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陳省身等著 著

圖書標籤:

• 微分幾何
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• 教材
• 第2版
• 麯綫麯麵
• 拓撲學
• 流形
• 數學分析

店鋪： 書香齋圖書專營店

齣版社： 北京大學齣版社

ISBN：9787301051511

商品編碼：29610756081

齣版時間：1983-12-01

內容介紹

基本信息

書名:微分幾何講義-(第二版)

定價：28元

作者:陳省身

齣版社：北大

齣版日期：2001-10-1

ISBN：9787301051511

字數：

頁碼：375

版次：第2版

裝幀：平裝

開本：32

商品重量：340 g

編輯推薦

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《北京大學數學叢書:微分幾何講義(第二版)》由北京大學齣版社齣版。

目錄

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章 微分流形
1 微分流形的定義
2 切空間
3 子流形
4 Frobenius定理
第二章 多重綫性代數
1 張量積
2 張量
3 外代數
第三章 外微分
1 張量叢
2 外微分
3 外微分式的積分
4 Stokes公式
第四章 聯絡
1 矢量叢上的聯絡
2 仿射聯絡
3 標架叢上的聯絡
第五章 黎曼流形
1 黎曼幾何的基本定理
2 測地法坐標
3 截麵麯率
4 Gauss—Bonnet定理
第六章 李群和活動標架法
1 李群
2 李氏變換群
3 活動標架法
4 麯麵論
第七章 復流形
1 復流形
2 矢量空間上的復結構
3 近復流形
4 復矢量叢上的聯絡
5 Hermite流形和Kahler流形
第八章 Finsler幾何
1 引言
2 射影化切叢PTM的幾何與Hilbert形式
3 Chern聯絡
3.1聯絡的確定
3.2 Cartan張量與黎曼幾何的特徵
3.3 聯絡形式在局部坐標係下的錶達式
4 結構方程和旗麯率
4.1 麯率張量
4.2 旗麯率和Ricci麯率
4.3 特殊的Finslet空間
5 弧長的變分公式和測地綫
6 弧長的第二變分公式和Jacobi場
7 完備性和Hopf—Rinow定理
8 Bonnet—Myers定理和Synge定理
附錄一 歐氏空間中的麯綫和麯麵
1.切綫迴轉定理
2.四頂點定理
3.平麵麯綫的等周不等式
4.空間麯綫的全麯率
5.空間麯綫的變形
6.Gauss—Bonnet公式
7.Cohn—Vossen和Minkowski的性定理
8.關於極小麯麵的Bernstein定理
附錄二 微分幾何與理論物理
參考文獻
索引

內容提要

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《北京大學數學叢書:微分幾何講義(第二版)》係統地論述瞭微分幾何的基本知識。全書共八章並兩個附錄。作者以較大的篇幅，即前三章和第六章介紹瞭流形、多重綫性函數、嚮量場、外微分、李群和活動標架法等基本知識和工具。在有瞭上述寬廣而堅實的基礎之後，論述微分幾何的核心問題，即聯絡、黎曼幾何以及麯麵論等。《北京大學數學叢書:微分幾何講義(第二版)》可作為高等院校數學和理論物理等專業高年級、研究生選修課和研究生課教材，或學習參考書，也可供從事數學和物理等相關學科研究人員參考。

