9787506266055 可微流形和李群基础 世图科技 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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Frank W.Warner 著

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• 数学
• 微分几何
• 李群
• 拓扑学
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• 高等数学
• 理论物理
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• 世图科技
• 9787506266055

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出版社： 世界图书出版公司

ISBN：9787506266055

商品编码：12680377762

包装：平装

出版时间：2004-04-01

用纸：胶版纸

页数：272

内容简介 This book provides the necessary foundation for students interested in any of the diverse areas of mathematics which require the notion of a differentiable manifold. It is designed as a beginning graduate-level textbook and presumes a good undergraduate training in algebra and analysis plus some knowledge of point set topology, covering spaces, and the fundamental group. It is also intended for use as a reference book since it includes a number of items which are difficult to ferret out of the literature, in particular, thecompleteand self-contained proofs of the fundamental theorems of Hodge and de Rham. 目 录 1 MANIFOLDS 
Preliminaries 
Differentiable Manifolds 
The Second Axiom of Countability 
Tangent Vectors and Differentials 
Submanifolds， Diffeomorphisms， and the Inverse Function Theorem 
Implicit Function Theorems 
Vector Fields 
Distributions and the Frobenius Theorem 
Exercises 
2 TENSORS AND DIFFERENTIAL FORMS 
Tensor and Exterior Algebras 
Tensor Fields and Differential Forms 
The Lie Derivative 
Differential Ideals 
Exercises 
3 IE GROUPS 
Lie Groups and Their Lie Algebras 
Homomorphisms 
Lie Subgroups 
Coverings
Simply Connected Lie Groups
Exponential Map
Continuous Homomorphisms
Closed Subgroups
The Adjoint Representation
Automorphisms and Derivations of Bilinear Operations and Forms
Homgeneous Manifolds
Exercises
4 INTEGRATION ON MANIFOLDS
5 SHEAVES,COHOMOLGY,AND THE DE RHAM THEOREM
6 THE HODGE THEOREM
BIBLIOGRAPHY
SUPPLEMENT TO BIBLIOGRAPHY
INDEX OF NOTATION
INDEX

