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内容简介

哥德巴赫猜想、孪生素数、素数分布、华林问题，除数问题、圆内整点问题、整数分拆及黎曼猜想等著名数论问题吸引了古今无数的数学爱好者。《解析数论基础》全面详细地讨论了迄今为止研究这些问题的重要的分析方法、理论和结果，介绍了它们的历史及新进展，是研究这些问题必不可少的入门书。

内页插图

目录

目录
序 i
符号说明 iv
绪论 1
第一章 Fourier变换 17
1. Fourier积分与Fourier变换 17
2. Mellin变换的反转公式 19
3. Laplace变换的反转公式20
第二章 求和公式 20
1. Abel分部求和法 22
2. Euler-MacLaurin求和法 24
3. Poisson求和法29
习题 35
第三章 F函数 39
1. 无穷乘积 39
2. F函数的基本性质 43
3. Stirling公式 49
习题 55
第四章 几个函数论定理 57
1. Jensen定理 57
2. Borel-Caratheodory定理 60
3. Hadamard三圆定理 62
4. Phragmen-Lindelof定理 63
第五章 有穷阶整函数 67
1. 有穷阶整函数 67
2. 收敛指数与典型乘积 69
3. Hadamard因式分解定理 74
第六章D irichlet级数 79
1. 定义与收敛性 79
2. 唯一性定理 85
3. 常义Dirichlet级数的运算 86
4. 常义Dirichlet级数的Euler乘积表示 92
5. 常义Dirichlet级数的Perron公式 96
6. 在垂直线上的阶 106
7. 积分均值公式 109
习题 110
第七章 （s）的函数方程与基本性质 123
1. 函数方程（一）（Euler一M acLaurin 求和法） 123
2. 函数方程（二）（复变积分方法） 130
3. 函数方程（三）（Poisson求和法） 134
4. 在s=1附近的性质 137
5. 最简单的阶估计 139
习题 143
第八章 （s）的零点展开式 156
1. （s）的无穷乘积 156
2. （s）和 （s）的零点展开式 157
3. 非显然零点的简单性质 160
4. 零点展开式的简化 162
5. log 164
习题 166
第九章（s）的非显然零点的个数 168
1. 基本关系式 168
2. 渐近公式（一） 169
3. 渐近公式（二）171
4. S（T）的性质 175
习题. 179
第十章（s）的非零区域 182
1. （1+ it）=0 182
2.非零区域（一）（整体方法） 184
3.非零区域（二）（局部方法） 186
习题 193
第十一章 素数定理 196
1. 问题的提出和进展 196
2. （x）的表示式 199
3. 素数定理 202
4. 定理 205
习题 209
第十二章 Riemann的贡献 216
1. 划时代的论文 216
2. Riemann猜想 219
3. Riemann猜想的推论及等价命题 222
习题 226
第十三章 Dirichlet特征 229
1. 定义与基本性质 229
2. 原特征 236
3. Gauss和 243
4. 简单的特征和估计 247
习题 251
第十四章 L（s，x）的函数方程与基本性质 258
1. 定义与最简单的性质 258
2. 函数方程 260
3. 最简单的阶估计 267
习题 270
第十五章 L（s，x）/L（s，x）的零点展开式 272
1. L（s，x）/L（s，x）的无穷乘积 272
2. L（s，x）/L（s，x）的零点展开式 273
3. 非显然零点的简单性质 275
4. logL（s，x） 276
习题 277
第十六章 L（s，x）的非显然零点的个数 278
1. 基本关系式 278
2. 渐近公式 279
3. 一点说明 280
习题 280
第十七章 L（s，x）的非零区域 281
1. 非零区域（一） 281
2. Page定理 295
3. Siegel定理 299
4. 非零区域（二） 303
习题 304
第十八章 算术数列中的素数定理 307
1. （x，y）的表示式 307
2，算术数列中的素数定理 313
习题 317
第十九章 线性素变数三角和估计 319
1. Bxaorpaaob方法 320
2. Vaughan方法 327
3. 零点密度方法 332
4 . 复变积分法 337
5. 小q情形的估计 344
习题 347
第二一十章 Goldbach猜想 353
1. Goldbach问题中的圆法 354
2. 三素数定理（非实效方法） 358
3. 三素数定理（实效方法） 364
4. Goldbach数 368
习题 376
第二十一章 Weyl指数和估计（一）（van der Corput方法） 379
1. 基本关系式 380
2. 基本估计式 387
3. 基本不等式 390
4. Weyl和估计 393
5. 反转公式 395
6. 指数对理论 403
习题 410
第二十二章 Weyl指数和估计（二）（BHHorpaAoB方法） 412
1. 指数和的均值估计 412
2. Weyl和估计（a） 424
3. Weyl和估计（b） 428
习题 435
第二十三章 （s）与L（s，x）的渐近公式 442
1. （s，a）的渐近公式（一）442
2. L（s，x）的渐近公式.447
3. （s，a）的渐近公式（二） 452
4. （s，a）的渐近公式（三）461
5. 另一种类型的渐近公式 472
习题 475
第二十四章 （s）与L（s，x）的阶估计 477
1. （ s，a）的阶估计 477
2. L（s，x）的阶估计 485
习题 491
第二十五章 （s）与L（s，x）的积分均值定理 492
1. （ s，a）的二次积分均值定理（一） 493
2. （ s，a）的二次积分均值定理（二） 502
3. L（s，x）的二次积分均值定理 509
4. （s）的四次积分均值定理 512
习题 520
第二十六章Waring 问题 522
1. Waring 问题中的圆法 525
2. 基本区间上的积分的渐近公式 526
3. 完整三角和估计 531
4. 奇异级数 536
5. 奇异积分 541
6. 余区间上的积分的估计 542
7. 解数的渐近公式 543
8. G（k）的上界估计的改进 544
习题 548
第二十七章 Dirichlet除数问题 558
1. 问题与研究方法 558
2. 第一种方法 561
3. 第二种方法 568
习题 573
第二十八章 大筛法 577
1. 大筛法的分析形式 578
2. Gallagher方法 579
3. M01原理的应用（一） 582
4. 对偶原理的应用（二） 590
5. 大筛法的算术形式 600
6. Brun-Titchm arsh定理的改进 607
习题 615
第二十九章D irichlet多项式的均值估计 621
1. 大筛法型的特征和估计 621
2. Dirichlet多项式的混合型均值估计 629
3. （s）与L（s ，x）的四次均值估计 636
4. Halasz方法 643
习题 650
第三十章 零点分布（一） 652
1. 方法概述 653
2. 零点密度定理 660
3. 零点密度定理的改进 665
4. 函数的零点密度定理的进一步改进 668
5. 小区间中的素数分布 673
习题 677
第三十一章 算术数列中素数的平均分布 678
1. 问题的转化 679
2. 第一个证明（零点密度方法） 683
3. 第二个证明（复变积分法）685
4. 第三个证明（Vaughan方法）690
习题 696
第三十二章 筛法 698
1. 基本知识 698
2. 组合筛法的基本原理 710
3. 最简单的Brun筛法 716
4. Brun筛法 722
5. Rosser筛法 732
6. Selberg上界筛法765
习题 787
第三十三章 零点分布（二） 801
1. 一个渐近公式 802
2. JAHIHHK零点密度定理 819
3. Deuring-Heilbronn现象 842
第三十四章 算术数列中的最小素数 856
1.问题的转化 857
2.定理的证明 860
第三十五章Dedekindn函数867
1. 函数方程（一） 867
2. Dedekind和 874
3. 函数G（z，s） 879
4. 函数方程（二） 887
习题 890
第三十六章 无限制分拆函数 892
1. 无限制分拆函数p（n） 892
2. p（n）的上界及下界估计 896
3. p（n）的渐近公式 900
4. p（n）的级数展开式 907
参考书目 913

