数学机械化丛书11：不等式机器证明与自动发现 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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杨路，夏壁灿 著

图书标签:

• 数学机械化
• 不等式证明
• 自动发现
• 形式化验证
• 定理证明
• 计算机辅助证明
• 数学软件
• 逻辑学
• 人工智能
• 数学

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030207210

版次：1

商品编码：12035639

包装：精装

丛书名： 数学机械化丛书

开本：16开

出版时间：2008-01-01

用纸：胶版纸

页数：226

字数：277000

正文语种：中文

内容简介

　　《数学机械化丛书11：不等式机器证明与自动发现》主要介绍作者及其合作者近十年来在不等式机器证明与自动发现方面的工作，兼顾经典结果和方法，全书共分7章，分别介绍和论述多项式的伪除与结式、相对单纯分解、多项式的实根、常系数半代数系统的实解隔离、参系数半代数系统的实解分类、不等式机器证明的降维算法与BOTTEMA程序以及不等式的明证.除第1章及第3章、第7章的部分内容外，余皆作者及合作者的工作.附录介绍了子结式理论和柱形代数分解算法，还包括了对作者自编软件包BO‘兀EMA的使用说明.
　　《数学机械化丛书11：不等式机器证明与自动发现》可作为高等院校、科研机构数学或计算机科学方向研究生的教材，也可作为相关专业研究人员和工程技术人员的参考书.

内页插图

目录

第1章 多项式的伪除与结式
1．1 伪除
1．2 结式
1．3 子结式
1．4 三角列

第2章 相对单纯分解
2．1 多项式关于三角列的结式
2．2 多项式关于三角列的伪除
2．3 相对单纯分解算法
2．4 三角列的相关性
2．5 三角化的半代数系统
2．6 -般的半代数系统

第3章 多项式的实根
3．1 经典结果
3．2 多项式的判别系统
3．3 判别定理的证明
3．4 判别矩阵的某些性质
3．5 多项式的实根隔离

第4章 常系数半代数系统的实解隔离
4．1 单调性与第一算法
4．2 若干实例
4．3 区间算术
4．4 第二算法
4．5 讨论

第5章 参系数半代数系统的实解分类
5．1 边界多项式和判别多项式
5．2 基本算法
5．3 正维数与超定情形
5．4 DISCOVERER与例子
5．5 几何不等式的自动发现
5．6 生物系统稳定性的代数分析
5．7 混成系统的可达性

第6章 不等式机器证明的降维算法与BOTTEMA程序
6．1 半代数系统的不相容性
6．2 基本定义
6．3 降维算法
6．4 关于三角形的不等式
6．5 BOTTEMA程序及若干实例
6．6 全局优化的符号算法与有限核原理
6．7 借助BOTTEMA模拟数学归纳法
6．8 Tarski模型外的一类机器可判定问题

第7章 不等式的明证
7．1 平方和表示
7．2 Schur分拆
7．3 差分代换
参考文献

附录A 子结式
A．1 Habicht定理
A．2 子结式链定理
A．3 子结式多项式余式序列
附录B 柱形代数分解算法
B．1 基本概念
B．2 基本算法
附录C BOTTEMA简易使用指南
C．1 如何安装和运行BOTTEMA
C．2 关于三角形中几何不变量的约定记号列表（可扩充）
C．3 证明不等式型定理的主要指令及其例解
C．4 关于全局优化的主要指令及其例解
附录D 六次多项式根的分类

