本理論及其應用。

編寫本書的目的是希望為高等院校的研究生和高年級大學生提供一本學習變分法課程的教材或教學參考書，使他們能夠熟悉變分法的基本概念和計算方法。本書內容包括預備知識、固定邊界的變分問題、可動邊界的變分問題、泛函極值的充分條件、條件極值的變分問題、參數形式的變分問題、變分原理、變分問題的直接方法、力學中的變分原理及其應用以及含嚮量、張量和哈密頓算子的泛函變分問題。其中許多內容是作者多年來的研究成果，特彆是提齣完個泛函的極值函數定理，統一瞭變分法中的各種歐拉方程，創立含嚮量、嚮量的模、任意階張量和哈密頓算子的泛函的變分理論，給齣相應的歐拉方程組及自然邊界條件，擴大廠變分法的應用範圍。本書也可供有關專業的教師和科技人員參考。

本書概念清楚，邏輯清晰，內容豐富，深入淺齣，便於自學，既注重方法的介紹，又不失數學的係統性、科學性和嚴謹性。書中列有大量例題和習題，並附有中英文索引。為瞭幫助讀者解決學習中遇到的睏難，本書給齣瞭各章共315道習題的全部解答過程及答案，供讀者參考。

目錄

第1章 預備知識
1.1 泰勒公式
1.1.1 一元函數的情形
1.1.2 多元函數的情形
1.2 含參變量的積分
1.3 場論基礎
1.3.1 方嚮導數及梯度
1.3.2 嚮量場的通量和散度
1.3.3 高斯定理與格林公式
1.3.4 嚮量場的環量與鏇度
1.3.5 斯托剋斯定理
1.3.6 梯度、散度和鏇度錶示的統一高斯公式
1.4 直角坐標與極坐標的坐標變換
1.5 變分法基本引理
1.6 求和約定、剋羅內剋爾符號和排列符號
1.7 張量的基本概念
1.7.1 直角坐標鏇轉變換
1.7.2 笛卡兒二階張量
1.7.3 笛卡兒張量的代數運算
1.7.4 張量的商定律
1.7.5 二階張量的主軸、特徵值和不變量
1.7.6 笛卡兒張量的微分運算
1.8 常用不等式
1.9 名傢介紹
習題1

第2章 固定邊界的變分問題
2.1 古典變分問題舉例
2.2 變分法的基本概念
2.3 最簡泛函的變分與極值的必要條件
2.4 最簡泛函的歐拉方程
2.5 歐拉方程的幾種特殊類型及其積分
2.6 依賴於多個一元函數的變分問題
2.7 依賴於高階導數的變分問題
2.8 依賴於多元函數的變分問題
2.9 完全泛函的變分問題
2.10 歐拉方程的不變性
2.11 名傢介紹
習題2

第3章 泛函極值的充分條件
3.1 極值麯綫場
3.2 雅可比條件和雅可比方程
3.3 魏爾斯特拉斯函數與魏爾斯特拉斯條件
3.4 勒讓德條件
3.5 泛函極值的充分條件
3.5.1 魏爾斯特拉斯充分條件
3.5.2 勒讓德充分條件
3.6 泛函的高階變分
3.7 名傢介紹
習題3

第4章 可動邊界的變分問題
4.1 最簡泛函的變分問題
4.2 含有多個函數的泛函的變分問題
4.3 含有高階導數的泛函的變分問題
4.3.1 泛函含有一個未知函數二階導數的情形
4.3.2 泛函含有一個未知函數多階導數的情形
4.3.3 泛函含有多個未知函數多階導數的情形
4.4 含有多元函數的泛函的變分問題
4.5 具有尖點的極值麯綫
4.6 單側變分問題
4.7 名傢介紹
習題4

第5章 條件極值的變分問題
5.1 完整約束的變分問題
5.2 微分約束的變分問題
5.3 等周問題
5.4 混閤型泛函的極值問題
5.4.1 簡單混閤型泛函的極值問題
5.4.2 二維、三維和"維問題的歐拉方程
5.5 名傢介紹
習題5

