微分几何基础（第2版 英文版） [Elementary Differential Ceometry （Second Edition）] pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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Andrew，Pressley 著

图书标签:

• 微分几何
• 几何学
• 数学
• 高等数学
• 拓扑学
• 曲线曲面
• 流形
• 微积分
• 英文教材
• 第二版

出版社： 世界图书出版公司

ISBN：9787519200183

版次：1

商品编码：12007748

包装：平装

外文名称：Elementary Differential Ceometry （Second Edition）

开本：24开

出版时间：2016-01-01

用纸：胶版纸

页数：473

字数：394000

正文语种：英文

内容简介

　　微分几何基础讲述的是曲线和平面的微分几何学的主要结论适合于本科生第一学期的课程。《微分几何基础（第2版 英文版）》在改版中有如下新的特征：有一章专门讲述非欧几何，该课题在数学史上具有重要的影响且对现代数学发展的影响也至关重要；书中包括的课题有：平行移动及其应用、地图设色、完整的高斯曲率。

目录

Preface
Contents
1．Curves in the plane and in space
1．1 What is a curve？
1．2 Arc-length
1．3 Reparametrization
1．4 Closed curves
1．5 Level curves versus parametrized curves

2．How much does a curve curve？
2．1 Curvature
2．2 Plane curves
2．3 Space curves

3．Global properties of curves
3．1 Simple closed curves
3．2 The isoperimetric inequality
3．3 The four vertex theorem

4．Surfaces in three dimensions
4．1 What is a surface？
4．2 Smooth surfaces
4．3 Smooth maps
4．4 Tangents and derivatives
4．5 Normals and orientability

5．Examples of surfaces
5．1 Level surfaces
5．2 Quadric surfaces
5．3 Ruled surfaces and surfaces of revolution
5．4 Compact surfaces
5．5 Triply orthogonal systems
5．6 Applications of the inverse function theorem

6．The flrst fundamental form
6．1 Lengths of curves on surfaces
6．2 Isometries of surfaces
6．3 Conformal mappings of surfaces
6．4 Equiareal maps and a theorem of Archimedes
6．5 Sphericalgeometry

7．Curvature of 8urfaces
7．1 The second fundamental form
7．2 The Gauss and Weingarten maps
7．3 Normal and geodesic curvatures
7．4 Parallel transport and covariant derivative

8．Gaussian， mean and principal curvatures
8．1 Gaussian and mean curvatures
8．2 Principal curvatures of a surface
8．3 Surfaces of constant Gaussian curvature
8．4 Flat surfaces
8．5 Surfaces of constant mean curvature
8．6 Gaussian curvature of compact surfaces

9．Geodesics
9．1 Definition and basic properties
9．2 Geodesic equations
9．3 Geodesics on surfaces of revolution
9．4 Geodesics as shortest paths
9．5 Geodesic coordinates

10．Gauss' Theorema Egregium
10．1 The Gauss and Codazzi-Mainardi equations
10．2 Gauss' remarkable theorem
10．3 Surfaces of constant Gaussian curvature
10．4 Geodesic mappings

11．Hyperbolic geometry
11．1 Upper half-plane model
11．2 Isometries of H
11．3 Poincare disc model
11．4 Hyperbolic parallels
11．5 Beltrami-Klein model

12．Minmal surfaces
12．1 Plateau's problem
12．2 Examples of minimal surfaces
12．3 Gauss map of a minimal surface
12．4 Conformal parametrization of minimal surfaces
12．5 Minimal surfaces and holomorphic functions

13．The Gauss-Bonnet theorem
13．1 Gauss-Bonnet for simple closed curves
13．2 Gauss-Bonnet for curvilinear polygons
13．3 Integration on compact surfaces
13．4 Gauss-Bonnet for compact surfaces
13．5 Map colouring
13．6 Holonomy and Gaussian curvature
13．7 Singularities of vector fields
13．8 Critical points

A0．Inner product spaces and self-adjoint linear maps
A1．Isometries of Euclidean spaces
A2．Mobius transformations
Hints to selected exercises
Solutions
Index

