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[美] 伊萊亞斯M.斯坦恩(EliasM.Stein 著

圖書標籤:

• 復變函數
• 復分析
• 數學分析
• 高等數學
• 數學
• 解析函數
• 留數定理
• 共形映射
• 復數
• 函數論

店鋪： 文軒網旗艦店

齣版社： 機械工業齣版社

ISBN：9787111552970

商品編碼：14299449076

齣版時間：2017-07-01

作  者:(美)伊萊亞斯 M.斯坦恩(Elias M.Stein),(美)拉米·沙卡什(Rami Shakarchi) 著；劉真真 等 譯 定  價:78 齣 版 社:機械工業齣版社 齣版日期:2017年07月01日 頁  數:274 裝  幀:精裝 ISBN:9787111552970 ●譯者的話
●前言
●引言
●第1章復分析預備知識1
●1復數和復平麵1
●1.1基本性質1
●1.2收斂性3
●1.3復平麵中的集閤4
●2定義在復平麵上的函數5
●2.1連續函數5
●2.2全純函數6
●2.3冪級數10
●3沿麯綫的積分13
●4練習17
●第2章柯西定理及其應用23
●1Goursat定理24
●2局部原函數的存在和圓盤內的柯西定理26
●3一些積分估值29
●4柯西積分公式32
●5應用37
●部分目錄

內容簡介

《復分析》由在靠前上享有盛譽普林斯大林頓大學教授Stein等撰寫而成，是一部為數學及相關專業大學二年級和三年級學生編寫的教材，理論與實踐並重。為瞭便於非數學專業的學生學習，全書內容簡明、易懂,讀者隻需掌握微積分和綫性代數知識。本書已被哈佛大學和加利福尼亞理工學院選為教材。 (美)伊萊亞斯 M.斯坦恩(Elias M.Stein),(美)拉米·沙卡什(Rami Shakarchi) 著；劉真真 等 譯 伊萊亞斯 M.斯坦恩（Elias M.Stein），有名數學傢，美國普林斯頓大學終身教授，美國國傢科學院院士，美國文理學院院士，沃爾夫奬獲得者。他是當代分析，特彆是調和分析領域的人物之一。由於在該研究領域的突齣貢獻，Elias M.Stein榮獲1984年美國數學會的Steele奬，1993年獲得瑞士科學院頒發的Schock奬，他的許多著作成為影響學科發展的重要參考文獻。 從２０００ 年春季開始， 四個學斯的係列課程在普林斯頓大學講授， 其目的是用統一的方法去展現分析學的核心內容． 我們的目的不僅是為瞭生動說明存在於分析學各個部分之間的有機統一， 還是為瞭闡述這門學科的方法在數學其他領域和其他自然科學的廣泛應用． 本書是對講稿的一個詳細闡述．雖然有許多教材涉及我們覆蓋的單個部分， 但是我們的目標不同： 不是以單個學科， 而是以高度的互相聯係來展示分析學的各種不同的子領域． 總的來說，我們的觀點是觀察到的這些聯係以及所産生的協同效應將激發讀者更好地理解這門學科． 記住這點， 我們專注於形成該學科的主要方法和定理（有時會忽略掉更為係統的方法）， 並嚴格按照該學科發展的邏輯順序進行．我們將分析學的內容分成四冊， 每一冊反映一個等

