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王玉文 等 著

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• 常微分方程
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• 数学
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• 工程数学
• 数学分析
• 解法

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030289629

版次：1

商品编码：10321331

包装：平装

丛书名： 大学数学科学丛书

开本：16开

出版时间：2010-09-01

页数：245

正文语种：中文

内容简介

《常微分方程简明教程》是一本常微分方程本科生教材，传统意义的微分方程是讲解求解微分方程解析解的特殊技巧，《常微分方程简明教程》的特别之处在于首先将数学建模贯穿全书，然后以不同的方法进行解的表达，在解的表达中，不仅仅限于解析解，主要以定性为主，通过斜率场、解的图像、相平面上的向量场及轨线等工具，到达对解的渐近行为的最好理解，最后以数值方法与计算机模拟为工具加深对解的行为的直觉理解。全书的图形演示课件可登陆《常微分方程简明教程》指明的课程网站下载。
全书分5章，主要包括一阶微分方程、一阶二维微分方程组、二阶线性常系数微分方程、一阶二维非线性方程组和一阶n维线性微分方程组。
《常微分方程简明教程》适合高等院校数学专业的本科生作为教材，也适合其他相关的人员参考。

目录

《大学数学科学丛书》序
前言
第1章 一阶微分方程
1.1 一阶微分方程模型
1.1.1 Malthus入口模型
1.1.2 Logistic入口模型
1.2 解析方法：变量分离
1.2.1 变量分离方程
1.2.2 可化为变量分离方程的方程：齐次方程
1.3 一阶线性微分方程
1.3.1 基本概念
1.3.2 线性原理
1.3.3 一阶线性微分方程的求解
1.3.4 一阶线性微分方程求解的常数变易法
1.3.5 一阶线性微分方程求解的积分因子法
1.4 定性方法与数值方法
1.4.1 一阶微分方程的几何意义
1.4.2 斜率场的两种特例
1.4.3 解析方法与定性方法相结合的分析方法
1.4.4 应用举例
1.4.5 数值方法：欧拉方法
1.5 解的存在性、唯一性及解对初值的连续相依性
1.5.1 解的存在性
1.5.2 解的唯一性
1.5.3 解对初值的连续相依性
1.6 自治方程的平衡点与相线
1.6.1 自治方程的相线
1.6.2 运用相线画解的图像的简图
1.6.3 相线与解的渐近行为
1.6.4 平衡点的分类
1.6.5 判断平衡点类型的线性化方法
1.6.6 具有Allee效应的Logistic模型
1.7 分歧
1.7.1 单参数微分方程的分歧
1.7.2 分歧图解与分歧类型
1.7.3 应用举例
1.8 种群生态学模型的进一步探讨
附录
习题1

第2章 一阶二维微分方程组
2.1 一阶二维微分方程组模型
2.1.1 两生物种群生态模型
2.1.2 传染病模型
2.1.3 质点-弹簧系统模型
2.2 定性方法：相平面与轨线
2.2.1 捕食-食饵模型的相图分析
2.2.2 Logistic捕食-食饵模型的相图分析
2.2.3 相平面与轨线
2.3 定性方法：向量场与解的几何刻画
2.3.1 向量场与方向场
2.3.2 解的几何刻画
2.3.3 相图分析
2.3.4 解的存在唯一性定理
2.4 解析方法与数值方法
2.4.1 解析方法I：半耦合方程组
2.4.2 解析方法Ⅱ：猜测-检验方法
2.4.3 方程组数值解的欧拉方法
2.5 一阶二维线性微分方程组的一般理论
2.5.1 一阶二维线性微分方程组模型
2.5.2 一阶二维齐次线性微分方程组的通解
2.5.3 一阶二维齐次线性微分方程组的平衡解与直线解
2.6 一阶二维齐次线性微分方程组的通解、相图与平衡点分类
2.6.1 具有不同实特征值的线性微分方程组
2.6.2 具有复特征值的一阶二维线性微分方程组
2.6.3 具有重特征值的一阶二维微分方程组
2.6.4 迹-行列式平面
习题2

第3章 二阶线性常系数微分方程
3.1 简谐振动模型
3.1.1 质点弹簧系统模型
3.1.2 单摆振动模型
3.1.3 RCL电路数学模型
3.2 二阶齐次线性常系数微分方程
3.2.1 线性原理
3.2.2 求通解的特征根法
3.2.3 定性分析的迹-行列式方法
3.3 二阶非齐次线性微分方程
3.3.1 拓广的线性原理
3.3.2 比较系数法I
3.3.3 比较系数法Ⅱ
3.4 无阻尼强制振动的节拍与共振
习题3

