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出版社： Cambridge University Press

ISBN：9780521534291

商品编码：1039959646

  详情信息：

  Product Details 基本信息

ISBN-13 书号:9780521534291

Author 作者:Fokas, Athanssios S.

出版社:Cambridge University Press

Publication Date 出版日期:2003-04-28

Product Dimensions 商品尺寸:90.8x60.8x14.4cm

Shipping Weight 商品重量:0.196kg

Shipping Weight Language 语种:English

pages 页数:647

《数学分析：核心概念与应用》 作者： [此处填写作者姓名] 出版社： [此处填写出版社名称] ISBN： [此处填写ISBN] 图书定价： [此处填写定价] --- 内容简介 《数学分析：核心概念与应用》旨在为学习者提供一个扎实、深入且富有启发性的数学分析基础。本书严格遵循严谨的数学逻辑，同时注重概念的直观理解和实际应用，力求在理论的深度与教学的广度之间找到完美的平衡点。本书面向高等院校数学、物理、工程学以及相关交叉学科的学生和研究人员，是理解微积分后续高级主题的基石。 全书共分为十二章，结构清晰，层层递进。从最基础的实数系统和序列、级数收敛性的严格定义出发，逐步过渡到函数空间、连续性、微分和积分理论，最终触及勒贝克积分的初步思想。 第一部分：基础构建与极限理论 第一章：实数系统与拓扑基础 本章详尽地回顾了实数系统的完备性公理，这是所有后续分析学理论的逻辑起点。我们深入探讨了 $mathbb{R}$ 上的基本拓扑概念，包括开集、闭集、紧集（Heine-Borel定理的详细证明及其意义）和可数集的概念。重点强调了极限点的定义及其在序列收敛中的决定性作用，为后续的连续性与一致收敛奠定坚实的集合论基础。 第二章：序列与级数 本章的核心在于对极限过程的严格处理。我们详细分析了有界闭集上的函数序列的收敛性问题。单调有界定理、Cauchy收敛准则被作为基本工具进行阐述。在级数部分，我们不仅复习了传统判别法（比值检验、根值检验），更引入了更强大的收敛性工具，如Abel引理和Dirichlet判别法。特别地，我们对绝对收敛与条件收敛进行了深入辨析，并通过Riemann重排定理展示了条件收敛的微妙特性。 第三章：函数序列与函数项级数 本章标志着分析学从对数值序列的分析转向对函数空间的分析。我们详细区分了逐点收敛和一致收敛的本质区别。一致收敛的判定标准（如Weierstrass M检验法）被用来证明连续函数序列的极限仍保持连续性，而逐点极限则不然。本章的重点是通过实例展示一致性在保持微分、积分等运算连续性方面的关键作用。 第二部分：连续性、微分与泰勒理论 第四章：连续函数 连续性的定义被提升到拓扑层面，使用 $epsilon-delta$ 语言进行精确描述。本章深入研究了连续函数的性质：有界性、最值定理和介值定理。对于紧集上的连续函数，我们给出了其性质的完整描述。此外，还引入了一致连续性的概念，并证明了在紧区间上连续函数必然一致连续的定理。 第五章：导数与微分 本章聚焦于函数变化率的精确描述。导数的定义严格建立在极限之上。我们详细讨论了微分的代数性质，并给出了高阶导数的定义。中值定理（Rolle定理、均值定理）的证明被置于核心地位，因为它们是后续积分理论和级数展开的基础。我们对费马定理、柯西中值定理进行了详尽的推导。 第六章：导数的应用与泰勒定理 本章利用导数的工具解决实际问题。我们分析了函数的单调性、极值点和凹凸性，并使用二阶导数来确定拐点。本章的高潮是泰勒定理及其各种形式（包括Lagrange余项和Cauchy余项），这为将复杂函数近似表示为多项式提供了精确的框架。我们详细讨论了幂级数（如指数函数、三角函数）的收敛区间与精确表示。 第三部分：黎曼积分理论的构建 第七章：黎曼可积性 本章是传统微积分与现代分析学的桥梁。我们引入了上和、下和的概念，并明确定义了黎曼可积性。对可积函数的特征性描述（即黎曼可积当且仅当不连续点集的勒贝格测度为零）将作为本章的关键结论。我们分析了连续函数、单调函数的可积性，并讨论了不连续函数（如Dirichlet函数）的不可积性。 第八章：积分的性质与微积分基本定理 本章阐述了定积分的线性性、保序性以及对区间的可加性。核心内容是微积分基本定理的两个部分，我们对其进行了严谨的证明，阐明了微分与积分之间的对偶关系。此外，本章还引入了广义黎曼积分（Improper Integrals），并给出了其收敛性的判别准则。 第九章：黎曼积分的收敛性 本章关注函数序列的积分与极限的交换问题。我们探讨了在何种条件下可以将极限符号和积分符号进行交换。对于一致收敛的函数序列，我们证明了可以交换（逐点收敛下则不一定）。本章为下一部分过渡到更强大的积分理论（勒贝克积分）埋下伏笔，解释了黎曼积分的局限性。 第四部分：多元微积分与初步分析 第十章：多变量函数与偏导数 本章将一元分析的概念扩展到高维空间。我们定义了多变量函数的极限、连续性以及偏导数。对可微性的讨论精确区分了其与偏可微性的区别。我们详细推导了链式法则在高维空间中的形式，并引入了梯度、散度和旋度的概念，为后续的向量分析做准备。 第十一章：多元函数的极值与条件极值 本章利用Hessian矩阵来判别多元函数的局部极值点，并详细分析了二阶偏导数在极值判断中的作用。核心内容是拉格朗日乘数法，该方法被用于解决带约束条件的优化问题。我们通过几何直观和代数推导，清晰展示了乘数法背后的原理。 第十二章：积分的推广与勒贝格积分的展望 作为对传统分析的补充和展望，本章简要介绍了重积分（二重积分和三重积分）的定义、计算方法（Fubini定理）以及坐标变换（如极坐标、柱面坐标、球面坐标）的应用。最后，本章引入了勒贝格测度和勒贝格积分的基本思想，简要阐述了为何勒贝格积分在处理更广泛的函数类和极限交换问题时更具优势，为读者未来深入学习泛函分析和测度论指明方向。 --- 本书特色 1. 严谨性与直观性的结合： 所有核心定理均提供完整、细致的证明，同时配有丰富的图形和物理/几何例子来帮助读者建立直观理解。 2. 强调概念辨析： 对一致收敛与逐点收敛、可微性与偏可微性、绝对收敛与条件收敛等关键概念进行了深入的对比和剖析。 3. 丰富的习题集： 每章末尾附有不同难度层次的习题，包括概念验证题、计算题和理论推导题，以巩固学习效果。 4. 现代视角： 尽管以经典分析为核心，但章节编排中融入了拓扑和测度论的初步思想，确保读者接触到当代数学分析的视野。

