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叶立军 著

图书标签:

• 数学
• 初等数学
• 数学研究
• 基础数学
• 教育
• 学习
• 教材
• 科普
• 思维训练
• 算术

出版社： 华东师范大学出版社

ISBN：9787561759806

版次：1

商品编码：11925471

包装：平装

丛书名： 课程与教学论系列教材

开本：16开

出版时间：2008-05-01

用纸：胶版纸

页数：284

字数：352000

正文语种：中文

内容简介

《初等数学研究》分为上、下两篇，上篇为初等代数研究，下篇为初等几何研究。它从中学数学教学的需要出发，结合当前数学教育课程改革的现状，将初等数学的基本问题分成若干专题进行研究，在内容上适当加深、拓展，在理论观点、思想方法上予以总结、提高。通过学习，数学专业师范生可了解初等数学的研究对象，明确初等数学在数学学科中的地位、作用，及其与中学数学的联系，学会用高等数学的理论与观点、重要的数学思想方法分析、解决初等数学问题。

目录

前言
上篇 初等代数研究
绪言
第1章 数系
1.1 数的概念的扩展
1.2 自然数的序数理论
1.3 整数环
1.4 有理数域
1.5 实数域
1.6 复数域
习题1
第2章 式与不等式
2.1 解析式的基本概念
2.2 多项式
2.3 分式
2.4 实数域上的根式
2.5 不等式
习题2
第3章 方程与函数
3.1 方程与方程组的概念及分类
3.2 方程与方程组的同解性
3.3 整式方程
3.4 分式方程、无理方程和超越方程
3.5 方程组的解法
3.6 函数概念的概述
3.7 初等函数性质的判定
习题3
第4章 数列
4.1 数列概述
4.2 等差数列与等比数列
4.3 几种特殊的数列
4.4 数学归纳法
4.5 数列的母函数
习题4
第5章 排列与组合
5.1 加法原理与乘法原理
5.2 排列
5.3 组合
5.4 容斥原理
习题5
第6章 算法
6.1 算法概念
6.2 程序的基本结构
6.3 算法设计的基本方法
6.4 算法思想在高中数学课程中的地位及其教学
习题6
下篇 初等几何研究
第7章 平面几何问题与证明
7.1 几何逻辑
7.2 几何证题的推理方法
7.3 几何证题
习题7
第8章 初等几何变换
第9章 几何轨迹
第10章 几何作图问题
第11章 立体几何

