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肖淑贤 著

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• 常微分方程
• 微分方程
• 数学
• 高等数学
• 工程数学
• 数值分析
• 数学模型
• 应用数学
• 理工科
• 教材

出版社： 华中科技大学出版社

ISBN：9787560946863

版次：1

商品编码：10343619

包装：平装

开本：16开

出版时间：2008-10-01

用纸：胶版纸

页数：138

内容简介

《常微分方程》是常微分方程基础课教材，内容涉及分离变量法、常系数线性微分方程和方程组、变系数线性微分方程和方程组、非线性微分方程，以及定性和稳定性理论初步等。
《常微分方程》理论严谨，叙述清楚且深入浅出，特别是对常系数线性微分方程这一部分的讲解有独到之处，其中待定系数法的证法非常新颖，而且相当简洁，胜过了传统教材的证法。
《常微分方程》适合于综合性大学、理工科大学及师范类院校的数学专业学生使用或作为参考书籍。

目录

第1章 绪论
1.1 实际问题中的常微分方程
1.2 基本概念
习题l
第2章 分离变量法
2.1 变量分离方程与变量代换
2.1.1 变量分离方程
2.1.2 齐次方程
2.2 线性方程与常数变易公式
习题2
第3章 常系数线性微分方程
3.1 总论
3.2 一阶常系数线性微分方程
3.3 二阶常系数线性微分方程
3.3.1 齐次方程
3.3.2 非齐次方程
3.4 高阶常系数线性微分方程
3.4.1 齐次高阶常系数线性方程
3.4，2 非齐次高阶常系数线性方程
3.5 高阶常系数线性微分方程——特解求法
3.5.1 算子方法
3.5.2 复函数法
习题3
第4章 常系数线性微分方程组
4.1 总论
4.1.1 常系数线性微分方程组的表示
4.1.2 向量和矩阵
4.1.3 积分不等式
4.1.4 存在唯一性定理
4.2 齐次常系数线性微分方程组
4.2.1 基解矩阵
4.2.2 通解结构
4.3 矩阵指数
4.3.1 单位基解矩阵的表示——矩阵指数
4.3.2 矩阵指数的性质
4.4 矩阵指数的计算方法
4.5 非齐次常系数线性微分方程组
4.5.1 通解结构
4.5.2 常数变易公式
4.5.3 算子方法求特解
4.5.4 实例
习题4
第5章 变系数线性微分方程及线性模型
5.1 变系数线性微分方程组
5.1.1 解的存在唯一性定理
5.1.2 通解结构
5.2 线性空间
5.2.1 线性方程组的解空间
5.2.2 高阶纯量线性方程的解空间
5.3 二阶变系数线性微分方程
5.3.1 通解的结构
5.3.2 几种可积型二阶线性方程
5.3.3 欧拉方程
5.3.4 级数解法
5.4 高阶变系数线性微分方程和变系数线性微分方程组的一些解法
5.5 非齐次变系数线性方程组的常数变易公式
5.6 线性模型
5.6.1 质点的微小振动的数学模型
5.6.2 人工养殖甲鱼的价格的数学模型
习题5
第6章 非线性微分方程
第7章 初等奇点
第8章 稳定性理论初步
附录1 关于算子方法的一些命题和实例
附录2 首次积分
参考文献