前言/序言

　　我们的老师闵嗣鹤教授50年代曾在北京大学数学力学系为数届大学生、研究生讲授解析数论，并把讲课内容整理补充，写成了《数论的方法，上、下册》（科学出版社，1958，1981）一书。这是国内第一本解析数论基础教材，为在我国开展解析数论的研究和培养人才方面起了很大作用.近三十年来，解析数论得到了很大的发展，形成了一些新的分支（如Diophantus逼近，超越数论，模形式等），国际上也出版了一些内容和侧重面不同的解析数论基础书与专著。近年来国内热心于学习研究解析数论的人也愈来愈多，因此，为了适应这种进展和读者的需要，出版一些解析数论各分支的基础教材就是十分必要的了.1983年在王元同志和科学出版社的建议下，.我们就着手写一本能够比较全面地介绍解析数论的基本方法、基本问题和基本理论，并反映它的近代发展的基础教材。
　　从1978年至今，我们在山东大学和北京大学数学系为大学生、研究生开设了多届解析数论课和讨论班，编写了讲义，逐步积累了各方面的内容，这本书就是在这样的基础上整理、补充而成的.本书内容是这样安排的：（一）第一至六章是必要的分析与函数论方面的预备知识，这些内容在大学课程中一般是不讲的；（二）以后各章介绍基本的研究方法，主要包括以下几部分：（1）Riemann（函数与DirichletL函数的基本理论（第七至十七章，第二十三至二十五章），Dedekind，7函数的基本理论（第三十五章）；（2）复变积分法（第六章§5）；（3）指数和方法（第十九，二十一，二十二章及第二十六章§3）；（4）圆法（第二十，二十六，三十六章）；（5）大筛法，函数与L函数的零点分布（第二十八，二十九，三十，三十三章）；（6）筛法（第三十二章）；（三）讨论了一些主要问题：（1）素数分布（第十一，十八，三十一，三十四章，第二十八章§6，及第三十二章§6定理8）；（2）Goldbach猜想与孪生素数猜想（第二十，三十二章）；（3）Waring问题（第二十六章）；（4）Dirichlet除数问题（第二十七章）；（5）无限制整数分拆问题（第三十六章）.本书不包括Kloostermann指数和及最近由此得到的解析数论的一些新结果，因为这些内容要涉及与传统的解析数论方法截然不同的一个十分重要的领域，但这是一个值得注意的进展.通过这八年的教学实践，我们认为本书所包含的内容可以为研究生在传统解析数论方面打下一个相当坚实的基础，并能比较容易地阅读文献和独立地进行研究工作.当然，对于只要求知道一点解析数论最基本知识的读者，选读第一至二十及三十二章的部分内容就足够了。
　　同通常编写基础书所遵循的原则一样，我们重点是讨论各种基本方法，以及应用于著名经典问题所得到的基本结果.当同一个内容有不同的重要处理方法时，我们将把这些方法及所得结果都加以介绍（例如，在第十九章中介绍了估计线性素变数指数和的五种方法；在第二十一，二十二章中分别介绍了估计Weyl指数和的两种方法；在第三十一章中介绍了证明算术级数中素数分布的均值定理的三种方法；以及第三十二章中介绍了各种筛法）。
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