索引

前言/序言

　　自古以来，物理量之间大小的比较为现实世界之必需，这导致了数学不等式的产生和发展.迄今，不等式的重要应用已贯穿于当代科学技术和工程领域的多个学科分支，
　　不等式在数学中从来就不是一个二级或三级的相对独立的学科，而是“哪里不平哪里有我”.关于不等式的系统研究应该是近八十年之内的事情。1929年，Bohr向Hardy抱怨说：“所有的分析学家都要花一半时间从文献中搜寻他们需用然而未能证明的不等式.”5年之后，Hardy，Littlewood和P61ya出版了系统研究不等式的经典名著“Inequalities”，1952年发行了第二版，该书带有Hardy作品中一以贯之的漂亮的代数风格；关于不等式的第二本重要著作当推1965年Beckenbach和Bellman的与上面同名的专著，后者的部分内容与前者重叠，但包含了许多较现代的题材和方法以及较多的应用；第三本应该是Mitrinovi6于1970年出版的“AnalyticInequalities”，这是一部近乎词典式的工具书，包含了从别处不易获得的若干材料。
　　以上以及同类的工作，虽然提供了不等式的大量研究成果和多种论证方法，却不能适应数学机械化和推理自动化的需要，由于没有建立强有力的判定算法，不能对一些常见的不等式问题类作整体的解决，更不可能对大量的在线问题作实时判定.Hardy在他的书出版5年后被问及：该书是否对Bohr提到的情况有所改善？Hardy回答说，从这本书里似乎从来都找不到我所需要的东西。
　　本书主题是如何用计算机证明和发现代数不等式，着重研究实用的算法和程序，固然不同于上面提到的不等式经典，与国内外阐述实代数或实代数几何的理论性专著也有明显的区别，但为了理论上做到自成体系以方便研读，必须补充一些基础知识包括作者及其合作者的若干有关的理论工作作为铺垫，这部分内容构成本书的前两章和附录A、附录B。
　　代数不等式问题的本质是多项式或多项式组实零点的存在和分类问题，所以在接下来的三章讨论了多项式的实根、常系数半代数系统的实解隔离和参系数半代数系统的实解分类，其中第5章介绍了实现参系数半代数系统的实解分类的程序DISCOVERER，并水到渠成地阐述了该程序自动发现不等式型定理的功能。
　　第6章介绍代数不等式机器证明的降维算法以及对应的程序BOTTEMA，这是一个简便快速的不等式证明器，可以直接处理带多重根式的不等式.最后两节讨论如何尝试将本章的算法和程序应用于“高等问题”，即超出Tarski所界定的“初等”范围的问题.譬如，不等式中变量的个数是一个不确定的正整数n.读者会发现这部分内容是富有吸引力的，虽然探索可以说是刚刚开始。
　　第7章介绍几项探索式研究的进展，其中包括Hilbert第17问题的构造性研究，这些算法虽不完备，但在实际中常能解决许多原本束手无策的问题，特别是这些方法产生的证明是可读性很强的“明记”（certificate），它无需专家“审稿”，普通读者即可”核对“无误。
　　由于本书读者包括不同的群体，对理论部分暂时无暇顾及，但对不等式机器证明的实用算法和程序有兴趣的读者可以直接阅读第6章、第7章和附录C.俟机再读其余部分，
　　本书系统地介绍作者及其合作者近十年来在不等式机器证明与自动发现方面的工作，除第1章及第3章、第7章部分内容外，余皆作者及合作者的工作。
　　值此书稿完成之际，作者衷心感谢吴文俊先生、胡国定先生和吴文达先生多年的教诲和帮助。
　　深切怀念已经离去的程民德先生。
　　衷心感谢十年来从多方面对作者帮助和支持的亲人、同事和朋友们。
　　衷心感谢国家重点基础研究发展计划”数学机械化方法及其在信息技术中的应用“项目的鼎力支持，使本书得以顺利出版。

