圖靈教育 陶哲軒實分析 第3版 華裔天纔數學傢、菲爾茲奬得主陶哲軒 20萬讀者信賴的選擇 經典實分 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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陶哲軒 著，李馨 譯

圖書標籤:

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齣版社： 人民郵電齣版社

ISBN：9787115480255

商品編碼：28028638789

包裝：平裝

開本：小16

齣版時間：2018-05-01

字數：574

內容介紹
本書主要介紹瞭數學分析中的內容，以構造數係和集閤論開篇，逐漸深入到級數、函數等高等數學內容，舉例詳實，每部分內容後的習題與正文內容密切相關，有利於讀者掌握所學的內容。本書在附錄部分還介紹瞭數理邏輯基礎和十進製，突齣瞭嚴格性和基礎性。

作者介紹
陶哲軒 1975年齣生，享譽世界的澳籍華裔天纔數學傢，智商超過220，被譽為“數學界的莫紮特”。12歲獲得國際數學奧林匹剋競賽金*（這項紀錄到今無人打破），2006年獲得數學界的諾貝爾奬——菲爾茲奬，2007年當選英國皇*學會會士。曾與本。格林閤作解決瞭2300年前由歐幾裏得提齣的與“孿生質數”相關的猜想，在調和分析、偏微分方程、組閤數學、解析數論、算術數論等多個重要數學研究領域都取得瞭*越成果。陶哲軒15歲時所著的Solving Mathematical Problems是一本數學解題思路科普書，中文版《陶哲軒教你學數學》已經由人民郵電齣版社齣版。 李馨 畢業於北京理工大學數學與統計學院，具有多年高等數學、綫性代數及概率論授課經驗。

關聯推薦
經典實分析教材//強調邏輯嚴謹和分析基礎
目錄
第 一部分
第 1章 引言 3
第 2章 從頭開始：自然數 12
第3章 集閤論 28
第4章 整數和有理數 60
第5章 實數 76
第6章 序列的極限 101
第7章 級數 124
第8章 無限集閤 147
第9章 R上的連續函數 171
第 10章 函數的微分 204
第 11章 黎曼積分 217
*二部分
第 12章 度量空間 251
第 13章 度量空間上的連續函數 272
第 14章 一緻收斂 286
第 15章 冪級數 310
第 16章 傅裏葉級數 336
第 17章 多元微分學 352
第 18章 勒貝格測度 381
第 19章 勒貝格積分 401
附錄A 數理邏輯基礎 421
附錄B 十進製 438

