微分几何：流形、曲线和曲面（第2版修订本） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

M.贝尔热，B.戈斯丢 著，王耀东 译

图书标签:

• 微分几何
• 流形
• 曲线
• 曲面
• 数学
• 高等数学
• 几何学
• 拓扑学
• 第2版
• 修订本

出版社： 高等教育出版社

ISBN：9787040258011

版次：1

商品编码：12251285

包装：平装

丛书名： 法兰西数学精品译丛

开本：16开

出版时间：2009-07-01

用纸：胶版纸

页数：469

字数：620000

正文语种：中文

内容简介

　　《微分几何：流形、曲线和曲面（第2版修订本）》主要由法国微分几何学家贝尔热在巴黎大学多年讲授微分几何课程讲稿的基础上编纂而成。
　　《微分几何：流形、曲线和曲面（第2版修订本）》强调几何与分析的有机结合，始终坚持对于分析，揭露其几何实质，而对于几何，则洞察其分析精髓。
　　《微分几何：流形、曲线和曲面（第2版修订本）》对于常微分方程、单位分解、临界点、拓扑度和流形上的微积分等研究微分几何的各种工具做了相当充分的讲解。内容重点是曲线的局部和整体理论，对于曲面的局部和整体理论则做了比较全面的概述，而对于其详尽的证明则推荐相关的文献供读者查阅。书中配备了丰富的习题。
　　《微分几何：流形、曲线和曲面（第2版修订本）》是基础数学和应用数学系本科生乃至其他理工科学生学习微分流形和微分几何的参考书。

作者简介

　　M.贝尔热（Marcel Berger，1927-），著名的法国数学家，法国微分几何老前辈。曾任法国科学高等研究所（IHES）所长。贝尔热教授撰写过多本成功的几何著作，并以书中的精巧论述而见长。

内页插图

目录

前言/序言

　　这部著作是由在巴黎于1969～1970年和1970～1971年讲授的《微分几何》课程内容编纂而成。在确定这个课程的内容时，与S.Lang的谈话让我受益匪浅，确定课程的内容和风格的指导思想如下所述：首先避免它成为微分法课程，到达顶峰斯托克斯公式，却再没有时间给出这个公式的应用。其次，在引进概念时，尽可能提供新定义的对象的非平凡的例子。最后，关于流形，对于分析，要领会其几何实质，而对于几何，要洞悉其分析精髓。
　　为了达到这一目标，又要限制在一个合理的篇幅之内，就必须不能在微分法基础上多做停留，而宁肯承认它们，于是就假定读者熟悉大学第二周期的第一年的微分法，或者对于第一周期第二年的大纲内容有深入的理解，比如〔2〕的37章和47到51章（方括号里的数字是书末的文献中的编号）。同样非常希望具备积分论的某些知识。为了读者的方便，第0章包含了后面用到的外代数、微积分学的必要概念和结果。
　　这就是说，本书内容虽说有些局限，但非常接近，〔10〕的内容和〔21〕的第1章，后一著作出版于本书草案制定以后。这种巧合似乎昭示这里陈述的材料构成了1970年的微分几何的核心，此外我不隐瞒，无论结果的选取，还是陈述的风格，我都试图给读者以审美享受，并且尽力以陈述起来既简单又自然的整体的几何定理吸引读者，而不打算给他们提供一个关于流形的基础的、详尽无遗的展示。
　　不求仔细介绍内容，只是指出几个特点：
　　——Rn的子流形，虽然是微分法的大纲内容，即使是第一周期的第二年的大纲的组成部分，本书还是做了详尽叙述，以此作为定义抽象流形的发轫和动机。
　　——接着定义抽象（微分）流形；它是微分几何的基础材料，本书所作的一切都是针对流形的。
　　——随之给出流形的五个例子，它们起着导线的作用，意思是后面会多次遇到它们，它们是：球面，实射影空间，环面，法丛和依附在欧几里得空间的一个子流形上的管形以及曲线，即维数为一的流形。特别要指出法丛构成一个相当微妙和非凡的例子，它见证了微分几何的多种技术的运用，人们在2，6，7，9章初遇而后重逢它。
　　——许多知识性的说明，这是只叙述但未证明后面会用到的基本结果，尤其要提到的是莫尔斯理论。
　　——对曲线给予特别的关注（3，8，9章）。这样做的合理性在于曲线是最简单的流形，并且对于它已经获得了十分完备的结果。
　　——常微分方程的相当充分的阐述：除了因为它在本书某些部分有应用，另一个理由是在学分教育体制下，讲授它的学时越来越少。
　　——对于许多整体结果的重视超过局部性质的详尽证明。
　　一一个重大的缺失：黎曼几何，即使在R3的曲面这一简单情形它也没有露面，坚持这样做的理由是：为了能够表述并证明黎曼几何的整体的和有趣的结果，就不得不营造相当冗长又鲜有启发性的基础。与此形成对照，通过嵌入流形，读者会发现高斯一博内公式的证明（参考7.5.4）
　　本著作可以用作多种教学类型的基础：或者是相当完备的第二周期第二年的微分几何课程，或者是第二周期第一年第二学期的课程，但要求听课的学生勤奋工作并且要及时补充微分法的知识，最后或者是一个初等课程，除了特别要包含关于曲线的最后两章，再包含一些他们个人所需的章节，条件是§7。6要直接论述。
　　对于习题，除一部分简单地要求证明正文中留下的、容易证明的一些断语之外，大部分是相当具体的例子，从十分容易的到十分困难的。如果不考虑非法语著作，它们尽可能是原始的。更多的习题，请读者参照〔10〕和〔14〕。
　　对于希望拓广或补充本书内容的读者，着重推荐下列著作：〔14〕，〔10〕，〔21〕，〔19〕，〔12〕，〔16〕，〔11〕，〔33〕，〔35〕以及参考文献非常完备的由〔32〕和〔18〕组成的著作。

