微分幾何基礎（第2版 英文版） [Elementary Differential Ceometry （Second Edition）] pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

簡體網頁||繁體網頁

☆☆☆☆☆

Andrew，Pressley 著

圖書標籤:

• 微分幾何
• 幾何學
• 數學
• 高等數學
• 拓撲學
• 麯綫麯麵
• 流形
• 微積分
• 英文教材
• 第二版

齣版社： 世界圖書齣版公司

ISBN：9787519200183

版次：1

商品編碼：12007748

包裝：平裝

外文名稱：Elementary Differential Ceometry （Second Edition）

開本：24開

齣版時間：2016-01-01

用紙：膠版紙

頁數：473

字數：394000

正文語種：英文

內容簡介

　　微分幾何基礎講述的是麯綫和平麵的微分幾何學的主要結論適閤於本科生第一學期的課程。《微分幾何基礎（第2版 英文版）》在改版中有如下新的特徵：有一章專門講述非歐幾何，該課題在數學史上具有重要的影響且對現代數學發展的影響也至關重要；書中包括的課題有：平行移動及其應用、地圖設色、完整的高斯麯率。

目錄

Preface
Contents
1．Curves in the plane and in space
1．1 What is a curve？
1．2 Arc-length
1．3 Reparametrization
1．4 Closed curves
1．5 Level curves versus parametrized curves

2．How much does a curve curve？
2．1 Curvature
2．2 Plane curves
2．3 Space curves

3．Global properties of curves
3．1 Simple closed curves
3．2 The isoperimetric inequality
3．3 The four vertex theorem

4．Surfaces in three dimensions
4．1 What is a surface？
4．2 Smooth surfaces
4．3 Smooth maps
4．4 Tangents and derivatives
4．5 Normals and orientability

5．Examples of surfaces
5．1 Level surfaces
5．2 Quadric surfaces
5．3 Ruled surfaces and surfaces of revolution
5．4 Compact surfaces
5．5 Triply orthogonal systems
5．6 Applications of the inverse function theorem

6．The flrst fundamental form
6．1 Lengths of curves on surfaces
6．2 Isometries of surfaces
6．3 Conformal mappings of surfaces
6．4 Equiareal maps and a theorem of Archimedes
6．5 Sphericalgeometry

7．Curvature of 8urfaces
7．1 The second fundamental form
7．2 The Gauss and Weingarten maps
7．3 Normal and geodesic curvatures
7．4 Parallel transport and covariant derivative

8．Gaussian， mean and principal curvatures
8．1 Gaussian and mean curvatures
8．2 Principal curvatures of a surface
8．3 Surfaces of constant Gaussian curvature
8．4 Flat surfaces
8．5 Surfaces of constant mean curvature
8．6 Gaussian curvature of compact surfaces

9．Geodesics
9．1 Definition and basic properties
9．2 Geodesic equations
9．3 Geodesics on surfaces of revolution
9．4 Geodesics as shortest paths
9．5 Geodesic coordinates

10．Gauss' Theorema Egregium
10．1 The Gauss and Codazzi-Mainardi equations
10．2 Gauss' remarkable theorem
10．3 Surfaces of constant Gaussian curvature
10．4 Geodesic mappings

11．Hyperbolic geometry
11．1 Upper half-plane model
11．2 Isometries of H
11．3 Poincare disc model
11．4 Hyperbolic parallels
11．5 Beltrami-Klein model

12．Minmal surfaces
12．1 Plateau's problem
12．2 Examples of minimal surfaces
12．3 Gauss map of a minimal surface
12．4 Conformal parametrization of minimal surfaces
12．5 Minimal surfaces and holomorphic functions

13．The Gauss-Bonnet theorem
13．1 Gauss-Bonnet for simple closed curves
13．2 Gauss-Bonnet for curvilinear polygons
13．3 Integration on compact surfaces
13．4 Gauss-Bonnet for compact surfaces
13．5 Map colouring
13．6 Holonomy and Gaussian curvature
13．7 Singularities of vector fields
13．8 Critical points

A0．Inner product spaces and self-adjoint linear maps
A1．Isometries of Euclidean spaces
A2．Mobius transformations
Hints to selected exercises
Solutions
Index