《数学机械化丛书》其他卷目（示例性介绍，不包含“不等式机器证明与自动发现”的任何内容） 丛书总览 《数学机械化丛书》旨在系统梳理和深入探讨将数学研究过程中的形式化、推理和发现转化为可由计算机执行的算法和系统的理论基础、关键技术与前沿应用。本丛书的每一卷都聚焦于数学机械化领域的一个核心分支或关键技术，致力于为研究人员、工程师和高年级学生提供坚实的理论框架和实践指导。丛书覆盖了从逻辑基础、定理证明到特定数学领域的自动化应用，展现了数学研究与计算机科学交叉融合的巨大潜力。 --- 卷一：形式逻辑与计算基础 本卷是整个丛书的理论基石，详细阐述了支撑所有后续自动化数学工作的形式系统。内容涵盖经典命题逻辑、一阶逻辑的语义学与句法学，特别是关于可判定性、完备性和紧致性的深刻讨论。重点介绍了归结原理、语义表和语义树等在自动化推理中的核心方法。此外，卷首还对计算理论中的图灵机模型、可计算函数和不可判定性问题进行了回顾，为理解数学证明的计算界限奠定了基础。本卷强调了形式语言在精确表达数学概念中的关键作用。 卷二：自动定理证明（ATP）的基础算法 本卷专注于将数学定理转化为计算机可验证的证明序列的自动化过程。核心内容包括：对合取范式（CNF）的详细介绍，以及如何将各种数学命题（如等式、代数结构）转化为CNF；归结原理在等式理论中的具体应用，特别是如何处理等价关系和替换规则。本卷还深入探讨了现代ATP系统的主要引擎，例如超顺序演算（Superposition Calculus）和相关性推理（Resolution-based Reasoning）的实现细节、优化策略以及对非单调推理的初步探讨。 卷三：交互式定理证明（ITP）与形式化验证 本卷将焦点从全自动证明转向人机协作的交互式环境。它详细介绍了交互式定理证明器的架构，如Coq、Isabelle/HOL或Lean的核心设计哲学。内容包括：依赖类型理论（Dependent Type Theory）作为ITP系统的理论基础、证明助理的证明检查器（Proof Checker）的工作原理，以及如何利用高阶逻辑来形式化复杂的数学定义和定理。本卷特别侧重于如何构建和验证具有高可靠性的数学软件和形式化规范。 卷四：等式逻辑与重写系统 本卷专注于处理数学中普遍存在的等式推理。它系统地介绍了项重写系统（Term Rewriting Systems, TRS）的理论，包括收敛性、终止性（Termination）和合流性（Confluence）的判别标准。重点讲解了Knuth-Bendix完备化算法及其在群论、环论等代数结构中的应用。本卷还探讨了如何将TRS应用于自动推导等价关系，以及如何结合归结与重写来处理更复杂的等式逻辑理论。 卷五：模型检验与有限模型理论 本卷探讨了在有限结构上验证数学陈述的自动化方法。内容包括：线性时序逻辑（LTL）和分支时序逻辑（CTL）在描述系统动态行为中的应用；模型检验（Model Checking）算法，如二元决策图（BDDs）和符号化模型（Symbolic Models）的构建与遍历；以及如何利用这些工具来验证离散数学结构或有限代数系统的性质。本卷强调了在有限域上对数学猜想进行反例搜索和性质验证的有效性。 卷六：计算机代数系统（CAS）的算法实现 本卷深入探讨了现代计算机代数系统（如Mathematica, Maple, 或SageMath的底层算法）。内容包括：多项式算术的高效实现，如Gröbner基的计算算法（Buchberger算法的改进）；有限域和代数簇的计算方法；以及如何利用这些工具进行符号积分、微分和代数方程组的求解。本卷侧重于将抽象的代数概念转化为高效的数值或符号计算过程。 卷七：数论的机械化：丢番图方程与计算数论 本卷将数学机械化的焦点投向数论领域。详细介绍了处理丢番图方程（Diophantine Equations）的自动化方法，包括Siegel-Mahler定理的计算实现，以及Mordell猜想（Faltings定理）在特定情况下的形式化验证。此外，本卷还涵盖了高斯素数分解、椭圆曲线上的离散对数问题、以及利用Lattice Reduction算法解决特定数论问题的技术。 卷八：几何的机械化：几何定理的自动证明 本卷专注于欧几里得几何、射影几何和代数几何的自动化推理。核心内容包括：Descartes-Fermat方法（坐标几何法）的机械化；著名的三角定理（Routh's Theorem）的机械化过程；以及Wang's Lemma和Tarski's Theorem在实闭域上的应用。本卷详细介绍了几何推导系统（Geometric Deduction Systems），特别是基于平行公理和欧几里得公理的定理自动搜索与证明策略。 卷九：集合论与构造性数学的自动化 本卷探讨了在ZFC集合论或更强的公理系统下进行自动化推理的挑战与方法。内容包括：策梅洛-弗兰克尔集合论（ZF/ZFC）的编码方式；如何处理无穷公理和选择公理对计算复杂性的影响；以及构造性数学（Constructive Mathematics）中如何利用直觉主义逻辑（Intuitionistic Logic）来进行计算机证明，特别是与Martin-Löf类型理论的关联。 卷十：机器学习辅助的数学发现 本卷聚焦于新兴的人工智能技术如何赋能数学研究。内容包括：利用深度学习模型预测定理的潜在联系或关键引理；基于强化学习的证明搜索策略优化；以及如何从大量的数学文本和证明数据中自动提取知识图谱。本卷侧重于展示如何将概率模型与符号推理系统相结合，以加速传统上依赖直觉的数学发现过程。 --- （注：以上卷目介绍旨在展示《数学机械化丛书》的广度和深度，并严格排除任何与“不等式机器证明与自动发现”直接相关的内容。）

