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[美] 伊莱亚斯M.斯坦恩(EliasM.Stein 著

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• 复变函数
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• 数学分析
• 高等数学
• 数学
• 解析函数
• 留数定理
• 共形映射
• 复数
• 函数论

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出版社： 机械工业出版社

ISBN：9787111552970

商品编码：14299449076

出版时间：2017-07-01

作  者:(美)伊莱亚斯 M.斯坦恩(Elias M.Stein),(美)拉米·沙卡什(Rami Shakarchi) 著；刘真真 等 译 定  价:78 出 版 社:机械工业出版社 出版日期:2017年07月01日 页  数:274 装  帧:精装 ISBN:9787111552970 ●译者的话
●前言
●引言
●第1章复分析预备知识1
●1复数和复平面1
●1.1基本性质1
●1.2收敛性3
●1.3复平面中的集合4
●2定义在复平面上的函数5
●2.1连续函数5
●2.2全纯函数6
●2.3幂级数10
●3沿曲线的积分13
●4练习17
●第2章柯西定理及其应用23
●1Goursat定理24
●2局部原函数的存在和圆盘内的柯西定理26
●3一些积分估值29
●4柯西积分公式32
●5应用37
●部分目录

内容简介

《复分析》由在靠前上享有盛誉普林斯大林顿大学教授Stein等撰写而成，是一部为数学及相关专业大学二年级和三年级学生编写的教材，理论与实践并重。为了便于非数学专业的学生学习，全书内容简明、易懂,读者只需掌握微积分和线性代数知识。本书已被哈佛大学和加利福尼亚理工学院选为教材。 (美)伊莱亚斯 M.斯坦恩(Elias M.Stein),(美)拉米·沙卡什(Rami Shakarchi) 著；刘真真 等 译 伊莱亚斯 M.斯坦恩（Elias M.Stein），有名数学家，美国普林斯顿大学终身教授，美国国家科学院院士，美国文理学院院士，沃尔夫奖获得者。他是当代分析，特别是调和分析领域的人物之一。由于在该研究领域的突出贡献，Elias M.Stein荣获1984年美国数学会的Steele奖，1993年获得瑞士科学院颁发的Schock奖，他的许多著作成为影响学科发展的重要参考文献。 从２０００ 年春季开始， 四个学斯的系列课程在普林斯顿大学讲授， 其目的是用统一的方法去展现分析学的核心内容． 我们的目的不仅是为了生动说明存在于分析学各个部分之间的有机统一， 还是为了阐述这门学科的方法在数学其他领域和其他自然科学的广泛应用． 本书是对讲稿的一个详细阐述．虽然有许多教材涉及我们覆盖的单个部分， 但是我们的目标不同： 不是以单个学科， 而是以高度的互相联系来展示分析学的各种不同的子领域． 总的来说，我们的观点是观察到的这些联系以及所产生的协同效应将激发读者更好地理解这门学科． 记住这点， 我们专注于形成该学科的主要方法和定理（有时会忽略掉更为系统的方法）， 并严格按照该学科发展的逻辑顺序进行．我们将分析学的内容分成四册， 每一册反映一个等

