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潘承洞，潘承彪 著

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• 数论
• 基础
• 解析数论
• 数学
• 高等数学
• 数论教材
• 解析法
• 数学分析
• 初等数论
• 同余理论

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030009296

版次：1

商品编码：12019391

包装：平装

丛书名： 现代数学基础丛书·典藏版

开本：16开

出版时间：1991-02-01

用纸：胶版纸

页数：914

字数：768000

正文语种：中文

内容简介

哥德巴赫猜想、孪生素数、素数分布、华林问题，除数问题、圆内整点问题、整数分拆及黎曼猜想等著名数论问题吸引了古今无数的数学爱好者。《解析数论基础》全面详细地讨论了迄今为止研究这些问题的重要的分析方法、理论和结果，介绍了它们的历史及新进展，是研究这些问题必不可少的入门书。

内页插图

目录

目录
序 i
符号说明 iv
绪论 1
第一章 Fourier变换 17
1. Fourier积分与Fourier变换 17
2. Mellin变换的反转公式 19
3. Laplace变换的反转公式20
第二章 求和公式 20
1. Abel分部求和法 22
2. Euler-MacLaurin求和法 24
3. Poisson求和法29
习题 35
第三章 F函数 39
1. 无穷乘积 39
2. F函数的基本性质 43
3. Stirling公式 49
习题 55
第四章 几个函数论定理 57
1. Jensen定理 57
2. Borel-Caratheodory定理 60
3. Hadamard三圆定理 62
4. Phragmen-Lindelof定理 63
第五章 有穷阶整函数 67
1. 有穷阶整函数 67
2. 收敛指数与典型乘积 69
3. Hadamard因式分解定理 74
第六章D irichlet级数 79
1. 定义与收敛性 79
2. 唯一性定理 85
3. 常义Dirichlet级数的运算 86
4. 常义Dirichlet级数的Euler乘积表示 92
5. 常义Dirichlet级数的Perron公式 96
6. 在垂直线上的阶 106
7. 积分均值公式 109
习题 110
第七章 （s）的函数方程与基本性质 123
1. 函数方程（一）（Euler一M acLaurin 求和法） 123
2. 函数方程（二）（复变积分方法） 130
3. 函数方程（三）（Poisson求和法） 134
4. 在s=1附近的性质 137
5. 最简单的阶估计 139
习题 143
第八章 （s）的零点展开式 156
1. （s）的无穷乘积 156
2. （s）和 （s）的零点展开式 157
3. 非显然零点的简单性质 160
4. 零点展开式的简化 162
5. log 164
习题 166
第九章（s）的非显然零点的个数 168
1. 基本关系式 168
2. 渐近公式（一） 169
3. 渐近公式（二）171
4. S（T）的性质 175
习题. 179
第十章（s）的非零区域 182
1. （1+ it）=0 182
2.非零区域（一）（整体方法） 184
3.非零区域（二）（局部方法） 186
习题 193
第十一章 素数定理 196
1. 问题的提出和进展 196
2. （x）的表示式 199
3. 素数定理 202
4. 定理 205
习题 209
第十二章 Riemann的贡献 216
1. 划时代的论文 216
2. Riemann猜想 219
3. Riemann猜想的推论及等价命题 222
习题 226
第十三章 Dirichlet特征 229
1. 定义与基本性质 229
2. 原特征 236
3. Gauss和 243
4. 简单的特征和估计 247
习题 251
第十四章 L（s，x）的函数方程与基本性质 258
1. 定义与最简单的性质 258
2. 函数方程 260
3. 最简单的阶估计 267
习题 270
第十五章 L（s，x）/L（s，x）的零点展开式 272
1. L（s，x）/L（s，x）的无穷乘积 272
2. L（s，x）/L（s，x）的零点展开式 273
3. 非显然零点的简单性质 275
4. logL（s，x） 276
习题 277
第十六章 L（s，x）的非显然零点的个数 278
1. 基本关系式 278
2. 渐近公式 279
3. 一点说明 280
习题 280
第十七章 L（s，x）的非零区域 281
