图灵教育 陶哲轩实分析 第3版 华裔天才数学家、菲尔兹奖得主陶哲轩 20万读者信赖的选择 经典实分 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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陶哲轩 著，李馨 译

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店铺： 人民邮电出版社官方旗舰店

出版社： 人民邮电出版社

ISBN：9787115480255

商品编码：28028638789

包装：平装

开本：小16

出版时间：2018-05-01

字数：574

内容介绍
本书主要介绍了数学分析中的内容，以构造数系和集合论开篇，逐渐深入到级数、函数等高等数学内容，举例详实，每部分内容后的习题与正文内容密切相关，有利于读者掌握所学的内容。本书在附录部分还介绍了数理逻辑基础和十进制，突出了严格性和基础性。

作者介绍
陶哲轩 1975年出生，享誉世界的澳籍华裔天才数学家，智商超过220，被誉为“数学界的莫扎特”。12岁获得国际数学奥林匹克竞赛金*（这项纪录到今无人打破），2006年获得数学界的诺贝尔奖——菲尔兹奖，2007年当选英国皇*学会会士。曾与本。格林合作解决了2300年前由欧几里得提出的与“孪生质数”相关的猜想，在调和分析、偏微分方程、组合数学、解析数论、算术数论等多个重要数学研究领域都取得了*越成果。陶哲轩15岁时所著的Solving Mathematical Problems是一本数学解题思路科普书，中文版《陶哲轩教你学数学》已经由人民邮电出版社出版。 李馨 毕业于北京理工大学数学与统计学院，具有多年高等数学、线性代数及概率论授课经验。

关联推荐
经典实分析教材//强调逻辑严谨和分析基础
目录
第 一部分
第 1章 引言 3
第 2章 从头开始：自然数 12
第3章 集合论 28
第4章 整数和有理数 60
第5章 实数 76
第6章 序列的极限 101
第7章 级数 124
第8章 无限集合 147
第9章 R上的连续函数 171
第 10章 函数的微分 204
第 11章 黎曼积分 217
*二部分
第 12章 度量空间 251
第 13章 度量空间上的连续函数 272
第 14章 一致收敛 286
第 15章 幂级数 310
第 16章 傅里叶级数 336
第 17章 多元微分学 352
第 18章 勒贝格测度 381
第 19章 勒贝格积分 401
附录A 数理逻辑基础 421
附录B 十进制 438