《數學的奧秘：從數論到拓撲的奇妙旅程》 本書旨在為那些對數學的廣闊領域抱有濃厚興趣的讀者提供一次深入而引人入勝的探索之旅。我們不會局限於某一特定分支的精深剖析，而是力求勾勒齣數學全景圖的宏大輪廓，展現不同數學分支之間的內在聯係和美學價值。這本書是為那些渴望理解數學如何作為一種強大的思維工具，應用於解決現實世界問題以及揭示宇宙深層結構的讀者而設計。 第一部分：數的本質與結構 本部分將從最基礎的概念齣發，探討數的曆史演變及其在現代數學中的核心地位。 第一章：超越整數的界限 我們將從自然數（$mathbb{N}$）的構建開始，探討皮亞諾公理的嚴謹性，以及如何在此基礎上定義加法和乘法。隨後，我們將轉嚮整數（$mathbb{Z}$）的引入，理解負數的必要性——這不僅是代數上的便利，更是對某種對稱性需求的滿足。 更進一步，我們將深入研究有理數（$mathbb{Q}$）的構造，通過等價類（即分數的形式）來形式化“部分”的概念。這裏將重點討論為什麼有理數雖然“稠密”，但仍然存在“空隙”。 第二章：無理數的發現與實數的完備性 本章的核心在於處理那個睏擾瞭古希臘人許久的悖論：無理數。我們將詳細分析$sqrt{2}$和$pi$等數的不可通約性，並介紹曆史上如何通過巴伐利亞學派的方法（如戴德金分割）來嚴格定義實數（$mathbb{R}$）。 實數的完備性（Completeness Axiom）是微積分和分析學能夠成立的基石。我們將探討這個公理的真正含義——即任何非空的有上界（或有下界）的實數集閤都存在一個上確界（或下確界）。我們將用實例說明，如果缺少這個公理，我們對極限和連續性的理解將變得多麼脆弱。 第三章：數的王國：數論的魅力 數論，被譽為“數學的女皇”，是人類曆史最悠久的數學分支之一。本章將聚焦於整數的內在規律。 整除性與素性： 深入探討歐幾裏得的整除算法、最大公約數與最小公倍數，以及素數定理的直觀解釋。我們將迴顧歐幾裏得素數無窮性的證明，並討論哥德巴赫猜想等未解之謎的現狀。 模運算與同餘式： 介紹高斯引入的同餘關係（Congruence），這不僅是密碼學的基礎，也是理解周期性現象的關鍵。我們將闡述費馬小定理和歐拉定理，並簡要提及它們在現代加密技術（如RSA）中的應用。 丟番圖方程的誘惑： 以費馬大定理為例，展示一個看似簡單的方程如何能引發數百年的數學探索，並最終由安德魯·懷爾斯完成的偉大證明所帶來的深刻啓示。 第二部分：變化與運動的描繪——微積分的宏大敘事 本部分將跳齣靜態的數域結構，轉嚮處理函數、變化率和纍積量的動態世界。 第四章：極限的語言：從直覺到嚴謹 微積分的基石是極限。我們將追溯從牛頓、萊布尼茨的早期直觀認識，到柯西和魏爾斯特拉斯建立的$epsilon-delta$語言的嚴謹過程。 序列收斂性： 討論單調有界序列必然收斂的原理，這是理解更復雜極限的基礎。 函數極限的解析定義： 詳細解析極限的定義，並展示如何用它來證明基本的函數連續性。我們將探討單側極限和無窮極限的概念。 第五章：導數的威力：瞬時變化率的幾何意義 導數是衡量瞬時變化速率的工具。本章將從割綫的斜率過渡到切綫的斜率，並闡釋導數在物理學（速度、加速度）和經濟學（邊際變化率）中的直接應用。 微分法則的係統梳理： 鏈式法則、乘積法則、商法則的推導，以及超越函數（指數、對數、三角函數）的求導。 中值定理的深刻洞察： 重點講解羅爾定理和均值定理（MVT）。我們將闡釋MVT如何保證在一個區間上函數的變化趨勢與端點處的平均變化率存在一個精確的對應關係，這是證明諸多不等式和函數性質的關鍵。 第六章：積分的纍積：麵積、體積與無窮級數 積分是求和的極限，它將無數微小的貢獻纍積起來，以計算總效應。 黎曼積分的構建： 介紹黎曼和的概念，如何通過不斷細分區間來逼近麯綫下的麵積。我們將討論可積性的條件。 微積分基本定理（FTC）： 這是連接微分和積分的橋梁，我們將會詳細剖析其兩個部分——定積分的求導和不定積分的計算。 泰勒級數： 探索如何使用多項式來逼近任意光滑函數，這是傅立葉分析和現代物理學的基石。我們將討論冪級數的收斂半徑和區間。 第三部分：空間的結構與形狀的幾何 本部分將拓展視野，從一維的數軸和二維的平麵，走嚮高維空間和更抽象的拓撲世界。 第七章：綫性代數的骨架：嚮量空間的概念 綫性代數是理解多變量係統的語言。本章將介紹嚮量空間的基本公理，並解釋為什麼它可以優雅地描述三維空間之外的現象。 基、維數與綫性變換： 理解基是構造嚮量空間的基本元素，而維數是空間的內在屬性。綫性變換是研究函數如何“拉伸”或“鏇轉”空間的強大工具。 矩陣：操作與錶示： 矩陣如何作為綫性變換的“藍圖”，以及特徵值和特徵嚮量在揭示係統穩定性和運動模式中的核心作用。 第八章：剛體的研究：歐幾裏得幾何的擴展 我們將迴顧歐幾裏得幾何的基本公設，並將其推廣到三維乃至更高維度的歐幾裏得空間（$mathbb{R}^n$）。 度量與距離： 介紹不同的距離函數（如歐幾裏得距離、曼哈頓距離）如何改變我們對“鄰近”的理解。 正交性與投影： 在高維空間中，理解嚮量之間的垂直關係（正交性）對於降維和數據分析至關重要。 第九章：形狀的本質：拓撲學的初探 拓撲學關注的是在連續形變下保持不變的性質，它研究“彈性幾何”。 開集與閉集： 拓撲空間的基本構建塊，它們定義瞭鄰域的概念。 連續性的拓撲定義： 拓撲學中，一個函數是連續的，當且僅當它將開集映照到開集。 不變量： 探討連通性（能否被分割）和緊緻性（能否被有限覆蓋）等拓撲不變量，並通過著名的例子（如甜甜圈與咖啡杯的同胚性）來展示拓撲學的直觀魅力。 結論：數學作為工具與藝術 本書的終極目標是培養讀者欣賞數學作為一種嚴謹推理藝術形式的能力，同時認識到它作為理解物理世界、信息科學和工程技術的不可或缺的工具的價值。數學的美在於其絕對的精確性、普適的適用範圍，以及隱藏在看似復雜結構之下的簡潔和和諧。通過這次旅行，讀者將獲得一套更清晰、更有力的思維框架，以麵對未來學習和解決問題的挑戰。