第4章 一阶二维非线性方程组
4.1 一阶二维非线性方程组模型的进一步探索
4.1.1 捕食-食饵模型
4.1.2 化学反应模型
4.1.3 非量纲化
4.2 平衡解、线性化定理，零水平线
4.2.1 平衡解、线性化定理
4.2.2 零水平线
4.3 同宿、异宿轨线，分离轨线
4.3.1 同宿、异宿轨线
4.3.2 分离轨线
4.4 周期轨线，Poincare-Bendixon定理
4.5 平衡解分歧，Hopf分歧
4.5.1 平衡解分歧
4.5.2 Hopf分歧
4.6 生态学模型分析
4.6.1 Lotka-Volterra竞争模型
4.6.2 Klausmeier生态模型
4.6.3 Rosenzwing-MacArthur捕食-食饵模型
附录：Lorenz方程组
习题4

第5章 一阶n维线性微分方程组
5.1 一阶n维线性方程组的一般理论
5.1.1 一阶n维齐次线性微分方程组
5.1.2 一阶n维非齐次线性微分方程组
5.2 一阶n维常系数线性方程组
5.2.1 矩阵指数函数的定义及其性质
5.2.2 一阶n维常系数线性微分方程组的基解矩阵
5.3 高阶线性微分方程
5.3.1 Laplace变换的定义
5.3.2 Laplace变换性质
5.3.3 Laplace变换的应用
附录
习题5
参考文献
《大学数学科学丛书》已出版书目

前言/序言

　　按照恩格斯的说法，数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的科学。从恩格斯那时到现在，尽管数学的内涵已经大大拓展了，人们对现实世界中的数量关系和空间形式的认识和理解已今非昔比，数学科学已构成包括纯粹数学及应用数学内含的众多分支学科和许多新兴交叉学科的庞大的科学体系，但恩格斯的这一说法仍然是对数学的一个中肯而又相对来说易于为公众了解和接受的概括，科学地反映了数学这一学科的内涵。正由于忽略了物质的具体形态和属性、纯粹从数量关系和空间形式的角度来研究现实世界，数学表现出高度抽象性和应用广泛性的特点，具有特殊的公共基础地位，其重要性得到普遍的认同。
　　整个数学的发展史是和人类物质文明和精神文明的发展史交融在一起的。作为一种先进的文化，数学不仅在人类文明的进程中一直起着积极的推动作用，而且是人类文明的一个重要的支柱。数学教育对于启迪心智、增进素质、提高全人类文明程度的必要性和重要性已得到空前普遍的重视。数学教育本质是一种素质教育；学习数学，不仅要学到许多重要的数学概念、方法和结论，更要着重领会数学的精神实质和思想方法。在大学学习高等数学的阶段，更应该自觉地去意识并努力体现这一点。
　　作为面向大学本科生和研究生以及有关教师的教材，教学参考书或课外读物的系列，本丛书将努力贯彻加强基础、面向前沿、突出思想、关注应用和方便阅读的原则，力求为各专业的大学本科生或研究生（包括硕士生及博士生）走近数学科学、理解数学科学以及应用数学科学提供必要的指引和有力的帮助，并欢迎其中相当一些能被广大学校选用为教材，相信并希望在各方面的支持及帮助下，本丛书将会愈出愈好。

