现代数学基础丛书·典藏版12：微分方程定性理论 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

张芷芬，丁同仁，黄文灶，黄镇喜 著

图书标签:

• 数学
• 微分方程
• 定性理论
• 高等教育
• 教材
• 数学分析
• 常微分方程
• 偏微分方程
• 数学建模
• 理论研究

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030059918

版次：1

商品编码：12050973

包装：平装

丛书名： 现代数学基础丛书

开本：16开

出版时间：1981-11-01

用纸：胶版纸

页数：419

字数：500000

正文语种：中文

内容简介

　　《现代数学基础丛书·典藏版12：微分方程定性理论》是作者在常微分方程定性理论的多年教学和科研工作的基础上写成的，着重介绍平面定性理论的主要内容和方法，重点是：平面奇点，极限环的存在，个数，无穷远奇点，二维周期系统的调和解，环面上的常微系统，二维流形上的结构稳定性。
　　《现代数学基础丛书·典藏版12：微分方程定性理论》各章均附有习题。
　　《现代数学基础丛书·典藏版12：微分方程定性理论》可供大学数学系高年级学生及研究生阅读，也可供教师和科研人员参考。

内页插图

目录

第一章 基本定理
§1．解的存在性、唯一性及对初值（或参数）的依赖性
§2．解的延拓
§3．动力系统的一般概念
§4．平面上的动力系统
习题一
参考文献

第二章 平面奇点
§1．奇点和常点
§2．常系数线性方程组的奇点
§3．非线性方程组的奇点
§4．特征根实部不为0时附加非线性项的情形
§5．特征根是一对纯虚根时附加非线性项的情形（中心和焦点判别）
§6．*奇点的几何分类
§7．*有零特征根时附加非线性项的情形
习题二
参考文献

第三章 平面奇点指数
§1．连续向量场的旋转数
§2．平面奇点指数
§3．Cauchy指标
§4．齐次方程孤立奇点指数的有理计算
§5．*临界奇点指数的有理计算
§6．*Bendixon公式
习题三
参考文献

第四章 极限环
§1．极限环的存在性
§2．后继函数和极限环的重次及稳定性
§3．旋转向量场
§4．极限环的唯一性
§5．极限环的唯二性
§6．*二次系统极限环的个数
§7．*极限环的唯n性
习题四
参考文献

第五章 无穷远奇点
§1．Poincare变换
§2．平面系统的全局结构
§3．用无穷远奇点研究极限环的存在性
§4．二维紧致曲面S2，P2和T2上连续向量场的奇点指数和
习题五
参考文献

第六章 二维周期系统的调和解
§1．预备知识
§2．具有周期性强迫力的常系数线性系统
§3．拟线性系统
§4．平均方法
§5．Duffing方程的小摄动
§6．高频强迫振动的小振幅调和解
§7．高频强迫振动的大振幅渊和解
§8．耗散系统
§9．无阻尼的Duffing型方程
习题六
参考文献