1. 非零区域（一） 281
2. Page定理 295
3. Siegel定理 299
4. 非零区域（二） 303
习题 304
第十八章 算术数列中的素数定理 307
1. （x，y）的表示式 307
2，算术数列中的素数定理 313
习题 317
第十九章 线性素变数三角和估计 319
1. Bxaorpaaob方法 320
2. Vaughan方法 327
3. 零点密度方法 332
4 . 复变积分法 337
5. 小q情形的估计 344
习题 347
第二一十章 Goldbach猜想 353
1. Goldbach问题中的圆法 354
2. 三素数定理（非实效方法） 358
3. 三素数定理（实效方法） 364
4. Goldbach数 368
习题 376
第二十一章 Weyl指数和估计（一）（van der Corput方法） 379
1. 基本关系式 380
2. 基本估计式 387
3. 基本不等式 390
4. Weyl和估计 393
5. 反转公式 395
6. 指数对理论 403
习题 410
第二十二章 Weyl指数和估计（二）（BHHorpaAoB方法） 412
1. 指数和的均值估计 412
2. Weyl和估计（a） 424
3. Weyl和估计（b） 428
习题 435
第二十三章 （s）与L（s，x）的渐近公式 442
1. （s，a）的渐近公式（一）442
2. L（s，x）的渐近公式.447
3. （s，a）的渐近公式（二） 452
4. （s，a）的渐近公式（三）461
5. 另一种类型的渐近公式 472
习题 475
第二十四章 （s）与L（s，x）的阶估计 477
1. （ s，a）的阶估计 477
2. L（s，x）的阶估计 485
习题 491
第二十五章 （s）与L（s，x）的积分均值定理 492
1. （ s，a）的二次积分均值定理（一） 493
2. （ s，a）的二次积分均值定理（二） 502
3. L（s，x）的二次积分均值定理 509
4. （s）的四次积分均值定理 512
习题 520
第二十六章Waring 问题 522
1. Waring 问题中的圆法 525
2. 基本区间上的积分的渐近公式 526
3. 完整三角和估计 531
4. 奇异级数 536
5. 奇异积分 541
6. 余区间上的积分的估计 542
7. 解数的渐近公式 543
8. G（k）的上界估计的改进 544
习题 548
第二十七章 Dirichlet除数问题 558
1. 问题与研究方法 558
2. 第一种方法 561
3. 第二种方法 568
习题 573
第二十八章 大筛法 577
1. 大筛法的分析形式 578
2. Gallagher方法 579
3. M01原理的应用（一） 582
4. 对偶原理的应用（二） 590
5. 大筛法的算术形式 600
6. Brun-Titchm arsh定理的改进 607
习题 615
第二十九章D irichlet多项式的均值估计 621
1. 大筛法型的特征和估计 621
2. Dirichlet多项式的混合型均值估计 629
3. （s）与L（s ，x）的四次均值估计 636
4. Halasz方法 643
习题 650
第三十章 零点分布（一） 652
1. 方法概述 653
2. 零点密度定理 660
3. 零点密度定理的改进 665
4. 函数的零点密度定理的进一步改进 668
5. 小区间中的素数分布 673
习题 677
第三十一章 算术数列中素数的平均分布 678
1. 问题的转化 679
2. 第一个证明（零点密度方法） 683
3. 第二个证明（复变积分法）685
4. 第三个证明（Vaughan方法）690
习题 696
第三十二章 筛法 698
1. 基本知识 698
2. 组合筛法的基本原理 710
3. 最简单的Brun筛法 716
4. Brun筛法 722
5. Rosser筛法 732
6. Selberg上界筛法765
习题 787
第三十三章 零点分布（二） 801
1. 一个渐近公式 802
2. JAHIHHK零点密度定理 819
3. Deuring-Heilbronn现象 842
第三十四章 算术数列中的最小素数 856
1.问题的转化 857
2.定理的证明 860
第三十五章Dedekindn函数867
1. 函数方程（一） 867
2. Dedekind和 874
3. 函数G（z，s） 879
4. 函数方程（二） 887
习题 890
第三十六章 无限制分拆函数 892
1. 无限制分拆函数p（n） 892
2. p（n）的上界及下界估计 896
3. p（n）的渐近公式 900
4. p（n）的级数展开式 907
参考书目 913