好的，这是一份以“常微分方程简明教程”为参照系，但完全不包含该书内容的图书简介，力求内容翔实、自然流畅： --- 《高级结构化程序设计与面向对象范式精要》 内容概要： 本书深入剖析了现代软件工程中两个核心基石——结构化程序设计的高阶应用与面向对象范式（OOP）的深度实践。它并非一本基础入门读物，而是面向有一定编程经验、希望构建复杂、可维护、高性能软件系统的工程师和计算机科学专业学生。全书分为六大部分，层层递进，旨在构建扎实的理论框架与精湛的工程实践能力。 第一部分：结构化设计的高级形式——模块化与抽象 本部分着重探讨了在大型项目中如何运用模块化思维来管理复杂性。我们超越了传统的顺序、选择、循环控制结构，深入研究信息隐藏（Information Hiding）的哲学与技术实现。重点章节包括： 1. 接口与实现的分离： 如何设计健壮的API，确保模块间的松耦合。讨论了契约式设计（Design by Contract, DbC）在预防性编程中的核心作用，通过前置条件、后置条件和不变量来明确模块间的依赖关系。 2. 抽象数据类型（ADT）的严格构造： 不仅关注如何定义ADT，更深入探讨了如何在不暴露内部表示的情况下，通过抽象操作集来保证数据结构的完整性和一致性。我们通过详细的案例分析了如何在C/C++环境中实现受保护的ADT。 3. 过程抽象的极限： 探讨了何时应采用纯函数式方法来增强可预测性，以及如何平衡过程式编程的效率与函数式编程的简洁性。这部分内容要求读者对递归、高阶函数有深刻的理解。 第二部分：面向对象范式：深度剖析与设计原则 此部分是全书的核心，旨在将读者从“会用类”提升到“精通对象设计”。我们摒弃了对简单继承的过度依赖，转而聚焦于支撑大型系统灵活性的设计哲学。 1. SOLID 原则的批判性分析： 我们不仅逐条阐述了单一职责（SRP）、开放/封闭（OCP）、里氏替换（LSP）、接口隔离（ISP）和依赖倒置（DIP）原则，更着重于分析在特定业务场景下，这些原则可能产生的冲突与权衡。例如，如何在严格的SRP与维护清晰的领域模型之间找到平衡点。 2. 多态性的真正威力——基于原型的多态与鸭子类型： 讨论了静态类型语言和动态类型语言中多态性的不同体现。重点分析了策略模式（Strategy）和状态模式（State）的本质，它们是如何利用多态性实现运行时行为的动态切换，并对比了它们与传统分支结构在可扩展性上的巨大差异。 3. 组合优于继承（Composition Over Inheritance）： 详尽论证了为何过度依赖类继承会导致“脆弱的基类问题”（Fragile Base Class Problem）。通过设计模式案例，展示如何使用对象组合、委托（Delegation）机制来构建灵活的组件体系，确保子类的修改不会意外破坏父类的既有功能。 第三部分：设计模式的系统化应用与反模式 本部分不再将设计模式视为孤立的“食谱”，而是将其嵌入到解决特定结构性问题的框架中。 1. 创建型模式的选型标准： 对工厂方法、抽象工厂、建造者（Builder）和单例模式进行深度对比。特别讨论了延迟初始化、线程安全单例的正确实现，并警告了过度使用单例可能导致的全局状态污染问题。 2. 结构型模式：适应性与桥接： 深入讲解了适配器（Adapter）与桥接（Bridge）模式，强调它们的核心目标是解耦“操作”与“实现”。通过一个跨平台图形渲染器的案例，展示桥接模式如何隔离抽象概念与具体实现细节。 3. 行为型模式：解耦通信： 重点分析了观察者（Observer）模式、中介者（Mediator）模式和命令（Command）模式。特别关注命令模式如何实现操作的封装、排队、日志记录和撤销功能，这对于构建具有完善事务管理的应用至关重要。 4. 常见反模式辨识与规避： 包含“上帝对象”（God Object）、“贫血领域模型”（Anemic Domain Model）和“魔术字符串/数字”等反模式的识别标准和重构策略。 第四部分：面向对象设计在数据结构与算法中的体现 本部分将理论与算法实践相结合，展示OOP如何提升数据处理代码的清晰度和可重用性。 1. 遍历算法的封装： 探讨迭代器模式（Iterator）如何将集合的遍历逻辑与集合自身的结构分离，实现“外部遍历”的统一接口。 2. 访问者模式（Visitor）： 详细阐述访问者模式如何解决在不修改现有类结构的情况下，为对象结构添加新操作的难题。通过解析器或编译器抽象语法树的例子，说明其在操作异构对象集合时的强大能力。 第五部分：并发与并行环境下的对象设计 在多核处理器日益普及的今天，编写线程安全的代码是高级编程的必备技能。 1. 对象的状态管理与线程安全： 讨论了封装状态变化是实现线程安全的关键。分析了锁（Lock）、信号量（Semaphore）和监视器（Monitor）等同步原语在对象内部的使用规范。 2. 不可变性（Immutability）的工程价值： 深入探讨不可变对象如何在并发环境中自然地消除竞争条件，以及在设计中引入不可变性的成本与收益分析。 第六部分：设计过程与重构策略 本书最后一部分聚焦于软件生命周期中的实践活动。 1. 自顶向下与自底向上的融合： 探讨如何在架构设计初期采用自顶向下的分解，同时在具体实现层面利用自底向上的组件构建。 2. 重构的黄金法则： 基于有效的设计原则，介绍如何识别“代码异味”（Code Smells），并系统地应用重构手法（如提取类、移动特性、替换继承为组合）来优化现有代码结构，使其更贴近理想的面向对象模型。 目标读者： 具备至少两年以上项目经验的软件工程师、系统架构师，以及正在深入学习软件工程理论的计算机科学研究生。本书假设读者已熟练掌握至少一种主流的面向对象语言（如Java, C, 或现代C++）。本书内容要求读者具备高度的抽象思维能力和对软件质量的执着追求。 ---

