隨機分析引論/復旦大學數學研究生教學用書 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

簡體網頁||繁體網頁

☆☆☆☆☆

錢忠民，應堅剛 著

圖書標籤:

• 隨機分析
• 概率論
• 數學分析
• 泛函分析
• 布朗運動
• 伊藤積分
• 鞅論
• 偏微分方程
• 金融數學
• 復旦大學

齣版社： 復旦大學齣版社

ISBN：9787309125689

版次：1

商品編碼：12191147

包裝：平裝

叢書名： 復旦大學數學研究生教學用書 ，

開本：16開

齣版時間：2017-09-01

用紙：膠版紙

頁數：154

字數：169000

正文語種：中文

內容簡介

　　人類的文明進步和社會發展，無時無刻不受到數學的恩惠和影響，數學科學的應用和發展牢固地奠定瞭它作為整個科學技術乃至許多人文學科的基礎地位，當今時代，數學正突破傳統的應用範圍嚮幾乎所有的人類知識領域滲透，它和其他學科的交互作用空前活躍，越來越直接地為人類物質生産與日常生活作齣貢獻，也成為其掌握者打開眾多機會大門的鑰匙。
　　隨機分析理論是20世紀40年代從Ito關於Brown運動的隨機積分以及50年代Doob的鞅理論開始發展起來的，它看上去像是經典的Stieltjes積分理論的一個推廣，但實際上並非如此，它自身深刻的背景使得它獨立於經典分析理論，非常漂亮，後來人們還發現，在量化金融理論中，隨機分析幾乎所有著名的概念與定理都有實際的對應。因此隨機分析是數學中理論先於實踐的典型範例。
　　《隨機分析引論/復旦大學數學研究生教學用書》重點講授連續時問連續鞅的隨機分析理論，為瞭說清楚這個理論，我們需要介紹條件期望、鞅論，需要構造一個重要的隨機過程：Brown運動，然後運用泛雨中的方法來定義關於Brown動的積分，稱為隨機積分，它與通常的積分有相同的地方，也有不同的地方，隨機積分還有類似於通常的微積分基本定理的Ito公式，這些結果可以完美地解釋金融中的期權定價理論。

內頁插圖

目錄

第一章 預備知識
1．1 可測結構
1．2 隨機變量與收斂性
1．3 特徵函數
1．4 條件數學期望
1．5 習題與解答

第二章 鞅論基礎
2．1 離散時間鞅
2．2 流與停時
2．3 連續時間鞅
2．4 習題與解答

第三章 Brown運動
3．1 隨機過程與無窮維空間上的概率測度
3．2 熱核半群與Brown運動
3．3 Brown運動的構造
3．4 Brown運動的性質
3．5 Brown運動的變差
3．6 習題與解答

第四章 Ito積分
4．1 引論
4．2 經典隨機積分
4．3 二次變差過程
4．4 連續鞅的隨機積分
4．4．1 關於連續平方可積鞅的隨機積分
4．4．2 Kunita-Watanabe不等式
4．4．3 擴展至連續局部鞅
4．4．4 擴展至連續半鞅
4．5 習題與解答

第五章 Ito公式及其應用
5．1 Ito公式
5．2 Ito公式的應用
5．2．1 隨機指數
5．2．2 Levy的Brown運動鞅刻畫
5．2．3 連續局部鞅是Brown運動的時間變換
5．2．4 Girsanov定理
5．2．5 鞅錶示定理
5．3 習題與解答

第六章 隨機微分方程
6．1 引論
6．2 隨機微分方程的一些例子
6．2．1 綫性Gauss擴散
6．2．2 幾何Brown運動
6．2．3 Cameron-Martin公式
6．3 隨機微分方程基本定理
6．4 強解：存在唯一性
6．5 鞅與弱解
6．6 習題與解答
參考文獻
索引

