信息與計算科學叢書：間斷有限元理論與方法（修訂版） pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

簡體網頁||繁體網頁

☆☆☆☆☆

張鐵 著

圖書標籤:

• 有限元
• 間斷有限元
• 計算數學
• 數值分析
• 科學計算
• 偏微分方程
• 數學模型
• 工程分析
• 計算科學
• 叢書

齣版社： 科學齣版社

ISBN：9787030435057

版次：1

商品編碼：11675100

包裝：平裝

叢書名： 信息與計算科學叢書

開本：16開

齣版時間：2015-03-01

用紙：膠版紙

頁數：252

正文語種：中文

內容簡介

　　有限元方法是現代科學與工程計算領域中最廣泛使用的數值方法之一, 間斷有限元方法則是傳統（連續）有限元方法的創新形式、改進和發展。《信息與計算科學叢書：間斷有限元理論與方法（修訂版）》係統地闡述間斷有限元基本理論、思想和方法。
　　《信息與計算科學叢書：間斷有限元理論與方法（修訂版）》主要針對橢圓方程、一階雙麯方程、一階正對稱雙麯方程組、對流擴散方程、Stokes 方程和橢圓變分不等式等偏微分方程定解問題, 介紹各種形式間斷有限元方法的構造、穩定性和誤差分析、超收斂性質、後處理技術、後驗誤差估計和自適應計算。

目錄

第1章 預備知識
1.1 Sobolev空間簡介
1.2 嵌入越
1.3 有限元空間及其性質
1.3.1 有限元空間
1.3.2 插值和投影逼近
1.3.3 逆性質和跡不等式
1.4 橢圓邊值問題的有限元方法
1.4.1 邊值問題的適定性
1.4.2 連續有限元逼近

第2章 橢圓問題懲罰形式的間斷有限元方法
2.1 曆史的迴顧
2.2 懲罰方法的一般理論
2.3 相容方法
2.4 不相容方法
2.5 離散方程組的條件數
2.6 後驗誤差分析
2.6.1 後驗誤差上界估計
2.6.2 後驗誤差下界估計
2.6.3 數值算法
2.7 插值函數的超逼近性質
2.7.1 一維插值函數的超逼近性質
2.7.2 高維插值函數的超逼近性質
2.8 後處理技術與超收斂性
2.8.1 超逼近估計
2.8.2 i2-投影的後處理技術
2.8.3 導數小片插值恢復技術
2.8.4 整體插值後處理技術

第3章 橢圓相關問題的間斷有限元方法
3.1 對流占優反應擴散方程
3.1.1 間斷有限元格式
3.1.2 穩定性與誤差分析
3.1.3 超收斂與後驗誤差估計
3.2 Stokes問題
3.2.1 綫性速度-常數壓力間斷元
3.2.2 誤差分析
3.2.3 高次間斷有限元
3.3 橢圓變分不等式問題
3.3.1 問題及其間斷有限元近似
3.3.2 最優誤差估計與迭代求解
3.4 第二類橢圓變分不等式
3.4.1 問題及其正則化
3.4.2 間斷有限元方法
3.4.3 先驗誤差估計
3.4.4 後驗誤差估計
3.4.5 數值計算例

第4章 數值通量形式的間斷有限元方法
4.1 介紹
4.2 數值通量方法的基本公式
4.3 基本公式的理論分析
4.4 不穩定格式
4.5 廣義局部間斷有限元方法
4.6 對流擴散問題
4.6.1 迎風型間斷有限元格式
4.6.2 誤差分析
4.6.3 對流擴散反應方程
4.7 橢圓相關問題

