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樊启斌 著

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• 小波分析
• 数学教材
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• 信号处理
• 数值分析
• 数学物理
• 傅里叶分析
• 应用数学
• 数学系列教材

出版社： 武汉大学出版社

ISBN：9787307065840

版次：1

商品编码：10303219

包装：平装

开本：16开

出版时间：2008-10-01

页数：382

正文语种：中文

内容简介

小波分析的基础理论及其典型应用，全书共九章，大体可分为四个部分：（1）预备知识。第1章是全书所需要的预备知识，主要包括赋范线性空间、线性算子、Hilbert空间等。（2）基本内容。这部分包括第2、3、4章与第6章的第1、2节。（3）提高部分。这部分包括第5章、第6章的第3～5节、第7章。（4）典型应用。第8章介绍了小波分析韵几种主要应用。《小波分析》的主要特点可概括为“一个强调、二个适度、三种方法”。

作者简介

樊启斌，博士，教授，博士生导师，武汉大学数学与统计学院副院长，湖北省数学公共课教学研究会副主委，湖北省跨世纪学科带头人，中国大学生数学竞赛湖北赛区委员会主任，主要从事数学教学工作与应用数学、图像处理的研究。近几年来，主持或合作承担国家“863”计划项目、国家自然科学基金、国家“九五”重点科技攻关计划、国家教育部高等学校骨干教师资助计划等科研项目8项，作为主要成员获湖北省优秀教学成果二等奖与国家测绘科技进步二等奖各1项，多次获学校教学优秀一、二等奖，发表学术论文40余篇，出版著作或教材6部，主审高等教育出版社统编教材2部。2007年被海选为武汉大学“我最喜爱的十佳优秀教师”（楚天都市报、新浪网等媒体予以报道）

目录

第一章 预备知识
1.1 赋范线性空间
1.1.1 赋范线性空间与Banaeh空间
1.1.2 线性算子与线性泛函
1.2 Hilbert空间
1.2.1 内积空间与Hilbert空间
1.2.2 正交系与标准正交基
1.2.3 正交分解与正交投影算子
1.3 Fourier分析
1.3.1 Fourier变换及其性质
1.3.2 Fourier级数
1.3.3 Gibbs现象
习题1

第二章 小波分析基础
2.1 小波的概念
2.2 连续小波变换
2.3 窗口与Heisenberg不确定性原理
2.4 联合时频分析
2.4.1 Fourier变换的局限性
2.4.2 Gabor变换及其性质
2.4.3 小波分析的迅速发展
2.5 正交小波基
2.5.1 离散小波变换
2.5.2 标准正交系的频域特征
2.5.3 Haar正交小波基
2.6 小波的正则性
2.6.1 Holder正则性
2.6.2 小波变换与正则性分析
习题2

第三章 多分辨率分析
3.1 Shannon定理及其应用
3.2 多分辨率分析
3.2.1 多分辨率分析的定义
3.2.2 双尺度方程与小波滤波器
3.2.3 小波子空间与L2（R）的正交分解
3.3 正交小波的构造
3.3.1 从尺度函数到多分辨率分析
3.3.2 几个典型的正交小波
3.4 尺度函数的构造
3.5 正交样条小波
3.5.1 样条函数及其性质
3.5.2 样条多分辨率分析
3.5.3 正交样条小波的构造
习题3

第四章 Daubechies正交小波
4.1 有限双尺度方程的可解性
4.2 Daul3echies小波的构造
4.2.1 多项式m0（2）的构造
4.2.2 计算hn的方法之一
4.2.3 计算hn的方法之二
4.3 二进点上的尺度函数
4.4 消失矩和光滑性
4.4.1 消失矩的概念
4.4.2 Daubechies小波的消失矩
4.5 Coiflet正交小波
习题4

第五章 非正交小波
5.1 二进小波及其构造
5.1.1 半离散小波
5.1.2 二进小波
5.1.3 二进小波的构造
5.2 双正交小波
5.2.1 反演公式与对偶
5.2.2 线性相位与对称性
5.2.3 紧支对称双正交小波
5.3 半正交小波
5.3.1 Riesz小波的分类
5.3.2 半正交小波的性质
5.4 小波框架
5.4.1 Hilbert空间中的框架
5.4.2 框架算子与对偶框架
5.4.3 小波框架
5.4.4 Marr小波框架
习题5