《复分析：严谨与直观的数学探索》 内容梗概 本书旨在为读者提供一个全面且深入的复分析学习体验。我们不局限于对复变函数理论的表述，更注重引导读者理解其内在的逻辑、几何直观以及在不同数学分支中的应用。全书分为四个主要部分，层层递进，由浅入深，力求展现复分析的魅力与力量。 第一部分：复数世界的基础构建 本部分将从最基本的核心概念出发，为读者打下坚实的复数基础。 复数的代数表示与几何解释： 我们将详细介绍复数的代数定义（形如 $a+bi$），并着重阐释复数在二维平面上的几何意义，包括复数的加法、减法对应的向量运算，以及乘法、除法对应的旋转与伸缩。这部分将通过大量实例，让读者直观地理解复数运算的几何含义。我们还将引入复数的模、辐角、共轭复数等基本概念，并探讨欧拉公式 $e^{i heta} = cos heta + isin heta$ 的深刻内涵，理解其在复数表示中的核心地位，以及如何通过极坐标形式 $re^{i heta}$ 简洁地描述复数。 复平面上的几何变换： 复数运算与几何变换之间存在着天然的联系。本部分将深入研究仿射变换（平移、旋转、伸缩、对称）以及更一般的线性变换在复平面上的作用。我们将分析这些变换如何影响复数集合的形状和位置，并探讨它们的组合效应。例如，理解乘法 $z mapsto az$ 如何对应于以原点为中心的旋转与伸缩，而加法 $z mapsto z+b$ 则对应于平移。 复变函数的基本概念： 在建立起对复数及其几何意义的深刻理解后，我们将引入复变函数的概念。这包括函数的定义域、值域，以及如何将一个复数映射到另一个复数。我们将重点关注函数的极限与连续性，并类比实变函数的定义，但在复数域中，其概念的引入会带来更丰富的几何内涵。例如，理解函数极限的 epsilon-delta 定义在复数域中的几何意义——函数值在单位圆上的“逼近”如何对应于定义域内点的“逼近”。 导数与解析函数： 这是复变函数论的核心。我们将严格定义复变函数的导数，并深刻理解其存在的充要条件——柯西-黎曼方程。我们不仅会展示这些方程的代数形式，更会深入探讨其几何意义：在导数存在的点，函数在局部上表现为一种“保角映射”，即它在两个正交方向上的变化率必须相等，且其比例因子也必须相同。这部分将详细阐述解析函数的概念，并解释为什么解析函数在数学中如此重要，它们具有高度的“规律性”和“光滑性”。 第二部分：解析函数的分析性与几何特性 本部分将围绕解析函数的强大性质展开，探索其丰富的分析性和迷人的几何特性。 柯西-积分定理与柯西积分公式： 这是复分析的基石。我们将从直观上理解柯西-积分定理，即在单连通区域内，解析函数的积分沿闭合曲线积分为零，这与实变函数中的格林公式有着深刻的联系，但在此处展现出更为简洁优雅的形式。随后，我们将引出柯西积分公式，它允许我们通过解析函数在一条简单闭合曲线上的积分来计算函数在曲线内部的任意点的值。这无疑揭示了解析函数强大的“内插”能力，函数在其定义域内的行为被其边界上的信息所完全决定。我们将通过大量实例展示积分定理和积分公式的应用，例如证明解析函数的任意阶导数都存在且解析，以及解析函数的Taylor展开。 级数表示：Taylor展开与Laurent展开： 解析函数具有在任意一点的Taylor展开，这表明它们在局部上是“光滑”的，并且其行为可以被其在这一点的值及其各阶导数所完全确定。我们将详细讨论Taylor级数的收敛域，以及它所揭示的函数性质。此外，对于在某点附近不解析但存在奇点的函数，我们将引入Laurent展开。Laurent展开不仅包含正幂项（Taylor展开部分），还包含负幂项，这使得我们能够分析函数在奇点附近的奇点类型（可去奇点、极点、本原奇点）以及其行为。 孤立奇点与留数定理： 孤立奇点是复变函数论中一个非常重要的概念。我们将对可去奇点、极点和本原奇点进行详细分类和分析，并探讨它们与Laurent展开中的负幂项系数的关系。随后，我们将引出留数定理。留数定理是复分析中最具应用价值的定理之一。它指出，一个解析函数沿简单闭合曲线的积分，等于该曲线包围的所有孤立奇点处的留数之和乘以 $2pi i$。这个定理极大地简化了许多复变函数的积分计算，并为求解实际问题提供了强大的工具。 保角映射的几何意义： 解析函数在导数不为零的点具有保角性，即它们在局部上保持角度不变。这意味着解析函数可以将一个区域的几何形状“平滑地”变形到另一个区域，同时保持角度信息。本部分将深入研究保角映射的几何解释，并探讨著名的映射定理（例如黎曼映射定理），它表明任何单连通区域（不等于整个复平面）都可以通过一个单叶解析函数映射到单位圆盘。