好的，这是一份关于其他数学领域图书的详细简介，内容与《微分几何：流形、曲线和曲面（第2版修订本）》无关： 深入解析经典分析学：勒贝格积分、泛函分析与测度论基础 图书名称：经典分析学：测度、积分与算子理论导论 作者：[虚构作者名 A.B. Smith] 页数：约 780 页 装帧：精装，配有大量详细的证明和几何直观图示 --- 概述与定位 本书旨在为高等数学、理论物理或应用数学专业的学生和研究人员提供一个全面且深入的经典分析学基础。它聚焦于现代数学分析的三个核心支柱：测度论的严格构造、勒贝格积分的强大工具集，以及由此衍生的泛函分析初步。不同于侧重于初等微积分拓宽的分析教材，本书从集合论的语言出发，力求在概念的严格性与直观理解之间建立坚实的桥梁。 本书的结构设计旨在循序渐进，首先确立测度空间的严密基础，随后引入勒贝格积分的构造，最后将这些工具应用于函数空间的研究，从而自然过渡到无限维空间上的算子理论。 第一部分：测度论的基石 本部分是全书的理论起点，构建了积分理论所需的一切集合结构。 1. 拓扑空间与可测集： 我们首先回顾拓扑空间的基本概念，包括开集、闭集、紧致性、完备性（Baire范畴定理的初步介绍）。随后，重点讨论 $mathbb{R}^n$ 上的拓扑性质，并引入 $sigma$-代数的精确定义。我们将详细探讨如何从一组基础的开集构造出博雷尔 $sigma$-代数 $mathcal{B}(mathbb{R}^n)$，并解释其在定义概率和几何度量上的重要性。 2. 外测度与勒贝格测度： 本书详细阐述了卡拉瑟奥多里（Carathéodory）的外测度构造方法，这是现代测度论的核心技巧。随后，我们利用外测度来定义和构造标准的勒贝格测度 $lambda$。一个重要的章节将专门讨论勒贝格可测集的性质，例如可测集的并集、交集、补集运算下的封闭性，以及它们在维度降低（如平面集到直线的投影）时的行为。我们还将探讨波莱尔集与勒贝格集之间的关系，以及非可测集（如Vitali集合）的存在性及其意义。 3. 测度空间的结构： 在建立了一般测度空间 $(X, mathcal{A}, mu)$ 的概念后，本书深入研究了有限测度、 $sigma$-有限测度以及测度空间上的拓扑结构（如度量和完备性）。关键内容包括 Radon-Nikodym 定理的预备知识和 Radon 测度的初步介绍，为后续的 Radon-Nikodym 导数打下基础。 第二部分：勒贝格积分与积分空间 本部分将分析的重心从集合转移到函数，介绍了勒贝格积分这一分析工具的核心优势。 4. 可测函数与积分的构造： 本书严格定义了可测函数，并展示了它们如何继承了集合的结构特性。积分的概念从简单函数（取有限个值的函数）开始，通过递增逼近原理（Monotone Convergence Theorem, MCT）构造出非负可测函数的积分。MCT 的几何直观解释——如何通过“窄化”积分区域来逼近面积——将在大量的插图中被清晰阐述。 5. 