前言/序言

初等数学研究：洞察宇宙语言的奥秘 引言 在浩瀚的知识海洋中，数学以其严谨的逻辑、普适的规则，成为我们理解世界、探索未知的重要工具。它不仅是科学研究的基石，更是人类智慧的结晶，隐藏着宇宙最深邃的秘密。本书《初等数学研究》并非一本枯燥的公式堆砌，而是致力于引导读者踏上一段引人入胜的数学探索之旅，从最基础的数与形出发，逐步深入，领略数学的逻辑之美、结构之妙以及它在现实世界中的强大应用。我们将摒弃繁复冗长的推导，聚焦于概念的清晰阐释、思想的精妙构建，旨在让每一个对知识充满好奇的读者，都能轻松地跨入数学的殿堂，并从中获得启迪与乐趣。 第一部分：数字的宇宙——数的概念与运算的本质 本部分将带领读者重新审视我们习以为常的数字世界。我们并非满足于“1+1=2”的表象，而是要深入探究数字背后蕴含的深刻意义。 数系的起源与发展： 从原始社会的计数符号，到古埃及、巴比伦、古希腊数学家对数的深入研究，再到阿拉伯数字的传入，我们将勾勒出数系演变的历史长卷。我们将探讨不同文明对数的理解差异，以及这种理解如何影响了数学的发展。例如，古希腊人对无理数的发现，是如何挑战了他们基于整数的几何直觉，并最终推动了数学概念的革新。 自然数、整数、有理数、无理数、实数： 我们将详细解析这些数系的定义、性质及其相互关系。不仅仅是罗列定义，更重要的是理解它们的“为什么”。例如，为什么需要引入负数来解决减法问题？有理数为什么无法完全描述所有的长度？无理数的出现，又为我们揭示了怎样的几何与代数之间的深刻联系？我们将通过生动的例子和直观的图示，帮助读者建立起对这些数系的深刻认识。 数的基本运算及其律： 加、减、乘、除这四则基本运算，看似简单，却蕴含着深刻的数学规律。我们将深入探讨交换律、结合律、分配律等基本运算律，并分析这些律在简化计算、拓展运算范围方面的重要作用。通过对这些运算律的理解，读者将能更高效、更灵活地运用数学工具。 分数与百分数的概念： 分数作为整体的一部分，百分数作为一种特殊的计数方式，在日常生活中无处不在。我们将探讨分数的意义、通分、约分、异分母分数加减法等，并将其与百分数的概念进行对比，阐述它们在比例、增长、统计等领域的应用。 指数与对数： 指数和对数是描述增长与衰减的重要工具，它们在科学、经济、工程等领域有着广泛的应用。我们将从乘方的概念出发，逐步引入指数的运算规则，再到对数作为指数的逆运算，解释其在处理极大或极小数字时的强大功能。我们将通过实际案例，例如复利计算、声强测量等，来展示指数和对数的魅力。 第二部分：形之韵律——几何的直观与空间想象 几何学是数学中与视觉和空间感知最为紧密的学科。本部分将带领读者走进一个充满图形、线条、角度和图形变换的奇妙世界。 点、线、面、体的基本概念： 从最基本的点（无大小，仅有位置）出发，到线（无限延伸的直线，有限长度的线段），再到面（具有长度和宽度，无厚度）和体（具有长度、宽度和厚度），我们将建立起对基本几何元素的清晰认识。我们将探讨它们之间的关系，例如点在直线上，线在面上。 平面图形的性质与分类： 三角形、四边形、多边形、圆等平面图形，是构成我们视觉世界的基础。我们将深入研究它们的边、角、对角线、对称轴等性质，并了解不同图形之间的内在联系，例如平行四边形的特殊形式——矩形、菱形、正方形。我们将通过作图、测量等方式，让读者亲身体验几何图形的构造与性质。 角度的测量与应用： 角度是描述方向和旋转的重要概念。我们将介绍角度的单位（度、弧度），学习量角器的使用，并探讨锐角、直角、钝角、平角、周角等不同类型的角度。我们将展示角度在测量、导航、工程设计中的实际应用。 周长与面积的计算： 计算图形的周长和面积，是几何学中的基本技能。我们将逐一推导并讲解三角形、四边形、圆形等常见平面图形的周长和面积计算公式，并解释这些公式背后的几何原理。我们将通过实际问题，例如计算花园的围栏长度、粉刷墙壁的面积等，来巩固这些知识。 立体图形的认识与性质： 棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球体等立体图形，构成了我们所处的真实三维世界。