二階橢圓型方程與橢圓型方程組 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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陳亞浙，吳蘭成 著

圖書標籤:

• 偏微分方程
• 橢圓型方程
• 數值分析
• 有限元方法
• 橢圓型方程組
• 數學分析
• 應用數學
• 科學計算
• 邊界值問題
• 變分方法

齣版社： 科學齣版社

ISBN：9787030021335

版次：1

商品編碼：12269843

包裝：平裝

叢書名： 現代數學基礎叢書

開本：16開

齣版時間：1981-11-01

用紙：膠版紙

頁數：229

字數：241000

正文語種：中文

內容簡介

　　《二階橢圓型方程與橢圓型方程組》是作者根據1985年在南開數學研究所舉辦的“偏微年”活動中授課的講稿，並吸取瞭當時來訪的國外專傢講學的新內容編寫而成的。
　　《二階橢圓型方程與橢圓型方程組》共分兩部分：第1部分全麵介紹二階橢圓型方程Dirichlet問題的各種先驗估計方法，包含近年來齣現的新技巧，並討論綫性方程、擬綫性方程以及完全非綫性方程Dirichlet問題的可解性：第2部分介紹綫性和非綫性橢圓型方程組Dirichlet問題弱解的存在性和正則性。
　　《二階橢圓型方程與橢圓型方程組》可供大學數學係學生、研究生、教師和有關的科學工作者參考。

內頁插圖

目錄

前言/序言

　　二階橢圓型偏微分方程與方程組是研究偏微分方程的重要基礎，因此1985年在南開數學研究所舉辦的“偏微年”活動中被列為研究生的基本課程之一，當時，作者應邀給研究生講授這一課程，同時，南開數學研究所還邀請瞭許多國外知名學者來所講學，為該課程提供瞭許多最新的研究成果，這本書就是在作者授課的講稿基礎上，吸取瞭國外專傢講學的最新內容寫成的。
　　二階橢圓型偏微分方程與方程組在國外已有很好的專著，有些已有中譯本，如本書參考文獻所列入的[GT]，[LU]與[GQl]等，它們已相當完整地介紹瞭這一方麵的內容，但是它們一般結構龐大，初學者不易入門，不適宜作為教材。編寫本書的目的是希望提供一本研究生的教材。本書既包含這一方麵的基本內容，又包含20世紀80年代以來齣現的最新成果與方法，使研究生能夠盡快地到達研究這一課題的前沿，
　　本書共分兩部分，第一部分全麵地介紹二階橢圓型方程Dirichlet問題的各種先驗估計方法，並在不太長的篇幅裏，比較詳細地介紹20世紀80年代齣現的Krylov-Safonov估計與完全非綫性橢圓型方程的研究結果。第二部分介紹綫性和非綫性橢圓方程組Dirichlet問題弱解的存在性與正則性理論。在附錄1中列齣本書所需要的Sobolev空間的知識。為使主要內容更為突齣，我們把一些定理，如Stampacchia內插定理與反嚮Holder不等式等的證明，都放在附錄中。
　　由於作者學識有限，錯誤與不妥之處在所難免，希望讀者提齣寶貴意見。
　　最後我們應當指齣，薑禮尚教授領導的北京大學偏微分方程討論班對本書稿的形成起瞭重要的作用，在此我們嚮薑禮尚教授以及對討論班做齣過貢獻的同誌錶示深切的謝意。此外，我們還要衷心地感謝吉林大學的王光烈副教授，他認真地審閱瞭本書稿，並提齣瞭許多寶貴的意見。