拓扑学前沿：光滑流形与微分几何的恢弘蓝图 ISBN: 978-7-5062-6605-5 书名：《拓扑学前沿：光滑流形与微分几何》 内容简介 本书旨在为读者构建一套严谨而清晰的现代微分几何基础框架，重点聚焦于光滑流形的结构、张量分析的语言，以及联络与曲率在描述空间几何形态中的核心作用。本书并非对现有基础教材的简单重复，而是立足于几何直觉与现代代数拓扑的融合点，深入剖析了由局部欧几里得空间过渡到全局非线性空间的数学建模过程。 全书分为六个逻辑递进的章节，力求在保持数学严谨性的同时，展现微分几何作为连接物理学、工程学与纯数学的桥梁的强大生命力。 --- 第一部分：局部欧几里得空间的构建——拓扑基础与流形概念 (约 300 字) 本部分首先回顾了必要的点集拓扑预备知识，如连续性、紧致性、连通性，并引入了拓扑空间作为一切几何研究的出发点。核心在于流形的定义与构造。我们详细阐述了 $n$ 维光滑流形的严格定义，强调坐标图集（Atlas）的选择和转移映射（Transition Maps）的光滑性要求。 为了使读者更好地理解抽象的流形概念，我们引入了几个关键的实例：球面 $S^n$ 的构造、李群 $ ext{GL}(n, mathbb{R})$ 的自然流形结构，以及抽象的闭曲面。尤其关注了可定向性的概念，并讨论了 $mathbb{R}^n$ 上的标准光滑结构与其拓扑结构之间的细微区别。此外，我们引入了嵌入定理（如 Whitney 嵌入定理的非正式介绍），以佐证光滑流形在 $mathbb{R}^m$ 中的可实现性。 第二部分：函数、向量场与切空间——流形上的分析工具 (约 350 字) 在流形概念建立之后，本部分致力于发展在流形上进行分析和计算的“工具箱”。首先是光滑函数的定义，并引申出微分的概念。我们详细剖析了切空间 $T_p M$ 的构造——如何从局部坐标系下的导数定义，提升到坐标无关的向量场概念。 张量的语言是微分几何的核心。本章深入探讨了张量场的定义，区分了反变张量（如向量场）和协变张量（如微分形式）。我们详尽分析了张量积与对称/反对称张量的构造，并介绍了多重线性映射的视角。 随后，本书引入了微分形式（$k$-forms）和楔积 ($wedge$) 运算，这是连接微分几何与代数拓扑（如德拉姆上同调）的关键环节。我们详细演示了外微分 ($d$) 算子的定义、性质（如 $d^2=0$），以及它如何推广了传统微积分中的梯度、旋度和散度。 第三部分：联络的引入——微分的平行移动与协变导数 (约 300 字) 在非线性空间上进行微分运算是极具挑战性的。本部分的核心是解决“向量场沿着曲线如何微分”的问题，即联络（Connection）的引入。 我们首先定义了仿射联络（Affine Connection），强调其是定义平行移动的工具。重点讨论了协变导数 $ abla_X Y$ 的性质：线性性、莱布尼茨法则以及它如何依赖于选择的联络系数（克里斯托费尔符号 $Gamma^k_{ij}$）。 随后，本书严格区分了联络的两个核心几何不变量： 1. 挠率张量 ($T$)：衡量平行移动路径依赖性的指标。 2. 曲率张量 ($R$)：衡量切空间中向量场是否可对易的指标。 我们详细推导了曲率张量 $R(X, Y)Z$ 的定义，并阐述了其在理解空间弯曲程度上的基础作用。此外，本章还讨论了黎曼度量的引入，以及它如何诱导出唯一的列维-奇维塔联络（Levi-Civita Connection），从而将流形转化为黎曼流形。 第四部分：测地线与曲率的几何诠释 (约 350 字) 在黎曼几何的框架下，本部分将抽象的代数结构转化为直观的几何概念。 测地线（Geodesics）被定义为“最短路径”或“平行移动的向量场”，通过联络方程 $ abla_{dot{gamma}} dot{gamma} = 0$ 进行严格描述。我们探讨了测地线在不同空间中的行为，如平坦空间中的直线和球面上的大圆。 曲率的几何意义在这一部分得到深化。我们侧重于截面曲率（Sectional Curvature）的概念，它衡量了流形在特定二维平面上的弯曲程度。对于二维曲面，截面曲率恰好等于高斯曲率。 本书随后引入了更高级的曲率概念： 1. 里奇曲率张量 ($ ext{Ric}$)：作为曲率张量的收缩，它在爱因斯坦场方程中扮演核心角色。 2. 里奇张量与体积的关系：初步探讨了里奇曲率如何影响流形局部体积的膨胀或收缩率。 此外，我们讨论了共轭点（Conjugate Points）的概念，这是理解测地线局部极小性的关键，尤其是在紧致流形上。 第五部分：经典定理的现代表述 (约 150 字) 本章旨在将前面建立的工具应用于对经典几何定理的现代、坐标无关的重述。 我们详细分析了高斯绝妙定理（Theorema Egregium）在微分几何框架下的表述，强调了曲率是内蕴的（Intrinsically）属性，无需依赖于嵌入空间。 随后，我们简要介绍了高斯-邦内定理（Gauss-Bonnet Theorem）——一个拓扑量（欧拉示性数）如何与积分的几何量（曲率）相关联的深刻洞察。这为后续深入研究特征类打下了基础。 --- 本书的叙述风格力求清晰、自洽，避免了过多依赖于坐标系的繁琐计算，而是强调概念的几何直觉和张量语言的优雅性。它适合具备微积分、线性代数和基础抽象代数知识的读者，是进入微分几何、广义相对论或现代拓扑学领域的一份坚实指南。

评分☆☆☆☆☆

我是一个纯粹的数学系学生，在学习微分几何的过程中，经常发现很多教材在处理“可微性”这个概念时，要么定义过于宽泛，要么实例选取不佳。然而，这本书在开篇部分对“可微流形”的定义和构造，简直是教科书级别的示范。它非常巧妙地利用了坐标图集和转移映射的概念，构建了一个严密且直观的框架。我印象特别深刻的是，书中对光滑性在不同图卡之间的“相容性”的强调，这正是理解流形几何本质的关键。此外，书中对切空间和余切空间的几何意义的阐述也极为到位，它将切向量视为沿着曲线的变化率，将余向量视为对切向量的线性泛函，这种物理直觉和数学形式的完美结合，让我对张量分析的理解提升了一个档次。虽然这本书的厚度不薄，但内容密度非常高，每一页都充满了信息量，没有一句废话。对于那些希望深入理解流形几何而非仅仅停留在表面计算的学生来说，这本书是不可多得的珍宝，值得反复研读和参考。