我们将认识这些立体图形的基本要素（顶点、棱、面），了解它们的展开图，并初步探讨它们的体积和表面积的计算。 对称与变换： 对称美是自然界和艺术作品中普遍存在的现象。我们将介绍轴对称、中心对称等对称概念，并学习平移、旋转、翻折等几何变换。这些变换不仅是数学研究的工具，更是理解图案设计、艺术创作的重要视角。 第三部分：逻辑的桥梁——代数思维与方程的魅力 代数是数学的语言，它用符号和方程来抽象地描述数量关系和数学规律。本部分将带领读者领略代数思维的简洁与强大。 代数式与变量： 我们将从用字母代表未知数或变化的量开始，引入代数式的概念。我们将学习如何表示数量关系，如何合并同类项，以及代数式的化简。这将是建立代数思维的第一步。 方程的本质与解法： 方程是描述等量关系的数学模型。我们将深入理解方程的构成要素，以及“解方程”的真正含义——寻找满足条件的未知数的值。我们将介绍等式的基本性质，并在此基础上讲解移项、合并同类项等解一元一次方程的基本方法。 一元二次方程： 作为一元一次方程的拓展，一元二次方程在描述二次关系时扮演着重要角色。我们将介绍因式分解法、配方法以及求根公式等多种解法，并探讨一元二次方程根的性质。 函数的概念与图像： 函数是描述变量之间相互依赖关系的核心概念。我们将从实际例子出发，例如路程与时间的关系、商品价格与销量的关系，引出函数的定义。我们将学习如何表示函数（解析法、列表法、图像法），并理解函数图像所蕴含的信息。 简单的函数图像分析： 通过对一次函数、二次函数等基本函数图像的描绘和分析，读者将能直观地理解函数的变化趋势、单调性、最值等重要性质。我们将展示如何从函数图像中提取有用的信息。 不等式及其解法： 相较于方程，不等式描述的是数量关系的不确定性。我们将学习不等式的基本性质，并掌握解一元一次不等式的方法。不等式在描述条件、限制范围等方面具有广泛的应用。 第四部分：数学在生活中的身影——应用与思维的拓展 数学并非束之高阁的理论，而是与我们的日常生活息息相关。本部分旨在展示数学的应用价值，并培养读者的数学思维能力。 统计学基础： 数据无处不在，理解和分析数据是现代社会的基本技能。我们将介绍平均数、中位数、众数等基本统计量，学习如何收集、整理和呈现数据，并通过简单的图表（条形图、折线图、扇形图）来直观地展示数据特征。 概率的初步认识： 概率是描述事件发生可能性的数学分支。我们将通过抛硬币、掷骰子等简单实验，介绍概率的基本概念，理解必然事件、不可能事件、随机事件，并学习如何计算简单事件的概率。 百分比、比例与增长率： 在购物打折、经济增长、人口统计等场景中，百分比和比例扮演着至关重要的角色。我们将深入理解百分比的含义，学习如何进行百分比计算，并理解比例关系在解决实际问题中的应用，例如如何计算增长率。 解决实际问题的数学模型： 本部分将通过一些贴近生活的实际问题，例如规划出行路线、优化购物方案、理解简单的经济模型等，展示如何运用数学知识来构建模型、分析问题并找到解决方案。我们将强调从问题中提取关键信息，并将其转化为数学语言的能力。 逻辑推理与批判性思维： 数学研究的本质是逻辑推理。我们将通过一些简单的逻辑谜题和证明，引导读者体会数学推理的严谨性，并学会如何清晰地表达自己的观点，如何辨别信息的真伪。数学训练的逻辑能力，将有助于我们在生活的各个领域做出更明智的决策。 学习数学的方法与心态： 最后的篇章，我们将分享一些关于如何有效学习数学的建议，包括如何培养学习兴趣、如何克服畏难情绪、如何进行有效的练习以及如何与他人交流数学思想。我们将鼓励读者将数学视为一种思维方式，一种探索世界的美妙工具。 结语 《初等数学研究》是一扇通往数学世界的窗口。我们希望通过这本书，能够点燃您对数学的兴趣，培养您的逻辑思维能力，并帮助您发现数学在现实世界中无处不在的魅力。数学的旅程是永无止境的，我们鼓励您在掌握本书内容的基础上，继续深入探索更广阔的数学天地，感受知识的无穷奥妙。

