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內容簡介

《常微分方程簡明教程》是一本常微分方程本科生教材，傳統意義的微分方程是講解求解微分方程解析解的特殊技巧，《常微分方程簡明教程》的特彆之處在於首先將數學建模貫穿全書，然後以不同的方法進行解的錶達，在解的錶達中，不僅僅限於解析解，主要以定性為主，通過斜率場、解的圖像、相平麵上的嚮量場及軌綫等工具，到達對解的漸近行為的最好理解，最後以數值方法與計算機模擬為工具加深對解的行為的直覺理解。全書的圖形演示課件可登陸《常微分方程簡明教程》指明的課程網站下載。
全書分5章，主要包括一階微分方程、一階二維微分方程組、二階綫性常係數微分方程、一階二維非綫性方程組和一階n維綫性微分方程組。
《常微分方程簡明教程》適閤高等院校數學專業的本科生作為教材，也適閤其他相關的人員參考。

目錄

《大學數學科學叢書》序
前言
第1章 一階微分方程
1.1 一階微分方程模型
1.1.1 Malthus入口模型
1.1.2 Logistic入口模型
1.2 解析方法：變量分離
1.2.1 變量分離方程
1.2.2 可化為變量分離方程的方程：齊次方程
1.3 一階綫性微分方程
1.3.1 基本概念
1.3.2 綫性原理
1.3.3 一階綫性微分方程的求解
1.3.4 一階綫性微分方程求解的常數變易法
1.3.5 一階綫性微分方程求解的積分因子法
1.4 定性方法與數值方法
1.4.1 一階微分方程的幾何意義
1.4.2 斜率場的兩種特例
1.4.3 解析方法與定性方法相結閤的分析方法
1.4.4 應用舉例
1.4.5 數值方法：歐拉方法
1.5 解的存在性、唯一性及解對初值的連續相依性
1.5.1 解的存在性
1.5.2 解的唯一性
1.5.3 解對初值的連續相依性
1.6 自治方程的平衡點與相綫
1.6.1 自治方程的相綫
1.6.2 運用相綫畫解的圖像的簡圖
1.6.3 相綫與解的漸近行為
1.6.4 平衡點的分類
1.6.5 判斷平衡點類型的綫性化方法
1.6.6 具有Allee效應的Logistic模型
1.7 分歧
1.7.1 單參數微分方程的分歧
1.7.2 分歧圖解與分歧類型
1.7.3 應用舉例
1.8 種群生態學模型的進一步探討
附錄
習題1

第2章 一階二維微分方程組
2.1 一階二維微分方程組模型
2.1.1 兩生物種群生態模型
2.1.2 傳染病模型
2.1.3 質點-彈簧係統模型
2.2 定性方法：相平麵與軌綫
2.2.1 捕食-食餌模型的相圖分析
2.2.2 Logistic捕食-食餌模型的相圖分析
2.2.3 相平麵與軌綫
2.3 定性方法：嚮量場與解的幾何刻畫
2.3.1 嚮量場與方嚮場
2.3.2 解的幾何刻畫
2.3.3 相圖分析
2.3.4 解的存在唯一性定理
2.4 解析方法與數值方法
2.4.1 解析方法I：半耦閤方程組
2.4.2 解析方法Ⅱ：猜測-檢驗方法
2.4.3 方程組數值解的歐拉方法
2.5 一階二維綫性微分方程組的一般理論
2.5.1 一階二維綫性微分方程組模型
2.5.2 一階二維齊次綫性微分方程組的通解
2.5.3 一階二維齊次綫性微分方程組的平衡解與直綫解
2.6 一階二維齊次綫性微分方程組的通解、相圖與平衡點分類
2.6.1 具有不同實特徵值的綫性微分方程組
2.6.2 具有復特徵值的一階二維綫性微分方程組
2.6.3 具有重特徵值的一階二維微分方程組
2.6.4 跡-行列式平麵
習題2

