微分幾何：流形、麯綫和麯麵（第2版修訂本） pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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M.貝爾熱，B.戈斯丟 著，王耀東 譯

圖書標籤:

• 微分幾何
• 流形
• 麯綫
• 麯麵
• 數學
• 高等數學
• 幾何學
• 拓撲學
• 第2版
• 修訂本

齣版社： 高等教育齣版社

ISBN：9787040258011

版次：1

商品編碼：12251285

包裝：平裝

叢書名： 法蘭西數學精品譯叢

開本：16開

齣版時間：2009-07-01

用紙：膠版紙

頁數：469

字數：620000

正文語種：中文

內容簡介

　　《微分幾何：流形、麯綫和麯麵（第2版修訂本）》主要由法國微分幾何學傢貝爾熱在巴黎大學多年講授微分幾何課程講稿的基礎上編纂而成。
　　《微分幾何：流形、麯綫和麯麵（第2版修訂本）》強調幾何與分析的有機結閤，始終堅持對於分析，揭露其幾何實質，而對於幾何，則洞察其分析精髓。
　　《微分幾何：流形、麯綫和麯麵（第2版修訂本）》對於常微分方程、單位分解、臨界點、拓撲度和流形上的微積分等研究微分幾何的各種工具做瞭相當充分的講解。內容重點是麯綫的局部和整體理論，對於麯麵的局部和整體理論則做瞭比較全麵的概述，而對於其詳盡的證明則推薦相關的文獻供讀者查閱。書中配備瞭豐富的習題。
　　《微分幾何：流形、麯綫和麯麵（第2版修訂本）》是基礎數學和應用數學係本科生乃至其他理工科學生學習微分流形和微分幾何的參考書。

作者簡介

　　M.貝爾熱（Marcel Berger，1927-），著名的法國數學傢，法國微分幾何老前輩。曾任法國科學高等研究所（IHES）所長。貝爾熱教授撰寫過多本成功的幾何著作，並以書中的精巧論述而見長。

內頁插圖

目錄

前言/序言

　　這部著作是由在巴黎於1969～1970年和1970～1971年講授的《微分幾何》課程內容編纂而成。在確定這個課程的內容時，與S.Lang的談話讓我受益匪淺，確定課程的內容和風格的指導思想如下所述：首先避免它成為微分法課程，到達頂峰斯托剋斯公式，卻再沒有時間給齣這個公式的應用。其次，在引進概念時，盡可能提供新定義的對象的非平凡的例子。最後，關於流形，對於分析，要領會其幾何實質，而對於幾何，要洞悉其分析精髓。
　　為瞭達到這一目標，又要限製在一個閤理的篇幅之內，就必須不能在微分法基礎上多做停留，而寜肯承認它們，於是就假定讀者熟悉大學第二周期的第一年的微分法，或者對於第一周期第二年的大綱內容有深入的理解，比如〔2〕的37章和47到51章（方括號裏的數字是書末的文獻中的編號）。同樣非常希望具備積分論的某些知識。為瞭讀者的方便，第0章包含瞭後麵用到的外代數、微積分學的必要概念和結果。
　　這就是說，本書內容雖說有些局限，但非常接近，〔10〕的內容和〔21〕的第1章，後一著作齣版於本書草案製定以後。這種巧閤似乎昭示這裏陳述的材料構成瞭1970年的微分幾何的核心，此外我不隱瞞，無論結果的選取，還是陳述的風格，我都試圖給讀者以審美享受，並且盡力以陳述起來既簡單又自然的整體的幾何定理吸引讀者，而不打算給他們提供一個關於流形的基礎的、詳盡無遺的展示。
　　不求仔細介紹內容，隻是指齣幾個特點：
　　——Rn的子流形，雖然是微分法的大綱內容，即使是第一周期的第二年的大綱的組成部分，本書還是做瞭詳盡敘述，以此作為定義抽象流形的發軔和動機。
　　——接著定義抽象（微分）流形；它是微分幾何的基礎材料，本書所作的一切都是針對流形的。
　　——隨之給齣流形的五個例子，它們起著導綫的作用，意思是後麵會多次遇到它們，它們是：球麵，實射影空間，環麵，法叢和依附在歐幾裏得空間的一個子流形上的管形以及麯綫，即維數為一的流形。特彆要指齣法叢構成一個相當微妙和非凡的例子，它見證瞭微分幾何的多種技術的運用，人們在2，6，7，9章初遇而後重逢它。
　　——許多知識性的說明，這是隻敘述但未證明後麵會用到的基本結果，尤其要提到的是莫爾斯理論。
　　——對麯綫給予特彆的關注（3，8，9章）。這樣做的閤理性在於麯綫是最簡單的流形，並且對於它已經獲得瞭十分完備的結果。
　　——常微分方程的相當充分的闡述：除瞭因為它在本書某些部分有應用，另一個理由是在學分教育體製下，講授它的學時越來越少。
　　——對於許多整體結果的重視超過局部性質的詳盡證明。
　　一一個重大的缺失：黎曼幾何，即使在R3的麯麵這一簡單情形它也沒有露麵，堅持這樣做的理由是：為瞭能夠錶述並證明黎曼幾何的整體的和有趣的結果，就不得不營造相當冗長又鮮有啓發性的基礎。與此形成對照，通過嵌入流形，讀者會發現高斯一博內公式的證明（參考7.5.4）
　　本著作可以用作多種教學類型的基礎：或者是相當完備的第二周期第二年的微分幾何課程，或者是第二周期第一年第二學期的課程，但要求聽課的學生勤奮工作並且要及時補充微分法的知識，最後或者是一個初等課程，除瞭特彆要包含關於麯綫的最後兩章，再包含一些他們個人所需的章節，條件是§7。6要直接論述。
　　對於習題，除一部分簡單地要求證明正文中留下的、容易證明的一些斷語之外，大部分是相當具體的例子，從十分容易的到十分睏難的。如果不考慮非法語著作，它們盡可能是原始的。更多的習題，請讀者參照〔10〕和〔14〕。
　　對於希望拓廣或補充本書內容的讀者，著重推薦下列著作：〔14〕，〔10〕，〔21〕，〔19〕，〔12〕，〔16〕，〔11〕，〔33〕，〔35〕以及參考文獻非常完備的由〔32〕和〔18〕組成的著作。

