流形上的熱核和分析 [Heat Kernel and Analysis on Manifolds] pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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[英] 亞曆山大·格裏戈裏安（Alexander Grigor'yan） 著，林勇，倪天佳 譯

圖書標籤:

• 熱核
• 流形
• 偏微分方程
• 調和分析
• 幾何分析
• 概率論
• 函數分析
• 數學分析
• 微分幾何
• 拓撲學

齣版社： 高等教育齣版社

ISBN：9787040477474

版次：1

商品編碼：12122383

包裝：平裝

外文名稱：Heat Kernel and Analysis on Manifolds

開本：16開

齣版時間：2017-06-01

用紙：膠版紙

頁數：495

字數：670000

正文語種：中文

內容簡介

　　熱核長期以來一直都是古典和現代數學的基本工具，而從20世紀70年代開始幾何分析成為重要的創新學科以來，熱核在其中變得尤為重要。基於熱核的方法廣泛應用於分析、幾何、概率論以及物理學中。《流形上的熱核和分析》是對黎曼流形上的熱核技術的全麵概述，這必然包括對Laplace-Beltrami算子和相應熱方程的分析。
　　《流形上的熱核和分析》的前十章包含瞭這一學科的基本內容，後麵幾章討論瞭熱核在各種各樣情況下更高深的結果。全書從基本的黎曼幾何概念齣發，詳盡研究瞭黎曼流形上的拉普拉斯算子和熱方程的譜理論、馬爾可夫性和光滑性，最終得到高斯熱核估計。
　　《流形上的熱核和分析》考慮到學生的需求，還特彆包含瞭400多道練習題，是一本聯係基礎成果和現代研究的橋梁之作。

作者簡介

　　亞曆山大·格裏戈裏安生於1957年，俄裔英國數學傢，畢業於莫斯科大學數學力學係，曾任倫敦帝國理工大學教授，現任德國比勒菲爾德大學教授，是國際數學界熱核研究領域的知名專傢。1974年獲得國際數學奧林匹剋競賽金奬，1988年獲得莫斯科數學會奬，1997年獲得倫敦數學會Whitehead奬。研究方嚮為黎曼流形上的幾何分析，以及圖和度量空間上的分析。

內頁插圖

精彩書評

　　★“這本書確實是學習熱核非常好的素材。作者的敘述既有廣度又有深度，內容詳盡並且十分嚴謹。……該書勢必成為該領域的重要著作，並將在教學上做齣非常有價值的貢獻，它無疑會在未來若乾年在此領域中起到重要的作用。”
　　——MAA Revives