數學分析的嚴謹進階：經典與現代的橋梁 書名：微積分的嚴謹基礎與拓展 內容簡介 本書旨在為讀者構建一個堅實而深入的微積分知識體係，它不僅是對高中階段代數、幾何和初等函數概念的係統梳理和提升，更是一次邁嚮量子分析、泛函分析乃至更高級數學分支的必要鋪墊。全書結構緊湊，邏輯嚴密，力求在保持數學嚴謹性的同時，兼顧教學的直觀性和啓發性。 第一部分：極限、連續性與拓撲預備 本部分專注於建立微積分的邏輯基石——實數係統。我們首先迴顧並深入探討瞭實數的完備性（如列錶法、區間套定理、上確界原理），這是後續所有極限論證的齣發點。我們將細緻剖析數列的收斂性，引入 $epsilon-N$ 語言的規範用法，並通過實例展示如何利用極限的四則運算法則及夾逼定理來判定復雜數列的極限。 隨後，討論的焦點轉嚮函數的性質。我們詳細闡述瞭函數在點上的極限的精確定義，並重點分析瞭極限存在的充要條件，包括左右極限和無窮極限的判斷。在連續性方麵，本書超越瞭傳統“不間斷麯綫”的直觀描述，轉而采用 $epsilon-delta$ 語言來刻畫點態連續性。在此基礎上，我們係統地證明瞭閉區間上連續函數的四大基本性質（有界性、最大最小值定理、介值定理），這些定理是後續積分理論和微分中值定理的理論基礎。 為瞭更好地理解函數的“接近”和“收斂”，我們引入瞭初步的拓撲概念，如開集、閉集、鄰域和緊集（有限覆蓋引理的直觀應用），為後續討論更廣闊空間中的收斂性做好瞭思想準備，但討論的範圍嚴格限定在 $mathbb{R}^n$ 空間內。 第二部分：導數與中值定理的深度探究 本部分是微積分的核心。我們從導數的定義齣發，強調瞭導數作為“局部綫性逼近”的幾何和代數意義。不同於僅計算導數，本書花費大量篇幅講解如何利用導數的定義來處理不可導點（如尖點、跳躍點）的分析。 微分中值定理是本部分的重中之重。我們不僅陳述並證明瞭羅爾（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理和柯西（Cauchy）中值定理，更重要的是，我們深入探討瞭這些定理在證明函數不等式、確定函數單調性、凹凸性以及極值判定中的關鍵作用。特殊關注洛必達（L'Hôpital）法則的應用，並討論瞭其適用條件（如需滿足的連續性和可微性要求），避免盲目套用。 泰勒公式的展開被視為函數局部近似理論的最高成就。本書詳細區分瞭佩亞諾（Peano）餘項和拉格朗日餘項的適用場景，並通過高階泰勒多項式來逼近特殊函數（如 $sin x, e^x, ln(1+x)$）的展開式，同時探討瞭函數解析性的概念——即函數是否可以局部錶示為其泰勒級數。 第三部分：黎曼積分的理論構建與應用 積分理論的引入，標誌著讀者從“變化率”分析轉嚮“纍積量”分析。本書嚴格遵循黎曼積分（Riemann Integral）的構造過程。我們首先定義瞭上和與下和，闡述瞭可積性的充要條件（例如，有界函數在有界閉區間上，其間斷點集閤必須是可數集）。 在證明瞭積分的綫性性、保序性以及積分與導數之間的基本關係（牛頓-萊布尼茨公式）之後，我們著重分析瞭廣義積分（Improper Integrals）。廣義積分的討論細緻入微，涵蓋瞭積分區間為無窮大以及被積函數存在無窮間斷點的情況。我們引入瞭狄利剋雷判彆法和阿貝爾判彆法來嚴格判斷這些廣義積分的斂散性，而非僅僅依賴直覺。 第四部分：序列與級數的收斂性分析 本部分將單變量分析推廣到無窮項求和。我們從數列的極限的嚴格定義開始，平穩過渡到函數項序列與函數項級數的討論。 在函數項序列方麵，我們詳細區分瞭逐點收斂（Pointwise Convergence）和一緻收斂（Uniform Convergence）的本質區彆。我們通過構造反例（如三角函數序列在特定點上的不連續性）清晰地揭示瞭逐點收斂不能保證極限函數的連續性或可積性。 一緻收斂性被提升到核心地位。本書係統地證明瞭，一緻收斂是保證極限運算（取極限、求導、積分）與級數運算可以交換順序的充分條件，尤其強調瞭 Weierstrass 判彆法在判定冪級數一緻收斂範圍中的作用。 最後，我們深入分析瞭冪級數的展開、收斂半徑的確定（比值判彆法和根值判彆法）以及如何在收斂區間內對冪級數進行積分和求導。這為後續學習傅裏葉分析和微分方程中的級數解法奠定瞭不可或缺的分析基礎。 總結 本書的編寫目標是培養讀者對數學概念的深刻洞察力和嚴謹的邏輯推理能力。它要求讀者不僅掌握計算技巧，更要理解這些技巧背後的數學原理和適用邊界，為未來深入學習高階分析課程做好充分的準備。全書力求在嚴密性和可讀性之間達到完美的平衡。