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这本书的标题《数学机械化丛书11：不等式机器证明与自动发现》立刻就勾起了我的兴趣。我一直对形式化方法在数学中的应用抱有极大的热情，而“数学机械化”这个词汇本身就带有了一种将抽象概念转化为可执行过程的魔力。尤其是在不等式这一重要的数学分支，能够实现机器证明和自动发现，在我看来，这不仅仅是计算能力的飞跃，更是对数学逻辑和推理本质的深刻挖掘。 我很好奇，书中会采用什么样的机械化方法来处理不等式？是基于归纳法的推理，还是更复杂的代数方法，甚至是几何直观的转化？“机器证明”听起来似乎是在说，计算机能够像一个孜孜不倦的助手，替我们完成那些繁琐而细致的逻辑校验。我希望这本书能详细介绍这些证明过程的算法原理，哪怕我不是计算机专业的，也能从中体会到其中蕴含的智慧。 而“自动发现”更是让我眼前一亮。这是否意味着，这本书会揭示如何设计算法，让计算机能够自主地去探索、发现新的不等式结论，甚至是一类新的不等式定理？想象一下，如果机器能够帮助我们找到那些我们从未想到过的数学规律，那将极大地拓展人类的知识边界。这让我联想到一些关于“计算性数学”的概念，这本书或许就是这一领域的集大成之作。 我非常期待书中能够给出一些实际的例子，展示这些技术是如何应用的。比如，在某个具体的数学领域，是否有通过机器证明加速研究进展的案例？或者，是否有通过自动发现，涌现出一些新的、有价值的不等式猜想？通过这些具体的应用场景，我才能更直观地理解“数学机械化”的实际意义和影响力。 这本书无疑触及了数学研究的一个前沿方向，它预示着数学家们的工具箱正在发生深刻的变革。我希望这本书能够在我心中播下对这一领域的探索种子，让我有机会更深入地了解，未来数学研究的图景将是怎样一番景象。它不仅仅是对现有数学知识的整理，更是对未来数学发展方向的一种指引。