第六章 小波逼近与算法
6.1 信号的逼近、分解与重构
6.1.1 信号的多尺度逼近
6.1.2 Haar小波分解算法
6.1.3 Haar小波重构算法
6.1.4 小波信号处理的主要步骤
6.2 Mallat算法
6.2.1 分解算法
6.2.2 重构算法
6.2.3 边界延拓问题
6.3 双正交小波与提升格式
6.3.1 双正交小波的Mallat算法
6.3.2 提升格式的频域表示
6.3.3 双正交小波的提升构造
6.3.4 提升格式的Mallat算法
6.4 提升格式与整数小波变换
6.4.1 提升格式的多相位结构
6.4.2 Laurent多项式的Euclid算法
6.4.3 多相位矩阵的因子分解
6.4.4 提升格式的算法描述
6.4.5 整数小波变换
6.5 正交小波包
6.5.1 为什么要引进正交小波包
6.5.2 正交小波包的定义与性质
6.5.3 小波子空间的精细分解
6.5.4 最优小波基的搜索算法
习题6

第七章 正交多小波
7.1 多小波的理论基础
7.1.1 多重多分辨率分析
7.1.2 矩阵加细方程解的存在唯一性
7.1.3 矩阵加细方程解的稳定性
7.2 多小波基的优良性质
7.2.1 多小波的正交性
7.2.2 多小波的消失矩特性
7.2.3 多小波的正则性
7.2.4 多小波的对称性
7.2.5 多小波的短支集特性
7.3 几个常见的正交多小波
7.4 正交多小波的Mallat算法
7.4.1 多小波分解与重构算法
7.4.2 预处理和后处理
7.4.3 平衡多小波
7.5 区间上的正交多小波
习题7

第八章 小波分析的应用
8.1 连续小波变换的应用举例
8.2 信号的奇异性检测
8.2.1 多尺度微分算子
8.2.2 小波变换的模极大值
8.2.3 Lipschits指数
8.2.4 平滑因子
8.3 信号的小波阈值去噪
8.3.1 估计小波系数的软、硬阈值方法
8.3.2 小波系数估计的几种改进模型
8.3.3 试验结果和模型评价
8.4 Besov空间小波图像去噪
8.4.1 Besov空间的概念
8.4.2 Besov空间图像去噪模型
8.5 小波图像压缩
8.5.1 图像编码概述
8.5.2 图像数据的小波变换
8.5.3 嵌入式小波零树压缩
8.5.4 小波系数零树编码
8.5.5 逐次逼近量化
8.5.6 一个数值算例
习题8

第九章 小波与偏微分方程数值解
9.1 概述
9.1.1 偏微分方程数值解法
9.1.2 几个典型的积分算子
9.2 BCR快速算法
9.2.1 算子的非标准格式
9.2.2 算子的标准格式
9.2.3 算子的小波稀疏逼近
9.3 利用小波变换求解偏微分方程
9.3.1 问题概述
9.3.2 两点边值问题及其差分格式
9.3.3 周期化和预处理
9.3.4 计算周期算子的逆
9.3.5 问题的进一步扩展
9.4 约束预处理共轭梯度算法
9.4.1 问题的描述
9.4.2 精度子空间
9.4.3 自适应算法
9.4.4 算子的预处理
习题9
参考文献
名词索引