评分☆☆☆☆☆

这本书真是让我脑洞大开，虽然我一直认为自己对数学还算有些了解，但《初等数学研究》这本书彻底颠覆了我的一些固有认知。它并不是那种枯燥乏味的教科书，而是像一位经验丰富的向导，带领我一步步探索数学王国那些鲜为人知的角落。我尤其喜欢它对一些基本概念的深入剖析，比如，我之前对“无穷”的理解仅仅停留在概念层面，但书中通过一系列巧妙的论证和例子，让我看到了无穷的多样性和复杂性，比如可数无穷和不可数无穷的区别，以及它们在集合论中的应用，这让我对数学的严谨性和逻辑性有了更深刻的体会。书中还涉及了一些关于数论的有趣话题，比如素数的分布规律，还有一些关于不定方程的解法，这些内容虽然在中学数学里有所接触，但书中通过更系统、更深入的讲解，让我看到了它们背后隐藏的数学美。读这本书的过程，就像是在解谜，每一个章节都像是一个新的谜题，需要我动脑筋去思考、去推导，完成之后那种豁然开朗的感觉，真是妙不可言。我毫不犹豫地将其推荐给所有对数学充满好奇心，渴望突破思维定势的读者。

评分☆☆☆☆☆

坦白说，我之前对“应用数学”这个概念一直有些模糊，总觉得它离我的生活很遥远。但《初等数学研究》这本书，用一种我从未想过的方式，将数学的应用场景展现在我眼前。它不仅仅局限于理论探讨，而是将抽象的数学概念与现实世界紧密地联系起来。例如，书中有一个章节，探讨了概率论在日常生活中的应用，从天气预报的准确性，到金融市场的风险评估，再到医学诊断的可靠性，都离不开概率论的影子。它让我意识到，数学并不是象牙塔里的学问，而是渗透在我们生活的方方面面，理解了数学，也就更能理解这个世界。书中对于数据分析和统计方法的讲解也尤为精彩，它教我如何辨别虚假信息，如何从海量数据中提取有价值的洞见，这对于我这个信息爆炸时代的普通人来说，简直是太有用了。这本书让我对数学的看法有了180度的转变，从一个遥不可及的学科，变成了一个触手可及的实用工具。

评分☆☆☆☆☆

说实话，我买这本书的时候，并没有抱太大的期望，毕竟“初等数学”这个词，总让人联想到中学时的课本。然而，《初等数学研究》这本书，却给我带来了巨大的惊喜。它没有重复那些我早已烂熟于心的公式，而是另辟蹊径，从一个全新的角度来审视数学。我特别喜欢它关于“数学建模”的部分，它让我明白，很多复杂的现实问题，都可以通过建立数学模型来简化和分析。书中通过一些具体的案例，比如传染病的传播模型，或者交通流量的预测，展示了数学建模的强大威力。它教我如何将现实世界的问题抽象成数学语言，如何运用数学工具来解决这些问题，又如何将数学的结论解释回现实世界。这种思维方式的训练，对我来说是受益匪浅的。这本书的语言风格非常朴实，但内容却极其丰富，让我深刻地认识到，即便是“初等”的数学，也蕴含着无穷的智慧和力量。

评分☆☆☆☆☆

我一直觉得，学习数学就像是在攀登一座高峰，而《初等数学研究》则像是为你准备了一套精良的登山装备，并且指明了最适合攀登的路线。它没有直接灌输你大量的公式和定理，而是通过一个个引人入胜的问题，激发你去思考，去探究。我记得书中有一个章节，专门讨论了几何图形的性质，但它不是那种死板的几何证明，而是通过观察、猜想、推理的路径，让你自己去发现那些几何定理。例如，它会引导你从一些简单的图形入手，观察它们的对称性、相似性，然后逐步推广到更复杂的图形，在这个过程中，你不仅掌握了知识，更重要的是培养了独立思考和解决问题的能力。书中还穿插了一些数学史上的有趣故事，比如一些著名数学家的奇闻轶事，这让原本可能显得枯燥的数学学习过程变得生动有趣，也让我对数学这门学科有了更深的感情。这本书的语言风格非常平实，但字里行间又透露着深邃的思想，读起来丝毫不会感到压力，反而是一种享受。

评分☆☆☆☆☆

我是一个对数字和逻辑有着天然亲近感的人，但即便是如此，当我翻开《初等数学研究》这本书时，还是被它所展现的数学世界的广阔和深邃所震撼。它不是那种按部就班的教学模式，而是更像一次充满惊喜的探索之旅。书中对于一些“看上去很简单”的数学问题，给出了我意想不到的解答思路，比如，它会从一个简单的代数方程出发，层层深入，引出一些关于数域、群论的初步概念，这种循序渐进的讲解方式，让我能更好地理解那些抽象的数学概念。书中还涉及了一些组合数学的知识，比如排列组合的计算，以及它们在解决实际问题中的应用，这些内容虽然不难，但书中巧妙的编排和生动的例子，让我对数学的严谨和逻辑之美有了更深的体会。读这本书，我感觉自己就像一个在广袤星空中遨游的探险家，每一次翻页，都能发现新的星系，每一次思考，都能点亮新的星辰。