好的，这是一本名为《黎曼几何导论》（Introduction to Riemannian Geometry）的图书简介，内容详尽，旨在与您提供的《微分几何基础（第2版 英文版）》在主题上有所区别，同时保持专业性和学术深度。 --- 图书名称：黎曼几何导论 (Introduction to Riemannian Geometry) 作者：[此处留空或填写假想作者名，以增加真实感] 出版社：[此处留空或填写假想出版社名] 内容简介 《黎曼几何导论》是一部面向高年级本科生、研究生以及从事理论物理、纯数学和应用数学研究的专业人士的深度专著。本书旨在为读者提供一个严谨、清晰且富有启发性的框架，以理解黎曼几何——现代几何学的核心分支——的基本概念、结构和重要应用。本书侧重于从内在的视角出发，构建一个扎实的理论基础，为探索更高级的主题如微分拓扑、广义相对论以及规范场论打下坚实的基础。 本书的结构经过精心设计，力求在概念的严谨性与数学的直观性之间取得微妙的平衡。我们避开了过多依赖于欧几里得空间中向量场的繁琐坐标计算，转而强调流形、张量场和联络的内在结构，这正是黎曼几何的精髓所在。 第一部分：微分流形与张量分析 本书伊始，我们首先回顾并系统化了微分流形的必要概念。这不仅仅是复习，更是为了确立一套精确的语言和工具。我们详细讨论了光滑结构、切丛、向量场、张量场以及微分形式。特别地，对流形的拓扑性质（如紧致性、连通性）与光滑结构的相互作用进行了深入探讨，为后续引入度量提供了必要的背景。 张量分析部分是全书的基石。我们不仅定义了协变和反变张量，还深入阐述了张量的积、收缩以及对坐标变换的敏感性。微分形式及其外积（wedge product）的引入，为我们理解微分几何中的积分和拓扑不变量（如德拉姆上同调）奠定了基础。本书强调了微分形式在处理积分和外微分运算时的优雅性，这在后来的霍奇理论中至关重要。 第二部分：黎曼度量与联络 本书的核心部分聚焦于黎曼几何的标志性结构：黎曼度量。我们精确定义了黎曼度量张量，以及它如何诱导出流形上的长度、角度和体积的概念。黎曼度量的存在性与局部构造得到了详尽的分析。 随后，本书转向了“如何衡量变化”这一关键问题——联络理论。我们详细介绍了仿射联络的一般概念，并在此基础上定义了黎曼联络（Levi-Civita 联络）。本书花费大量篇幅证明了黎曼度量唯一地确定了一个无挠且度量兼容的联络。这种内在的、由度量决定的联络，是连接流形上不同切空间的桥梁。我们深入探讨了平行移动的概念，并以此为基础，定义了测地线方程，将其解释为流形上“最短路径”或“惯性运动”的内在描述。 第三部分：曲率的几何与代数 曲率是黎曼几何的灵魂。本书将曲率的定义提升至内在的、坐标无关的层面。我们首先定义了黎曼张量（Riemann Curvature Tensor），它是对黎曼联络不完备性的量化。通过深入的几何解释，读者将理解黎曼张量如何捕捉流形在不同方向上的弯曲程度。 本书随后系统地导出了李奇-黎曼张量（Ricci Tensor）和斯卡拉曲率（Scalar Curvature）。这些量在物理学和几何学中扮演着核心角色。我们详尽分析了曲率张量的代数性质，特别是其第一和第二 Bianchi 恒等式，这些恒等式不仅是理论推导的关键工具，也预示着更深层次的拓扑联系。 第四部分：测地线、变分与应用初步 基于测地线方程，本书转向了变分视角。我们导出了作用量泛函，并将测地线识别为该泛函的临界点，从而将几何问题转化为变分问题。这为理解广义相对论中的测地线运动提供了坚实的数学基础。 此外，本书对完备性的概念进行了细致讨论，并介绍了霍普夫-林德伯格定理 (Hopf-Rincke Theorem) 的基本思想，说明了测地线的局部存在性和唯一性如何延伸到全局。 本书的特点： 1. 内在视角优先： 强调张量和流形本身的结构，尽可能减少对坐标的依赖，使读者能更深刻地理解几何概念的本质。 2. 严谨的逻辑链条： 从基础拓扑到张量分析，再到黎曼度量和曲率，每一步的推导都力求清晰、完整且富有几何直觉。 3. 适度的计算深度： 在介绍基本概念后，本书会通过具体的、低维度的例子（如球面、环面）来实例化抽象概念，但避免陷入纯粹的坐标计算泥潭，以保持对核心理论的关注。 4. 前沿衔接： 旨在为读者准备好进入更专业领域（如辛几何、规范理论、广义相对论中的爱因斯坦方程）所需的数学语言和工具。 《黎曼几何导论》不仅仅是一本教科书，它更是一扇通往现代几何学迷人世界的门。通过对流形结构、测地线以及曲率的深入探索，读者将能够以全新的视角审视空间和时间的几何属性。