第七章 环面上的常微系统
§1．引言
§2．旋转数
§3．极限点集
§4．各态经历
§5．奇异情况举例
§6．介绍Schweitzer之例
习题七
参考文献

前言/序言

　　本书是根据20世纪60年代以来我们在北京大学数学系开设的常微分方程定性理论课所用的讲义编写成的，它可作为综合性大学、师范院校、工科大学有关专业的高年级大学生和研究生的专门化课程的教材。
　　由常微分方程来直接研究和判断解的性质，这是常微分方程定性理论的基本思想。这种思想在基础课中已经有过。Sturm振动定理就是一例，定性理论在常微分方程的研究中往往有其独到的功能，当前由于电子计算机的出现，给定性理论研究提供了有力的工具，同时定性理论分析往往给数字计算提供了理论依据，常微分方程定性理论从H.Poincare发表的奠基性工作“微分方程所定义的积分曲线”起，一百年来得到了蓬勃的发展，它已成为从事许多学科和尖端技术（包括自动控制理论，航天技术，生物科学，经济学等）研究的不可缺少的数学工具，并且定性的思想和技巧已逐渐渗透到其他数学分支，例如偏微分方程等。
　　在二维系统特别是平面系统方面，定性理论的发展比较完整。本书基本上是根据上述H.Poincare的名著中所涉及到的几个问题，对平面或二维系统的有关成果力图作一较为完整的介绍。
　　本书第一章§1，§2讲的是常微分方程解的存在性、唯一性、解对初值的连续依赖性等问题，它是全书的基础，鉴于当前动力系统的符号和概念被广泛使用，在§3中我们介绍了拓扑动力系统一些最基础的知识，以及平面动力系统的主要结果。但这一部分最基本的事实是Poincare-Bendixson环域定理，讲授时可将这部分移到后面，也可适当精简，只要能证明环域定理就可以了。第二章讲奇点，基本问题是：在什么条件下原方程及其相应的线性方程在奇点附近有相同的拓扑结构或定性结构，以及在一些临界情形下奇点的性质。对平面系统来说，这个问题解决得较为彻底。第三章讲平面奇点指数，其中§3是奇点指数的有理计算，第四章论述极限环，特别是极限环的存在性、唯一性、个数、二次系统的极限环个数等方面，力图反映当前国内外的最新成果。第五章讨论无穷远奇点，为了研究系统的积分曲线的全局结构，往往必须研究系统的无穷远奇点。第六章讨论周期微分方程的调和解，它是属于非线性振动理论的基础知识。
　　前六章是本书的基本内容。如果是一学期的课程，则可在前六章中选取一些内容。如果是一年的课程，则第七章环面上的常微系统和第八章结构稳定性理论都是很重要的部分。
　　为了便于学生自学以及启发学生对此理论的兴趣，我们尽量介绍定性理论中最典型和最常用的方法和技巧，同时也尽量介绍有关内容的当前最新成果，此外为了便于读者的学习，我们在书中还列举了一些例子，每节后面都配有习题。
　　书中打符号“*”的章节乃是进一步的要求，初学时可略过，
　　本书第一章到第五章是张芷芬撰写或修改定稿的，其中第三章是张芷芬在高维新所写初稿基础上编写成的；第四章§6和第五章§3是索光俭提供初稿，由张芷芬改写成的。第六章是丁同仁撰写的，第一章§1，§2和第七章是黄文灶编写的，第八章是董镇喜撰写的。
　　余澍祥，高维新，何启敏，高素志，陈平尚，曾宪武，王裕民，李承治，丁大正，王铎，丁伟岳，王鹏远等还帮助和审查过本书的某些章节。曾试用过北大所编定性理论讲义的黄启宇、王克、马知恩、蔡燧林、徐世龙，都长青，俞伯华，马遵路等和参加过北大定性理论讨论班的人员，都对本书提出过很多宝贵意见，本书在写作过程中得到了廖山涛教授的热情关怀，他还对第五章及第八章的有关内容提出过宝贵意见，叶彦谦教授在审查本书过程中从文字到内容提出了很多中肯的意见和有益的建议。在此对他们一并致以谢意。
　　限于我们的知识水平，书中难免有错误及不妥之处，请读者批评指正。