《復分析：嚴謹與直觀的數學探索》 內容梗概 本書旨在為讀者提供一個全麵且深入的復分析學習體驗。我們不局限於對復變函數理論的錶述，更注重引導讀者理解其內在的邏輯、幾何直觀以及在不同數學分支中的應用。全書分為四個主要部分，層層遞進，由淺入深，力求展現復分析的魅力與力量。 第一部分：復數世界的基礎構建 本部分將從最基本的核心概念齣發，為讀者打下堅實的復數基礎。 復數的代數錶示與幾何解釋： 我們將詳細介紹復數的代數定義（形如 $a+bi$），並著重闡釋復數在二維平麵上的幾何意義，包括復數的加法、減法對應的嚮量運算，以及乘法、除法對應的鏇轉與伸縮。這部分將通過大量實例，讓讀者直觀地理解復數運算的幾何含義。我們還將引入復數的模、輻角、共軛復數等基本概念，並探討歐拉公式 $e^{i heta} = cos heta + isin heta$ 的深刻內涵，理解其在復數錶示中的核心地位，以及如何通過極坐標形式 $re^{i heta}$ 簡潔地描述復數。 復平麵上的幾何變換： 復數運算與幾何變換之間存在著天然的聯係。本部分將深入研究仿射變換（平移、鏇轉、伸縮、對稱）以及更一般的綫性變換在復平麵上的作用。我們將分析這些變換如何影響復數集閤的形狀和位置，並探討它們的組閤效應。例如，理解乘法 $z mapsto az$ 如何對應於以原點為中心的鏇轉與伸縮，而加法 $z mapsto z+b$ 則對應於平移。 復變函數的基本概念： 在建立起對復數及其幾何意義的深刻理解後，我們將引入復變函數的概念。這包括函數的定義域、值域，以及如何將一個復數映射到另一個復數。我們將重點關注函數的極限與連續性，並類比實變函數的定義，但在復數域中，其概念的引入會帶來更豐富的幾何內涵。例如，理解函數極限的 epsilon-delta 定義在復數域中的幾何意義——函數值在單位圓上的“逼近”如何對應於定義域內點的“逼近”。 導數與解析函數： 這是復變函數論的核心。我們將嚴格定義復變函數的導數，並深刻理解其存在的充要條件——柯西-黎曼方程。我們不僅會展示這些方程的代數形式，更會深入探討其幾何意義：在導數存在的點，函數在局部上錶現為一種“保角映射”，即它在兩個正交方嚮上的變化率必須相等，且其比例因子也必須相同。這部分將詳細闡述解析函數的概念，並解釋為什麼解析函數在數學中如此重要，它們具有高度的“規律性”和“光滑性”。 第二部分：解析函數的分析性與幾何特性 本部分將圍繞解析函數的強大性質展開，探索其豐富的分析性和迷人的幾何特性。 柯西-積分定理與柯西積分公式： 這是復分析的基石。我們將從直觀上理解柯西-積分定理，即在單連通區域內，解析函數的積分沿閉閤麯綫積分為零，這與實變函數中的格林公式有著深刻的聯係，但在此處展現齣更為簡潔優雅的形式。隨後，我們將引齣柯西積分公式，它允許我們通過解析函數在一條簡單閉閤麯綫上的積分來計算函數在麯綫內部的任意點的值。這無疑揭示瞭解析函數強大的“內插”能力，函數在其定義域內的行為被其邊界上的信息所完全決定。我們將通過大量實例展示積分定理和積分公式的應用，例如證明解析函數的任意階導數都存在且解析，以及解析函數的Taylor展開。 級數錶示：Taylor展開與Laurent展開： 解析函數具有在任意一點的Taylor展開，這錶明它們在局部上是“光滑”的，並且其行為可以被其在這一點的值及其各階導數所完全確定。我們將詳細討論Taylor級數的收斂域，以及它所揭示的函數性質。此外，對於在某點附近不解析但存在奇點的函數，我們將引入Laurent展開。Laurent展開不僅包含正冪項（Taylor展開部分），還包含負冪項，這使得我們能夠分析函數在奇點附近的奇點類型（可去奇點、極點、本原奇點）以及其行為。 孤立奇點與留數定理： 孤立奇點是復變函數論中一個非常重要的概念。我們將對可去奇點、極點和本原奇點進行詳細分類和分析，並探討它們與Laurent展開中的負冪項係數的關係。隨後，我們將引齣留數定理。留數定理是復分析中最具應用價值的定理之一。它指齣，一個解析函數沿簡單閉閤麯綫的積分，等於該麯綫包圍的所有孤立奇點處的留數之和乘以 $2pi i$。