精彩书摘

第1章 绪论
1.1 实际问题中的常微分方程
按照习惯说法，含有未知函数的导数或微分的等式，称为微分方程。尽管这种说法现在看来有些缺点，但本书认为它还是有可取之处。因为这非常自然，符合人们认识事物由浅入深、由低级向高级的发展规律，更重要的是，这个定义不会妨碍我们学习这门基础课程。
本书着重介绍常微分方程的基本概念和基本解法，适当增加一些联系实际的例子和习题。前三个方程称为常微分方程，它们的未知函数只含有一个自变量；后三个方程称为偏微分方程，它们的未知函数含有两个（或两个以上）的自变量。本书研究常微分方程，和代数方程一样，常微分方程来源于实际问题。下面通过一些例子，说明如何从问题中归纳数学模型，从而提出解常微分方程的问题。
3.人口增长模型
人口的自然增长率仍然与基数成正比。但是这个模型并不能反映实际情况，因为人口增长还会受到生存环境的影响，食物、疾病、战争、气候变化等都会直接影响到人口的增长。
严格说来，人口增长模型是个很复杂的问题，下面是个简化了的模型，认为制约人口增长的因素，仅仅是人口密度本身。它在很大程度上确实反映了实际情况，因为随着人口数量的增多，食物问题、健康问题也会随之而来，从而限制了人口本身的增长，此人口增长模型的前提是认为增长系数是人口的线性函数。