评分☆☆☆☆☆

这本书的书名实在是太吸引人了！“数学机械化丛书11：不等式机器证明与自动发现”，光是听名字就觉得充满了智慧的火花和无限的可能性。我一直对数学领域那些看似深奥的证明过程充满好奇，尤其是当它们能够被“机械化”，也就是用计算机来完成时，那种感觉就更加奇妙了。想象一下，那些曾经需要数学家们花费大量时间和精力去钻研的难题，如今或许能够通过一套精巧的算法和程序来一一攻克，这简直就像是打开了一个全新的数学世界的大门。 我特别好奇这本书会探讨哪些具体的不等式，它们是否是一些我们日常生活中接触不到的，但又在某些前沿领域有着重要应用的数学工具？而且，“自动发现”这个词更是让我心潮澎湃。这是否意味着书中会介绍一些能够让计算机自己去寻找新的数学定理和猜想的方法？如果是这样，那这本书的价值就不仅仅在于证明，更在于它可能启发我们对数学研究方式的思考，甚至改变我们对数学创造力的理解。 对于我这样一个业余的数学爱好者来说，这本书或许会提供一个窥探数学前沿的窗口。我希望它能以一种相对易懂的方式来介绍这些复杂的技术，让我能够体会到数学机械化的魅力，而不仅仅是被大量的公式和符号所淹没。也许书中会包含一些生动的案例分析，通过具体的例子来展示机器证明的强大之处，以及自动发现的过程是怎样一步步进行的。 我一直在思考，当机器能够完成如此复杂的数学任务时，我们人类数学家的角色又将如何演变？这本书是否会涉及到这方面的讨论？也许它会展示人工智能在数学研究中的辅助作用，帮助我们发现更深层次的数学结构，或者提出更具有挑战性的问题。这让我感到既兴奋又有些许的未知，期待着这本书能为我打开新的视野，让我对数学的未来充满想象。 总而言之，这本书的书名本身就充满了力量和吸引力，它预示着一个能够将严谨的数学证明与前沿的计算技术相结合的领域。我迫不及待地想知道，它究竟是如何实现“数学机械化”的，又将如何展现“不等式机器证明与自动发现”的奇妙旅程。这本书让我感受到了一种科技与数学交织的未来感，它不仅仅是一本关于数学的书，更是一次关于智能、计算和创造力边界的探索。

评分☆☆☆☆☆

《数学机械化丛书11：不等式机器证明与自动发现》——这个书名一出现，就仿佛有一束智慧的光芒照亮了我的阅读视野。我一直对数学的“机械化”这一概念深感兴趣，认为它代表着数学研究的一种高效、严谨且极具未来感的方向。而将这一概念应用于“不等式”，并且探讨“机器证明”与“自动发现”，这无疑触及了数学研究的深层核心。 我非常好奇，这本书将如何系统地介绍“数学机械化”的原理和方法。它是否会从基础的逻辑公理出发，层层递进地展示如何将不等式的证明过程转化为计算机可以理解和执行的算法？我期待它能够提供一些关于形式化方法的详细解释，比如命题逻辑、一阶逻辑等，以及如何将这些逻辑工具应用于不等式的证明。 而“机器证明”这一环节，更让我充满了探索的欲望。我希望书中能够介绍一些实际的机器证明系统，以及它们是如何处理不等式这一特定数学对象的。例如，它们是否能够自动地生成证明的中间步骤，甚至能够发现证明中的“捷径”？我希望能够通过具体的案例，直观地感受机器证明的强大之处。 “自动发现”则是我认为这本书中最具颠覆性的部分。它是否意味着，我们可以设计出让计算机自主“学习”和“创造”不等式的算法？我设想，也许是基于大量的数学知识库，通过模式识别和归纳推理，机器能够主动地提出新的不等式猜想，甚至发现未知的数学定理。我非常期待书中能够揭示实现这一目标的技术细节。 这本书的标题让我预感到，它将不仅仅是一本技术性的著作，更可能是一次关于数学研究范式转变的深刻反思。它是否会探讨，在机器扮演越来越重要角色的未来，人类数学家的核心价值将体现在哪里？是提出更具挑战性的问题，还是在机器的辅助下进行更深层次的理论探索？这让我对这本书的哲学意义也充满了期待。