积分的性质与收敛定理： 这是勒贝格积分威力最大的体现之处。我们将详细论证 Fatou 引理和支配收敛定理（Dominated Convergence Theorem, DCT）。DCT 的证明将侧重于利用 $sigma$-有限测度空间的完备性，并展示它在处理函数序列极限交换积分与极限顺序时的决定性作用。此外，本书还会讨论积分的绝对连续性性质。 6. $L^p$ 空间与积分的泛化： 在测度空间上，我们引入了 $L^p(mu)$ 空间的严格定义，即满足 $int |f|^p dmu < infty$ 的函数集合。本章的重头戏是介绍 Hölder 不等式 和 Minkowski 不等式，并利用它们证明 $L^p$ 空间是 Banach 空间（在有限测度空间上）。我们将讨论 $L^1$ 空间与可积函数的空间特性，以及 $L^infty$ 空间的定义。 第三部分：积分的推广与泛函分析的开端 本部分将视角提升至函数空间，连接了测度论与线性分析。 7. Radon-Nikodym 定理与绝对连续性： 本书将详细阐述 Radon-Nikodym 定理，证明了在 $sigma$-有限测度空间上，一个测度 $ u$ 相对于另一个测度 $mu$ 绝对连续的充要条件是存在一个 $mu$-几乎处处为零的 $L^1(mu)$ 函数 $g$ (即 $ u(A) = int_A g , dmu$)。随后，我们将引入 Fubini-Tonelli 定理，它允许我们在乘积空间上交换对两个变量的积分顺序，并将其与 Radon-Nikodym 理论联系起来。 8. 泛函分析的初步：算子与对偶空间： 基于前面对 $L^p$ 空间的构造，本章开始探索函数空间中的线性结构。我们研究线性泛函的性质，并利用 Riesz 表示定理（针对 Hilbert 空间 $L^2$）来刻画其对偶空间。读者将看到，在 $L^2$ 空间中，对偶空间与其自身是等距同构的，这为量子力学中的狄拉克符号奠定了数学基础。 9. 分配与广义函数（简介）： 为了展示经典分析工具的应用前沿，本书最后简要介绍了 Schwartz 分布（或称广义函数）的概念。我们将探讨为什么经典意义下的导数在某些情况下不足够，以及如何通过测试函数空间 $mathcal{D}$ 来定义一个“更广义的导数”，从而使诸如狄拉克 $delta$ 函数这样的结构在数学上得以处理。 本书特色 严谨性与洞察力并重： 每一个核心定理（MCT, DCT, Radon-Nikodym）都提供了详尽的分解证明，并配有详细的“为什么需要这个条件”的讨论。 几何直观的强调： 尽管内容抽象，但许多概念（如测度的外延、积分的累积性）通过 $mathbb{R}^n$ 上的几何例子进行可视化。 理论与应用衔接： 深入探讨了 $L^p$ 空间的完备性，为后续学习偏微分方程、傅里叶分析和概率论中的鞅论提供了坚实的分析基础。 本书是理解现代数学分析、调和分析以及数学物理中核心工具的不可或缺的参考资料。