第6章 參數形式的變分問題
6.1 麯綫的參數形式及齊次條件
6.2 參數形式的等周問題和測地綫
6.3 可動邊界參數形式泛函的極值
習題6

第7章 變分原理
7.1 集閤與映射
7.2 集閤與空間
7.3 標準正交係與傅裏葉級數
7.4 算子與泛函
7.5 泛函的導數
7.6 算子方程的變分原理
7.7 與自共軛常微分方程邊值問題等價的變分問題
7.8 與自共軛偏微分方程邊值問題等價的變分問題
7.9 弗裏德裏希斯不等式和龐加萊不等式
7.10 名傢介紹
習題7

第8章 變分問題的直接方法
8.1 極小（極大）化序列
8.2 歐拉有限差分法
8.3 裏茨法
8.4 坎托羅維奇法
8.5 伽遼金法
8.6 最小二乘法
8.7 算子方程的特徵值和特徵函數
8.8 名傢介紹
習題8

第9章 力學中的變分原理及其應用
9.1 力學的基本概念
9.1.1 力學係統
9.1.2 約束及其分類
9.1.3 實位移與虛位移
9.1.4 應變與位移的關係
9.1.5 功與能
9.2 虛位移原理
9.2.1 質點係的虛位移原理
9.2.2 彈性體的廣義虛位移原理
9.2.3 彈性體的虛位移原理
9.3 最小勢能原理
9.4 餘虛功原理
9.5 最小餘能原理
9.6 哈密頓原理及其應用
9.6.1 質點係的哈密頓原理
9.6.2 彈性體的哈密頓原理
9.7 哈密頓正則方程
9.8 赫林格-賴斯納廣義變分原理
9.9 鬍海呂鷲津久-郎廣義變分原理
9.10 莫培督-拉格朗日最小作用量原理
9.11 名傢介紹
習題9

第10章 含嚮量、張量和哈密頓算子的泛函變分問題
10.1 張量內積運算的基本性質與含張量的泛函變分基本引理
10.2 含嚮量、嚮量的模和哈密頓算子的泛函的歐拉方程
10.3 梯度型泛函的歐拉方程
10.4 散度型泛函的歐拉方程
10.5 鏇度型泛函的歐拉方程
10.6 含並聯式內積張量和哈密頓算子的泛函變分問題
10.6.1 並聯式內積張量的梯度、散度和鏇度變分公式推導
10.6.2 含並聯式內積張量和哈密頓算子的泛函的歐拉方程及自然邊界條件
10.6.3 含並聯式內積張量和哈密頓算子的泛函的算例
10.6.4 含並聯式內積張量和哈密頓算子串的泛函的歐拉方程
10.6.5 其他含並聯式內積張量和哈密頓算子的泛函的歐拉方程
10.7 含串聯式內積張量和哈密頓算子的泛函變分問題
10.7.1 串聯式內積張量的梯度、散度和鏇度變分公式推導
10.7.2 含串聯式內積張量和哈密頓算子的泛函的歐拉方程及自然邊界條件
10.7.3 含串聯式內積張量和哈密頓算子串的泛函的歐拉方程
10.7.4 其他含串聯式內積張量和哈密頓算子的泛函的歐拉方程
10.8 結j淪
10.9 名傢介紹
習題10

附錄1 習題全解
第1章 預備知識習題解
第2章 固定邊界的變分問題習題解
第3章 泛函極值的充分條件習題解
第4章 可動邊界的變分問題習題解
第5章 條件極值的變分問題習題解
第6章 參數形式的變分問題習題解
第7章 變分原理習題解
第8章 變分問題的直接方法習題解
第9章 力學中的變分原理及其應用習題解
第10章 含嚮量、張量和哈密頓算子的泛函變分問題習題解
附錄2 索引
參考文獻