文摘

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版權頁：



插圖：

作者介紹

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好的，這是一份為“微分幾何講義（第2版）”量身定製的、不包含該書具體內容的詳細圖書簡介。 --- 《流形上的幾何與拓撲：現代數學的基石》 聚焦於深刻理解空間結構與變化的數學基礎 書籍概述 《流形上的幾何與拓撲：現代數學的基石》是一部麵嚮高年級本科生、研究生及研究人員的深度綜述性著作。本書旨在係統性地構建和深入探討現代微分幾何與拓撲學的核心理論框架，強調從基礎概念到前沿應用之間嚴謹的邏輯聯係。全書以“空間是如何被度量和彎麯的”為核心驅動力，將傳統的歐幾裏得幾何思想擴展到抽象的、高維的微分流形設定下，為讀者提供瞭理解廣義相對論、規範場論、拓撲數據分析等現代科學領域所需的確切數學工具。 本書的敘事風格力求清晰、嚴謹而富有啓發性，避免過度依賴計算的技巧展示，而專注於對概念背後幾何直覺的培養。我們認為，真正的理解源於對結構本質的把握，而非公式的堆砌。 核心內容深度解析 本書的結構被精心設計，分為三個主要部分：基礎構造、度量與麯率，以及拓撲關聯。 第一部分：流形基礎與張量分析 本部分是理解後續所有幾何概念的基石。我們首先從拓撲空間的概念齣發，逐步引入微分流形的正式定義——光滑結構、坐標圖冊以及轉移映射。這一過程強調瞭從局部到全局過渡的數學要求。 關鍵主題包括： 1. 切空間與嚮量場： 詳細闡述瞭如何在一個拓撲空間上定義“速度”和“方嚮”的概念，即切空間的構造。我們深入分析瞭如何利用導數和李導數的概念來處理嚮量場在流形上的光滑演化。 2. 張量代數： 這是幾何語言的核心。本書區彆於一般的綫性代數教材，著重解釋瞭協變張量（如微分形式）和反變張量的物理和幾何意義。我們通過索引記號和指標變換的嚴格推導，展示瞭張量在不同坐標係下的不變性如何保障物理定律的普適性。 3. 微分形式與外微分： 我們引入瞭楔積（外積）和外微分算子 $d$，構建瞭德拉姆上同調的代數框架。這部分不僅是拓撲分析的工具，也為描述電磁場等物理現象提供瞭最簡潔的語言。斯托剋斯定理在這一框架下的推廣被視為幾何分析的裏程碑。 第二部分：度量、聯絡與黎曼幾何 在建立瞭流形和張量的語言之後，本部分將焦點轉嚮“度量”——即如何測量距離、角度和體積。這是將幾何概念具體化的關鍵一步。 關鍵主題包括： 1. 黎曼度量與度量張量： 詳細定義瞭黎曼度量 $g$ 及其在綫代數、測地綫方程中的作用。我們強調瞭度量如何誘導齣規範（正交）結構，使得切空間成為內積空間。 2. 仿射聯絡與平行移動： 探討瞭在彎麯空間中如何定義“直綫”的概念——即測地綫。我們嚴格區分瞭坐標導數和協變導數（聯絡），解釋瞭為什麼簡單的導數不足以描述嚮量場在流形上的變化。剋裏斯托費爾符號的引入被放置在聯絡結構的自然結果而非人工定義的背景下。 3. 麯率的幾何詮釋： 本部分的高潮在於麯率的定義。我們通過黎曼麯率張量 $R$ 的定義，展示瞭麯率如何量化“平行移動的不閉閤性”。讀者將看到，麯率不再是抽象的符號，而是衡量空間“非歐幾裏得”程度的內在量度。我們深入分析瞭截麵麯率、裏奇麯率和標量麯率在不同維度下的物理意義，特彆是與愛因斯坦場方程的聯係。 4. 測地綫流與動力學： 結閤微分方程理論，分析瞭測地綫作為流形上的自然動力學路徑的性質，包括焦點、共軛點以及測地綫完備性問題。 第三部分：拓撲的幾何視角與特徵類 本部分將幾何結構與整體拓撲性質緊密結閤，探討瞭流形的“洞”和“連通性”如何通過微分工具來捕捉。 關鍵主題包括： 1. 流形上的積分與嚮量場的拓撲： 利用格林、高斯、斯托剋斯定理的推廣形式，闡述瞭保守場和無鏇場的幾何意義。Poincaré引理和引力（Gauß-Bonnet）定理的經典案例被用來展示局部幾何如何影響全局拓撲。 2. 縴維叢與聯絡： 引入縴維叢的概念，例如切叢和主叢，來處理更復雜的幾何對象。我們探討瞭主聯絡如何成為定義麯率和特徵類的通用框架，這對於理解規範理論至關重要。 3. 拓撲不變量的微分構造： 詳細介紹如何利用德拉姆上同調的代數結構來構造陳類（Chern classes）和龐加萊對偶。這些拓撲不變量不僅是流形分類的有力工具，也是描述量子場論中拓撲荷的關鍵所在。 本書的特色與優勢 結構清晰的遞進邏輯： 從最基本的拓撲概念到復雜的微分幾何結構，每一步都建立在堅實的前置基礎上，避免瞭概念的跳躍。 強調幾何直覺： 盡管數學推導嚴謹，但每一步關鍵定義和定理之後都配有對幾何意義的深刻剖析，幫助讀者建立“圖像思維”。 廣泛的數學與物理背景銜接： 本書的例子和應用討論涵蓋瞭經典力學中的哈密頓係統、廣義相對論中的時空結構，以及對規範場論基本結構的數學建模需求。 豐富的習題設計： 習題分為計算性練習、概念驗證和探索性研究三類，旨在鞏固知識、挑戰思維並引導讀者進入研究前沿。 適用讀者： 本書是數學、理論物理、應用數學專業學生進行深入學習的理想參考書。它為希望在廣義相對論、拓撲學、數學物理或現代幾何分析領域進行深入研究的讀者提供瞭必要的、非淺嘗輒止的理論儲備。 ---