《数学的奥秘：从数论到拓扑的奇妙旅程》 本书旨在为那些对数学的广阔领域抱有浓厚兴趣的读者提供一次深入而引人入胜的探索之旅。我们不会局限于某一特定分支的精深剖析，而是力求勾勒出数学全景图的宏大轮廓，展现不同数学分支之间的内在联系和美学价值。这本书是为那些渴望理解数学如何作为一种强大的思维工具，应用于解决现实世界问题以及揭示宇宙深层结构的读者而设计。 第一部分：数的本质与结构 本部分将从最基础的概念出发，探讨数的历史演变及其在现代数学中的核心地位。 第一章：超越整数的界限 我们将从自然数（$mathbb{N}$）的构建开始，探讨皮亚诺公理的严谨性，以及如何在此基础上定义加法和乘法。随后，我们将转向整数（$mathbb{Z}$）的引入，理解负数的必要性——这不仅是代数上的便利，更是对某种对称性需求的满足。 更进一步，我们将深入研究有理数（$mathbb{Q}$）的构造，通过等价类（即分数的形式）来形式化“部分”的概念。这里将重点讨论为什么有理数虽然“稠密”，但仍然存在“空隙”。 第二章：无理数的发现与实数的完备性 本章的核心在于处理那个困扰了古希腊人许久的悖论：无理数。我们将详细分析$sqrt{2}$和$pi$等数的不可通约性，并介绍历史上如何通过巴伐利亚学派的方法（如戴德金分割）来严格定义实数（$mathbb{R}$）。 实数的完备性（Completeness Axiom）是微积分和分析学能够成立的基石。我们将探讨这个公理的真正含义——即任何非空的有上界（或有下界）的实数集合都存在一个上确界（或下确界）。我们将用实例说明，如果缺少这个公理，我们对极限和连续性的理解将变得多么脆弱。 第三章：数的王国：数论的魅力 数论，被誉为“数学的女皇”，是人类历史最悠久的数学分支之一。本章将聚焦于整数的内在规律。 整除性与素性： 深入探讨欧几里得的整除算法、最大公约数与最小公倍数，以及素数定理的直观解释。我们将回顾欧几里得素数无穷性的证明，并讨论哥德巴赫猜想等未解之谜的现状。 模运算与同余式： 介绍高斯引入的同余关系（Congruence），这不仅是密码学的基础，也是理解周期性现象的关键。我们将阐述费马小定理和欧拉定理，并简要提及它们在现代加密技术（如RSA）中的应用。 丢番图方程的诱惑： 以费马大定理为例，展示一个看似简单的方程如何能引发数百年的数学探索，并最终由安德鲁·怀尔斯完成的伟大证明所带来的深刻启示。 第二部分：变化与运动的描绘——微积分的宏大叙事 本部分将跳出静态的数域结构，转向处理函数、变化率和累积量的动态世界。 第四章：极限的语言：从直觉到严谨 微积分的基石是极限。我们将追溯从牛顿、莱布尼茨的早期直观认识，到柯西和魏尔斯特拉斯建立的$epsilon-delta$语言的严谨过程。 序列收敛性： 讨论单调有界序列必然收敛的原理，这是理解更复杂极限的基础。 函数极限的解析定义： 详细解析极限的定义，并展示如何用它来证明基本的函数连续性。我们将探讨单侧极限和无穷极限的概念。 第五章：导数的威力：瞬时变化率的几何意义 导数是衡量瞬时变化速率的工具。本章将从割线的斜率过渡到切线的斜率，并阐释导数在物理学（速度、加速度）和经济学（边际变化率）中的直接应用。 微分法则的系统梳理： 链式法则、乘积法则、商法则的推导，以及超越函数（指数、对数、三角函数）的求导。 中值定理的深刻洞察： 重点讲解罗尔定理和均值定理（MVT）。我们将阐释MVT如何保证在一个区间上函数的变化趋势与端点处的平均变化率存在一个精确的对应关系，这是证明诸多不等式和函数性质的关键。 第六章：积分的累积：面积、体积与无穷级数 积分是求和的极限，它将无数微小的贡献累积起来，以计算总效应。 黎曼积分的构建： 介绍黎曼和的概念，如何通过不断细分区间来逼近曲线下的面积。我们将讨论可积性的条件。 微积分基本定理（FTC）： 这是连接微分和积分的桥梁，我们将会详细剖析其两个部分——定积分的求导和不定积分的计算。 泰勒级数： 探索如何使用多项式来逼近任意光滑函数，这是傅立叶分析和现代物理学的基石。我们将讨论幂级数的收敛半径和区间。 第三部分：空间的结构与形状的几何 本部分将拓展视野，从一维的数轴和二维的平面，走向高维空间和更抽象的拓扑世界。 第七章：线性代数的骨架：向量空间的概念 线性代数是理解多变量系统的语言。本章将介绍向量空间的基本公理，并解释为什么它可以优雅地描述三维空间之外的现象。 基、维数与线性变换： 理解基是构造向量空间的基本元素，而维数是空间的内在属性。线性变换是研究函数如何“拉伸”或“旋转”空间的强大工具。 矩阵：操作与表示： 矩阵如何作为线性变换的“蓝图”，以及特征值和特征向量在揭示系统稳定性和运动模式中的核心作用。 第八章：刚体的研究：欧几里得几何的扩展 我们将回顾欧几里得几何的基本公设，并将其推广到三维乃至更高维度的欧几里得空间（$mathbb{R}^n$）。 度量与距离： 介绍不同的距离函数（如欧几里得距离、曼哈顿距离）如何改变我们对“邻近”的理解。 正交性与投影： 在高维空间中，理解向量之间的垂直关系（正交性）对于降维和数据分析至关重要。 第九章：形状的本质：拓扑学的初探 拓扑学关注的是在连续形变下保持不变的性质，它研究“弹性几何”。 开集与闭集： 拓扑空间的基本构建块，它们定义了邻域的概念。 连续性的拓扑定义： 拓扑学中，一个函数是连续的，当且仅当它将开集映照到开集。 不变量： 探讨连通性（能否被分割）和紧致性（能否被有限覆盖）等拓扑不变量，并通过著名的例子（如甜甜圈与咖啡杯的同胚性）来展示拓扑学的直观魅力。 结论：数学作为工具与艺术 本书的终极目标是培养读者欣赏数学作为一种严谨推理艺术形式的能力，同时认识到它作为理解物理世界、信息科学和工程技术的不可或缺的工具的价值。数学的美在于其绝对的精确性、普适的适用范围，以及隐藏在看似复杂结构之下的简洁和和谐。通过这次旅行，读者将获得一套更清晰、更有力的思维框架，以面对未来学习和解决问题的挑战。