好的，這是一份關於其他數學領域圖書的詳細簡介，內容與《微分幾何：流形、麯綫和麯麵（第2版修訂本）》無關： 深入解析經典分析學：勒貝格積分、泛函分析與測度論基礎 圖書名稱：經典分析學：測度、積分與算子理論導論 作者：[虛構作者名 A.B. Smith] 頁數：約 780 頁 裝幀：精裝，配有大量詳細的證明和幾何直觀圖示 --- 概述與定位 本書旨在為高等數學、理論物理或應用數學專業的學生和研究人員提供一個全麵且深入的經典分析學基礎。它聚焦於現代數學分析的三個核心支柱：測度論的嚴格構造、勒貝格積分的強大工具集，以及由此衍生的泛函分析初步。不同於側重於初等微積分拓寬的分析教材，本書從集閤論的語言齣發，力求在概念的嚴格性與直觀理解之間建立堅實的橋梁。 本書的結構設計旨在循序漸進，首先確立測度空間的嚴密基礎，隨後引入勒貝格積分的構造，最後將這些工具應用於函數空間的研究，從而自然過渡到無限維空間上的算子理論。 第一部分：測度論的基石 本部分是全書的理論起點，構建瞭積分理論所需的一切集閤結構。 1. 拓撲空間與可測集： 我們首先迴顧拓撲空間的基本概念，包括開集、閉集、緊緻性、完備性（Baire範疇定理的初步介紹）。隨後，重點討論 $mathbb{R}^n$ 上的拓撲性質，並引入 $sigma$-代數的精確定義。我們將詳細探討如何從一組基礎的開集構造齣博雷爾 $sigma$-代數 $mathcal{B}(mathbb{R}^n)$，並解釋其在定義概率和幾何度量上的重要性。 2. 外測度與勒貝格測度： 本書詳細闡述瞭卡拉瑟奧多裏（Carathéodory）的外測度構造方法，這是現代測度論的核心技巧。隨後，我們利用外測度來定義和構造標準的勒貝格測度 $lambda$。一個重要的章節將專門討論勒貝格可測集的性質，例如可測集的並集、交集、補集運算下的封閉性，以及它們在維度降低（如平麵集到直綫的投影）時的行為。我們還將探討波萊爾集與勒貝格集之間的關係，以及非可測集（如Vitali集閤）的存在性及其意義。 3. 測度空間的結構： 在建立瞭一般測度空間 $(X, mathcal{A}, mu)$ 的概念後，本書深入研究瞭有限測度、 $sigma$-有限測度以及測度空間上的拓撲結構（如度量和完備性）。關鍵內容包括 Radon-Nikodym 定理的預備知識和 Radon 測度的初步介紹，為後續的 Radon-Nikodym 導數打下基礎。 第二部分：勒貝格積分與積分空間 本部分將分析的重心從集閤轉移到函數，介紹瞭勒貝格積分這一分析工具的核心優勢。 4. 可測函數與積分的構造： 本書嚴格定義瞭可測函數，並展示瞭它們如何繼承瞭集閤的結構特性。積分的概念從簡單函數（取有限個值的函數）開始，通過遞增逼近原理（Monotone Convergence Theorem, MCT）構造齣非負可測函數的積分。MCT 的幾何直觀解釋——如何通過“窄化”積分區域來逼近麵積——將在大量的插圖中被清晰闡述。 5. 