前言/序言

高等数学系列教材：小波分析 内容简介 本书是“高等数学系列教材”中的一册，旨在系统、深入地介绍小波分析这一重要的数学理论及其在各个领域的应用。小波分析作为一种强大的信号处理和函数逼近工具，自上世纪八十年代以来，已在数学、物理、工程、医学、金融等众多学科领域展现出巨大的价值和广阔的应用前景。本书力求在理论严谨性的基础上，兼顾内容的直观性和方法的实用性，为读者构建扎实的小波分析知识体系。 第一章 绪论 本章首先回顾傅里叶分析的历史发展及其在信号处理中的核心地位，并引出其局限性，从而自然地引入小波分析的必要性。通过对比傅里叶分析与小波分析在时频分析上的根本差异，揭示小波分析在处理非平稳信号和局部特征方面的独特优势。接着，简要介绍小波分析的产生背景、发展历程和主要分支，使读者对该学科有一个宏观的认识。最后，概述本书的章节安排和学习目标，为后续内容的学习打下基础。 第二章 函数空间与积分变换 为了后续理论的展开，本章将对学习小波分析所必需的数学工具进行梳理和回顾。首先，回顾傅里叶级数和傅里叶变换的定义、性质及其在信号分析中的作用，重点关注其在频率域分析的优势。然后，介绍 $L^p$ 空间、Sobolev 空间等函数空间的定义和基本性质，这些空间为小波函数的定义和性质分析提供了理论框架。进一步，深入讲解 $L^2$ 空间上的内积、范数以及正交性等概念，这些都是理解小波分解和重构的关键。最后，介绍一些常用的积分变换，如拉普拉斯变换，并初步探讨其与傅里叶变换的联系。 第三章 小波基的构造与性质 本章是小波分析的核心理论部分。首先，给出小波函数的严格定义，包括尺度变换和时间平移的含义。然后，介绍几种典型的小波函数，如Haar小波、Mexican Hat小波、Morlet小波等，并分析它们的形状特征和性质。重点阐述尺度函数（低通滤波）与小波函数（带通滤波）的互补关系，以及它们在信号分解中的作用。在此基础上，详细介绍多分辨率分析（MRA）的数学框架，包括近似空间和细节空间的概念，尺度方程（二进扩张公式）和消失矩的意义。通过MRA，我们将看到如何通过一组尺度函数和小波函数来逼近任意函数。最后，讨论小波函数和小波系数的性质，以及它们与原信号的关系。 第四章 二进小波变换 本章将基于多分辨率分析的理论，系统地介绍二进小波变换（DWT）的计算算法。首先，推导离散小波变换的Mallat算法，这是一种高效的计算小波系数的方法，其核心在于高通滤波器和低通滤波器的作用。详细解释滤波器组（filter bank）的概念，以及低通滤波器和高通滤波器的设计原则。然后，深入讨论Mallat算法的分解过程，即逐层分解信号，获得不同尺度上的近似分量和细节分量。在此基础上，介绍小波重构的逆Mallat算法，展示如何从分解得到的小波系数中恢复原始信号。最后，分析二进小波变换的计算复杂度，并介绍其在信号压缩和去噪等方面的初步应用。 第五章 连续小波变换 本章介绍连续小波变换（CWT），与二进小波变换不同，连续小波变换提供了信号在时频域上的连续表示，能够更精细地刻画信号的局部特征。首先，给出连续小波变换的定义，并解释尺度参数和时间平移参数的物理意义。然后，推导连续小波变换的性质，如线性性、尺度变换和时间平移下的行为等。重点讨论连续小波变换的逆变换，展示如何从连续小波系数恢复原始信号。通过对比连续小波变换与短时傅里叶变换，强调CWT在时频分辨率上的优势。最后，介绍CWT在信号时频分析、模式识别等领域的应用示例。 第六章 小波变换的应用 本章将展示小波分析在各个领域的实际应用，使读者更深刻地理解其理论的价值。 信号压缩： 介绍基于小波变换的信号压缩原理，如去除小波系数中的低值项，并解释其压缩效率高于传统方法的原因。 信号去噪： 讲解小波阈值去噪算法，通过对小波系数进行阈值处理来抑制噪声，同时保留信号的有效信息。 图像处理： 介绍二维小波变换及其在图像压缩（如JPEG2000标准）、图像去噪、边缘检测等方面的应用。 其他应用： 简要介绍小波分析在金融时间序列分析、生物医学信号处理、数值模拟等领域的应用案例，拓展读者的视野。 第七章 广义小波与小波包 为了进一步提升小波分析的灵活性和适应性，本章将介绍更广义的小波理论。首先，讲解非二进小波变换，包括任意尺度的伸缩和平移，以及其在特定应用中的优势。接着，详细介绍小波包（wavelet packet）的概念，它提供了对信号更细致的频率分解。阐述小波包分解树的构建过程，以及如何选择最优的分解层级。最后，讨论小波包在信号分类、特征提取等方面的应用。 第八章 小波理论的发展与前沿 本章将对小波理论的发展进行展望，介绍一些当前的研究热点和前沿领域。可能包括： 多尺度分析的发展： 如多尺度几何分析（MGA）等。 特定领域的小波应用： 如小波在深度学习中的应用。 新型小波的构造： 如非整数阶小波、奇异小波等。 小波与其他数学工具的结合： 如小波与偏微分方程、数值分析等。 通过对这些前沿领域的介绍，鼓励读者在掌握基础理论后，能够进一步探索小波分析的广阔天地。 本书力求语言清晰，逻辑严谨，配以丰富的例题和习题，帮助读者掌握小波分析的核心概念和方法，为从事相关领域的研究和应用打下坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