评分☆☆☆☆☆

内容的前几章主要集中在复数的几何意义和解析函数的初步概念上。作者的处理方式非常“慢热”且扎实。他没有急于抛出那些令人望而生畏的定理，而是花了大量的篇幅来建立直观的几何模型。例如，在介绍向量场旋转和面积微元变化时，作者使用了非常生动的类比，这对于我这种偏向几何直觉的读者来说，帮助太大了。相比一些上来就用高维线性代数语言定义复数的教材，这本书的引入更像是循序渐进的引导，它让你先“感觉”到复分析的必要性，然后再系统地构建起严密的理论框架。这种“先体验，后证明”的教学思路，极大地降低了初学者的入门门槛，让人感觉自己是主动在学习，而不是被动地接受灌输。

评分☆☆☆☆☆

在对柯西积分定理及其推论的阐述部分，这本书的处理显得尤为独到和深刻。很多教材只是将这个定理当作一个工具来使用，但本书却花了大篇幅探讨了其拓扑学基础，清晰地解释了“单连通区域”在复积分中的核心作用。作者并没有回避那些复杂的拓扑学名词，而是用非常清晰的语言将它们与复变函数自身的性质紧密联系起来，比如如何通过修改路径来解决路径依赖问题。我特别喜欢其中一个证明，它巧妙地结合了实分析中的均匀收敛性，将高深的复变函数理论和读者可能已经掌握的实分析知识点进行了完美的嫁接，这种跨学科的视野，让整个证明的逻辑链条显得异常坚固且易于把握，真正体现了数学思想的统一性。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计着实吸引人，那种带着年代感的深蓝色配上烫金的字体，让人立刻联想到那些经典的老教材，沉甸甸的，仿佛里面藏着数学的深邃智慧。我拿到手的时候，首先注意到的是它的纸张质量，那种略带粗糙却又不失质感的纸张，握在手里有一种踏实的触感，这对于需要长时间阅读和翻阅的数学书籍来说，无疑是一个巨大的加分项。装帧也十分讲究，即使是平装本，也感觉非常牢固，不用担心翻开太多次就会散架。整体上，这本书的外观传递出一种严谨而又不失优雅的学术气息，让人充满期待，想要立刻沉浸到那些复杂的变量世界中去探索一番。它给我的第一印象是，这是一本为真正想要深入研究而不是仅仅应付考试的读者准备的“硬通货”。

评分☆☆☆☆☆

打开内页，第一个映入眼帘的是排版。不得不说，作者和出版社在版式设计上花了不少心思。公式的编号清晰明了，即使是长串的积分或复杂的柯西-黎曼方程，也能保持极高的可读性，这一点对于处理复变函数这种对符号要求极高的学科来说至关重要。图表的绘制也相当精细，特别是那些用于说明共形映射和黎曼面的插图，线条流畅，标注准确，极大地辅助了抽象概念的理解。我尤其欣赏它在正文穿插的那些小注释，它们并非简单的脚注，而是对某个定理历史背景的简短回顾，或是对某个概念在不同数学分支中应用的侧重分析，这种细微之处的打磨，让阅读过程不再枯燥，更像是一场知识的探索之旅，而不是简单的信息输入。

评分☆☆☆☆☆

我尝试用它来辅助解决一些涉及到拉普拉斯方程边值问题的应用题时，发现它提供的理论支撑非常给力。书中的最后部分关于留数定理的应用实例，选取的案例非常具有代表性，涵盖了从物理学中的势流到工程中的傅里叶级数求和等多个方面。这些实例的推导过程详略得当，既展示了最终结果的美妙，也清晰地勾勒出了从原问题到复平面分析再回归实际问题的完整路径。与其他只停留在纯数学证明的著作相比，这本书的应用导向性极强，它让人清晰地认识到，复变函数不仅仅是数学理论本身，更是解决许多实际科学问题的强有力工具。因此，对于那些希望将理论知识转化为解决实际问题能力的读者来说，这本书的价值无可替代。