現代數學中的精深探索：偏微分方程的專題研究 圖書名稱： 現代數學中的精深探索：偏微分方程的專題研究 內容簡介 本書聚焦於偏微分方程（Partial Differential Equations, PDE）領域中幾個至關重要且極具挑戰性的專題，旨在為高年級本科生、研究生以及科研人員提供一套係統、深入且富有洞察力的分析工具與理論框架。本書的組織結構力求邏輯清晰，內容涵蓋從基礎理論的重新審視到前沿應用的細緻剖析，強調嚴格的數學證明、直觀的物理意義闡釋以及必要的計算技巧介紹。 全書分為五大部分，共計十五章，每一部分都圍繞一個核心的數學對象或分析方法展開深度論述。 --- 第一部分：基礎理論與泛函分析的橋梁（第1章至第3章） 本部分旨在鞏固和拓展讀者在PDE分析中所必需的泛函分析基礎，並引入現代PDE理論的基石——弱解概念。 第1章：Sobolev空間及其嵌入定理的精微考察 本章深入探討瞭標準 $L^p$ 空間、H"older 空間以及 Sobolev 空間的構造、性質和相互關係。重點討論瞭 Sobolev 嵌入定理（包括Rellich-Kondrachov定理）的各種變體及其在建立解的存在性時的關鍵作用。我們將詳細分析分數階導數的定義、性質及其在非光滑函數空間中的意義，為後續處理非光滑邊界或源項打下堅實基礎。 第2章：分布理論與弱解的建立 本章從 Schwartz 分布的概念齣發，係統闡述瞭如何從物理或幾何角度理解“弱導數”。隨後，本章的核心工作是建立綫性偏微分方程的弱解概念，並利用能量方法（如 Lax-Milgram 定理和 Hille-Yosida 理論的初步應用）證明邊值問題的解的存在性與唯一性。本章對能量泛函的構造和先驗估計（如 $L^2$ 估計）的推導過程進行瞭詳盡的梳理。 第3章：最大值原理的幾何與分析含義 本章專注於描述解的“邊界行為”和“內部限製”的最大值原理。我們不僅會嚴格證明經典的最大值原理（應用於橢圓型方程），還會探討修正後的最大值原理，例如在非均勻項存在或係數不規則時的應用。通過分析最大值原理，讀者將能深刻理解解的穩定性與物理約束。 --- 第二部分：綫性橢圓型方程的理論深度（第4章至第6章） 本部分是全書的核心理論支撐，重點剖析瞭二階綫性橢圓型方程的經典理論。 第4章：橢圓型方程的正則性理論：Hölder 連續性 本章緻力於證明弱解的正則性提升。我們將運用 De Giorgi-Nash-Moser 理論的簡化版本（或經典的 Harnack 估計的推導）來證明，定常的、齊次的綫性橢圓型方程的弱解在光滑區域內即為經典的 $C^{2,alpha}$ 解。本章的難點在於對迭代過程中的局部估計的精確控製。 第5章：非齊次綫性方程的構造性解法 本章轉嚮非齊次問題的具體求解。主要討論格林函數（Green’s Function）的構造與性質。我們將詳細分析拉普拉斯算子的格林函數及其在 $mathbb{R}^n$ 和有界區域中的形式，並展示如何利用格林函數錶示解，尤其關注其在邊界積分方程中的應用。 第6章：算子理論與譜分析 本章將PDE問題提升到算子理論的視角。我們考察自伴隨橢圓型算子（如 $-Delta$）在 $L^2$ 空間上的性質。重點分析算子的離散譜（特徵值問題）及其對應的特徵函數（本徵函數）的完備性與正交性。這部分內容為後續討論波動與擴散現象的穩定性提供瞭數學基礎。 --- 第三部分：非綫性方程的挑戰與變分方法（第7章至第9章） 本部分將分析焦點轉嚮高度非綫性的偏微分方程，變分法成為主要的研究工具。 第7章：變分法基礎與直接法 本章介紹歐拉-拉格朗日方程的推導，並詳細闡述變分法的“直接法”——即通過最小化能量泛函來構造解。我們將嚴格討論函數空間的選擇（特彆是嘗試使用 $W^{1,p}$ 空間），以及收斂性的建立，包括下半連續性、緊性論證（如對角綫論證）的應用。 第8章：非綫性泊鬆方程的拓撲方法 針對形如 $-Delta u = f(x, u)$ 的非綫性泊鬆方程，本章引入拓撲度理論和山路定理（Mountain Pass Theorem）等先進工具。我們將討論如何利用這些工具來證明某些非綫性項存在多個解，特彆是研究基態解的存在性。 第9章：擬綫性方程的尖銳估計與奇異性 本章關注具有非綫性梯度項（如 $Delta_p u = | abla u|^{p-2} Delta u$）的擬綫性方程。我們將深入探討 $p$-拉普拉斯算子的性質，特彆是其在 $p eq 2$ 時導緻的解的“尖銳”正則性（如磨光效應的減弱），以及在某些參數下解可能齣現的奇性結構。 --- 第四部分：演化方程的結構分析（第10章至第12章） 本部分將視綫投嚮時間依賴的演化問題，主要分析拋物型與雙麯型方程的性質。 第10章：拋物型方程的解的平滑性與熱核 本章以熱方程（或擴散方程）為核心模型，深入分析熱核（Fundamental Solution/Heat Kernel）的構造、高斯估計及其在解的錶示中的作用。我們將證明弱解（在適當的 Sobolev-Slobodetsky 空間中定義）的正則性提升，並闡釋解如何隨時間“平滑”演化。 第11章：雙麯型方程：波的傳播與能量守恒 本章關注波動方程的適定性。重點在於證明具有光滑初始條件的經典解的存在性與唯一性（利用 D'Alembert 公式及其高維推廣，如 Huygens 原理）。同時，本章將嚴格分析雙麯方程的能量泛函，證明能量在沒有耗散項時是守恒的。 第12章：混閤型方程與奇性傳播 本章探討拋物與雙麯特性的混閤問題，特彆是含有對流項（Advection term）的方程。我們將分析對流項如何影響解的傳播速度和信息傳遞，並討論在某些情況下，初始條件的奇性如何沿著特徵綫傳播而不被平滑掉的現象。 --- 第五部分：高級主題與數學物理中的應用（第13章至第15章） 本部分將理論框架應用於更復雜的數學物理模型，並介紹當前研究的前沿課題。 第13章：隨機偏微分方程導論 本章提供隨機微分方程（Stochastic PDE, SPDE）的初步介紹。我們將探討如何將白噪聲作為源項引入擴散方程，並使用伊藤積分和隨機微積分的基本工具來定義和分析這些方程的弱解（如隨機熱方程）。 第14章：界麵問題與自由邊界 本章關注涉及相變或非光滑自由邊界的方程模型（如 Stefan 問題）。本章側重於處理解的非連續性，並介紹變分不等式（Variational Inequalities）作為處理此類問題的強大工具，特彆是凸集上的變分原理。 第15章：高維與幾何背景下的分析 本章探索在非歐幾裏得幾何背景下（如流形上的拉普拉斯算子）的橢圓型方程的分析。我們將介紹由幾何結構引起的邊界項或源項對解的影響，並簡要迴顧如何將 Sobolev 空間推廣到黎曼流形上。 本書力求在嚴格性與可讀性之間取得平衡，內容豐富、論證詳實，是深入理解現代偏微分方程理論的必備參考書。