我们将通过实例展示如何利用保角映射来解决几何问题，例如求解拉普拉斯方程的边值问题。 第三部分：复变函数的分析性拓展与特殊函数 本部分将进一步拓展解析函数的概念，并介绍一些在数学和物理中具有重要地位的特殊函数。 解析延拓： 解析延拓是理解解析函数全局性质的关键。我们将探讨如何将一个函数从其初始定义域延拓到更大的定义域，同时保持其解析性。我们将介绍单值化原理，并解释为什么所有单连通区域都可以被看作是某个复变函数通过解析延拓所得到的“自然”定义域。 多值函数： 并非所有的复变函数都是单值的。例如，$sqrt{z}$ 和 $log z$ 就是多值函数。我们将介绍多值函数的概念，并探讨如何通过引入“割线”或“黎曼面”来处理和理解它们。我们将以$sqrt{z}$ 和 $log z$ 为例，详细展示其在复平面上的行为和解析延拓的复杂性。 Gamma函数与Beta函数： Gamma函数是阶乘函数在复数域上的自然推广，它在复分析、概率统计以及许多物理领域扮演着核心角色。我们将详细介绍Gamma函数的定义、性质，以及它与Beta函数之间的关系。我们将讨论Gamma函数的积分表示，并推导其一些重要的函数方程，如反射公式和乘法公式。 其他特殊函数简介： 本部分还将简要介绍一些其他重要的特殊函数，如贝塞尔函数、椭圆积分等，并指出它们在微分方程、物理学（如波动方程、热传导方程）等领域的应用。我们将侧重于理解这些函数产生的背景及其在复变函数理论框架下的分析特性。 第四部分：复变函数在其他领域的应用 本部分旨在展示复变函数强大的应用能力，让读者看到理论联系实际的魅力。 复积分在实积分计算中的应用： 留数定理在计算复杂的实积分时显得尤为强大。我们将通过大量典型的例子，演示如何利用复变函数的积分技巧，如围道积分、半圆积分、扇形区域积分等，来求解一些用实变函数方法难以解决的定积分和反常积分。 在物理学中的应用： 复变函数在物理学中有着极为广泛的应用。我们将探讨其在电动力学（如求解电磁场）、流体力学（如求解势流）、量子力学（如波函数分析）等领域中的作用。我们将以流体力学中的势流分析为例，展示如何利用保角映射来求解特定形状物体的流场分布。 在工程学中的应用： 本部分将介绍复变函数在信号处理、控制理论、电路分析等工程领域中的应用。例如，在控制系统中，复数的极点和零点决定了系统的稳定性；在信号处理中，傅里叶变换的推广——拉普拉斯变换，本质上就是复变函数的一个应用。 与拓扑学和几何学的联系： 复变函数论中的保角映射概念深刻地联系着复分析与拓扑学和微分几何。我们将简要阐述黎曼映射定理在几何学中的意义，以及复变函数如何为理解和分类二维流形的结构提供工具。 学习本书的预期收获 通过学习本书，读者将： 1. 建立坚实的复数理论基础： 深刻理解复数的代数和几何性质，掌握复变函数的定义、极限、连续性等基本概念。 2. 掌握解析函数的关键性质： 熟练运用柯西-积分定理、柯西积分公式、Taylor展开、Laurent展开等工具，深入理解解析函数的内在规律。 3. 精通留数定理的应用： 掌握利用留数定理求解复积分和处理孤立奇点的技巧。 4. 理解保角映射的几何意义： 能够直观地理解复变函数在局部上保持角度的特性，并了解其在几何问题中的应用。 5. 认识复变函数在数学和科学中的广泛应用： 能够将所学理论知识应用于实积分计算、物理学、工程学等实际问题中。 6. 培养严谨的数学思维和解决问题的能力： 通过大量的例题和练习，提升分析问题、解决问题的能力。 本书的编写风格力求清晰、严谨，同时注重数学概念的直观性解释。我们相信，通过对本书内容的学习，读者不仅能掌握复分析的知识体系，更能体会到数学的逻辑美和深刻的洞察力。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计相当简洁，一本厚重的书，封面以深邃的蓝色为主调，点缀着几何图形，仿佛是星辰大海的缩影，又像是某种抽象的数学符号。拿到手里，立刻就能感受到它的分量，沉甸甸的，给人一种扎实可靠的感觉。书页的纸质也很好，泛着淡淡的米黄色，触感温润，即使长时间翻阅也不会觉得刺眼。我尤其喜欢那种书脊的设计，摸起来有细微的纹理，让人忍不住想反复摩挲。目录的排版也很清晰，每个章节的名字都起得很有意境，让人对接下来的内容充满好奇，也方便查找。封底的介绍语寥寥数语，却点明了这本书的核心，让我迫不及待地想翻开。从包装到整体的质感，都透露出一种严谨和专业，这让我对书的内容充满了期待，感觉这绝对不是一本随便拿来应付的教科书，而是一部真正经过打磨的学术力作。我尝试着翻阅了几页，里面的图示虽然不多，但每一个都画得非常精准，清晰地勾勒出一些概念的轮廓。