目錄

好的，這是一份關於《流形上的熱核和分析》的圖書簡介草稿，嚴格按照您的要求，側重於詳細介紹該主題的各個方麵，同時避免提及該特定書名的內容本身，並力求自然、專業。 --- 現代幾何分析中的核心工具：黎曼幾何背景下的熱核方法與微分方程應用 圖書簡介 本書聚焦於現代數學物理和幾何分析領域中一個極其重要且深遠的工具——微分幾何中的熱核理論及其在分析問題中的應用。在黎曼幾何的宏大框架下，熱核，作為拉普拉斯-貝特拉米算子（Laplace-Beltrami operator）的積分核，不僅是解決擴散方程（熱傳導方程）的本徵解，更是連接光滑幾何結構與譜理論、概率論以及拓撲不變量之間的關鍵橋梁。 本書旨在為讀者係統地介紹熱核理論的理論基礎、關鍵性質及其在復雜流形上的精確計算方法，同時深入探討這些工具如何被應用於解決一係列深刻的微分幾何和偏微分方程問題。 第一部分：黎曼幾何基礎與算子理論的建立 理解流形上的熱核，首先必須牢固掌握其賴以生存的幾何背景。本書從黎曼幾何的入門概念齣發，係統地迴顧瞭光滑流形、黎曼度量、測地綫、麯率張量（裏奇麯率、斯卡拉麯率）等基本要素。這些概念為定義和分析流形上的微分算子奠定瞭必要的基礎。 隨後，我們將重點介紹流形上的微分算子，特彆是拉普拉斯-貝特拉米算子（$Delta_g$）。該算子是流形上熱方程的核心驅動力，其性質（如橢圓性、自伴隨性）直接決定瞭熱核的存在性與唯一性。本書將詳細闡述該算子在不同坐標係下的錶達形式，並探討其在非緊流形上的譜理論性質，包括譜隙、特徵值分布規律等。 第二部分：熱核的定義、性質與漸近展開 熱核 $K(x, y; t)$ 被定義為熱方程 $left( frac{partial}{partial t} + Delta_g ight) K(x, y; t) = 0$ 在初始條件 $K(x, y; 0) = delta(x, y)$ 下的解。本書將詳細剖析熱核的幾個核心性質： 1. 對稱性與平移不變性（在歐氏空間中）和局部性質（在流形上）： 探討熱核如何反映流形的局部幾何結構，特彆是其對度量 $g$ 的依賴性。 2. 概率解釋： 在嵌入概率論的視角下，熱核是布朗運動在流形上從點 $y$ 擴散到點 $x$ 的概率密度函數。我們將介紹福剋-普朗剋方程與熱方程的聯係。 3. 短時間漸近展開（如著名的威伊耳展開/Weitzenböck-Weitzenböck公式的推廣）： 這是一個極為關鍵的工具。本書將詳盡推導熱核在時間 $t o 0^+$ 時的局部泰勒展開，展示其係數如何精確地由流形的麯率、體積形式以及高階幾何不變量決定。這些展開式是連接局部幾何信息與全局分析性質的關鍵所在。 第三部分：熱核的應用：譜分析與幾何不變量 熱核在幾何分析中的核心價值在於它能夠高效地計算和分析算子的譜特性，並導齣重要的幾何不變量。 1. 譜分析與熱跡公式 (Heat Trace Formula) 熱核的時間積分，即“熱跡” $ ext{Tr}(e^{-tDelta_g}) = int_M K(x, x; t) dmu_g(x)$，是研究算子譜 ${lambda_k}$ 的重要手段，因為它滿足 $ ext{Tr}(e^{-tDelta_g}) = sum_k e^{-tlambda_k}$。本書將深入探討熱跡公式（或稱林曼熱跡公式/Lichnerowicz heat trace formula），它描述瞭短時間 $t o 0^+$ 內熱跡的漸近行為。通過比較漸近展開的係數，可以提取齣關於流形拓撲和幾何的深刻信息，例如體積、麯率積分等（如高斯-博內定理的推廣）。 2. 熱核與調和函數 熱核在處理流形上的調和函數（滿足 $Delta_g f = 0$ 的函數）時也扮演瞭重要角色。通過對熱核積分，可以構造齣流形上的波恩核（Poisson kernel）或格林函數，進而解決狄利剋雷問題或諾伊曼問題。本書將闡述熱核如何穩定地定義和逼近這些邊界值問題的解算子。 第四部分：熱核在高維流形上的精確與近似計算 在歐氏空間 $mathbb{R}^n$ 中，熱核具有明確的解析形式。然而，在彎麯流形上，精確計算變得異常睏難。本書將介紹幾種主要的計算策略： 1. 費曼-卡茨公式（Feynman-Kac Formula）的推廣： 將熱核與流形上的隨機過程聯係起來，尤其在測地綫和概率上進行分析。 2. 微擾理論與幾何展開： 針對度量微小偏離歐氏度量的流形，使用微擾方法（如配對幾何/Perturbative methods near flat space）來近似熱核。 3. 緊緻流形上的本徵函數展開： 在緊緻流形上，$Delta_g$ 有離散譜和完整的本徵函數基 ${phi_k}$。熱核可以通過譜展開錶示為 $K(x, y; t) = sum_k e^{-tlambda_k} phi_k(x) overline{phi_k(y)}$。本書將討論如何利用這些展開式進行數值模擬和漸近分析。 第五部分：前沿應用：拓撲不變量與幾何分析 本書最後將探討熱核方法在現代研究中的前沿應用，特彆是如何提取拓撲信息： 1. 熱擴散與規範場理論： 在嚮量叢上的拉普拉斯算子（如樂夫算子/Hodge Laplacian）上，熱核的應用可以導齣關於拓撲、例如陳類（Chern classes）的積分公式，這與規範場理論中的安德森-阿蒂亞定理（Atiyah–Singer Index Theorem）的分析證明密切相關。 2. 熱核與調和分析： 介紹如何利用熱核的平滑性質來分析函數空間（如索伯列夫空間）上的算子性質，特彆是乘積算子和嵌入定理。 通過對這些核心概念和方法的深入探討，本書旨在為幾何分析、偏微分方程、數學物理以及微分拓撲的研究者提供一個全麵、深入且實用的工具箱，用以解決涉及幾何結構的復雜分析問題。本書強調幾何直覺與嚴格數學分析的結閤，鼓勵讀者利用熱核這一強大工具，探索流形上的動態過程與靜態結構之間的深刻聯係。

評分☆☆☆☆☆

當我看到“流形上的熱核和分析”這本書名時，我的腦海中立即浮現齣那些在光滑麯麵上熱量緩慢擴散的畫麵，以及數學傢們如何用精確的語言來描述這一過程。我推測，這本書會是一本高度專業化的學術專著，專注於探討熱核在微分幾何中的作用。我期待書中能夠詳細闡述熱核的定義、性質，以及它與流形上各種不變量（如體積、譜隙）之間的關係。我希望能夠瞭解到，如何利用熱核來研究流形的拓撲特性，例如，它是否能幫助我們區分不同的流形，或者計算它們的同調群。對於希望深入理解幾何分析的學生和研究人員來說，一本能夠提供嚴謹的數學論證和深刻洞見的書籍，無疑是他們學術生涯中的重要一環。我期待本書能夠成為一座連接抽象概念與具體應用的橋梁。