前言/序言

　　我们的老师闵嗣鹤教授50年代曾在北京大学数学力学系为数届大学生、研究生讲授解析数论，并把讲课内容整理补充，写成了《数论的方法，上、下册》（科学出版社，1958，1981）一书。这是国内第一本解析数论基础教材，为在我国开展解析数论的研究和培养人才方面起了很大作用.近三十年来，解析数论得到了很大的发展，形成了一些新的分支（如Diophantus逼近，超越数论，模形式等），国际上也出版了一些内容和侧重面不同的解析数论基础书与专著。近年来国内热心于学习研究解析数论的人也愈来愈多，因此，为了适应这种进展和读者的需要，出版一些解析数论各分支的基础教材就是十分必要的了.1983年在王元同志和科学出版社的建议下，.我们就着手写一本能够比较全面地介绍解析数论的基本方法、基本问题和基本理论，并反映它的近代发展的基础教材。
　　从1978年至今，我们在山东大学和北京大学数学系为大学生、研究生开设了多届解析数论课和讨论班，编写了讲义，逐步积累了各方面的内容，这本书就是在这样的基础上整理、补充而成的.本书内容是这样安排的：（一）第一至六章是必要的分析与函数论方面的预备知识，这些内容在大学课程中一般是不讲的；（二）以后各章介绍基本的研究方法，主要包括以下几部分：（1）Riemann（函数与DirichletL函数的基本理论（第七至十七章，第二十三至二十五章），Dedekind，7函数的基本理论（第三十五章）；（2）复变积分法（第六章§5）；（3）指数和方法（第十九，二十一，二十二章及第二十六章§3）；（4）圆法（第二十，二十六，三十六章）；（5）大筛法，函数与L函数的零点分布（第二十八，二十九，三十，三十三章）；（6）筛法（第三十二章）；（三）讨论了一些主要问题：（1）素数分布（第十一，十八，三十一，三十四章，第二十八章§6，及第三十二章§6定理8）；（2）Goldbach猜想与孪生素数猜想（第二十，三十二章）；（3）Waring问题（第二十六章）；（4）Dirichlet除数问题（第二十七章）；（5）无限制整数分拆问题（第三十六章）.本书不包括Kloostermann指数和及最近由此得到的解析数论的一些新结果，因为这些内容要涉及与传统的解析数论方法截然不同的一个十分重要的领域，但这是一个值得注意的进展.通过这八年的教学实践，我们认为本书所包含的内容可以为研究生在传统解析数论方面打下一个相当坚实的基础，并能比较容易地阅读文献和独立地进行研究工作.当然，对于只要求知道一点解析数论最基本知识的读者，选读第一至二十及三十二章的部分内容就足够了。
　　同通常编写基础书所遵循的原则一样，我们重点是讨论各种基本方法，以及应用于著名经典问题所得到的基本结果.当同一个内容有不同的重要处理方法时，我们将把这些方法及所得结果都加以介绍（例如，在第十九章中介绍了估计线性素变数指数和的五种方法；在第二十一，二十二章中分别介绍了估计Weyl指数和的两种方法；在第三十一章中介绍了证明算术级数中素数分布的均值定理的三种方法；以及第三十二章中介绍了各种筛法）。