这本书的排版和设计也是我非常喜欢的一点。纸张质量很好，文字清晰，而且大量的图表和公式都排版得非常规整，不会出现模糊不清的情况。我最喜欢的是书中的每一个章节，都会有“本章小结”和“习题”部分。本章小结能够帮助我快速回顾本章的重点内容，而习题则是我检验自己掌握程度的绝佳方式。习题的难度也很有梯度，从简单的概念题到复杂的计算题，覆盖了本章的各个知识点。我每次做完习题，都会感觉自己对本章内容的理解又上了一个台阶。而且，书中还提供了一些“思考题”，这些题目往往需要读者跳出教材的框架，去进行更深入的思考和探索，这对于培养我的独立研究能力非常有帮助。我记得其中有一道思考题，是关于如何设计一个适用于特定类型信号的小波函数，这个问题让我受益匪浅，激发了我对小波函数设计的兴趣。

评分☆☆☆☆☆

我必须承认，我最初选择这本书，是因为它的“高等学校数学系列教材”这个定位，我以为它会是一本枯燥乏味的教科书。但事实证明，我的顾虑完全是多余的。这本书的内容非常丰富，涵盖了小波分析的方方面面，从理论基础到实际应用，应有尽有。我特别喜欢书中关于“小波变换在金融时间序列分析中的应用”这一章，它详细地阐述了如何利用小波变换来捕捉金融数据中的多尺度特征，例如短期波动和长期趋势，并且讨论了如何利用小波分析来预测金融市场的走向。此外，书中还涉及了小波在医学图像处理、地球物理勘探等多个领域的应用，这些内容让我大开眼界，也让我认识到小波分析的强大生命力。我常常会因为书中某个应用的例子而产生浓厚的兴趣，然后去进一步查阅相关的文献，这本书就像是一个引子，引领我进入了小波分析的广阔世界。

评分☆☆☆☆☆

这本书的语言风格非常独特，既有学术论文的严谨性，又不失科普读物的趣味性。作者并没有使用过于晦涩难懂的专业术语，而是尽量用通俗易懂的语言来解释复杂的概念。我尤其喜欢书中在介绍一些历史背景和发展脉络时，会穿插一些有趣的故事和人物介绍，这让我感觉小波分析的发展过程就像是一部精彩的科学史诗。而且，作者在讲解过程中，并没有回避一些数学上的难点，但它会用非常巧妙的方式来处理，比如通过引入一些辅助性的引理或者定理，来层层递进地引导读者理解。让我印象深刻的是，在讲解“仿射小波变换”（Affine Wavelet Transform）时，作者详细阐述了它与连续小波变换的区别和联系，并且解释了仿射变换在信号分析中的优势。这种细致入微的讲解，让我对小波理论的理解更加全面和深入。

评分☆☆☆☆☆

我一直觉得，学习数学最重要的一点就是能够理解公式背后的直观意义，而这本书在这方面做得非常出色。在讲解小波变换的数学公式时，作者总是会穿插大量的几何解释和类比，让我能够很容易地理解这些公式所代表的含义。比如，在解释“尺度因子”和“平移因子”时，作者就形象地将它们比作放大镜的缩放倍数和移动位置，以及小波函数如何像一个“滤波器”一样，在不同的尺度和位置上“扫描”信号。这种直观的讲解方式，大大降低了我学习的难度，并且让我对小波变换的理解更加深刻。我还喜欢书中在介绍“小波分解和重构”时，用图形的方式展示了信号是如何被分解成不同尺度的细节和逼近信息，以及这些信息又是如何被组合起来恢复原始信号的。这种可视化讲解，比单纯的公式推导更能帮助我理解小波变换的本质。