這個定理極大地簡化瞭許多復變函數的積分計算，並為求解實際問題提供瞭強大的工具。 保角映射的幾何意義： 解析函數在導數不為零的點具有保角性，即它們在局部上保持角度不變。這意味著解析函數可以將一個區域的幾何形狀“平滑地”變形到另一個區域，同時保持角度信息。本部分將深入研究保角映射的幾何解釋，並探討著名的映射定理（例如黎曼映射定理），它錶明任何單連通區域（不等於整個復平麵）都可以通過一個單葉解析函數映射到單位圓盤。我們將通過實例展示如何利用保角映射來解決幾何問題，例如求解拉普拉斯方程的邊值問題。 第三部分：復變函數的分析性拓展與特殊函數 本部分將進一步拓展解析函數的概念，並介紹一些在數學和物理中具有重要地位的特殊函數。 解析延拓： 解析延拓是理解解析函數全局性質的關鍵。我們將探討如何將一個函數從其初始定義域延拓到更大的定義域，同時保持其解析性。我們將介紹單值化原理，並解釋為什麼所有單連通區域都可以被看作是某個復變函數通過解析延拓所得到的“自然”定義域。 多值函數： 並非所有的復變函數都是單值的。例如，$sqrt{z}$ 和 $log z$ 就是多值函數。我們將介紹多值函數的概念，並探討如何通過引入“割綫”或“黎曼麵”來處理和理解它們。我們將以$sqrt{z}$ 和 $log z$ 為例，詳細展示其在復平麵上的行為和解析延拓的復雜性。 Gamma函數與Beta函數： Gamma函數是階乘函數在復數域上的自然推廣，它在復分析、概率統計以及許多物理領域扮演著核心角色。我們將詳細介紹Gamma函數的定義、性質，以及它與Beta函數之間的關係。我們將討論Gamma函數的積分錶示，並推導其一些重要的函數方程，如反射公式和乘法公式。 其他特殊函數簡介： 本部分還將簡要介紹一些其他重要的特殊函數，如貝塞爾函數、橢圓積分等，並指齣它們在微分方程、物理學（如波動方程、熱傳導方程）等領域的應用。我們將側重於理解這些函數産生的背景及其在復變函數理論框架下的分析特性。 第四部分：復變函數在其他領域的應用 本部分旨在展示復變函數強大的應用能力，讓讀者看到理論聯係實際的魅力。 復積分在實積分計算中的應用： 留數定理在計算復雜的實積分時顯得尤為強大。我們將通過大量典型的例子，演示如何利用復變函數的積分技巧，如圍道積分、半圓積分、扇形區域積分等，來求解一些用實變函數方法難以解決的定積分和反常積分。 在物理學中的應用： 復變函數在物理學中有著極為廣泛的應用。我們將探討其在電動力學（如求解電磁場）、流體力學（如求解勢流）、量子力學（如波函數分析）等領域中的作用。我們將以流體力學中的勢流分析為例，展示如何利用保角映射來求解特定形狀物體的流場分布。 在工程學中的應用： 本部分將介紹復變函數在信號處理、控製理論、電路分析等工程領域中的應用。例如，在控製係統中，復數的極點和零點決定瞭係統的穩定性；在信號處理中，傅裏葉變換的推廣——拉普拉斯變換，本質上就是復變函數的一個應用。 與拓撲學和幾何學的聯係： 復變函數論中的保角映射概念深刻地聯係著復分析與拓撲學和微分幾何。我們將簡要闡述黎曼映射定理在幾何學中的意義，以及復變函數如何為理解和分類二維流形的結構提供工具。 學習本書的預期收獲 通過學習本書，讀者將： 1. 建立堅實的復數理論基礎： 深刻理解復數的代數和幾何性質，掌握復變函數的定義、極限、連續性等基本概念。 2. 掌握解析函數的關鍵性質： 熟練運用柯西-積分定理、柯西積分公式、Taylor展開、Laurent展開等工具，深入理解解析函數的內在規律。 3. 精通留數定理的應用： 掌握利用留數定理求解復積分和處理孤立奇點的技巧。 4. 理解保角映射的幾何意義： 能夠直觀地理解復變函數在局部上保持角度的特性，並瞭解其在幾何問題中的應用。 5. 認識復變函數在數學和科學中的廣泛應用： 能夠將所學理論知識應用於實積分計算、物理學、工程學等實際問題中。 6. 培養嚴謹的數學思維和解決問題的能力： 通過大量的例題和練習，提升分析問題、解決問題的能力。 本書的編寫風格力求清晰、嚴謹，同時注重數學概念的直觀性解釋。我們相信，通過對本書內容的學習，讀者不僅能掌握復分析的知識體係，更能體會到數學的邏輯美和深刻的洞察力。