評分☆☆☆☆☆

這部著作簡直是數學殿堂裏的璀璨明珠，那種深邃與嚴謹的交織，讓人在字裏行間都能感受到作者那顆對數學真理無比敬畏的心。閱讀過程中，我仿佛跟著一位技藝精湛的嚮導，穿越在抽象概念的迷宮之中，每一步都走得那麼踏實，每解開一個謎團，心中的豁然開朗帶來的滿足感，是任何通俗讀物都無法比擬的。它不僅僅是知識的堆砌，更像是一場精心編排的思維體操，對讀者的邏輯推理能力提齣瞭極高的要求，但也正是在這種挑戰中，我纔真正體會到數學思維的魅力所在。那些精妙的證明，如同藝術品般完美無瑕，每一個符號、每一步推導都恰到好處，沒有絲毫冗餘，充分體現瞭數學語言的簡潔與力量。對於真正想在分析學領域有所建樹的人來說，這本書無疑是一把開啓高等數學大門的金鑰匙，它教會的不僅僅是“是什麼”，更是“為什麼會是這樣”的深刻內涵。

評分☆☆☆☆☆

我必須承認，初次翻開這本書時，那種撲麵而來的學術氣息差點讓我望而卻步。它不是那種能讓你輕鬆在咖啡館裏翻閱的休閑讀物，它需要你靜下心來，備好紙筆，甚至需要反復咀嚼纔能領會其中三味。然而，一旦你適應瞭它的節奏，你會發現它巨大的包容性和深度。作者的敘述風格極其沉穩，即使麵對最晦澀的概念，也能保持一種近乎百科全書式的詳盡和全麵。它對基礎概念的鋪墊極其紮實，仿佛在為建造一座宏偉的知識大廈打下無比堅固的地基，絕不容許任何偷工減料。這種對嚴謹性的執著，使得任何讀完它的人，都能對實分析這門學科建立起一個牢不可破的知識框架，未來再涉獵其他高級分支時，都會感到遊刃有餘。這本書的價值，不在於它被閱讀瞭多少遍，而在於它能被真正理解和吸收多少。

評分☆☆☆☆☆

這本書的裝幀和排版本身就透露著一種經典的氣質，這無疑也提升瞭閱讀的體驗。但在我看來，它最引人注目的地方，是其內在邏輯的嚴密性與完整性。它構建瞭一個宏大而自洽的體係，使得讀者在學習過程中，能夠清晰地看到實分析的各個分支是如何相互聯係、共同支撐起整個理論大廈的。我曾嘗試參考其他幾本同類書籍，但總感覺在某些核心概念的闡述上有所欠缺，要麼過於側重幾何直觀而犧牲瞭代數嚴謹性，要麼則反之。唯有這本書，在兩者之間找到瞭一個近乎完美的平衡點。它不僅教會瞭我如何進行分析運算，更重要的是，它塑造瞭一種對數學真理追求的工匠精神，這是一種可以遷移到任何需要嚴密邏輯的領域中的寶貴素養。

評分☆☆☆☆☆

說實話，在接觸這本書之前，我對“分析”這個詞的理解還停留在微積分的錶麵。這本書徹底顛覆瞭我的認知，它展現瞭一個更為廣闊、更為精密的數學世界。作者在組織內容時展現瞭大師級的掌控力，從拓撲結構到測度論的過渡，行雲流水般自然，讓人在不知不覺中完成瞭思維層次的躍升。那些教科書中常常一筆帶過的細節，在這本書裏被剖析得淋灕盡緻，每一個定義、每條引理，都像是經過韆錘百煉的珍珠，閃耀著獨特的光芒。它對讀者心智的打磨，遠超齣瞭單純的知識傳授。讀完後，我感覺自己看待事物的方式都變得更加精確和審慎瞭，這種思維習慣的養成，纔是這本書帶給我最寶貴的財富。它強迫你去質疑、去證明，而不是簡單地接受結論。

評分☆☆☆☆☆

對於一個自學者來說，找到一本既有深度又不至於完全讓人迷失方嚮的教材是何等幸運。這本書在這方麵做得極為齣色。它不像某些參考書那樣高高在上，充滿瞭隻有內行纔能理解的術語和跳躍式的邏輯；反之，它充滿瞭對讀者的關懷。雖然難度是毋庸置疑的，但你會感覺到作者是在用一種極為清晰、耐心的口吻與你對話。即便是那些看似簡單卻暗藏玄機的定理，作者也會提供多種視角的解讀，讓你能夠從不同維度去把握其精髓。我尤其欣賞它在例子和反例的選擇上，每一個都恰到好處地突齣瞭所討論概念的關鍵特性，避免瞭理論的空泛化。這本書真正實現瞭“深入淺齣”的境界，讓高等數學的學習不再是枯燥的爬山，而是一場充滿發現的探險。