好的，这是一份关于一本名为《解析数论基础》的图书的详细内容简介，内容侧重于该书可能涵盖的领域，但避开直接描述“解析数论基础”这一标题下的核心内容，而是着重于相关联或可作为其背景知识的数学分支。 --- 《数论中的高级代数结构与几何视角》 导言：数论的广阔疆域与结构探索 本书旨在为读者提供一个深入理解现代数论研究中，特别是其与代数结构、几何分析以及拓扑学交叉领域紧密联系的视角。我们相信，要真正把握当代数论的前沿问题，必须超越传统的初等方法，建立起对更宏大数学框架的认识。本书侧重于那些为理解复杂数论问题提供基础工具和理论架构的领域，其内容涵盖了从经典的代数几何到现代的代数K理论等多个层面。 第一部分：代数几何与数论的交汇 第一章：环、域与代数簇的构造 本章将回顾并深化对交换代数基础的理解，这是构建代数几何的基石。我们将详细探讨 Noetherian 环、局部化、Krull 维度等核心概念。重点在于，我们将分析如何通过这些代数工具来定义和研究几何对象——代数簇。 Noether 环与理想理论： 深入探讨素理想、极大理想的结构，以及它们在描述代数簇的几何性质中的作用。重点解析了 Zariski 拓扑的内在机制，以及它如何将代数结构嵌入到拓扑空间中。 维度的概念与奇点： 讨论代数簇的维度的代数定义与几何直觉之间的对应关系。随后，我们将分析奇点——代数簇上“不光滑”的点——的代数表征，例如通过局部环的性质来识别和分类这些奇异点。 射影空间与有理几何： 引入射影空间的概念，并探讨如何通过齐次坐标系来描述代数簇。这一部分是理解模空间理论和算术几何的基础。 第二章：椭圆曲线与代数数论 椭圆曲线作为一维的、具有特定结构的代数簇，在数论中扮演着核心角色。本章将构建起研究椭圆曲线的代数框架。 群律的代数基础： 详细推导椭圆曲线上的群律，并证明其满足阿贝尔群的结构。重点分析了维尔斯特拉斯方程的几何意义及其对群结构的约束。 Mordell-Weil 定理的代数构造： 虽然不直接证明该定理，但我们将分析其证明所需的代数工具，例如椭圆曲线上的 Tate-Lichtenbaum 结构的引入。讨论如何利用局部域的完备化来研究曲线上的有理点集。 同源理论与曲线的代数不变量： 介绍对椭圆曲线进行分类的代数不变量，例如判别式和模函数。探讨如何利用 Hodge 理论的简化版本来理解这些曲线的复结构。 第二部分：抽象代数结构与数论应用 第三章：域扩张、伽罗瓦理论与类域论的预备 本章将系统性地回顾并拓展伽罗瓦理论，将其作为理解数域结构的强大工具。 有限域与代数数域的结构： 深入探讨有限域的构造及其在有限群上的作用。随后，转向代数数域，分析整数环、判别式和理想的分解行为。 伽罗瓦群的表示与作用： 详细阐述伽罗瓦群如何作用于代数数域的嵌入和理想的分解群。重点关注惯性群和分解群的概念，它们是连接局部和全局算术性质的关键桥梁。 类域论的代数框架： 在介绍完局部域（如 $mathbb{Q}_p$）的结构后，我们将搭建起类域论的代数基础，特别是 Hilbert 符号和局部 Artin 映射的概念框架，为后续理解全局的 Artin 理论做铺垫。 第四章：代数 K 理论与模理论 代数 K 理论提供了一种对环结构进行“拓扑化”的视角。本章将介绍其基本概念及其在解决深层次数论问题中的潜力。 K_0 与 K_1 群的构造： 详细解释如何通过矩阵群和直和来定义 K 理论的低阶群。讨论 K_0 群在向量丛理论和模理论中的应用。 对模的分类与推导： 讨论 Quillen 的同调方法，并展示如何使用 K 理论来研究特定环上的模的分类问题。 模的几何意义： 探讨 K 理论如何与代数簇上的向量丛相关联，特别是 Serre 猜想等问题的代数背景。 第三部分：几何与分析的融合视角 第五章：黎曼几何与调和分析在数论中的隐喻 本章将探讨分析工具如何被抽象化，并用以描述离散的数论对象。 $p$-进分析基础： 系统介绍 $p$-进数的构造，其度量空间结构，以及 $p$-进解析函数理论。重点分析 $p$-进解析函数的性质，如构造和展开。 阿代尔与模型： 解释如何通过对所有素数 $p$ 上的局部结构进行“组合”，构造出阿代尔环 $mathbb{A}$。阐述阿代尔如何提供一个统一的框架来同时处理数域上的局部信息。 函数的“空间”： 介绍非交换几何和非阿基米德几何的初步概念，探讨如何将数论中的函数（如指标函数、模形式的 $L$-函数）嵌入到更广阔的函数空间中进行研究。 结语：展望现代数论的研究前沿 本书的最终目标是为读者构建一个坚实的代数和几何基础，使其能够理解现代数论研究中跨学科的复杂性。通过对上述结构的深入剖析，读者将能更好地把握数论问题背后的深层几何直觉和代数约束，为进一步探索高阶的算术几何、模形式理论或高维代数拓扑在数论中的应用打下坚实的基础。本书强调的是数学工具的构建与整合，而非对单一解析结果的直接计算。