评分☆☆☆☆☆

这是一本让我重新审视“简明”二字的教材。很多时候，“简明”意味着牺牲深度，但《常微分方程简明教程》却巧妙地在简明与深度之间找到了平衡。它在保持篇幅紧凑、语言精炼的同时，依然能够将常微分方程的核心内容讲述得淋漓尽致。我特别欣赏作者在选取例题时的独具匠心，每一个例题都恰到好处地体现了所讲授的概念或方法，并且难度适中，既能考验读者的理解能力，又不会让人生畏。书中对一些概念的解释，也力求做到言简意赅，却又不失其本质含义。例如，对于“稳定性”的讨论，作者通过简洁的语言和直观的图示，就将一个抽象的概念解释得清晰明了。而且，书中还巧妙地融入了一些对数学思想的解读，让我不仅仅停留在对公式的掌握，更能触及到其背后的数学哲学。这种“少即是多”的写作风格，让我能够更高效地吸收知识，并且能够将学到的内容融会贯通，形成自己的理解体系，而非碎片化的记忆。

评分☆☆☆☆☆

说实话，在接触这本书之前，我对常微分方程的认识仅限于一些零散的概念，总觉得它们是高深莫测的数学分支，与我的实际生活相去甚远。然而，《常微分方程简明教程》彻底颠覆了我的这种认知。它以一种非常接地气的方式，将微分方程与我们身边各种现象紧密联系起来。我尤其喜欢书中关于人口增长模型和化学反应动力学的部分，作者不仅清晰地阐述了这些模型是如何建立的，更详细地分析了这些模型在现实世界中的应用前景。比如，在人口增长模型中，作者深入浅出地解释了限制因素如何影响增长率，以及这些模型如何帮助我们预测未来的人口趋势。这种将抽象数学理论与具体应用场景相结合的叙述方式，极大地激发了我学习的兴趣。让我看到了数学不仅仅是纸上的符号，更是解决现实问题的强大工具。书中提供的习题也很有代表性，它们既能巩固我学到的知识，又能引导我思考更深层次的问题，让我受益匪浅。整体而言，这本书让我对常微分方程产生了全新的认识，也让我对数学的实用价值有了更深刻的理解。

评分☆☆☆☆☆

这本《常微分方程简明教程》给我的感觉就像是在一个古老的数学图书馆里，找到了一本年代久远但保存完好的手稿，里面记录着先贤们智慧的闪光。它不是那种为了追求新颖而堆砌前沿概念的书，而是专注于那些经典、核心的理论，并以一种清晰、严谨的方式呈现出来。我特别赞赏作者在讲解定理证明时的细致入微，每一个步骤的逻辑推理都清晰可见，没有留下任何模糊的空白。这种严谨的风格，让我能够真正理解每一个结论的来龙去脉，而不是仅仅死记硬背。书中对一些基本方法的介绍，比如分离变量法、通解公式法等，都力求做到面面俱到，并且配有大量的例题，帮助读者巩固理解。我印象深刻的是，作者在讲解过程中，常常会穿插一些历史故事或者数学家的轶事，这使得原本枯燥的数学学习变得生动有趣，也让我对这些伟大的数学家充满了敬意。这种将学术深度与人文关怀相结合的写作方式，是市面上很多教材所缺乏的，也让我在这本书中收获了远超预期的知识和启发。

评分☆☆☆☆☆

这本书的出现，对于我这样一名对数学充满热情但又常常被复杂理论吓退的读者来说，无疑是一场及时雨。我一直对微分方程的神秘领域充满好奇，但市面上大多数教材要么过于艰深，要么过于浅薄，总难以找到那种既能引领我入门，又能让我体会到其深刻内涵的桥梁。当我翻开《常微分方程简明教程》时，一种久违的亲切感油然而生。作者并没有一上来就抛出繁复的公式和定理，而是通过一系列通俗易懂的例子，将抽象的概念具象化。我记得其中一个关于弹簧振子的章节，作者用非常生动的语言描绘了阻尼、驱动等因素如何影响振动行为，让我瞬间就理解了许多教科书中难以理解的物理意义。而且，书中对一些经典方程的推导过程，也处理得十分流畅，没有那种生硬的跳跃感，仿佛作者正一步步牵着我的手，引领我走进数学的殿堂。这种循序渐进的讲解方式，极大地降低了我的学习门槛，让我能够更专注于理解方程背后的逻辑和应用，而不是被海量符号淹没。我尤其欣赏书中对数学思想的阐述，作者不仅仅是教授“怎么做”，更着重于解释“为什么这么做”，这使得学习过程充满了探索的乐趣，而非机械的记忆。