评分☆☆☆☆☆

这本书的数学严谨性是我非常看重的，而《高等学校数学系列教材：小波分析》在这方面做得非常出色。书中对小波变换的定义和性质的推导，几乎都是一步一步完成的，没有跳跃性的步骤，让我可以清晰地跟随作者的思路。我尤其喜欢书中在介绍“小波框架”（Wavelet Frame）时，详细阐述了框架理论的必要性，以及它如何克服了小波基在某些情况下的不完备性。作者用了大量篇幅来解释框架的定义、条件，以及不同类型的框架（如Gabor框架、Shearlet框架）在信号分析和图像处理中的作用。这部分内容对于我理解更高级的小波理论和应用非常有帮助。而且，书中对于小波函数的构造，比如通过迭代函数系统（IFS）来生成分形结构，也是我之前从未接触过的，但书中给出的推导和解释非常直观，让我得以窥探到小波分析与分形几何之间的深层联系。我感觉这本书不仅仅是在讲解小波分析，更是在引导读者去理解整个数学分析的脉络，让我在掌握小波的同时，也巩固了集合论、拓扑学、泛函分析等基础知识。

评分☆☆☆☆☆

这本书的编排逻辑，我只能用“匠心独运”来形容。从一开始的信号分析基础，到傅里叶分析的局限性，再到小波概念的引入，最后深入到各种小波类型的性质和应用，整个过程过渡得非常自然，就像在讲述一个精彩的故事。我尤其喜欢作者在介绍“连续小波变换”时，花了很大的篇幅来阐述其几何意义，比如它如何将一个信号映射到一个二维的时间-尺度空间，并且详细解释了这个空间的各个维度代表什么，以及为什么这种表示方式比傅里叶变换更能揭示信号的局部特性。书中还有很多图示，生动地展示了不同小波函数（如Haar、Mexican Hat、Morlet）在时域和频域的形状，以及它们如何“捕捉”不同频率和时间段的信号特征。更让我惊喜的是，书中在介绍“离散小波变换”（DWT）时，并没有直接跳到矩阵运算，而是从多分辨率分析的角度，通过滤波器组（filter banks）的概念来解释DWT的实现原理，这种方式大大降低了理解的门槛。我感觉这本书真的把“化繁为简”做到了极致，让原本抽象的数学概念变得触手可及，让我不仅掌握了理论，更能感受到理论背后的美感。

评分☆☆☆☆☆

我是一名研究生，在我的研究领域，小波分析是一个绕不开的工具，所以我一直在寻找一本能够系统性地梳理小波理论，并且能够指导我进行实际应用的教材。而这本《高等学校数学系列教材：小波分析》恰好满足了我的需求。它最让我赞赏的一点是，书中不仅提供了丰富的理论知识，还针对每一种理论概念，都尽可能地给出相应的应用场景和数学解释。比如，在讲解二进小波变换（Biorthogonal Wavelet Transform）时，书中不仅给出了其数学定义和性质，还详细讨论了它在图像压缩中的优势，以及为什么它比正交小波在某些应用中更具灵活性。此外，书中还对小波在信号去噪、特征提取、以及模式识别等方面的应用进行了概览，虽然不是每一项应用都展开到极致，但足以让我对小波分析的广泛应用有一个清晰的认识，并且能够为我未来的研究方向提供一些启发。我经常会翻阅书中的某个章节，回顾某个特定的概念，然后结合书中所提供的应用实例，去思考如何将这些理论应用到我的研究中。总的来说，这本书既有深度，又有广度，非常适合作为一本进阶的参考书。