好的，以下是根据您的要求撰写的图书简介，聚焦于“现代数学基础丛书·典藏版”系列中除了《微分方程定性理论》之外的其他可能内容，旨在提供一个详尽且专业的感觉，但不涉及该特定卷册的主题。 --- 现代数学基础丛书·典藏版 导览：洞察当代数学的核心构建 “现代数学基础丛书·典藏版”系列汇集了二十世纪下半叶以来，数学领域内最具原创性、影响力且奠基性的系列专著。它不仅仅是一套参考书目，更是对现代数学分析、代数、几何、拓扑以及逻辑学等核心分支的深刻剖析与系统梳理。本典藏版旨在为高年级本科生、研究生以及专业研究人员提供一套兼具严谨性、前沿性与历史深度的知识体系。 本丛书的每一卷都由该领域的权威学者撰写，力求在保持经典论证的完备性的同时，融入最新的研究进展和视角。其编纂的根本目标在于，清晰地揭示现代数学的内在逻辑结构，帮助读者从微观的定理推导上升到宏观的理论框架构建。 丛书涵盖的核心主题领域预览： 一、 拓扑学与几何学的深刻融合 本系列对现代拓扑学的进展给予了高度关注，特别是代数拓扑学和微分几何的交叉领域。 代数拓扑学基础： 丛书中对同调论、同伦论的系统阐述是其亮点之一。读者将深入探究庞加莱-拉普雪茨对偶性，掌握纤维丛、Chern类、Pontryagin类等关键概念的构造及其在纤维空间研究中的应用。特别是对Sheaf理论在代数几何和拓扑学中作用的探讨，展现了如何利用代数工具解决拓扑问题。 微分几何的黎曼世界： 几何学的研究转向了流形上的分析。本部分详细论述了光滑流形、切丛、张量分析的基础。重点突出了Levi-Civita联络、黎曼曲率张量的计算及其拓扑意义。对测地线方程的讨论，为理解空间弯曲的内在性质提供了严谨的数学框架。 二、 泛函分析与算子理论的深化 作为现代分析的支柱，本丛书对泛函分析的深入剖析是其核心价值所在。 Banach空间与Hilbert空间： 从基础的拓扑线性空间到严格的范数空间，丛书构建了坚实的理论基础。重点剖析了Hahn-Banach定理、Baire纲定理、开映射定理和闭图像定理等一系列核心工具。对Hilbert空间中正交分解理论的详尽介绍，为量子力学中的可观测量研究提供了必要的数学背景。 算子理论的结构： 对有界线性算子的谱理论进行了系统性的梳理，从有限维空间的矩阵特征值问题推广到无限维空间中的紧算子和一般算子。探讨了 $C^$-代数和von Neumann代数在描述特定类型的算子代数上的作用，这对于理解非交换几何和无穷粒子系统的描述至关重要。 三、 代数结构与数论的现代视角 丛书并未忽视代数结构在构建数学整体图景中的基础性作用。 交换代数与概形理论： 聚焦于现代代数几何的语言——概形理论。从理想、环到局部化、模，再到因子分解范畴与交换代数的基本定理，本部分清晰地展示了Serre对簇的定义如何被Grothendieck的概形概念所取代和深化。对Sheaf上同调在代数几何中的应用给予了高度重视。 代数数论前沿： 对代数数域、理想类群的结构进行了深入的探讨。特别关注了与费马大定理证明密切相关的L-函数理论和Weil 2-adic $L$-函数等现代数论工具的构建，展示了分析方法在解决纯代数问题中的强大威力。 四、 测度论、概率论与随机过程的严谨化 该系列对概率论的数学基础进行了严格的重构，强调了测度论的绝对必要性。 测度论的构造： 从Carathéodory外测度构造到$sigma$-代数、Lebesgue积分理论的建立，确保了概率空间定义的基础的无可指摘的严谨性。对乘积测度和Fubini定理的深入讨论，为处理多维随机现象奠定了基础。 随机过程的分析工具： 重点介绍了马尔可夫过程、鞅论以及布朗运动的数学描述。尤其对Itô积分的定义、随机微分方程（SDEs）的解的存在性与唯一性，以及鞅的收敛定理进行了详尽的阐述，这是现代金融数学和物理统计学不可或缺的工具集。 结论： “现代数学基础丛书·典藏版”的价值在于其内在的互联性。它不仅仅是各个领域的独立教科书的集合，更是一幅试图将分析、拓扑、几何和代数整合进一个统一而严谨的框架下的宏伟蓝图。每一卷都以其原创者的视角，提供了一种对“基础”的独特而深刻的理解，确保了其在数学研究中的持久参考价值。本典藏版是追求数学真理、探求理论深度读者的必备珍藏。

评分☆☆☆☆☆

坦白说，我拿到这本书的时候，并没有立刻投入阅读。我把它放在书架上，就像收藏一件珍贵的艺术品一样，时不时地拿出来欣赏一下它的封面和装帧。我一直相信，真正好的书籍，不仅仅在于其内容，还在于它所承载的文化和思想。而“现代数学基础丛书·典藏版”，光是这个名字，就足以让我对其中的内容充满期待。我个人对于那些能够解释世界运行规律的数学理论尤为着迷，而微分方程无疑是其中最重要的一环。我希望这本书能够带我领略微分方程定性理论的深邃之处，去理解那些关于系统行为的“定性”描述，去感受数学的逻辑之美和哲学之思。我期待着通过这本书，能够对数学的理解上升到一个新的层次，能够看到数学如何在纷繁复杂的现象中，提炼出最本质的规律。