第5章 一階雙麯方程的間斷有限元方法
5.1 起源與曆史發展
5.2 問題及其間斷有限元格式
5.3 最優階誤差估計
5.4 三角元的超收斂估計
5.5 矩形元的超收斂估計
5.5.1 對流方嚮平行坐標軸情形
5.5.2 一般情形的矩形元
5.6 有關近似的超收斂估計
5.6.1 對流方嚮導數的後處理
5.6.2 負範數誤差估計與均值逼近
5.6.3 數值計算例
5.7 後驗誤差分析
5.7.1 後驗誤差估計：特殊網格情形
5.7.2 後驗誤差估計：一般網格情形
5.7.3 後驗誤差下界估計
5.7.4 數值計算例
5.8 非定常問題
5.8.1 半離散間斷有限元逼近
5.8.2 全離散間斷有限元逼近
5.8.3 後驗誤差分析

第6章 一階正對稱雙麯方程組的間斷有限元方法
6.1 -階正對稱_方程組
6.2 擬迎風間斷有限元方法
6.2.1 擬迎風格式及其穩定性
6.2.2 最優階誤差估計
6.2.3 負範數誤差估計
6.2.4 數值計算例
6.3 懲罰形式的間斷有限元方法
6.4 插值函數的超逼近性質
6.4.1 強正規三角剖分
6.4.2 幾乎一緻的矩形剖分
6.5 懲罰方法的超收斂估計
6.5.1 綫性三角元
6.5.2 雙綫性矩形元
6.6 非定常問題
6.6.1 半離散間斷有限元近似
6.6.2 全離散間斷有限元近似
6.7 顯式時空間斷有限元方法
6.7.1 時空間斷有限元格式及其穩定性
6.7.2 誤差分析
6.8 半顯式時空間斷有限元格式
6.8.1 半顯式格式
6.8.2 誤差分析
參考文獻
索引
《信息與計算科學叢書》已齣版書目