评分☆☆☆☆☆

我必须要说，这本书在处理小波分析的数学理论部分，简直做到了极致的严谨和清晰。虽然书名写着“高等学校数学系列教材”，但我个人感觉它的深度和广度，对于想要深入研究小波理论的读者来说，绝对是物超所值的。我特别欣赏书中对于小波母函数和尺度函数性质的论证，作者不仅给出了完整的定理和证明，还穿插了大量的辅助性质和引理，确保读者在理解主定理之前，已经对所有的前提条件了然于胸。我记得其中有一章详细讲解了多分辨率分析（MRA），作者用了整整几页的篇幅来阐述MRA的五个基本条件，并且每一个条件都配有详细的数学推导，证明了这些条件是如何保证了函数的分解和重构的。而且，书中在介绍小波压缩和去噪的应用时，虽然没有深入到具体的算法实现细节，但它会清晰地说明小波变换在这些应用中的理论基础，例如为什么小波变换能有效地捕捉信号的局部特征，以及如何利用小波系数的稀疏性来实现压缩。这种理论与实际应用的巧妙结合，让我不仅仅是学习了数学公式，更是理解了数学在解决实际问题中的力量。我强烈推荐给所有对信号处理、图像分析、或者任何涉及复杂数据分析的领域感兴趣的同学。

评分☆☆☆☆☆

我之前尝试过几本关于小波分析的书，但总觉得要么太偏理论，要么太偏应用，很难找到一本能够很好地平衡两者之间关系的。这本书真的给了我很大的惊喜。它在讲解数学概念的时候，总是会不自觉地将我们引向实际应用，比如在讲解小波包（Wavelet Packets）时，书中就非常直观地展示了小波包分解如何能够对信号进行更精细的频率分析，并且举例说明了它在音频信号处理中的优势。而且，书中还专门有一章讨论了小波变换在图像压缩和去噪方面的具体实现，虽然不是代码级别的讲解，但它详细阐述了算法的步骤和背后的原理，让我能够根据书中的思路，自己动手去实现一些简单的算法。我特别欣赏书中在解释“小波阈值去噪”时，不仅给出了数学模型，还讨论了不同阈值选择方法的优缺点，以及它们对去噪效果的影响。这种深入浅出的讲解方式，让我感觉小波分析不再是遥不可及的理论，而是切实可用的工具。

评分☆☆☆☆☆

哇，这本书真的是打开了我数学世界的新大门！虽然书名是《高等学校数学系列教材：小波分析》，听起来有点学术，但我拿到手后，就被它那种由浅入深、循序渐进的讲解方式深深吸引了。我之前对小波分析完全是零基础，甚至连傅里叶变换都觉得是个庞然大物，但这本书里的例子都非常贴切，从最基础的信号处理概念讲起，一步步引出小波的诞生背景和核心思想。我尤其喜欢它在讲解不同类型小波时，不仅给出了严格的数学定义，还配有大量的图形和直观的几何解释，让我能一下子就抓住小波函数“局部化”的精髓。它没有直接抛出那些高深莫测的公式，而是先让你理解为什么需要小波，小波能解决什么问题，然后再慢慢引导你进入数学的殿堂。书中有很多章节都在讨论小波变换的性质，比如尺度不变性、移位不变性等等，作者都用非常清晰的语言和详实的推导过程来阐述，让我感觉自己并不是在被动地接受知识，而是在主动地探索和理解。而且，书中提供的练习题也很有针对性，从概念理解到数值计算，各个方面都照顾到了，做完之后总能感觉自己对某个知识点有了更深刻的认识，成就感爆棚！这本书简直就像一位循循善诱的老师，让我这个数学小白也能乐在其中，发现小波分析的无穷魅力。

评分☆☆☆☆☆

经典教材！！！！！！！！

评分☆☆☆☆☆

很详细的一本小波分析教材，非常不错。

评分☆☆☆☆☆

为了真正了解人类目前所处的状态和它的方方面面，我们必须在科学发展的几个里程碑之间架起一座连接的桥梁。这些里程碑已经极其显著地影响了我们对待生命的态度。

评分☆☆☆☆☆

很详细的一本小波分析教材，非常不错。

评分☆☆☆☆☆

内容很不错，是武大的教授写的。

评分☆☆☆☆☆

挺合适的，买来让我基础知识得到了很好的巩固。

评分☆☆☆☆☆

16世纪发生的科学革命给我们的认知模式带来了巨大的变化。那时，科学研究者相信理论必须靠实验和观察来验证。他们也提醒我们避免采用那些神秘主义和宗教的方式来解释一切。科学思维的核心在于对现实的分析以及对一直困扰人类的老问题寻求科学的解释。而在此之前，所有这些话题都将一切归因于神圣的力量。

评分☆☆☆☆☆

书内容尚可，价格有点小贵

评分☆☆☆☆☆

经典教材！！！！！！！！