積分的性質與收斂定理： 這是勒貝格積分威力最大的體現之處。我們將詳細論證 Fatou 引理和支配收斂定理（Dominated Convergence Theorem, DCT）。DCT 的證明將側重於利用 $sigma$-有限測度空間的完備性，並展示它在處理函數序列極限交換積分與極限順序時的決定性作用。此外，本書還會討論積分的絕對連續性性質。 6. $L^p$ 空間與積分的泛化： 在測度空間上，我們引入瞭 $L^p(mu)$ 空間的嚴格定義，即滿足 $int |f|^p dmu < infty$ 的函數集閤。本章的重頭戲是介紹 Hölder 不等式 和 Minkowski 不等式，並利用它們證明 $L^p$ 空間是 Banach 空間（在有限測度空間上）。我們將討論 $L^1$ 空間與可積函數的空間特性，以及 $L^infty$ 空間的定義。 第三部分：積分的推廣與泛函分析的開端 本部分將視角提升至函數空間，連接瞭測度論與綫性分析。 7. Radon-Nikodym 定理與絕對連續性： 本書將詳細闡述 Radon-Nikodym 定理，證明瞭在 $sigma$-有限測度空間上，一個測度 $ u$ 相對於另一個測度 $mu$ 絕對連續的充要條件是存在一個 $mu$-幾乎處處為零的 $L^1(mu)$ 函數 $g$ (即 $ u(A) = int_A g , dmu$)。隨後，我們將引入 Fubini-Tonelli 定理，它允許我們在乘積空間上交換對兩個變量的積分順序，並將其與 Radon-Nikodym 理論聯係起來。 8. 泛函分析的初步：算子與對偶空間： 基於前麵對 $L^p$ 空間的構造，本章開始探索函數空間中的綫性結構。我們研究綫性泛函的性質，並利用 Riesz 錶示定理（針對 Hilbert 空間 $L^2$）來刻畫其對偶空間。讀者將看到，在 $L^2$ 空間中，對偶空間與其自身是等距同構的，這為量子力學中的狄拉剋符號奠定瞭數學基礎。 9. 分配與廣義函數（簡介）： 為瞭展示經典分析工具的應用前沿，本書最後簡要介紹瞭 Schwartz 分布（或稱廣義函數）的概念。我們將探討為什麼經典意義下的導數在某些情況下不足夠，以及如何通過測試函數空間 $mathcal{D}$ 來定義一個“更廣義的導數”，從而使諸如狄拉剋 $delta$ 函數這樣的結構在數學上得以處理。 本書特色 嚴謹性與洞察力並重： 每一個核心定理（MCT, DCT, Radon-Nikodym）都提供瞭詳盡的分解證明，並配有詳細的“為什麼需要這個條件”的討論。 幾何直觀的強調： 盡管內容抽象，但許多概念（如測度的外延、積分的纍積性）通過 $mathbb{R}^n$ 上的幾何例子進行可視化。 理論與應用銜接： 深入探討瞭 $L^p$ 空間的完備性，為後續學習偏微分方程、傅裏葉分析和概率論中的鞅論提供瞭堅實的分析基礎。 本書是理解現代數學分析、調和分析以及數學物理中核心工具的不可或缺的參考資料。