评分☆☆☆☆☆

这本《微流形和李群基础》简直是理论物理和数学爱好者的一剂强心剂。我拿到书时，首先被它扎实的数学功底所震撼。作者在处理微积分、拓扑学基础概念时，那种严谨而清晰的逻辑链条，让人仿佛置身于一个精心构建的数学殿堂。特别是关于微分形式和外微分的介绍，没有丝毫含糊不清，每一个定义、每一步推导都如同雕刻般精确。对于初学者来说，可能会觉得前半部分有些抽象，但请相信我，一旦跨过这个门槛，后续理解李群、李代数的结构时，那种豁然开朗的感觉是无与伦比的。我特别喜欢书中关于流形上张量场的几何解释，它不仅仅是符号的堆砌，更是一种对空间内在属性的深刻洞察。书中提供的例子大多取自经典的几何和物理场景，这使得抽象的概念有了具体的依托，极大地增强了学习的趣味性和实用性。这本书的排版和插图设计也十分用心，许多复杂的结构图清晰明了，帮助读者更好地可视化那些高维空间中的微妙变化。总而言之，这是一本需要沉下心来细细品味的经典之作，绝非快餐式的读物，但其带来的知识深度和视野开阔度，绝对值得投入的时间。

评分☆☆☆☆☆

说实话，我买这本书主要是冲着它名字里“李群基础”这几个字去的，因为我对粒子物理和规范场论中的对称性原理一直抱有浓厚的兴趣。这本书在讲解李群和李代数的表示论部分，简直是教科书级别的典范。它没有急于跳到复杂的群表示，而是从最基本的线性代数表示空间开始，层层递进地构建起一般李群的表示理论框架。我对比了好几本其他教材，这本书在处理伴随表示、基本表示这些关键概念时，讲解得尤为透彻。作者似乎深谙学生在学习这些内容时最容易感到困惑的点，并提前进行了细腻的铺垫和解答。举个例子，它对 Killing 形式的引入和性质的探讨，既保证了数学上的完备性，又暗示了其在微分几何和物理应用中的重要性。这本书的语言风格偏向于德式的严谨，偶尔会显得有些冷峻，但对于追求“知其所以然”的读者来说，这种精确性反而是最大的优点。它不仅仅是告诉你“是什么”，更是耐心地解释了“为什么是这样”。读完之后，我对理解现代物理学中的各种对称操作，都有了一种底层坚实的基础支撑感。

评分☆☆☆☆☆

老实说，这本书的内容对于非专业人士来说门槛确实有点高，我花了相当长的时间才适应它的节奏。但一旦适应了，你会发现它对“几何化”数学语言的追求达到了极致。我最欣赏的地方在于，它不仅仅是在介绍概念，更是在传授一种看待数学问题的“几何视角”。比如，当讲到李群的指数映射时，它不仅仅是给出了矩阵指数的定义，而是将其放置在流形上的测地线背景下进行解释，这立刻赋予了指数映射一个动态的、运动学的意义。这种处理方式极大地拓宽了我的思维边界。我感觉作者在编排章节时，遵循了一种“由简到繁、由具体到抽象”的良好路径。从最基础的欧氏空间上的向量场，逐步过渡到更一般的流形，再到李群的结构，每一步的衔接都显得水到渠成。这本书的论证风格非常注重内在一致性，很少依赖于外部的“先验知识”，大部分需要用到代数工具的地方，也都会给出相应的背景回顾或巧妙的代数化处理。这是一本能够真正教会你如何“思考几何”的书。

评分☆☆☆☆☆

作为一名偏向应用方向的研究者，我最初对这类纯理论的书籍持保留态度，但《微流形和李群基础》成功地改变了我的看法。这本书最吸引我的地方，在于它对数学工具与物理直觉之间关系的深刻把握。虽然它主要聚焦于基础理论的构建，但字里行间透露出的对物理学中对称性问题的关注，是其他纯数学著作所不具备的。书中对齐性空间（Principal Bundles）的引入，虽然没有直接深入到高深的规范场论，但其对纤维丛的结构描述，已经为理解电磁场、引力场等物理理论中的几何结构奠定了坚实的数学基础。我发现，许多原本在我脑海中模糊不清的“束”、“联络”等概念，通过这本书的清晰描述，变得具象化了。它没有提供现成的物理公式，但它提供的基础工具，却比任何公式都更加强大和普适。这本书更像是一把精密的钥匙，帮助我们去开启物理世界深层次几何结构的大门。对于那些想要从数学上彻底理解现代物理基础的探索者来说，这本书绝对是案头必备的工具书。