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內容簡介

　　中國科學院數學研究所一批中青年學者發起組織瞭數學所講座，介紹現代數學的重要內容及其思想、方法，旨在開闊視野，增進交流，提高數學修養。
　　《數學所講座2014》根據2014年7個報告的講稿整理而成，內容涉及數學控製論、非負麯率流形與Tits幾何、素數分布與Mobius正交性猜想、度量黎曼幾何之旅、局部指標理論、二維拓撲場理論與鏡對稱、拓撲量子態與拓撲電子材料等。
　　《數學所講座2014》可供數學專業的高年級本科生、研究生、教師和科研人員閱讀參考，也可作為數學愛好者提高數學修養的學習讀物。

內頁插圖

目錄

序
前言

1 數學控製論淺談
1．1 引言
1．1．1 概述
1．1．2 控製科學發展簡史
1．1．3 控製科學中的基本問題
1．1．4 數學控製論
1．2 有限維係統控製理論
1．2．1 有限維係統的能控性
1．2．2 有限維係統的最優控製
1．3 分布參數係統控製理論
1．3．1 分布參數係統的能控性
1．3．2 分布參數係統的最優控製
1．4 隨機有限維係統控製理論
1．4．1 隨機有限維係統的能控性
1．4．2 隨機有限維係統的最優控製
1．5 隨機分布參數係統控製理論
1．5．1 隨機分布參數係統的能控性
1．5．2 隨機分布參數係統的最優控製
參考文獻

2 非負麯率流形與Tits幾何
2．1 非負麯率黎曼流形的主要結構定理
2．2 非負麯率流形上的反射群
2．3 極作用
2．4 極作用和房係統
2．5 正麯率流形上的極作用
參考文獻

3 素數分布與M6bius正交性猜想
3．1 軌道上的素數分布
3．2 二次型與高次型
3．3 MSbius正交性猜想
3．4 遠端流
3．5 α非丟番圖
參考文獻

4 度量黎曼幾何之旅
4．1 引言
4．2 低維Riemann幾何
4．3 經典比較Riemann幾何
4．3．1 截麵麯率與距離比較
4．3．2 Ricci麯率與體積比較
4．4 Gromov-Hausdorff拓撲
4．5 度量Riemann幾何的進展
4．5．1 截麵麯率兩邊有界與收斂塌縮理論
4．5．2 截麵麯率有下界與Alexandrov幾何
4．5．3 Ricci麯率有下界與Cheeger。．Colding理論
參考文獻

5 局部指標理論簡介
5．1 指標定理簡介
5．1．1 從三角形到流形
5．1．2 Gauss-Bonnet-Chern定理與Chern-Weil理論
5．1．3 Hirzebruch符號差定理與Hirzebruch-Riemann-Roch定理
5．1．4 Atiyah-Singer指標定理
5．1．5 McKean-Singer公式
5．2 局部指標理論
5．2．1 局部Gauss-Bonnet-Chern定理
5．2．2 關於Dirac算子的Atiyah-Singer指標定理
5．2．3 關於Dirac算子的局部指標定理與n不變量