評分☆☆☆☆☆

閱讀《二階橢圓型方程與橢圓型方程組》這本書，我抱著一種“填補空白”的心態。在我之前的學習經曆中，雖然接觸過一些偏微分方程的初步概念，但對於二階橢圓型方程的係統性梳理和深入探討卻始終是一個相對薄弱的環節。這本書的書名，猶如一扇窗戶，讓我看到瞭深入學習該領域的機會。我特彆希望能看到書中對經典橢圓型方程的解的存在性和唯一性的證明，例如使用格林函數法、狄利剋雷原理、惠特尼定理等。對於二階方程組，我期待書中能夠闡述其解的存在性證明與單方程有所區彆之處，特彆是當方程組的耦閤程度較高時，可能需要用到更高級的分析工具，如巴拿赫不動點定理、Schauder不動點定理等。同時，我對書中可能涉及的數值方法也充滿瞭好奇，尤其是如何將理論分析轉化為實際可行的數值算法，例如在有限元方法中，如何構建相應的離散格式，以及如何分析離散格式的收斂性和穩定性。書中如果能包含一些關於這些方程在圖像處理、計算流體力學、電磁場理論等領域的實際應用案例，那將是錦上添花，能幫助我更好地理解理論知識的價值。

評分☆☆☆☆☆

作為一名在非綫性分析領域摸索多年的研究者，我常常會遇到一些與二階橢圓型方程相關的睏難。例如，在研究非綫性邊界值問題時，常常需要先處理其綫性化部分，而這部分往往就涉及二階橢圓型方程。這本書的書名《二階橢圓型方程與橢圓型方程組》，精準地捕捉到瞭我目前所麵臨的理論挑戰。我期望書中能夠深入探討具有非綫性項的二階橢圓型方程，以及包含非綫性項的橢圓型方程組。具體而言，我希望能看到書中關於這些方程的先驗估計的詳細介紹，例如Hölder估計、Sobolev估計等，因為這些估計是證明解的正則性的關鍵。對於一些復雜的非綫性方程組，例如在材料科學或多體物理中齣現的情況，我希望書中能夠提供一些分析其解的全局性質的方法，而不僅僅是局部存在的論證。此外，對於一些在實際應用中非常重要的方程，比如在計算固體力學中齣現的方程，如果書中能有所涉及，並給齣相關的分析和數值方法，那將極大地增強本書的實用價值。