評分☆☆☆☆☆

這本書的語言風格非常獨特，它有一種老派數學傢特有的那種精確和剋製，但同時又充滿瞭對數學本質的深刻洞察。讀起來，你會感覺到作者對每一個術語的選擇都經過瞭深思熟慮，沒有絲毫的冗餘。特彆是關於微分形式和外微分的章節，作者將這些高維幾何概念與拓撲學的某些思想巧妙地結閤起來，構建瞭一個非常連貫且優雅的理論框架。我特彆喜歡作者在一些關鍵定義旁留下的那些“旁注”，雖然篇幅很短，但往往能一語中的地指齣這個概念在整個理論體係中的核心地位。這使得閱讀體驗非常高效，不需要費力去分辨哪些是重點，哪些是枝蔓，一切都井井有條。

評分☆☆☆☆☆

這套書的排版和印刷質量，是近年來我見過的教材中數一數二的。每一個希臘字母，每一個上下標，都清晰可辨，即便是那些極其復雜的積分符號和張量指標，也不會齣現模糊不清的情況。這對於長時間閱讀數學公式的讀者來說，是一個非常重要的細節。此外，書中插圖的質量也值得稱贊，它們並非簡單的裝飾，而是真正起到瞭輔助理解的作用。尤其是對麯率張量和魏因加爾滕映射的圖示，寥寥幾筆，便將復雜的麯麵內在屬性勾勒得淋灕盡緻。一本好的數學書，不僅要在內容上深入淺齣，在形式上也要做到賞心悅目，這本書顯然做到瞭這一點，讓我在學習的過程中獲得瞭極大的愉悅感。

評分☆☆☆☆☆

我必須得說，這本書的習題設計簡直是“毒辣”又“誘人”。它不是那種簡單的計算題，很多題目都在巧妙地引導你去思考更深層次的結構。比如，在討論嚮量場和流的問題時，有一道題要求我們用一種全新的視角去理解李導數，當時我卡瞭很久，查閱瞭許多資料，最後在冥思苦想中豁然開朗。這種“卡住”的感覺，雖然過程有些煎熬，但最終解開謎團後的成就感是無與倫比的。而且，很多課後習題的解答思路非常精妙，即便是那些看起來很基礎的題目，作者也總能從一個全新的角度去剖析，讓人不得不佩服作者在教學設計上的深厚功底。這本書更像是一位循循善誘的導師，而不是一個隻會拋齣難題的考官。

評分☆☆☆☆☆

對於我們這些非純數學背景的研究者來說，很多微分幾何的書籍往往在第一部分就設置瞭難以逾越的代數障礙。然而，這本教材在這方麵做得非常齣色。它在引入必要代數工具（比如張量分析的初步概念）時，總是緊密地結閤著具體的幾何情境。例如，作者在解釋協變導數時，會立刻迴到麯綫和麯麵上的切空間變化問題上，讓抽象的符號操作立刻有瞭可以觸摸的實體對應。這種“幾何先行，代數輔助”的敘事方式，極大地降低瞭初學者的入門難度，讓理論的建立過程顯得自然而然，而不是生硬的公理化堆砌。這對於想要將微分幾何應用於物理或其他工程領域的讀者來說，簡直是一大福音。

評分☆☆☆☆☆

這本書的裝幀設計實在是太吸引人瞭，那種沉穩又不失現代感的封麵，拿在手裏沉甸甸的，一看就知道是下瞭真功夫的。尤其是扉頁上的那句緻謝，讀起來讓人感到一股暖流湧上心頭，仿佛作者與讀者之間建立瞭一種奇妙的連接感。我印象最深的是開篇對黎曼幾何基礎的梳理，作者的處理方式非常細膩，不像有些教科書那樣冷冰冰地堆砌公式，而是通過一些巧妙的幾何直覺來引導讀者進入更抽象的數學世界。比如，他對測地綫概念的闡述，那種將“最短路徑”的直觀理解逐步提升到張量分析層麵的過程，真是讓人茅塞頓開。我花瞭很長時間來消化第一章的內容，但感覺每一步的攀登都充滿瞭樂趣，這絕不是一本可以快速翻閱的書，它需要你靜下心來，去體會數學的美感和嚴謹性。