评分☆☆☆☆☆

阅读过程中，我发现作者在讲解一些基础概念时，那种由浅入深的逻辑推进简直是教科书级别的示范。他没有急于抛出复杂的公式，而是先从直观的几何图像入手，用非常生活化的比喻来搭建起读者对高维空间的初步认知框架。例如，对于曲率的引入，不是直接给出复杂的黎曼曲率张量的定义，而是先通过二维平面和球面上的测地线来做铺垫，这种循序渐进的处理方式，极大地降低了初学者的畏难情绪。每一个定理的引入都伴随着清晰的动机阐述，让人清楚地知道“为什么要学这个”，而不是“这是什么”。我常常被作者这种对教学艺术的把握所折服，他似乎能精准地洞察到学生在哪个环节会产生困惑，并提前准备好了巧妙的拐杖，确保我们在攀登知识高峰的路上走得稳健而自信。这种对认知心理学的深刻理解，是许多纯粹的数学著作所欠缺的。

评分☆☆☆☆☆

这本书的装帧设计简直是一场视觉盛宴，从封面到内页排版都透露出一种沉稳而又不失现代感的气息。我尤其欣赏它在细节处理上的用心，字体选择既保证了阅读的舒适度，又在关键概念的强调上做得恰到好处，使得那些抽象的数学符号和定理在视觉上显得不再那么令人望而却步。初次翻开时，那种油墨的清香混合着纸张的质感，立刻让人心生敬意，仿佛触碰到了知识的实体。纸张的厚度和韧性也让人感到满意，即便是频繁翻阅也不会轻易出现磨损的痕迹，这对于一本需要反复研读的教材来说至关重要。光影在文字和图表上投射出的效果，也为长时间的阅读提供了一种愉悦的体验。它不仅仅是一本工具书，更像是一件精心制作的艺术品，让人愿意把它摆在书架上，时不时地拿出来把玩一番，感受那种纸质书籍特有的魅力。这种对实体书形态的尊重，无疑为学习过程增添了额外的仪式感和专注度。

评分☆☆☆☆☆

插图和图表的质量是衡量一本好的几何教材的关键指标，而这本教材在这方面表现得极为出色。那些二维和三维的图形，无论是描绘流形、向量场还是切空间结构，都达到了极高的清晰度和精确性。它们不仅仅是装饰性的补充，更是阐释抽象概念的核心工具。作者通过精妙的视角选择和标注，使得原本在脑海中模糊不清的几何结构，瞬间变得立体而可触摸。我发现自己经常会停下来，仔细端详那些图示，观察它们如何精确地表达了法线、切线或第二基本形式等关键信息。这种视觉化的辅助，有效弥补了纯粹文字描述在表达空间关系时的固有缺陷，极大地提高了学习效率，也让学习过程本身变得更加赏心悦目。

评分☆☆☆☆☆

这本书的习题设计是其价值的又一重要体现，它们绝非简单的计算验证，而是真正意义上的思维体操。这些题目巧妙地穿插在章节内容之间，有些是基础巩固，用于确保对核心概念的牢固掌握；而另一些则具有相当的挑战性，它们常常要求读者将不同章节的知识点进行融会贯通，甚至是需要进行一些创造性的推导。我个人尤其喜欢那些需要结合几何直觉和代数工具来解决的问题，它们强迫我跳出舒适区，用更广阔的视角去审视问题。完成一套有难度的习题后，那种豁然开朗的成就感是难以言喻的，它远超于简单地记住了某个公式。批注和解题过程的记录也变得更有价值，因为这些题目确实促使我进行了深刻的思考和探索，而不是机械地套用已知模板。

评分☆☆☆☆☆

从跨学科应用的角度来看，这本书的价值也远超出了纯数学范畴。虽然它扎根于严谨的数学基础，但其中涉及到的张量分析、坐标变换以及对空间弯曲的描述方法，对于物理学，特别是广义相对论的研究者而言，无疑是一份宝贵的参考资料。我能清晰地感受到，作者在构建理论体系时，已经预见到了这些工具在现代科学中的广泛用途。这种“面向应用”的结构，使得理论的学习不再是空中楼阁，而是与真实世界的物理模型紧密相连。即便是对于工程领域的专业人士，理解这些微分几何的原理，也能帮助他们更深刻地理解曲面建模、机器人运动学等复杂问题背后的数学本质，体现了这本教材在知识深度和广度上的双重优势。