第3章 二階綫性常係數微分方程
3.1 簡諧振動模型
3.1.1 質點彈簧係統模型
3.1.2 單擺振動模型
3.1.3 RCL電路數學模型
3.2 二階齊次綫性常係數微分方程
3.2.1 綫性原理
3.2.2 求通解的特徵根法
3.2.3 定性分析的跡-行列式方法
3.3 二階非齊次綫性微分方程
3.3.1 拓廣的綫性原理
3.3.2 比較係數法I
3.3.3 比較係數法Ⅱ
3.4 無阻尼強製振動的節拍與共振
習題3

第4章 一階二維非綫性方程組
4.1 一階二維非綫性方程組模型的進一步探索
4.1.1 捕食-食餌模型
4.1.2 化學反應模型
4.1.3 非量綱化
4.2 平衡解、綫性化定理，零水平綫
4.2.1 平衡解、綫性化定理
4.2.2 零水平綫
4.3 同宿、異宿軌綫，分離軌綫
4.3.1 同宿、異宿軌綫
4.3.2 分離軌綫
4.4 周期軌綫，Poincare-Bendixon定理
4.5 平衡解分歧，Hopf分歧
4.5.1 平衡解分歧
4.5.2 Hopf分歧
4.6 生態學模型分析
4.6.1 Lotka-Volterra競爭模型
4.6.2 Klausmeier生態模型
4.6.3 Rosenzwing-MacArthur捕食-食餌模型
附錄：Lorenz方程組
習題4

第5章 一階n維綫性微分方程組
5.1 一階n維綫性方程組的一般理論
5.1.1 一階n維齊次綫性微分方程組
5.1.2 一階n維非齊次綫性微分方程組
5.2 一階n維常係數綫性方程組
5.2.1 矩陣指數函數的定義及其性質
5.2.2 一階n維常係數綫性微分方程組的基解矩陣
5.3 高階綫性微分方程
5.3.1 Laplace變換的定義
5.3.2 Laplace變換性質
5.3.3 Laplace變換的應用
附錄
習題5
參考文獻
《大學數學科學叢書》已齣版書目

前言/序言

　　按照恩格斯的說法，數學是研究現實世界中數量關係和空間形式的科學。從恩格斯那時到現在，盡管數學的內涵已經大大拓展瞭，人們對現實世界中的數量關係和空間形式的認識和理解已今非昔比，數學科學已構成包括純粹數學及應用數學內含的眾多分支學科和許多新興交叉學科的龐大的科學體係，但恩格斯的這一說法仍然是對數學的一個中肯而又相對來說易於為公眾瞭解和接受的概括，科學地反映瞭數學這一學科的內涵。正由於忽略瞭物質的具體形態和屬性、純粹從數量關係和空間形式的角度來研究現實世界，數學錶現齣高度抽象性和應用廣泛性的特點，具有特殊的公共基礎地位，其重要性得到普遍的認同。
　　整個數學的發展史是和人類物質文明和精神文明的發展史交融在一起的。作為一種先進的文化，數學不僅在人類文明的進程中一直起著積極的推動作用，而且是人類文明的一個重要的支柱。數學教育對於啓迪心智、增進素質、提高全人類文明程度的必要性和重要性已得到空前普遍的重視。數學教育本質是一種素質教育；學習數學，不僅要學到許多重要的數學概念、方法和結論，更要著重領會數學的精神實質和思想方法。在大學學習高等數學的階段，更應該自覺地去意識並努力體現這一點。
　　作為麵嚮大學本科生和研究生以及有關教師的教材，教學參考書或課外讀物的係列，本叢書將努力貫徹加強基礎、麵嚮前沿、突齣思想、關注應用和方便閱讀的原則，力求為各專業的大學本科生或研究生（包括碩士生及博士生）走近數學科學、理解數學科學以及應用數學科學提供必要的指引和有力的幫助，並歡迎其中相當一些能被廣大學校選用為教材，相信並希望在各方麵的支持及幫助下，本叢書將會愈齣愈好。
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