前言/序言

領域前沿探索：數值模擬的革新與挑戰 在現代科學與工程領域，精確高效的數值模擬已成為解決復雜問題的核心工具。從流體力學、固體力學到電磁場分析，對物理現象的深入理解往往依賴於對偏微分方程（PDEs）的數值求解。本書聚焦於一類在處理復雜幾何、不連續介質以及強非綫性問題時展現齣卓越性能的數值方法——離散微分算子方法及其在解決前沿工程挑戰中的應用。 本書的撰寫旨在填補當前數值方法教材在係統性介紹和深入分析非標準網格技術和高精度離散方法方麵的空白。我們摒棄瞭傳統有限差分法或標準有限元法在處理界麵和邊界時的固有局限性，轉而深入探討那些能夠實現局部高階精度和靈活網格適應性的新興理論框架。 第一部分：基礎理論的革新——從網格到算子 本書的基石在於對傳統網格化概念的解構與重塑。我們首先迴顧瞭經典偏微分方程的數學結構，並指齣在麵對幾何奇異性或材料不連續性時，標準網格的局限性。 章節 1：離散化的本質與挑戰 本章深入分析瞭將連續問題轉化為離散係統的數學本質。重點討論瞭一緻性（Consistency）、穩定性（Stability）和收斂性（Convergence）這三大基石的相互製約。我們特彆引入瞭信息損失量化的概念，用以評估不同離散方案在信息保留方麵的效率。 章節 2：局部約束與全局控製的平衡 傳統方法往往在局部高精度與全局解的平滑性之間難以取得平衡。本章詳細闡述瞭基於局部算子的離散框架。這包括對多點通量近似的精細討論，即如何通過增加相鄰點的信息權重來提高局部精度，同時確保在宏觀尺度上滿足守恒律。我們引入瞭局部投影算子的概念，它允許在不依賴於全局光滑網格的情況下，精確捕獲局部物理場的突變。 章節 3：新型基函數與權重函數的構建 在許多先進的數值方法中，基函數（或稱形函數）的選擇至關重要。本書超越瞭標準多項式插值，轉而探討非光滑或分段光滑的基函數，它們能夠更好地擬閤真實物理場的不連續性。我們詳細介紹瞭如何基於加權殘量法，為不同區域（如邊界層、激波區域）設計最優的局部權重函數，以最小化殘量誤差。 第二部分：高級離散算子方法詳解 本部分是本書的核心，專注於幾種具有顛覆性的數值求解技術。這些技術的核心思想在於，不強製要求計算網格與物理邊界完全吻閤，而是通過對數學算子的重新構造來適應復雜的物理環境。 章節 4：基於形函數插值的守恒律重構 針對流體力學中的歐拉方程和納維-斯托剋斯方程，本章詳細闡述瞭離散守恒通量（Discrete Conservative Fluxes）的構建。我們提齣瞭一種非結構化網格上的守恒投影方法，該方法確保瞭質量、動量和能量在每個單元界麵上的精確交換，即使在網格畸形或銳角存在的情況下。對界麵積分的精確處理是本章的重點，包括如何處理邊界上的源項和邊界條件。 章節 5：高階精度與譜方法的融閤 為瞭追求超高精度，本章探討瞭譜方法（Spectral Methods）的離散化思想在非均勻網格上的推廣。我們分析瞭譜元法（Spectral Element Methods）的核心思想，並著重於如何通過高斯-勒讓德求積點的選取，在具有復雜邊界的區域內實現近似最優的誤差衰減率。書中將詳細展示如何利用正交多項式的性質來簡化微分算子的計算，從而在保持高階精度的同時，提高計算效率。 章節 6：處理不連續性的先進技術 實際工程問題中經常齣現材料屬性的突然變化（如衝擊波、裂紋尖端）。本章專門針對這些不連續現象，介紹瞭一係列間斷性捕捉技術。我們詳細分析瞭奇點吸收技術，即如何通過在不連續區域局部加密信息采樣，並采用熵守恒格式來避免數值耗散或振蕩。這部分內容為處理材料斷裂、界麵接觸等問題提供瞭堅實的理論基礎。 第三部分：應用與展望 本書的第三部分將理論方法應用於具體的工程領域，並探討瞭該類方法的未來發展方嚮。 章節 7：復雜邊界上的電磁場與熱傳導模擬 我們將前麵介紹的離散算子方法應用於電磁波傳播問題和非均勻介質中的瞬態熱傳導問題。重點在於如何利用局部高精度方法來精確模擬高麯率邊界上的電磁場梯度，以及在多孔介質中準確捕捉熱擴散率的急劇變化。 章節 8：大規模並行計算的實現 現代數值模擬離不開高性能計算。本章討論瞭如何將基於局部算子的方法有效地映射到並行架構上。由於這些方法天然地傾嚮於局部計算，因此它們具有極佳的並行化潛力。我們將探討域分解技術和分布式內存計算在加速此類求解器中的實踐經驗。 結論與展望 本書總結瞭離散微分算子方法在剋服傳統數值方法局限性方麵的潛力，並展望瞭其在未來多物理場耦閤、自適應網格生成以及高保真度模擬中的廣闊應用前景。目標是為從事計算數學、工程力學、計算物理及相關領域的研究人員和高級工程師提供一套嚴謹且實用的理論工具箱。

評分☆☆☆☆☆

這本書的封麵設計得非常大氣，配色沉穩中帶著一絲科技感，封麵的設計語言似乎也在暗示著內容的深度與廣度。我之前接觸過一些數值計算方麵的書籍，但很多都停留在理論推導的層麵，對於實際應用場景的描述往往一帶而過。這本書的亮點在於，它似乎能將抽象的數學概念與具體的工程問題緊密地聯係起來。比如，在介紹一些高級的算子時，作者不僅僅是給齣瞭定義和性質，還穿插瞭如何利用這些工具來解決流體力學或電磁學中的非光滑問題。這種“理論先行，應用跟進”的結構，對於我這樣既想夯實理論基礎又渴望解決實際難題的研究生來說，簡直是福音。特彆是關於網格劃分和誤差估計的部分，文字描述得非常詳盡，圖示也恰到好處地幫助理解，讓人感覺作者是真正花心思去揣摩初學者的睏惑點，而不是僅僅將自己的知識點堆砌起來。這種體貼的敘述方式，極大地降低瞭理解復雜理論的門檻，讓人在閱讀時不會感到枯燥或迷茫，而是充滿探索的動力。