評分☆☆☆☆☆

我一直對物理學中描述時空彎麯的廣義相對論感到好奇，而微分幾何正是理解這一理論的基石。當我在書店看到《微分幾何講義(第2版)》時，立刻被吸引住瞭。雖然我對它具體的數學內容還不甚瞭解，但光是“微分幾何”這幾個字，就聯想到愛因斯坦那些改變瞭我們對宇宙認知的偉大理論。我希望這本書能夠清晰地闡述微分幾何的基本概念，比如流形、張量、麯率等等，並且能夠提供一些直觀的幾何解釋，幫助我理解這些抽象的數學語言。能夠將理論與實際應用聯係起來，比如如何用微分幾何來描述引力場，或者在計算機圖形學中如何錶現復雜的麯麵，這對我來說將是非常有價值的。我期待這本書能讓我擺脫對相對論的“霧裏看花”狀態，真正理解其中蘊含的數學之美和物理意義，為我深入學習物理學打下堅實的基礎。

評分☆☆☆☆☆

我是一名正在攻讀數學專業的研究生，對於課程的參考書選擇總是非常謹慎。《微分幾何講義(第2版)》這本書，名字聽起來就非常紮實，而且“講義”這個詞語暗示著它更側重於教學和方法的傳授，而不是純粹的理論堆砌。在研究生階段，我們不僅需要掌握理論知識，更需要理解如何運用這些知識解決問題，如何進行嚴謹的數學推導。我希望這本書能夠提供豐富的例題和習題，並且習題的難度能夠循序漸進，從基礎的概念驗證到復雜的證明題，能夠有效地鍛煉我的解題能力。同時，我希望能看到一些關於最新研究方嚮的介紹，或者參考文獻，這有助於我瞭解當前微分幾何領域的前沿動態，為我的課題研究提供一些思路和方嚮。一本好的研究生教材，應該能夠引導學生獨立思考，培養解決問題的能力，並且激發對學術研究的熱情。

評分☆☆☆☆☆

我之前學習過一些基礎的微積分和綫性代數，對於更高級的數學概念一直心存嚮往。《微分幾何講義(第2版)》這本書，聽起來就非常專業，名字“微分幾何”本身就帶著一種探究空間本質的神秘感。我希望能通過這本書，逐步理解微分幾何的基本思想和核心工具。我期待它能清晰地解釋諸如“流形”、“切空間”、“聯絡”等概念，並且能夠通過詳細的推導過程，讓我明白這些概念是如何建立起來的。即使有些地方一開始難以理解，我也希望能夠跟著書中的思路，一步一步地去消化。這本書的“第2版”也讓我對其內容的嚴謹性和準確性有瞭信心。我希望它能成為我學習微分幾何的一塊堅實的墊腳石，為我日後深入學習更復雜的數學分支打下牢固的基礎，讓我能夠更有信心地探索數學世界的奧秘。

評分☆☆☆☆☆

最近迷上瞭數學這塊兒，尤其是那些聽起來就很高深莫測的領域。偶然間看到瞭這本《微分幾何講義(第2版)》，封麵設計挺簡潔的，但名字就透著一股子學術範兒。我之前對微分幾何完全是門外漢，但總覺得它在描述空間和形狀變化方麵有獨特的魅力。這本講義的標題本身就吸引瞭我，讓人忍不住想一探究竟。想象一下，能夠用嚴謹的數學工具來刻畫麯麵的彎麯程度，理解麯綫是如何在三維空間中延伸的，甚至去探索那些我們肉眼無法直接感受到的高維空間，這本身就是一件多麼令人興奮的事情。這本書的“第2版”也暗示著它經過瞭時間的檢驗和內容的優化，或許能為初學者提供一個更易於理解的入門途徑。我一直相信，好的教材就像一位循循善誘的老師，能夠將復雜的概念層層剝開，直至化繁為簡。我很期待它能帶領我走進微分幾何的世界，開啓一段全新的數學探索之旅。

評分☆☆☆☆☆

我是一名對數學充滿熱情的業餘愛好者，喜歡閱讀一些經典數學書籍來充實自己的知識。雖然我的數學基礎可能不如科班齣身的學生那樣紮實，但我對抽象概念的理解能力還是有的。《微分幾何講義(第2版)》這個書名，聽起來就有一種權威感，而且“第2版”也說明瞭它的生命力和受到認可的程度。我希望這本書能夠以一種比較友好的方式介紹微分幾何，即使對於非專業人士，也能找到閱讀的樂趣。我期待書中能夠有一些生動形象的比喻和類比，幫助我理解那些抽象的幾何概念，例如麯率是如何影響空間形狀的，或者黎曼幾何如何描述非歐幾何空間。同時，如果書中能提供一些關於微分幾何在其他領域應用的案例，比如天文學、宇宙學甚至一些藝術設計中的應用，那將大大提升我的閱讀興趣，讓我看到數學的廣度和深度。