評分☆☆☆☆☆

這本書的裝幀工藝讓人印象深刻，封麵采用瞭啞光材質，摸上去手感非常棒，而且不易留下指紋，即使經常翻閱也能保持整潔。書的整體厚度適中，拿在手裏不會覺得過於沉重，方便攜帶。內頁的紙張采用瞭特殊的工藝，印刷清晰，墨色濃鬱，閱讀起來一點也不費眼。我尤其注意到作者在公式排版上的用心，每一個公式都經過精心設計，美觀且易於辨認，沒有齣現模糊不清或者錯位的情況，這對於需要頻繁閱讀公式的讀者來說，簡直是太友好瞭。而且，書中的一些圖錶也繪製得非常精美，綫條流暢，配色和諧，不僅起到瞭輔助理解的作用，也為這本書增添瞭幾分藝術感。總而言之，從這本書的每一個細節，都能感受到齣版方和作者在製作上的認真和負責，這讓我覺得這本書的價值遠不止於其內容本身。

評分☆☆☆☆☆

這本書最讓我驚喜的是它的“跨界”視角。在講解一些核心概念的時候，作者並沒有局限於純粹的數學理論，而是巧妙地引入瞭一些與之相關的物理學、工程學甚至經濟學領域的實際應用案例。我讀到一章關於“積分”的講解，作者居然用到瞭河流的流量變化來解釋，讓我這種對抽象數學感到頭疼的人，突然就有瞭豁然開朗的感覺。他還提到瞭一些著名科學傢在研究這些數學工具時遇到的睏境和靈感來源，這讓我覺得數學不再是冰冷的符號，而是人類智慧不斷探索的結晶。這種多角度的呈現方式，不僅加深瞭我對知識的理解，也讓我看到瞭數學在現實世界中的強大力量和廣泛影響，激發瞭我進一步學習的興趣。感覺這本書不僅僅是在教我“是什麼”，更是在告訴我“為什麼”和“能做什麼”。

評分☆☆☆☆☆

我對這本書的編排設計感到非常滿意。它不是那種直接堆砌公式和證明的教科書，而是有清晰的脈絡和循序漸進的講解。每一章的開頭，作者都會先點明本章的學習目標和核心概念，就像是給讀者一張地圖，讓你清楚知道要前往的方嚮。然後，在講解過程中，他會適時地加入一些“思考題”或者“延伸閱讀”，引導讀者主動去探索和思考，而不是被動接受。我特彆欣賞作者在處理復雜證明時的手法，他會將整個證明分解成若乾個小步驟，並對每一個步驟的邏輯進行詳細解釋，還會用不同的顔色或者高亮標記來區分關鍵的部分，這對於初學者來說簡直是福音。另外，書中的習題也是一大亮點，難度梯度設置得很閤理，從基礎的鞏固練習到拔高的挑戰題，應有盡有，而且答案的解析也寫得非常詳盡，能夠幫助我理解解題思路，而不是僅僅知道結果。

評分☆☆☆☆☆

這本書的封麵設計相當簡潔，一本厚重的書，封麵以深邃的藍色為主調，點綴著幾何圖形，仿佛是星辰大海的縮影，又像是某種抽象的數學符號。拿到手裏，立刻就能感受到它的分量，沉甸甸的，給人一種紮實可靠的感覺。書頁的紙質也很好，泛著淡淡的米黃色，觸感溫潤，即使長時間翻閱也不會覺得刺眼。我尤其喜歡那種書脊的設計，摸起來有細微的紋理，讓人忍不住想反復摩挲。目錄的排版也很清晰，每個章節的名字都起得很有意境，讓人對接下來的內容充滿好奇，也方便查找。封底的介紹語寥寥數語，卻點明瞭這本書的核心，讓我迫不及待地想翻開。從包裝到整體的質感，都透露齣一種嚴謹和專業，這讓我對書的內容充滿瞭期待，感覺這絕對不是一本隨便拿來應付的教科書，而是一部真正經過打磨的學術力作。我嘗試著翻閱瞭幾頁，裏麵的圖示雖然不多，但每一個都畫得非常精準，清晰地勾勒齣一些概念的輪廓。

評分☆☆☆☆☆

拿到這本書的時候，我首先被它的字體吸引瞭。不是那種常見的襯綫體，而是一種略帶現代感、又兼具古典韻味的無襯綫字體，閱讀起來非常舒服，即使是長篇大論也不會感到疲勞。我試著讀瞭其中一小節，作者的語言風格非常有特色，既有嚴謹的數學邏輯，又巧妙地融入瞭一些文學色彩，仿佛在講述一個關於數字和空間的奇妙故事，而不是枯燥的定理推導。他善於使用一些比喻和類比，將抽象的概念形象化，讓我這個非專業人士也能勉強跟上思路。有時候，他還會插入一些引人深思的段落，探討數學背後的哲學意味，或是數學傢們的趣聞軼事，為這本書增添瞭幾分人文氣息。這種將科學嚴謹與藝術錶達相結閤的寫法，在同類書籍中實屬罕見，讓人在學習知識的同時，也能感受到一種美的享受。這種寫作方式，讓我感覺作者不僅是一位淵博的學者，更是一位有情懷的教育傢，他希望讀者不僅僅是記住公式，更能理解數學的魅力。