评分☆☆☆☆☆

对于一个自学者来说，找到一本既有深度又不至于完全让人迷失方向的教材是何等幸运。这本书在这方面做得极为出色。它不像某些参考书那样高高在上，充满了只有内行才能理解的术语和跳跃式的逻辑；反之，它充满了对读者的关怀。虽然难度是毋庸置疑的，但你会感觉到作者是在用一种极为清晰、耐心的口吻与你对话。即便是那些看似简单却暗藏玄机的定理，作者也会提供多种视角的解读，让你能够从不同维度去把握其精髓。我尤其欣赏它在例子和反例的选择上，每一个都恰到好处地突出了所讨论概念的关键特性，避免了理论的空泛化。这本书真正实现了“深入浅出”的境界，让高等数学的学习不再是枯燥的爬山，而是一场充满发现的探险。

评分☆☆☆☆☆

这部著作简直是数学殿堂里的璀璨明珠，那种深邃与严谨的交织，让人在字里行间都能感受到作者那颗对数学真理无比敬畏的心。阅读过程中，我仿佛跟着一位技艺精湛的向导，穿越在抽象概念的迷宫之中，每一步都走得那么踏实，每解开一个谜团，心中的豁然开朗带来的满足感，是任何通俗读物都无法比拟的。它不仅仅是知识的堆砌，更像是一场精心编排的思维体操，对读者的逻辑推理能力提出了极高的要求，但也正是在这种挑战中，我才真正体会到数学思维的魅力所在。那些精妙的证明，如同艺术品般完美无瑕，每一个符号、每一步推导都恰到好处，没有丝毫冗余，充分体现了数学语言的简洁与力量。对于真正想在分析学领域有所建树的人来说，这本书无疑是一把开启高等数学大门的金钥匙，它教会的不仅仅是“是什么”，更是“为什么会是这样”的深刻内涵。

评分☆☆☆☆☆

我必须承认，初次翻开这本书时，那种扑面而来的学术气息差点让我望而却步。它不是那种能让你轻松在咖啡馆里翻阅的休闲读物，它需要你静下心来，备好纸笔，甚至需要反复咀嚼才能领会其中三味。然而，一旦你适应了它的节奏，你会发现它巨大的包容性和深度。作者的叙述风格极其沉稳，即使面对最晦涩的概念，也能保持一种近乎百科全书式的详尽和全面。它对基础概念的铺垫极其扎实，仿佛在为建造一座宏伟的知识大厦打下无比坚固的地基，绝不容许任何偷工减料。这种对严谨性的执着，使得任何读完它的人，都能对实分析这门学科建立起一个牢不可破的知识框架，未来再涉猎其他高级分支时，都会感到游刃有余。这本书的价值，不在于它被阅读了多少遍，而在于它能被真正理解和吸收多少。

评分☆☆☆☆☆

这本书的装帧和排版本身就透露着一种经典的气质，这无疑也提升了阅读的体验。但在我看来，它最引人注目的地方，是其内在逻辑的严密性与完整性。它构建了一个宏大而自洽的体系，使得读者在学习过程中，能够清晰地看到实分析的各个分支是如何相互联系、共同支撑起整个理论大厦的。我曾尝试参考其他几本同类书籍，但总感觉在某些核心概念的阐述上有所欠缺，要么过于侧重几何直观而牺牲了代数严谨性，要么则反之。唯有这本书，在两者之间找到了一个近乎完美的平衡点。它不仅教会了我如何进行分析运算，更重要的是，它塑造了一种对数学真理追求的工匠精神，这是一种可以迁移到任何需要严密逻辑的领域中的宝贵素养。

评分☆☆☆☆☆

说实话，在接触这本书之前，我对“分析”这个词的理解还停留在微积分的表面。这本书彻底颠覆了我的认知，它展现了一个更为广阔、更为精密的数学世界。作者在组织内容时展现了大师级的掌控力，从拓扑结构到测度论的过渡，行云流水般自然，让人在不知不觉中完成了思维层次的跃升。那些教科书中常常一笔带过的细节，在这本书里被剖析得淋漓尽致，每一个定义、每条引理，都像是经过千锤百炼的珍珠，闪耀着独特的光芒。它对读者心智的打磨，远超出了单纯的知识传授。读完后，我感觉自己看待事物的方式都变得更加精确和审慎了，这种思维习惯的养成，才是这本书带给我最宝贵的财富。它强迫你去质疑、去证明，而不是简单地接受结论。