评分☆☆☆☆☆

第一次接触《解析数论基础》这本书，我就被它独特的魅力所吸引。与我之前看过的许多数论书籍不同，这本书的语言风格非常平实，却又充满了智慧。作者似乎有一种魔力，能够将那些听起来高深莫测的数论概念，用一种非常易于理解的方式呈现出来。我特别喜欢书中对每一个定理的解释，不仅给出了严谨的数学证明，还辅以通俗的类比和直观的解释，让我在理解的道路上少走了许多弯路。阅读这本书的过程，对我来说，不仅仅是学习知识，更是一种享受。我仿佛置身于一个由数字和公式构成的奇妙世界，在作者的引导下，我看到了那些隐藏在数字背后的规律和美。这本书为我打开了探索数论世界的一扇窗，让我看到了数学的深度和广度，也激发了我对更多数学问题的探索欲望。

评分☆☆☆☆☆

拿到《解析数论基础》这本书，我满心期待地翻开了第一页。作为一名对数学充满好奇心的探索者，数论一直是我心底的那片神秘大陆，而解析数论更是其中最引人入胜的章节。这本书的封面设计就透着一股沉静而厚重的学术气息，让人一看便知其分量。我尤其喜欢它在编排上的用心，从最基础的概念讲起，循序渐进，即便我不是数学专业出身，也能逐步跟上作者的思路。书中对每一个定理的推导都力求严谨，同时又穿插着一些历史的典故和数学家的故事，让冰冷的公式瞬间鲜活起来，仿佛能看到那些伟大的头脑是如何在历史的长河中碰撞出思想的火花。每读完一个章节，我都会合上书本，在脑海里回顾一遍，那种豁然开朗的感觉，真是妙不可言。这本书就像一位耐心而渊博的老师，引领我一步步揭开数论的面纱，让我看到了一个更加广阔、更加精妙的数学世界。我迫不及待地想继续深入，去探索那些深邃的数论难题，去感受数学的无穷魅力。

评分☆☆☆☆☆

拿到《解析数论基础》这本书，我首先被其精美的排版和清晰的目录所吸引。作为一名对数论充满好奇的自学者，我一直在寻找一本能够系统性地介绍解析数论的入门书籍。这本书恰好满足了我的需求。作者在内容编排上非常考究，从最基础的数论概念，如素数分布、同余理论等，一步步深入到更高级的解析数论方法，如积分变换、复变函数等。我特别欣赏书中对每一个数学概念的详细阐述，以及对每一个定理证明的严谨推导。作者的语言风格清晰流畅，逻辑性强，使得原本复杂的数学概念变得易于理解。此外，书中还穿插了一些历史故事和相关的数学家的贡献，这为枯燥的数学学习增添了不少趣味性。我相信，通过这本书的学习，我能够建立起扎实的解析数论基础，为进一步深入研究打下坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

《解析数论基础》这本书的问世，对于渴望深入了解数论的读者来说，无疑是一份宝贵的礼物。我一直认为，要真正掌握一门学科，不仅要理解其表面的概念，更要深入其内在的逻辑和推理过程。这本书在这方面做得尤为出色。作者在讲解每一个概念时，都循序渐进，从最根本的定义出发，逐步构建起复杂的理论体系。我特别赞赏书中对证明过程的细致梳理，每一个步骤都清晰可见，逻辑严密，让人能够毫不费力地跟随作者的思路。而且，书中还巧妙地引入了一些历史背景和实际应用，这使得原本抽象的数学知识变得更加生动有趣，也让我对数论的价值有了更深刻的认识。我常常在阅读过程中，被作者的严谨和深刻所折服，也对数学这门学科产生了前所未有的敬畏之情。这本书的质量毋庸置疑，它将成为我探索数论道路上的重要指引。

评分☆☆☆☆☆

这本《解析数论基础》真是让我耳目一新。我一直觉得数论是数学皇冠上最璀璨的宝石，但过去接触的资料总是过于晦涩难懂，让人望而却步。然而，这本书的出现彻底改变了我的看法。作者似乎非常懂得如何与读者沟通，他用一种非常清晰、逻辑性极强的语言来阐述复杂的概念。我尤其欣赏书中对一些关键定理的讲解方式，不仅仅是给出结论，更是深入剖析了其背后的思想和证明的巧妙之处。读起来就像是在听一场精彩的讲座，每一个论证过程都如同精心编排的舞蹈，严谨而优美。书中还包含了一些非常具有启发性的练习题，这些题目不仅是对知识点的巩固，更是对思维的锻炼。当我成功解出一道难题时，那种成就感是无与伦比的，也让我对数论有了更深刻的理解和更浓厚的兴趣。这本书确实为我打开了通往解析数论世界的大门，让我看到了数学原来也可以如此迷人。