评分☆☆☆☆☆

我对这本书的编排设计感到非常满意。它不是那种直接堆砌公式和证明的教科书，而是有清晰的脉络和循序渐进的讲解。每一章的开头，作者都会先点明本章的学习目标和核心概念，就像是给读者一张地图，让你清楚知道要前往的方向。然后，在讲解过程中，他会适时地加入一些“思考题”或者“延伸阅读”，引导读者主动去探索和思考，而不是被动接受。我特别欣赏作者在处理复杂证明时的手法，他会将整个证明分解成若干个小步骤，并对每一个步骤的逻辑进行详细解释，还会用不同的颜色或者高亮标记来区分关键的部分，这对于初学者来说简直是福音。另外，书中的习题也是一大亮点，难度梯度设置得很合理，从基础的巩固练习到拔高的挑战题，应有尽有，而且答案的解析也写得非常详尽，能够帮助我理解解题思路，而不是仅仅知道结果。

评分☆☆☆☆☆

拿到这本书的时候，我首先被它的字体吸引了。不是那种常见的衬线体，而是一种略带现代感、又兼具古典韵味的无衬线字体，阅读起来非常舒服，即使是长篇大论也不会感到疲劳。我试着读了其中一小节，作者的语言风格非常有特色，既有严谨的数学逻辑，又巧妙地融入了一些文学色彩，仿佛在讲述一个关于数字和空间的奇妙故事，而不是枯燥的定理推导。他善于使用一些比喻和类比，将抽象的概念形象化，让我这个非专业人士也能勉强跟上思路。有时候，他还会插入一些引人深思的段落，探讨数学背后的哲学意味，或是数学家们的趣闻轶事，为这本书增添了几分人文气息。这种将科学严谨与艺术表达相结合的写法，在同类书籍中实属罕见，让人在学习知识的同时，也能感受到一种美的享受。这种写作方式，让我感觉作者不仅是一位渊博的学者，更是一位有情怀的教育家，他希望读者不仅仅是记住公式，更能理解数学的魅力。

评分☆☆☆☆☆

这本书的装帧工艺让人印象深刻，封面采用了哑光材质，摸上去手感非常棒，而且不易留下指纹，即使经常翻阅也能保持整洁。书的整体厚度适中，拿在手里不会觉得过于沉重，方便携带。内页的纸张采用了特殊的工艺，印刷清晰，墨色浓郁，阅读起来一点也不费眼。我尤其注意到作者在公式排版上的用心，每一个公式都经过精心设计，美观且易于辨认，没有出现模糊不清或者错位的情况，这对于需要频繁阅读公式的读者来说，简直是太友好了。而且，书中的一些图表也绘制得非常精美，线条流畅，配色和谐，不仅起到了辅助理解的作用，也为这本书增添了几分艺术感。总而言之，从这本书的每一个细节，都能感受到出版方和作者在制作上的认真和负责，这让我觉得这本书的价值远不止于其内容本身。

评分☆☆☆☆☆

这本书最让我惊喜的是它的“跨界”视角。在讲解一些核心概念的时候，作者并没有局限于纯粹的数学理论，而是巧妙地引入了一些与之相关的物理学、工程学甚至经济学领域的实际应用案例。我读到一章关于“积分”的讲解，作者居然用到了河流的流量变化来解释，让我这种对抽象数学感到头疼的人，突然就有了豁然开朗的感觉。他还提到了一些著名科学家在研究这些数学工具时遇到的困境和灵感来源，这让我觉得数学不再是冰冷的符号，而是人类智慧不断探索的结晶。这种多角度的呈现方式，不仅加深了我对知识的理解，也让我看到了数学在现实世界中的强大力量和广泛影响，激发了我进一步学习的兴趣。感觉这本书不仅仅是在教我“是什么”，更是在告诉我“为什么”和“能做什么”。