评分☆☆☆☆☆

这本书的装帧设计实在是太吸引人了，那种沉稳又不失现代感的封面，拿在手里沉甸甸的，一看就知道是下了真功夫的。尤其是扉页上的那句致谢，读起来让人感到一股暖流涌上心头，仿佛作者与读者之间建立了一种奇妙的连接感。我印象最深的是开篇对黎曼几何基础的梳理，作者的处理方式非常细腻，不像有些教科书那样冷冰冰地堆砌公式，而是通过一些巧妙的几何直觉来引导读者进入更抽象的数学世界。比如，他对测地线概念的阐述，那种将“最短路径”的直观理解逐步提升到张量分析层面的过程，真是让人茅塞顿开。我花了很长时间来消化第一章的内容，但感觉每一步的攀登都充满了乐趣，这绝不是一本可以快速翻阅的书，它需要你静下心来，去体会数学的美感和严谨性。

评分☆☆☆☆☆

这套书的排版和印刷质量，是近年来我见过的教材中数一数二的。每一个希腊字母，每一个上下标，都清晰可辨，即便是那些极其复杂的积分符号和张量指标，也不会出现模糊不清的情况。这对于长时间阅读数学公式的读者来说，是一个非常重要的细节。此外，书中插图的质量也值得称赞，它们并非简单的装饰，而是真正起到了辅助理解的作用。尤其是对曲率张量和魏因加尔滕映射的图示，寥寥几笔，便将复杂的曲面内在属性勾勒得淋漓尽致。一本好的数学书，不仅要在内容上深入浅出，在形式上也要做到赏心悦目，这本书显然做到了这一点，让我在学习的过程中获得了极大的愉悦感。

评分☆☆☆☆☆

这本书的语言风格非常独特，它有一种老派数学家特有的那种精确和克制，但同时又充满了对数学本质的深刻洞察。读起来，你会感觉到作者对每一个术语的选择都经过了深思熟虑，没有丝毫的冗余。特别是关于微分形式和外微分的章节，作者将这些高维几何概念与拓扑学的某些思想巧妙地结合起来，构建了一个非常连贯且优雅的理论框架。我特别喜欢作者在一些关键定义旁留下的那些“旁注”，虽然篇幅很短，但往往能一语中的地指出这个概念在整个理论体系中的核心地位。这使得阅读体验非常高效，不需要费力去分辨哪些是重点，哪些是枝蔓，一切都井井有条。

评分☆☆☆☆☆

对于我们这些非纯数学背景的研究者来说，很多微分几何的书籍往往在第一部分就设置了难以逾越的代数障碍。然而，这本教材在这方面做得非常出色。它在引入必要代数工具（比如张量分析的初步概念）时，总是紧密地结合着具体的几何情境。例如，作者在解释协变导数时，会立刻回到曲线和曲面上的切空间变化问题上，让抽象的符号操作立刻有了可以触摸的实体对应。这种“几何先行，代数辅助”的叙事方式，极大地降低了初学者的入门难度，让理论的建立过程显得自然而然，而不是生硬的公理化堆砌。这对于想要将微分几何应用于物理或其他工程领域的读者来说，简直是一大福音。

评分☆☆☆☆☆

我必须得说，这本书的习题设计简直是“毒辣”又“诱人”。它不是那种简单的计算题，很多题目都在巧妙地引导你去思考更深层次的结构。比如，在讨论向量场和流的问题时，有一道题要求我们用一种全新的视角去理解李导数，当时我卡了很久，查阅了许多资料，最后在冥思苦想中豁然开朗。这种“卡住”的感觉，虽然过程有些煎熬，但最终解开谜团后的成就感是无与伦比的。而且，很多课后习题的解答思路非常精妙，即便是那些看起来很基础的题目，作者也总能从一个全新的角度去剖析，让人不得不佩服作者在教学设计上的深厚功底。这本书更像是一位循循善诱的导师，而不是一个只会抛出难题的考官。