評分☆☆☆☆☆

坦白說，這本書的學術深度是毋庸置疑的，但最讓我感到驚喜的是它在章節末尾設置的“展望與挑戰”部分。這部分內容雖然不是嚴格意義上的核心理論，但它為讀者指明瞭未來的研究方嚮。它沒有停留在已有的成熟理論上，而是坦誠地指齣瞭當前間斷有限元方法在處理某些極端非綫性問題或高維問題時仍然存在的瓶頸，比如如何更有效地處理網格畸形帶來的誤差放大效應，以及如何將這些方法與機器學習算法進行更深層次的融閤。這種開放式的討論，極大地激發瞭我對該領域繼續深耕的興趣。它告訴我，學習知識的目的不僅是掌握現有工具，更是要認識到工具的局限性，並思考如何去超越它。這本書真正做到瞭“授人以漁”，培養讀者獨立思考和創新研究的能力。

評分☆☆☆☆☆

這本書的作者團隊顯然是該領域的資深專傢，他們的洞察力體現在對細節的把握上。我特彆注意到，在一些關鍵定理的證明環節，作者沒有采用那種隻給結果、省略中間步驟的“高手秘籍”式寫法。相反，每一步邏輯推導都交代得清清楚楚，甚至連一些看似微不足道的代數操作，作者也給齣瞭簡短的注釋，解釋為什麼要這樣做，這對於非數學專業背景的工程師和物理學傢來說，簡直是及時雨。此外，書中對一些經典算例的數值模擬結果展示得非常詳盡，不僅僅是給齣最終的解麯綫，還展示瞭不同時間步長或網格密度下的收斂趨勢圖，這對於理解數值方法的穩定性和精度具有極強的說服力。這些深入到實現層麵的細節，讓這本書不僅僅是一本理論參考書，更像是一本高效實戰指南。

評分☆☆☆☆☆

這本書的排版和印刷質量絕對是業界良心之作。拿到實體書的那一刻，我就被它清晰的字體和閤理的行距所吸引。很多專業書籍為瞭塞進更多內容，往往犧牲瞭閱讀體驗，但這本書顯然在這方麵做瞭精心的平衡。頁邊距留得恰到好處，無論是做筆記還是夾放參考資料，都有足夠的空間。更值得稱贊的是，公式的排版非常規範和美觀，復雜的張量符號和積分符號看起來清晰銳利，完全沒有普通教材中那種模糊不清的“糊狀”感。這種高質量的呈現，讓我在長時間的深度閱讀中，眼睛不容易感到疲勞，這對於需要逐字逐句啃下復雜數學推導的學習者來說，是至關重要的。它體現瞭一種對知識的尊重，讓學習過程本身也成瞭一種享受，而不是一種摺磨。

評分☆☆☆☆☆

從內容組織上看，這本書的邏輯遞進簡直是教科書級彆的典範。它並沒有急於拋齣最前沿、最復雜的理論，而是像剝洋蔥一樣，一層一層地深入。開篇對基礎有限元方法的迴顧和修正，為後續引入“間斷”這一核心概念做瞭完美的鋪墊，就像是在平坦的場地上先修築瞭堅實的地基。當談到間斷性帶來的挑戰，比如守恒律的近似、以及需要引入特定的數值通量時，作者的解釋非常到位，沒有使用太多晦澀的行話，而是用直觀的物理圖像去引導讀者理解數值離散的必要性。尤其是關於不同通量函數（如Lax-Friedrichs, Roe, HLLC等）的對比分析，它不僅展示瞭公式，還深入探討瞭它們在處理激波和接觸間斷時的不同錶現，這種對比分析的深度，遠超我之前讀過的任何一本同類書籍，讓人對不同方法的優劣有瞭深刻的認識。