评分☆☆☆☆☆

当我看到这本书的封面时，一种久违的学习热情就被点燃了。我一直对数学有着浓厚的兴趣，特别是那些能够解释自然界奥秘的数学工具。微分方程在我看来，就像是打开了理解世界运行机制的一把钥匙，它们能够描述事物如何随时间变化，如何演化。然而，我一直觉得自己的知识储备还远远不够，对于微分方程的“定性理论”更是了解甚少。我希望这本书能够带我深入了解微分方程定性理论的核心内容，去理解那些关于解的存在性、稳定性、周期性等深刻概念，并且能够将这些理论知识与实际应用联系起来。我期待着通过这本书，能够构建起一个更加完整的数学知识体系，能够更好地理解和分析那些复杂的数学模型，从而更深刻地认识我们所处的这个世界。

评分☆☆☆☆☆

终于拿到这本书了，这本书的封面设计就很有分量，厚实的纸张，烫金的标题，拿在手里就有一种沉甸甸的学术感。我一直对数学的几个分支都挺感兴趣的，尤其是那些能够解释和预测自然现象的理论。我记得大学里学过一些基础的微分方程，当时就觉得它们就像是描述世界运动规律的密码，虽然那时候的理解非常浅显，但那种探索未知的魅力一直都在。我一直想找一本能够系统地、深入地了解微分方程背后思想的书，不仅仅是求解的技巧，更重要的是理解它们所蕴含的深刻理论。我希望这本书能够带我进入一个全新的视角，去感受数学的严谨与美妙，去体会那些抽象概念如何构建起我们对世界的认知。我期待着能够在这本书中找到我一直渴望的解答，去理解那些看似复杂的方程背后隐藏的优雅逻辑，并希望能够将这种理解迁移到其他数学领域，拓宽我的数学视野。这本书的出现，让我觉得多年的数学爱好终于有了一个可以深入钻研的出口。

评分☆☆☆☆☆

拿到这本书的时候，我就被它那个朴实无华的书名吸引住了。“现代数学基础丛书·典藏版”，这几个字本身就带着一股厚重感，仿佛里面蕴藏着一个时代的数学智慧。我一直认为，数学的魅力在于其普适性和抽象性，而微分方程无疑是连接数学抽象世界和我们现实世界最坚实的桥梁之一。我曾经在一些科普读物中接触过微分方程在物理、工程、生物等领域的应用，那些例子让我对微分方程的强大力量印象深刻。然而，我一直觉得自己的理解还停留在应用层面，对于其背后的理论基础，那些关于解的存在性、唯一性、稳定性等等概念，我一直希望能有更系统、更深入的学习。这本书的出现，恰好满足了我这个需求。我期待它能够引领我穿越那些繁杂的公式，去探寻微分方程定性理论的核心思想，去理解那些抽象的数学语言是如何构建起对动力学系统深刻的洞察。

评分☆☆☆☆☆

这本书的书名，让我立刻联想到了那些曾经在数学史册上熠熠生辉的名字，以及他们为我们留下的宝贵财富。我一直认为，数学的精髓在于其思想的传承和发展，而“典藏版”这个词，更是将这种传承的意义提升到了一个高度。我对微分方程一直有一种特殊的情感，它们就像是宇宙的语言，能够描述从星球的运动到微观粒子的行为，从经济模型的波动到生物种群的演变，无处不在。然而，我所了解的微分方程更多停留在求解的层面，那些关于方程解的性质、系统的长期行为、以及非线性系统所展现出的复杂性，是我一直想要深入探索的领域。我希望这本书能够带我走进微分方程定性理论的世界，去理解那些关于“定性”的深刻含义，去感受数学家们是如何通过抽象的数学工具来揭示系统本质的。