評分☆☆☆☆☆

拿到這本書，首先給我留下深刻印象的是其精煉的目錄結構。我是一名初涉偏微分方程領域的學生，對於“二階橢圓型方程”這個概念，我最初的理解僅停留在最基礎的拉普拉斯方程和泊鬆方程，但這顯然不足以應對現實世界的復雜問題。這本書的書名恰好點齣瞭我當前知識體係中的一個關鍵“盲區”。我希望它能從最基本的定義和性質入手，逐步引導讀者深入理解二階橢圓型方程的分類（如離散、強僞離散等）及其對應的各種解法，例如有限差分法、有限元法、譜方法等，並對這些方法的適用範圍、優缺點進行清晰的辨析。而“橢圓型方程組”的加入，則更添瞭一層復雜性和挑戰性，我期望書中能詳細介紹如何處理耦閤方程組，以及解的整體性質如何受到方程組內各分量之間的相互影響。我設想書中可能會涉及一些經典的方程組，比如描述流體力學的納維-斯托剋斯方程組（雖然這是高階方程，但其中的橢圓型部分是關鍵），或是描述彈性力學的方程組。對於數學物理背景不甚深厚的我來說，書中如果能提供一些直觀的幾何解釋或物理背景介紹，將會極大地降低學習的門檻。

評分☆☆☆☆☆

這本書的封麵設計簡潔大氣，書名《二階橢圓型方程與橢圓型方程組》直觀地傳達瞭其核心內容，讓人一看便知其領域。我被它吸引，是因為我當前的研究方嚮恰好涉及到某一類非綫性橢圓型方程的數值解法，而這本書的書名聽起來似乎涵蓋瞭更為廣泛和基礎的理論，這對於鞏固我的理論基礎，理解更深層次的數學結構非常有幫助。我尤其期待它能詳細闡述不同類型的二階橢圓型方程，例如拋物綫型方程（雖然書名未直接提及，但其聯係緊密）和雙麯型方程（同樣，作為偏微分方程傢族的成員，其方法論可能存在共通之處），以及它們在物理、工程等領域的具體應用。對於方程組的處理，我希望能看到係統性的理論框架，例如如何通過矩陣方法、變分法或不動點定理來分析其解的存在性、唯一性和穩定性。鑒於其嚴謹的學術名稱，我猜測本書的語言會偏嚮數學化，需要讀者具備紮實的數學功底，如微積分、綫性代數和初步的泛函分析知識。我對書中的例題和習題設計也非常感興趣，希望它們能夠有效地幫助讀者消化和掌握復雜的概念。

評分☆☆☆☆☆

坦白說，我購買這本書的初衷，是希望能夠更係統地梳理一下我在學術研究中遇到的與二階橢圓型方程相關的基礎知識。我所在的專業背景讓我接觸到一些應用問題，其中常常需要構建和分析一些偏微分方程模型，而二階橢圓型方程及其方程組便是其中非常普遍的一類。我希望這本書能夠提供一個清晰的理論框架，解釋不同類型的二階橢圓型方程（如柯西-黎曼方程、狄利剋雷問題、諾伊曼問題等）之間的聯係與區彆，以及它們在不同領域的應用場景。對於“橢圓型方程組”部分，我更關注的是如何理解和分析多個方程之間的相互作用，例如在耦閤係統中的解的全局性質，以及如何通過一些降維或解耦的方法來簡化求解過程。我特彆期待書中能夠包含一些關於弱解理論的介紹，因為在很多實際應用中，方程的解並不總是光滑的，需要用更廣義的概念來處理。如果書中還能提供一些關於如何選擇和設計數值算法的指導，例如在處理大規模離散問題時，如何權衡精度和計算效率，那將對我開展實際研究工作非常有幫助。

評分☆☆☆☆☆

很好

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很好

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印刷不清晰，價格昂貴是這套書的兩大特色，不建議購買！

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很好

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很好

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