前言/序言

好的，这是一本关于《拓扑学基础与应用》的图书简介，内容详尽，旨在吸引对此领域感兴趣的读者。 --- 《拓扑学基础与应用》图书简介 开启空间、形变与连续性的奥秘之门 在数学的广阔天地中，有一门学科，它不关心度量、角度或直线，却能以最本质的方式揭示空间的结构、形状的内在联系以及连续变化的规律——这就是拓扑学。 《拓扑学基础与应用》是一本旨在系统介绍拓扑学核心概念、基本理论及其在现代科学与工程领域广泛应用的高质量教材与参考书。本书的编写初衷，是为那些渴望超越传统欧几里得几何束缚，进入更高维度、更抽象思维领域的学习者、研究人员和工程师提供一座坚实的桥梁。我们深知，拓扑学初接触时常被视为抽象，因此，本书在保证严谨性的前提下，力求通过清晰的阐述、丰富的几何直观图像以及精心设计的实例，使读者能够逐步领会拓扑学的美妙与力量。 --- 第一部分：点集拓扑学的奠基石 (The Foundations of Point-Set Topology) 本书的开篇聚焦于构建理解现代拓扑学所需的分析基础——点集拓扑学。这部分内容是理解后续所有拓扑结构的核心。 1. 基础概念的重塑：从度量空间到拓扑空间 我们从读者较为熟悉的度量空间（Metric Spaces）出发，回顾开球、闭球、极限等概念，为引入更一般的结构做铺垫。随后，本书引入拓扑学的核心要素：拓扑结构。我们将详细探讨开集、闭集、闭包、内部、边界的概念及其相互关系，并深入剖析拓扑空间的定义公理，解释为何拓扑空间是研究一般空间结构的最自然框架。 2. 构造与例子：世界的构建 为了增强直观理解，我们花费大量篇幅讨论构造新拓扑空间的方法，包括子空间拓扑、商拓扑、积拓扑和极限拓扑。这些构造工具是构造复杂空间模型的基石。读者将学习如何从简单的集合中“编织”出复杂的拓扑结构，并分析著名的例子，如欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 的拓扑性质、单位圆周 $S^1$ 的结构，以及无限维希尔伯特空间（作为泛函分析的预备）。 3. 连续性与同胚：形状的等价性 在拓扑学中，连续性不再依赖于 $epsilon-delta$ 语言，而是通过开集的逆像来定义，这揭示了其更本质的代数特性。本书深入讨论连续函数的性质，并引入拓扑同胚（Homeomorphism）的概念——这是拓扑学中“形状相同”的严格定义。通过大量关于不可收缩形变（如咖啡杯与甜甜圈的等价性）的讨论，读者将清晰理解拓扑学关注的核心问题：哪些性质在连续形变下保持不变？ 4. 连通性、紧致性与分离公理：空间的内在属性 本部分的高潮在于对空间内在性质的刻画。连通性（Connectedness）和路径连通性（Path-Connectedness）描述了空间是否能被“分割”；紧致性（Compactness）——在有限子覆盖的意义下——是分析中至关重要的性质，本书将详述其在度量空间中的等价描述（如序紧致性、可数紧致性）及其重要定理（如Heine-Borel定理的推广）。最后，我们将介绍分离公理（Separation Axioms，如 $T_1, T_2$ 豪斯多夫空间），它们是保证我们能够区分空间中不同点的必要条件，为后续研究提供必要的“清晰度”。 --- 第二部分：代数拓扑的桥梁 (The Bridge to Algebraic Topology) 点集拓扑主要研究空间的“局部”性质，而代数拓扑则致力于利用代数工具来研究空间的“整体”结构，特别是那些与洞和孔洞相关的拓扑不变量。 5. 基本群与隧道探测器 本书引入代数拓扑学的第一个、也是最直观的工具——基本群（Fundamental Group，$pi_1(X)$）。我们将详细讲解路径、路径的乘法、路径的同伦等概念，并展示如何利用基本群来判断一个空间是否具有“洞”。著名的例子，如 $mathbb{R}^3$（基本群平凡）与二维圆环 $S^1$（基本群为 $mathbb{Z}$）的区分，将使读者对代数不变量的威力有深刻体会。 6. 覆盖空间理论：揭示“多重性” 基本群理论自然地引出了覆盖空间（Covering Spaces）的概念。本书将介绍如何利用基本群计算特定空间的覆盖空间，特别是关于圆周 $S^1$ 的无穷多重覆盖。这部分内容不仅在纯数学中意义深远，也与物理学中的多值函数和量子力学中的波函数有深刻联系。读者将学习经典的提升引理和不动点定理在覆盖空间理论中的应用。 --- 第三部分：应用与进阶主题 (Applications and Advanced Topics) 拓扑学并非纯粹的理论游戏，它已渗透到现代科学的诸多前沿领域。本书的后半部分着重展示这些应用。 7. 拓扑在数据分析中的体现：拓扑数据分析（TDA） 随着大数据时代的到来，如何从高维、不规则的数据集中提取有效的结构信息成为关键。本书将专门介绍持续同调（Persistent Homology）的基础思想，展示如何利用拓扑工具（如单纯复形、链复形）来量化数据集中的“洞”和“连通成分”，从而识别数据的内在几何结构，这在生物信息学、材料科学和机器学习中正展现出巨大的潜力。 8. 组合拓扑与图论的交汇 本书探讨了拓扑学与离散结构（如图、流形）的连接。我们将讨论欧拉示性数（Euler Characteristic）这一重要的拓扑不变量，并展示它在平面图、曲面分类中的应用。这部分内容为读者理解流形（Manifolds）作为局部欧几里得空间的拓扑概念做了充分准备。 9. 拓扑的应用前沿：网络与优化 最后，我们将探讨拓扑学在解决实际工程问题中的应用，例如在网络理论中利用拓扑结构分析网络鲁棒性，以及在优化问题中利用拓扑方法寻找全局最优解的特性。 --- 本书特色 1. 直观性与严谨性的完美平衡： 大量配图和几何直观解释，确保抽象定义易于理解；同时，证明过程详尽无遗，满足高阶学习者的需求。 2. 聚焦现代应用： 不仅涵盖经典点集拓扑，更将篇幅投入到拓扑数据分析（TDA）等新兴交叉领域。 3. 结构清晰的章节设计： 基础概念层层递进，代数工具作为桥梁，应用案例作为目标，保证学习路线的逻辑自洽。 4. 丰富的习题集： 每章末尾提供难度分层的练习题，分为概念验证、技巧训练和探索性研究三类，以巩固和深化理解。 《拓扑学基础与应用》是数学系本科高年级学生、研究生，以及需要运用高维几何洞察力的计算机科学家、物理学家和工程师的理想读物。阅读本书，您将获得一种全新的视角，理解世界中关于“连接”、“形状”和“形变”的根本法则。