評分☆☆☆☆☆

需要較好的數學功底，隻是想編程的，這本書不適閤。

評分☆☆☆☆☆

The subtitle, Nonclassical Fields, is perhaps not as accurate as it might be as a summary of content; or to put it another way, if my aim from the start had been to write a book on this topic, parts of that book would differ significantly from what follows here. Possibly the most important thing missing, and something that should be said, is that there are two quite distinct paths to a definition of nonclassicality in quantum optics. The first is grounded in the existence, or otherwise, of a nonsingular and positrve Glauber-Sudarshan P function. The physical grounding is in the treatment of optical measurements, specifically the photoelectric effect: for a given optical field, can the photoelectron counting statistics, including all correlations, be reproduced by a Poisson process of photoelectron generation driven by a classicallight intensity, allowed most generally to be stochastic? Viewed at a more informallevel, the question asks whether or not the infamous proposal of Bohr, Kramers, and Slater for the interaction of classical light and quantized atoms can be upheld in the presence of the observable photoelectron counting statistics.

評分☆☆☆☆☆

The subtitle, Nonclassical Fields, is perhaps not as accurate as it might be as a summary of content; or to put it another way, if my aim from the start had been to write a book on this topic, parts of that book would differ significantly from what follows here. Possibly the most important thing missing, and something that should be said, is that there are two quite distinct paths to a definition of nonclassicality in quantum optics. The first is grounded in the existence, or otherwise, of a nonsingular and positrve Glauber-Sudarshan P function. The physical grounding is in the treatment of optical measurements, specifically the photoelectric effect: for a given optical field, can the photoelectron counting statistics, including all correlations, be reproduced by a Poisson process of photoelectron generation driven by a classicallight intensity, allowed most generally to be stochastic? Viewed at a more informallevel, the question asks whether or not the infamous proposal of Bohr, Kramers, and Slater for the interaction of classical light and quantized atoms can be upheld in the presence of the observable photoelectron counting statistics.

評分☆☆☆☆☆

需要較好的數學功底，隻是想編程的，這本書不適閤。

評分☆☆☆☆☆

需要較好的數學功底，隻是想編程的，這本書不適閤。

評分☆☆☆☆☆

The subtitle, Nonclassical Fields, is perhaps not as accurate as it might be as a summary of content; or to put it another way, if my aim from the start had been to write a book on this topic, parts of that book would differ significantly from what follows here. Possibly the most important thing missing, and something that should be said, is that there are two quite distinct paths to a definition of nonclassicality in quantum optics. The first is grounded in the existence, or otherwise, of a nonsingular and positrve Glauber-Sudarshan P function. The physical grounding is in the treatment of optical measurements, specifically the photoelectric effect: for a given optical field, can the photoelectron counting statistics, including all correlations, be reproduced by a Poisson process of photoelectron generation driven by a classicallight intensity, allowed most generally to be stochastic? Viewed at a more informallevel, the question asks whether or not the infamous proposal of Bohr, Kramers, and Slater for the interaction of classical light and quantized atoms can be upheld in the presence of the observable photoelectron counting statistics.

評分☆☆☆☆☆

需要較好的數學功底，隻是想編程的，這本書不適閤。

評分☆☆☆☆☆

需要較好的數學功底，隻是想編程的，這本書不適閤。

評分☆☆☆☆☆

The subtitle, Nonclassical Fields, is perhaps not as accurate as it might be as a summary of content; or to put it another way, if my aim from the start had been to write a book on this topic, parts of that book would differ significantly from what follows here. Possibly the most important thing missing, and something that should be said, is that there are two quite distinct paths to a definition of nonclassicality in quantum optics. The first is grounded in the existence, or otherwise, of a nonsingular and positrve Glauber-Sudarshan P function. The physical grounding is in the treatment of optical measurements, specifically the photoelectric effect: for a given optical field, can the photoelectron counting statistics, including all correlations, be reproduced by a Poisson process of photoelectron generation driven by a classicallight intensity, allowed most generally to be stochastic? Viewed at a more informallevel, the question asks whether or not the infamous proposal of Bohr, Kramers, and Slater for the interaction of classical light and quantized atoms can be upheld in the presence of the observable photoelectron counting statistics.