6 二維拓撲場理論與鏡對稱
6．1 前言
6．2 黎曼麵，麯綫模空間和witten猜想
6．2．1 黎曼麵和麯綫模空間
6．2．2 模空間的緊化以及同義映射
6．2．3 麯綫模空間上的同義環和遞歸關係
6．2．4 Kdv可積係統
6．2．5 相交理論與Witten猜想
6．2．6 帶邊黎曼麵的模空間與開的Kdv可積係統
6．2．7 評論
6．3 卡-丘（CY）流形之間的鏡對稱現象
6．3．1 Candelas，dela Ossa，Green和Parks的發現
6．3．2 鏡像對稱的幾何構造
6．3．3 Strominger-Yau-Zaslow鏡像對稱猜想
6．3．4 非卡-丘模型的SYZ猜想
6．4 辛幾何與僞全純麯綫模空間（A模型1）
6．4．1 穩定映射的模空間與Gromov-Witten不變量
6．4．2 Kontsevich-Manin公理化體係
6．4．3 WDVV方程和量子乘法
6．5 復結構形變理論（B模型1）
6．5．1 一般復流形的形變理論
6．5．2 卡一丘流形的形變
6．5．3 緊Kahler流形上Hodge結構的形變與周期域
6．5．4 三維卡-丘流形上的特殊幾何和tt*方程
6．5．5 DGBV代數與Frobenius流形
6．5．6 復結構形變的量子化方法
6．6 朗道-金茲堡（LG）模型與更一般的鏡對稱現象
6．7 上同調場論
6．8 關於奇點的saito-Givental量子化理論fB模型2）
6．8．1 經典的奇點理論
6．8．2 Saito平坦結構理論
6．8．3 本原形式的擾動計算方法
6．8．4 Givental形式量子化
6．9 FJRW理論（量子奇點理論）（A模型2）
6．9．1 狀態空間
6．9．2 虛擬基本圈的構造和穿牆現象
6．9．3 FJRW理論的公理體係
6．10 A13E情形廣義Witten猜想的解決和整體的鏡對稱猜想
6．11 微分幾何途徑：schroedinger方程與LG模型的Hodge理論
6．11．1 截麵一叢係統中的微分算子與超對稱代數結構
6．11．2 譜理論，Hodge定理和Hard Lefschetz定理
6．11．3 L2f-上同調群的計算
6．11．4 超位勢的形變理論與穩定性定理
6．11．5 tt*幾何結構
6．11．6 tt*幾何與Frobenius流形結構（當τ→0時）
6．11．7 進一步的發展
6．12 開弦理論簡介
6．12．1 拉格朗日相交的Floer理論
6．12．2 Fukaya範疇
6．12．3 B理論的範疇化
6．12．4 同調鏡像對稱猜想
6．12．5 進一步的問題
6．13 統一理論：規範綫性西格瑪模型
參考文獻

7 拓撲量子態與拓撲電子材料
7．1 簡介
7．1．1 對稱性與物態
7．1．2 準粒子與能帶
7．1．3 拓撲量子態
7．2 拓撲不變量
7．2．1 動量空間
7．2．2 聯絡與麯率
7．2．3 陳數
7．2．4 Z2不變量
7．2．5 磁單極
7．3 拓撲量子態
7．3．1 整數量子霍爾效應（IQHE）量子反常霍爾效應（QAHE）
7．3．2 量子自鏇霍爾效應（QSHE）
7．3．3 拓撲絕緣體
7．3．4 拓撲金屬半金屬
7．4 拓撲材料
7．4．1 反帶機製
7．4．2 二維拓撲絕緣體：HgTe量子阱
7．4．3 三維拓撲絕緣體Bi2Se3、Bi2Te3、Sb2Te3傢族
7．4．4 量子化反常霍爾效應
7．4．5 Wey！半金屬
7．4．6 Dirac半金屬
7．5 總結
參考文獻

彩圖

前言/序言

　　“數學所講座”始於2010年，講座的宗旨是介紹現代數學的重要內容及其思想、方法和影響，擴展科研人員和研究生的視野、提高數學修養和加強相互交流、增強學術氣氛。那一年的8個報告整理成文後集成《數學所講座2010》，楊樂先生作序，於2012年由科學齣版社齣版發行。2011年和2012年數學所講座16個報告整理成文後集成《數學所講座2011-2012》，於2014年由科學齣版社齣版發行。2013年數學所講座的8個報告整理成文後集成《數學所講座2013》於2015年由科學齣版社齣版發行，這三本文集均受到業內人士的歡迎，這對報告人和編者都是很大的鼓勵。
　　本書的文章係根據2014年數學所講座的8個報告中的7個整理而成，按報告的時間順序編排，另有一個報告的文章將放在後麵的文集齣版。如同前麵三本文集，在整理過程中力求文章容易讀，平易近人，語言流暢，取捨得當，文章要求數學上準確，但對嚴格性的追求適度，不以犧牲易讀性和流暢為代價。
　　文章的選題，也就是報告的選題，有數學控製論、非負麯率流形與Tits幾何、素數分布與Mobius正交性猜想、度量黎曼幾何之旅、局部指標理論、二維拓撲場理論與鏡對稱、拓撲量子態與拓撲電子材料等。從題目可以看齣，數學所講座的主題已經擴展瞭，包含與數學密切相關的物理，其實物理與數學的交融一直對數學和物理的發展有巨大的影響，過去幾十年，很多非常有影響的數學工作都受到物理思想的影響，所以，對數學工作者，瞭解物理是很有益處的。報告內容的選取反映瞭作者對數學和物理的認識與偏好，但有一點是共同的，它們都是主流，有其深刻性。希望這些文章能對讀者認識現代數學有益處。
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