好的，這是一本名為《黎曼幾何導論》（Introduction to Riemannian Geometry）的圖書簡介，內容詳盡，旨在與您提供的《微分幾何基礎（第2版 英文版）》在主題上有所區彆，同時保持專業性和學術深度。 --- 圖書名稱：黎曼幾何導論 (Introduction to Riemannian Geometry) 作者：[此處留空或填寫假想作者名，以增加真實感] 齣版社：[此處留空或填寫假想齣版社名] 內容簡介 《黎曼幾何導論》是一部麵嚮高年級本科生、研究生以及從事理論物理、純數學和應用數學研究的專業人士的深度專著。本書旨在為讀者提供一個嚴謹、清晰且富有啓發性的框架，以理解黎曼幾何——現代幾何學的核心分支——的基本概念、結構和重要應用。本書側重於從內在的視角齣發，構建一個紮實的理論基礎，為探索更高級的主題如微分拓撲、廣義相對論以及規範場論打下堅實的基礎。 本書的結構經過精心設計，力求在概念的嚴謹性與數學的直觀性之間取得微妙的平衡。我們避開瞭過多依賴於歐幾裏得空間中嚮量場的繁瑣坐標計算，轉而強調流形、張量場和聯絡的內在結構，這正是黎曼幾何的精髓所在。 第一部分：微分流形與張量分析 本書伊始，我們首先迴顧並係統化瞭微分流形的必要概念。這不僅僅是復習，更是為瞭確立一套精確的語言和工具。我們詳細討論瞭光滑結構、切叢、嚮量場、張量場以及微分形式。特彆地，對流形的拓撲性質（如緊緻性、連通性）與光滑結構的相互作用進行瞭深入探討，為後續引入度量提供瞭必要的背景。 張量分析部分是全書的基石。我們不僅定義瞭協變和反變張量，還深入闡述瞭張量的積、收縮以及對坐標變換的敏感性。微分形式及其外積（wedge product）的引入，為我們理解微分幾何中的積分和拓撲不變量（如德拉姆上同調）奠定瞭基礎。本書強調瞭微分形式在處理積分和外微分運算時的優雅性，這在後來的霍奇理論中至關重要。 第二部分：黎曼度量與聯絡 本書的核心部分聚焦於黎曼幾何的標誌性結構：黎曼度量。我們精確定義瞭黎曼度量張量，以及它如何誘導齣流形上的長度、角度和體積的概念。黎曼度量的存在性與局部構造得到瞭詳盡的分析。 隨後，本書轉嚮瞭“如何衡量變化”這一關鍵問題——聯絡理論。我們詳細介紹瞭仿射聯絡的一般概念，並在此基礎上定義瞭黎曼聯絡（Levi-Civita 聯絡）。本書花費大量篇幅證明瞭黎曼度量唯一地確定瞭一個無撓且度量兼容的聯絡。這種內在的、由度量決定的聯絡，是連接流形上不同切空間的橋梁。我們深入探討瞭平行移動的概念，並以此為基礎，定義瞭測地綫方程，將其解釋為流形上“最短路徑”或“慣性運動”的內在描述。 第三部分：麯率的幾何與代數 麯率是黎曼幾何的靈魂。本書將麯率的定義提升至內在的、坐標無關的層麵。我們首先定義瞭黎曼張量（Riemann Curvature Tensor），它是對黎曼聯絡不完備性的量化。通過深入的幾何解釋，讀者將理解黎曼張量如何捕捉流形在不同方嚮上的彎麯程度。 本書隨後係統地導齣瞭李奇-黎曼張量（Ricci Tensor）和斯卡拉麯率（Scalar Curvature）。這些量在物理學和幾何學中扮演著核心角色。我們詳盡分析瞭麯率張量的代數性質，特彆是其第一和第二 Bianchi 恒等式，這些恒等式不僅是理論推導的關鍵工具，也預示著更深層次的拓撲聯係。 第四部分：測地綫、變分與應用初步 基於測地綫方程，本書轉嚮瞭變分視角。我們導齣瞭作用量泛函，並將測地綫識彆為該泛函的臨界點，從而將幾何問題轉化為變分問題。這為理解廣義相對論中的測地綫運動提供瞭堅實的數學基礎。 此外，本書對完備性的概念進行瞭細緻討論，並介紹瞭霍普夫-林德伯格定理 (Hopf-Rincke Theorem) 的基本思想，說明瞭測地綫的局部存在性和唯一性如何延伸到全局。 本書的特點： 1. 內在視角優先： 強調張量和流形本身的結構，盡可能減少對坐標的依賴，使讀者能更深刻地理解幾何概念的本質。 2. 嚴謹的邏輯鏈條： 從基礎拓撲到張量分析，再到黎曼度量和麯率，每一步的推導都力求清晰、完整且富有幾何直覺。 3. 適度的計算深度： 在介紹基本概念後，本書會通過具體的、低維度的例子（如球麵、環麵）來實例化抽象概念，但避免陷入純粹的坐標計算泥潭，以保持對核心理論的關注。 4. 前沿銜接： 旨在為讀者準備好進入更專業領域（如辛幾何、規範理論、廣義相對論中的愛因斯坦方程）所需的數學語言和工具。 《黎曼幾何導論》不僅僅是一本教科書，它更是一扇通往現代幾何學迷人世界的門。通過對流形結構、測地綫以及麯率的深入探索，讀者將能夠以全新的視角審視空間和時間的幾何屬性。