評分☆☆☆☆☆

我一直對那些能夠將抽象數學理論與實際應用緊密結閤起來的書籍情有獨鍾。雖然這本書的書名聽上去非常學術化，但“隨機分析”在當今許多前沿科學和工程領域都發揮著不可替代的作用，例如在金融衍生品定價、信號處理、機器學習算法的優化，乃至天體物理中的隨機過程模擬等方麵。我非常好奇，這本書在介紹這些理論的同時，是否會穿插一些經典的案例分析，或者給齣一些能夠啓發思考的習題，引導讀者將書本上的知識轉化為解決實際問題的工具。畢竟，數學的魅力就在於它的普適性和強大的解釋力，能夠用嚴謹的數學語言描述和預測現實世界中的隨機現象，這本身就是一件令人興奮的事情。

評分☆☆☆☆☆

拿到這本書，我腦海中首先浮現的是大學時期第一次接觸概率論時的場景。那時候，對許多概念的理解都停留在錶麵，像是霧裏看花，總覺得隔著一層什麼。特彆是當老師講到一些更抽象的隨機變量的性質，或者一些精妙的概率證明時，我常常感到力不從心。後來，我意識到，這可能與當時所使用的教材深度和廣度有所不足有關。這本書的齣現，讓我看到瞭彌補這一遺憾的希望。它所包含的“隨機分析”這個概念本身就蘊含著巨大的能量，是將分析學的方法論引入隨機現象研究，這絕對是數學領域的一大突破。我期待它能夠提供更深入的理論框架和更嚴謹的證明，幫助我徹底理解那些曾經讓我睏惑的難題，並為我今後進一步學習更高級的概率論與數理統計打下堅實的基礎。

評分☆☆☆☆☆

這本書的目錄結構安排得相當閤理，第一眼看上去就非常有條理。從基礎的概率論概念，到更復雜的隨機過程，再到隨機分析的核心理論，層層遞進，邏輯清晰。我特彆注意到其中關於“馬爾可夫鏈”和“布朗運動”的部分，這兩個概念在很多應用領域都扮演著至關重要的角色，能夠深入理解它們，對於我未來在金融建模、物理學研究甚至是生物信息學等方嚮的探索都會有極大的幫助。我一直覺得，一本好的數學教材，不僅僅是知識的堆砌，更應該是一種思想的引導，它能讓你在學習過程中不斷發現新的聯係，構建起屬於自己的知識體係。這本書的目錄就給我這種感覺，它像一張詳細的地圖，指引著我如何一步步深入這片廣闊的數學海洋。

評分☆☆☆☆☆

這本書的裝幀設計給我留下瞭深刻的印象，封麵的配色采用瞭深邃的藍色與典雅的米白色相間，搭配燙金的“隨機分析引論”幾個大字，營造齣一種莊重而不失活力的學術氛圍。翻開書頁，紙張的質感也相當不錯，摸上去溫潤而厚實，印刷清晰，字體大小適中，即使長時間閱讀也不會感到疲勞。封麵上的“復旦大學數學研究生教學用書”幾個字，更是直接傳遞齣一種專業性和權威感，讓我對接下來的學習內容充滿瞭期待。我一直對數學的抽象世界充滿好奇，尤其是在涉及到概率和隨機性時，那種不確定性帶來的神秘感總是讓我著迷。我相信，一本由頂尖學府齣品的教材，一定能為我打開通往這一領域的專業大門，讓我能夠係統地、深入地理解那些看似無規律卻又蘊含著深刻數學原理的現象。

評分☆☆☆☆☆

我一直在尋找一本能夠係統梳理並深入講解隨機分析相關知識的教材，因為它在很多理論物理和工程學科中都扮演著核心角色。我曾經涉獵過一些相關的文獻，但常常發現不同研究方嚮對同一概念的錶述方式和側重點有所不同，這讓我感到有些雜亂。一本由名校齣品的、係統性的教學用書，能夠提供一個統一的、嚴謹的視角，這對我而言至關重要。我希望這本書能夠幫助我建立起一個清晰的知識框架，理解隨機分析的內在邏輯和發展脈絡，並且能夠為我進一步深入研究，例如在隨機微分方程、金融數學或者隨機控製論等領域打下堅實的基礎。