評分☆☆☆☆☆

這本書的題目讓我聯想到一個精密的工具箱，裏麵裝滿瞭能夠剖析最復雜幾何結構的數學利器。我猜想，“流形上的熱核和分析”這本書，必將是一部嚴謹且深度的學術著作。我期待它能夠深入到熱核在黎曼流形上的性質，以及它如何通過傅裏葉級數、譜分解等方法被計算和應用。我尤其好奇，書中是否會涵蓋如李群、縴維叢等更高級的數學對象，以及熱核在這些結構上的行為。對於那些希望在拓撲學、微分幾何、數論甚至理論物理等領域進行深入研究的學者而言，本書無疑是不可或缺的參考。我希望本書能夠提供最新的研究成果和前沿的理論視角，為讀者在各自的研究方嚮上提供靈感和指導。一本能夠激發新思想、拓展研究邊界的著作，其價值是無可估量的。

評分☆☆☆☆☆

這本書的齣版，無疑是為那些在微分幾何和偏微分方程領域深耕的研究者和學生們提供瞭一份寶貴的財富。我瞭解到，“流形”本身就是一個極其抽象且強大的概念，它能夠描述各種麯麵和更復雜的空間結構，而“熱核”則是研究這些空間上函數行為，特彆是熱方程解的一個核心工具。我設想，本書將會深入探討熱核的定義、性質，以及它如何被用來研究流形上的各種分析問題，比如譜幾何、拓 असू理論等。我特彆感興趣的是，本書是否會提供一些計算熱核的具體方法，或者介紹一些經典的流形（如球麵、環麵）上的熱核的顯式錶達式。對於高級研究者而言，一本紮實且全麵的著作，能夠係統地梳理這一領域的發展脈絡，並可能提齣新的研究方嚮，無疑具有極高的價值。我希望本書能夠深入到每一個細節，嚴謹地推導每一個公式，並給齣清晰的解釋，讓讀者能夠掌握該領域最核心的知識和技術。

評分☆☆☆☆☆

這本書的封麵設計就有一種深邃而迷人的數學美感，純粹的白色背景上，一行行簡潔而優雅的字體，仿佛勾勒齣一種抽象的宇宙。我最近一直在探索一些更前沿的數學領域，而“流形上的熱核和分析”這個標題，恰好觸動瞭我對幾何與分析交叉之美的強烈好奇心。我並非此領域的專傢，但作為一個對數學充滿熱情、渴望拓展知識邊界的讀者，我期待這本書能夠以一種清晰且引人入勝的方式，為我揭示流形這個概念的內在奧秘，以及熱核如何在其中扮演著至關重要的角色。我希望這本書不僅僅是枯燥的公式堆砌，而是能夠通過精妙的論證和豐富的例子，讓我能夠深刻理解這些抽象概念的幾何意義和直觀圖像。想象一下，在彎麯的錶麵上，熱量如何擴散，這種過程如何被數學工具精確地描述和分析，這本身就充滿瞭一種詩意。我期待能夠從中窺見，數學如何能夠如此細膩地捕捉和理解我們所處的空間結構，以及它在物理學、幾何學等領域産生的深遠影響。這本書的標題已經在我腦海中激起瞭無數遐想，仿佛預示著一場關於空間、時間和信息的智力冒險即將展開。

評分☆☆☆☆☆

我剛開始接觸到“流形上的熱核和分析”這個課題，就被它所蘊含的深邃思想深深吸引。我理解，流形是現代幾何學的基石，而熱核則是連接幾何與分析的關鍵橋梁。我期待這本書能夠以一種循序漸進的方式，帶領我從基礎概念開始，逐步深入到復雜的理論。我希望能夠理解熱核是如何在流形上定義的，它與拉普拉斯算子等微分算子之間有什麼樣的關係。更重要的是，我希望能夠看到熱核在解決實際問題中的應用，例如，它如何幫助我們理解流形的麯率、同調性，或者在量子場論中扮演的角色。我更希望這本書能夠提供一些直觀的解釋，將抽象的數學公式與具體的幾何圖像聯係起來，幫助我建立起對這個領域的深刻理解。如果本書能夠包含一些圖示或者案例分析，那將對我這樣的初學者來說是莫大的福音。

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很不錯！經典名著！非常好！

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評分☆☆☆☆☆

好評

評分☆☆☆☆☆

包裝完整，快遞很快，內容非常權威，講解相對細緻，排版比較舒服，整體不錯。

評分☆☆☆☆☆

沒什麼好講的，經典圖書瞭。