評分☆☆☆☆☆

從跨學科應用的角度來看，這本書的價值也遠超齣瞭純數學範疇。雖然它紮根於嚴謹的數學基礎，但其中涉及到的張量分析、坐標變換以及對空間彎麯的描述方法，對於物理學，特彆是廣義相對論的研究者而言，無疑是一份寶貴的參考資料。我能清晰地感受到，作者在構建理論體係時，已經預見到瞭這些工具在現代科學中的廣泛用途。這種“麵嚮應用”的結構，使得理論的學習不再是空中樓閣，而是與真實世界的物理模型緊密相連。即便是對於工程領域的專業人士，理解這些微分幾何的原理，也能幫助他們更深刻地理解麯麵建模、機器人運動學等復雜問題背後的數學本質，體現瞭這本教材在知識深度和廣度上的雙重優勢。

評分☆☆☆☆☆

這本書的習題設計是其價值的又一重要體現，它們絕非簡單的計算驗證，而是真正意義上的思維體操。這些題目巧妙地穿插在章節內容之間，有些是基礎鞏固，用於確保對核心概念的牢固掌握；而另一些則具有相當的挑戰性，它們常常要求讀者將不同章節的知識點進行融會貫通，甚至是需要進行一些創造性的推導。我個人尤其喜歡那些需要結閤幾何直覺和代數工具來解決的問題，它們強迫我跳齣舒適區，用更廣闊的視角去審視問題。完成一套有難度的習題後，那種豁然開朗的成就感是難以言喻的，它遠超於簡單地記住瞭某個公式。批注和解題過程的記錄也變得更有價值，因為這些題目確實促使我進行瞭深刻的思考和探索，而不是機械地套用已知模闆。

評分☆☆☆☆☆

這本書的裝幀設計簡直是一場視覺盛宴，從封麵到內頁排版都透露齣一種沉穩而又不失現代感的氣息。我尤其欣賞它在細節處理上的用心，字體選擇既保證瞭閱讀的舒適度，又在關鍵概念的強調上做得恰到好處，使得那些抽象的數學符號和定理在視覺上顯得不再那麼令人望而卻步。初次翻開時，那種油墨的清香混閤著紙張的質感，立刻讓人心生敬意，仿佛觸碰到瞭知識的實體。紙張的厚度和韌性也讓人感到滿意，即便是頻繁翻閱也不會輕易齣現磨損的痕跡，這對於一本需要反復研讀的教材來說至關重要。光影在文字和圖錶上投射齣的效果，也為長時間的閱讀提供瞭一種愉悅的體驗。它不僅僅是一本工具書，更像是一件精心製作的藝術品，讓人願意把它擺在書架上，時不時地拿齣來把玩一番，感受那種紙質書籍特有的魅力。這種對實體書形態的尊重，無疑為學習過程增添瞭額外的儀式感和專注度。

評分☆☆☆☆☆

閱讀過程中，我發現作者在講解一些基礎概念時，那種由淺入深的邏輯推進簡直是教科書級彆的示範。他沒有急於拋齣復雜的公式，而是先從直觀的幾何圖像入手，用非常生活化的比喻來搭建起讀者對高維空間的初步認知框架。例如，對於麯率的引入，不是直接給齣復雜的黎曼麯率張量的定義，而是先通過二維平麵和球麵上的測地綫來做鋪墊，這種循序漸進的處理方式，極大地降低瞭初學者的畏難情緒。每一個定理的引入都伴隨著清晰的動機闡述，讓人清楚地知道“為什麼要學這個”，而不是“這是什麼”。我常常被作者這種對教學藝術的把握所摺服，他似乎能精準地洞察到學生在哪個環節會産生睏惑，並提前準備好瞭巧妙的拐杖，確保我們在攀登知識高峰的路上走得穩健而自信。這種對認知心理學的深刻理解，是許多純粹的數學著作所欠缺的。

評分☆☆☆☆☆

插圖和圖錶的質量是衡量一本好的幾何教材的關鍵指標，而這本教材在這方麵錶現得極為齣色。那些二維和三維的圖形，無論是描繪流形、嚮量場還是切空間結構，都達到瞭極高的清晰度和精確性。它們不僅僅是裝飾性的補充，更是闡釋抽象概念的核心工具。作者通過精妙的視角選擇和標注，使得原本在腦海中模糊不清的幾何結構，瞬間變得立體而可觸摸。我發現自己經常會停下來，仔細端詳那些圖示，觀察它們如何精確地錶達瞭法綫、切綫或第二基本形式等關鍵信息。這種視覺化的輔助，有效彌補瞭純粹文字描述在錶達空間關係時的固有缺陷，極大地提高瞭學習效率，也讓學習過程本身變得更加賞心悅目。