评分☆☆☆☆☆

说实话，我买这本书的时候，心里其实是有点忐忑的。我对数学这东西一向是又爱又恨，总觉得那些抽象的符号和公式离生活太远。但翻开这本书后，我的顾虑顿时消散了不少。作者在讲解的过程中，时不时会穿插一些实际应用的背景，比如在讲解某个方程组的时候，会提到它在物理学中的某个现象，或者在工程领域中的某个应用。虽然我无法完全理解那些具体的应用场景，但这种联系让我觉得，数学不再是冰冷而孤立的，它其实是构建我们周围世界的重要工具。这种“接地气”的讲解方式，大大降低了我对这门学科的畏难情绪。

评分☆☆☆☆☆

这本书最令我印象深刻的一点，是它对数学严谨性的体现。在定义每一个概念、推导每一个公式的时候，作者都力求做到滴水不漏。即使是对初学者来说可能比较晦涩的证明，书中也提供了多种角度的解释，有时候甚至会通过几何直观来辅助理解。这种细致入微的处理方式，让我深刻体会到了数学的严密和精妙。我反复阅读了几遍书中的某个证明，每一次都有新的体会。这不仅仅是学习求解方法，更是对一种逻辑思维方式的训练，让我受益匪浅。

评分☆☆☆☆☆

我一直认为，一本好的教材不仅仅是知识的载体，更应该是一种引导和启发。这本书在这方面做得非常出色。在讲解完某个核心内容后，作者常常会进行总结，提炼出关键的思想，并且会适当地提示读者，在学习过程中可能会遇到的难点，以及如何去克服它们。这种“前瞻性”的指导，让我觉得作者像一位经验丰富的老师，能够预判到学生的疑问，并提前给出建议。读这本书的过程中，我感觉自己不再是孤军奋战，而是在一位良师的指引下，稳步前进，这种安心感和成就感是无法用言语来形容的。

评分☆☆☆☆☆

这本《常微分方程》的编排逻辑我个人觉得非常清晰。它从最基础的概念讲起，循序渐进地引入各种求解方法，并且在介绍每一种方法的时候，都配有详尽的推导过程，这对于我这种需要理解原理才能真正掌握知识的学习者来说，太友好了。书中大量的例子也恰到好处，不仅仅是简单地展示公式的应用，更是巧妙地引导读者去思考问题背后的数学思想。我尤其喜欢其中某些章节后面附带的“思考题”，它们并不简单，但又不会让人望而却步，能有效地巩固我刚学到的知识，甚至启发我触类旁通，去思考更深层次的问题。

评分☆☆☆☆☆

这本书的装帧设计倒是挺吸引人的，封面是深邃的蓝色，上面用银色烫金的字体印着书名，看起来非常有质感。我拿到书的时候，首先就被它厚实的手感打动了，纸张的厚度适中，触感细腻，翻阅的时候不会有廉价的沙沙声，这一点对于我这种喜欢捧着书细细品读的人来说，绝对是个加分项。书本的印刷也非常清晰，每一个字都工工整整，没有模糊或者重影的现象，排版也十分规整，让人一眼看上去就觉得很舒服，阅读起来也不会感到压迫。

评分☆☆☆☆☆

写的算比较详细了，数学本来就难

评分☆☆☆☆☆

写的算比较详细了，数学本来就难

评分☆☆☆☆☆

书有点薄。但是简明扼要

评分☆☆☆☆☆

作为教材来说还算适合。

评分☆☆☆☆☆

质量好。这本书我刚一到手，纸张摸起来非常舒服，非常喜欢。

评分☆☆☆☆☆

好书 打折之后很便宜

评分☆☆☆☆☆

便宜哟,书比较简明,算子写得不错

评分☆☆☆☆☆

本来准备考研复试的时候使用的 后来没考数学 所以大概看了下 还可以吧

评分☆☆☆☆☆

本来准备考研复试的时候使用的 后来没考数学 所以大概看了下 还可以吧