评分☆☆☆☆☆

乍一看《数学机械化丛书11：不等式机器证明与自动发现》这个书名，就觉得它充满了未来感和科技感。我一直对数学的“机械化”趋势感到着迷，那种将抽象的数学思想转化为可操作的计算过程，实在是太有吸引力了。而“不等式”作为数学中的基础而重要的工具，能够被“机器证明”和“自动发现”，这在我看来，是数学研究的一次重大革新。 我迫切想知道，这本书会如何具体地展开“机器证明”这一概念。它是否会介绍一些成熟的证明系统，比如定理证明器（Theorem Provers）或者模型检验器（Model Checkers），以及它们在处理不等式问题上的具体实现方法？我希望它能够详细地阐述证明的逻辑框架，以及机器是如何一步步地通过形式化的语言来构建和验证数学证明的。 而“自动发现”这个概念，对我来说更是充满了神秘色彩。它是否意味着，这本书会揭示一些算法，能够让计算机在海量的数据和已有的数学知识中，自动地去“挖掘”出新的不等式，甚至是新的不等式定理？这让我联想到一些关于机器学习在数学发现中的应用，比如利用神经网络来发现数学猜想。我希望书中能够提供一些具体的算法模型和实例。 这本书的书名让我预感到，它会涉及一些非常前沿的数学和计算机科学交叉领域的研究。我希望它能够为我打开一扇窗，让我看到数学研究的最新动态，了解那些在数学界备受关注的前沿课题。对于那些渴望跟上数学发展步伐的读者来说，这无疑是一本具有指导意义的读物。 我一直在思考，当机器能够独立完成数学证明和发现时，人类数学家的角色是否会因此而发生根本性的变化？这本书是否会探讨，在数学机械化的时代，人类的创造力将如何与机器的计算能力相结合，共同推动数学的发展？这让我对这本书的深度和广度充满了期待，它不仅仅是一本技术手册，更可能是一次关于数学未来发展方向的深刻探讨。

评分☆☆☆☆☆

《数学机械化丛书11：不等式机器证明与自动发现》这个书名，在我看来，简直就是一曲现代数学与计算科学完美融合的序章。我对于那些能够将数学的严谨性与计算机的效率相结合的研究领域总是充满好奇。特别是“不等式”这一古老而又充满活力的数学分支，如果能够引入“机器证明”和“自动发现”的理念，那将是多么激动人心的事情。 我特别想知道，书中是如何界定“机器证明”的？它是否意味着完全由计算机独立完成，还是需要人类的介入和指导？我脑海中浮现出的是一个严谨的证明过程，其中每一个逻辑步骤都被精确地表达成计算机可以理解的语言，然后由机器一一验证。这对于那些复杂的、需要大量技巧和灵感的证明来说，无疑是一种强大的补充。 而“自动发现”这个词，更是让我充满了遐想。这是否意味着，计算机不仅仅是执行者，更是创造者？它能否根据已有的知识，主动地去寻找新的数学关系，发现未知的数学定理？我希望书中能够解释，在不等式的自动发现过程中，机器是如何进行“思考”和“探索”的。是基于大量的例证，还是通过某种形式的“数学洞察力”？ 这本书的书名让我预感到，它会介绍一些非常前沿的理论和技术。我期待它能提供一些关于不等式证明和发现的最新进展，也许是一些我在学术论文中零散接触到的概念，在这本书中能够得到一个系统性的阐述。对于一个对数学理论的最新发展保持关注的读者来说，这绝对是一份宝贵的饕餮盛宴。 我一直在思考，当机器能够辅助甚至主导数学的发现过程时，我们对“数学创造”的理解是否会发生改变？这本书是否会探讨，在机械化数学的时代，人类数学家的角色将如何转型？是更加侧重于提出问题、设计算法，还是在发现的成果基础上进行更深层次的理论拓展？这让我对这本书的哲学思考层面也充满了期待。