评分☆☆☆☆☆

《常微分方程简明教程》带给我的，是一种沉浸式的学习体验。它没有华丽的排版，也没有花哨的图示，但其内在的逻辑力量和清晰的讲解，足以让人沉醉其中。我喜欢书中那种“抽丝剥茧”般的讲解方式，对于一些概念的引入，作者总是会先抛出一个实际问题，然后引导读者一步步地去构建数学模型，最终找到问题的解决方案。这种“由果溯因”或“由因求果”的过程，让我深刻理解了数学模型的构建思路和方程的意义。尤其是在讨论一些特殊的方程类型时，作者并没有简单地罗列公式，而是深入分析了这些方程的物理背景和数学性质，让我能够从更宏观的角度去把握整个知识体系。书中穿插的一些历史渊源和思想发展脉络的介绍，更是让我体会到常微分方程这个学科是如何一步步演变至今的，充满了智慧的火花。这种深入浅出的讲解，让我感觉自己不再是一个被动接受知识的学生，而是一个主动探索数学奥秘的实践者。

评分☆☆☆☆☆

简明教程，书如其名，买其他书，顺手买的一本。

评分☆☆☆☆☆

《常微分方程简明教程》是一本常微分方程本科生教材，传统意义的微分方程是讲解求解微分方程解析解的特殊技巧，《常微分方程简明教程》的特别之处在于首先将数学建模贯穿全书，然后以不同的方法进行解的表达，在解的表达中，不仅仅限于解析解，主要以定性为主，通过斜率场、解的图像、相平面上的向量场及轨线等工具，到达对解的渐近行为的最好理解，最后以数值方法与计算机模拟为工具加深对解的行为的直觉理解。全书的图形演示课件可登陆《常微分方程简明教程》指明的课程网站下载。《常微分方程简明教程》是一本常微分方程本科生教材，传统意义的微分方程是讲解求解微分方程解析解的特殊技巧，《常微分方程简明教程》的特别之处在于首先将数学建模贯穿全书，然后以不同的方法进行解的表达，在解的表达中，不仅仅限于解析解，主要以定性为主，通过斜率场、解的图像、相平面上的向量场及轨线等工具，到达对解的渐近行为的最好理解，最后以数值方法与计算机模拟为工具加深对解的行为的直觉理解。全书的图形演示课件可登陆《常微分方程简明教程》指明的课程网站下载。《常微分方程简明教程》是一本常微分方程本科生教材，传统意义的微分方程是讲解求解微分方程解析解的特殊技巧，《常微分方程简明教程》的特别之处在于首先将数学建模贯穿全书，然后以不同的方法进行解的表达，在解的表达中，不仅仅限于解析解，主要以定性为主，通过斜率场、解的图像、相平面上的向量场及轨线等工具，到达对解的渐近行为的最好理解，最后以数值方法与计算机模拟为工具加深对解的行为的直觉理解。全书的图形演示课件可登陆《常微分方程简明教程》指明的课程网站下载。《常微分方程简明教程》是一本常微分方程本科生教材，传统意义的微分方程是讲解求解微分方程解析解的特殊技巧，《常微分方程简明教程》的特别之处在于首先将数学建模贯穿全书，然后以不同的方法进行解的表达，在解的表达中，不仅仅限于解析解，主要以定性为主，通过斜率场、解的图像、相平面上的向量场及轨线等工具，到达对解的渐近行为的最好理解，最后以数值方法与计算机模拟为工具加深对解的行为的直觉理解。全书的图形演示课件可登陆《常微分方程简明教程》指明的课程网站下载。《常微分方程简明教程》是一本常微分方程本科生教材，传统意义的微分方程是讲解求解微分方程解析解的特殊技巧，《常微分方程简明教程》的特别之处在于首先将数学建模贯穿全书，然后以不同的方法进行解的表达，在解的表达中，不仅仅限于解析解，主要以定性为主，通过斜率场、解的图像、相平面上的向量场及轨线等工具，到达对解的渐近行为的最好理解，最后以数值方法与计算机模拟为工具加深对解的行为的直觉理解。全书的图形演示课件可登陆《常微分方程简明教程》指明的课程网站下载。

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简明教程，书如其名，买其他书，顺手买的一本。

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