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內容簡介

　　《現代數學基礎叢書·典藏版117：非綫性波動方程的現代方法（第二版）》的主旨是利用調和分析的現代理論（特彆是Fourier限製型估計、可微函數空間的Littlewood-Paley刻畫、Fourier局部化技術等）研究非綫性波動方程的適定性與散射理論。除瞭第一版中涉及的在共形變換或其他變換群下的不變量、經典Morawetz估計、Strichartz估計、非綫性波動方程弱解的正則性、光滑解與能量解的適定性、臨界波方程的散射性理論之外，在第二版中增加瞭如下兩個方麵的內容：其一是采用時空乘子方法結閤加權的Sobolev-Hardy型不等式，建立不依賴於非綫性項及空間維數的Morawetz型估計，通過能量的局部化及綫性波的分離、Bourgain的能量歸納技術，證明瞭臨界及次臨界Klein-Gordon方程的散射性理論；其二是對於具雙Schrodinger結構的高階Klein-Gordon方程（即Beam方程，它的特點是既沒有有限傳播速度，也沒有獨立的質量守恒），通過引入不同形式的容許關係，建立局部與整體的Strichartz估計。利用Tao的頻率局部化方法建立廣義的幾乎有限傳播速度，進而建立高階Klein-Gordon方程能量散射理論。《現代數學基礎叢書·典藏版117：非綫性波動方程的現代方法（第二版）》的特點是將調和分析方法與現代數學物理方法有機結閤，反映這一核心數學領域的新研究成果與研究進展，特彆是利用Bourgain的能量歸納技術與Tao的頻率局部化方法，給齣瞭非綫性波動方程、Klein-Klein型方程（含高階情形）的經典研究的統一處理。
　　《現代數學基礎叢書·典藏版117：非綫性波動方程的現代方法（第二版）》可供理工科院校數學、應用數學專業的高年級大學生、研究生、教師以及相關的科技工作者閱讀參考。

內頁插圖

目錄

《現代數學基礎叢書》序
第二版序言
第一版序言

第1章 乘子方法、不變量及守恒積分
1．1 Laplace方程與共形變換群
1．2 乘子方法與一般的變換群
1．3 非綫性波方程以及Klein-Gordon方程的不變量
1．4 Lagrange方法及其在波(含色散波)方程中的應用

第2章 弱解的時空可積性、唯一性及正則性
2．1 預備知識、綫性估計及應用
2．2 弱解的存在性
2．3 解的唯一性與正則性

第3章 半綫性波動方程的光滑解
3．1 問題、結果及證明的歸結
3．2 能量估計與次臨界的情形
3．3 衰減估計與臨界的情形
3．4 高維波動方程的Cauchy問題解的正則性

第4章 臨界波方程能量解的整體適定性與散射性
4．1 能量解的Morawetz估計及整體適定性
4．2 能量解的整體時空估計及散射理論
4．3 波方程與Klein-Gordon型方程能量解及相關問題

第5章 非綫性次臨界Klein-Gordon方程與SchrSdinger方程的散射理論
5．1 引言
5．2 新型的Morawetz估計
5．3 整體時空估計Ⅰ
5．4 整體時空估計Ⅱ
5．5 散射性理論

第6章 非綫性臨界Klein-Gordon方程解的散射理論
6．1 引言
6．2 時空範數導緻的能量聚積現象
6．3 局部時空估計
6．4 整體時空估計
6．5 散射性理論

第7章 非綫性Klein-Gordon型方程解的局部衰減與低正則性
7．1 非綫性Klein-Gordon方程解的局部衰減
7．2 高階非綫性Klein-Gordon方程解的局部衰減
7．3 非綫性波動方程的低正則性

第8章 非綫性高階Klein-Gordon方程的散射性理論
8．1 引言
8．2 Strichartz估計與適定性理論
8．3 散射理論的機製
8．4 頻率局部化技術
8．5 幾乎有限傳播速度
8．6 散射性理論

附錄 函數空間嵌入定理及其記憶方法
A．1 函數空間中嵌入定理的基本內容與證明思路
A．2 Sobolev嵌入定理與尺度變換原理
A．3 用純光滑尺度來理解插值、乘子、嵌入等關係
A．4 Morrey型空間與John-Nirenberg型位勢估計
A．5 Sobolev嵌入定理在PDEs中的應用舉例

參考文獻
名詞索引
《現代數學基礎叢書》已齣版書目

前言/序言

　　本書是以作者2003年在北京大學所作的數學特彆講座為基礎，經過增刪整理而成。作者試圖用不太長的篇幅，給齣研究非綫性波動方程的一些基本工具與方法，特彆是與調和分析、變分原理及現代物理密切相關的方法與技術。鑒於上述理由，去掉瞭作者原來在特彆數學講座中有關Schrodinger方程、三代Calderon-Zygmund奇異積分算子與Lip邊界上的橢圓邊值問題等內容，增加瞭作者在香港中文大學數學研究所所作的共形變換、乘子方法、Lagrange方法及其在波動方程中的應用等內容。本書選材的思路是以研究工具、研究方法為主綫，在內容安排上著力反映非綫性波動方程特彆是臨界情形的新研究進展，在不同的層麵闡述各種研究方法以及它們之間的相互聯係，為瞭使本書具有自封閉性、可讀性，避免與現有同類專著的重復，用通俗的語言，增加瞭附錄：函數空間嵌入定理的記憶方法，以方便讀者閱讀與使用。
　　守恒律在數學物理的研究中起著重要的作用。對於每一個自然現象的正確描述，質量、動量、角動量是最基本的守恒量，除此之外，物理係統還常常具有其他守恒量，例如，電荷、同位鏇等守恒積分。眾所周知，對於任意一個保持物理狀態（作用量）不變的連續整體變換T，一定存在一個守恒量或守恒積分。以共形變換（conformal transformations）群為例，在時空平移變換群及Lorentz變換群作用下的不變性就可分彆得到能量、動量與角動量等基本的守恒量，在相位變換下保持不變性就蘊涵著電荷守恒。類似地，在更一般的變換（例如，其母元是一般的一階微分算子）下的不變性可以獲得更多的內蘊守恒積分與不變性，基於上述理由，我們在第1章中，首先用乘子方法詳細討論瞭Laplace方程、非綫性波動方程在共形變換群及一般變換群作用下的不變性及守恒積分，特彆，取經典的Morawetz型乘子，即徑嚮導數的反稱部分，就可以獲得經典的Morawetz型守恒積分及Morawetz估計（n≥3）。另一方麵，還重點介紹瞭Lagrange變分方法，通過對Lagrange密度泛函進行變分，可以統一地給齣Laplace方程、非綫性波方程及非綫性Schrodinger方程在各種變換群作用下的守恒積分。特彆需要指齣的是，通過構造時空徑嚮導數的反稱部分（作為新的Morawetz型乘子），可以建立新型的Morawetz估計，這在臨界非綫性Klein-Gordon型方程、臨界Schrodinger方程的散射性理論，特彆是低維情形（n=1，2，此時經典的Morawetz估計不成立）的散射性理論研究中起著極其重要的作用。
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