高等数学（上册）/普通高等教育“十一五”国家级规划教材 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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柴俊 等 著

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• 高等数学
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• 理工科
• 微积分
• 函数
• 极限
• 导数
• 积分
• 规划教材

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030189004

版次：1

商品编码：10432855

包装：平装

出版时间：2007-06-01

用纸：胶版纸

页数：252

字数：309000

正文语种：中文

内容简介

《高等数学（上册）》分上、下两册，上册内容包括极限，一元微积分学，空间解析几何；下册包括多元微分，重积分，线、面积分，微分方程及差分方程初步。内容安排由浅入深，既有基本理论和方法的论述，又有应用背影的介绍：对难度较大的内容做了分阶段逐步深入的处理。习题配备难度适中，按基本题、较难题、总练习题三种层次安排。为便于教学，随书还配有一个基于Maple 软件的数学实验例子和基于F1ash软件的动态演示课件光盘。
《高等数学（上册）》适合师范院校和一般综合性大学对数学要求比较高的非数学理科专业本科生使用。

目录

第1章 基本知识
1.1 实数与实数集
1.1.1 集合
1.1.2 集合的运算
1.1.3 数集的演进
1.1.4 区间和邻域
1.1.5 实数的完备性
1.2 函数
1.2.1 函数的概念
1.2.2 函数的表示法
1.2.3 函数的一些特性
1.2.4 反函数与复合函数
1.2.5 初等函数

第2章 极限与连续
2.1 数列的极限
2.1.1 数列
2.1.2 数列的极限
2.1.3 收敛数列的性质与极限的四则运算
2.1.4 数列极限存在的条件
2.2 函数的极限
2.2.1 自变量趋于无穷大时函数的极限
2.2.2 自变量趋于有限值时函数的极限
2.2.3 函数极限的性质以及运算法则
2.2.4 两个重要的极限
2.3 无穷小与无穷大
2.3.1 无穷小
2.3.2 无穷大
2.3.3 无穷小的比较
2.4 连续函数
2.4.1 函数的连续性
2.4.2 间断点及其分类
2.4.3 连续函数的运算和初等函数的连续性
2.4.4 闭区间上连续函数的性质
2.4.5 函数的一致连续性
第2章 总练习题

第3章 导数与微分
3.1 导数概念
3.1.1 导数的定义
3.1.2 求导的例
3.1.3 导数的意义、平面曲线的切线和法线
3.2 求导法则
3.2.1 导数的四则运算
3.2.2 反函数的导数
3.2.3 复合函数的导数
3.2.4 基本初等函数的导数公式与求导法则
3.3 高阶导数
3.4 隐函数和由参数方程确定的函数的导数
3.4.1 隐函数的导数
3.4.2 由参数方程确定的函数的导数
3.4.3 相关变化率
3.5 微分
3.5.1 微分的概念
3.5.2 微分基本公式与运算法则
3.5.3 利用微分进行近似计算
第3章 总练习题

第4章 微分中值定理与导数的应用
4.1 微分中值定理
4.1.1 费马（Fermat）定理
4.1.2 罗尔（R01le）定理
4.1.3 拉格朗日（Lagrange）中值定理
4.1.4 柯西（cauchy）中值定理
4.2 洛必达（LHospital）法则
4.2.1 型和詈型不定式极限
……
第5章 积分
第6章 定积分的应用
第7章 空间解析几何
上册各章习题部分解答
附录A 积分表
附录B 常用曲线

前言/序言

深入浅出：探寻现代物理学的奥秘与前沿 （本书聚焦于经典力学、电磁学、热力学与统计物理学等核心领域的前沿进展与深刻洞见，旨在为读者构建一个全面且富有启发性的现代物理学知识体系，绝不涉及高等数学的特定章节内容。） --- 第一部分：超越牛顿——经典力学的现代诠释与前沿应用 本部分将带领读者跨越牛顿力学的经典范畴，进入更深层次的、更具普遍性的力学描述框架，重点探讨分析力学、变分原理及其在复杂系统中的应用。 第一章：拉格朗日力学的优雅结构 本章将详尽阐述拉格朗日力学作为经典力学推广的核心地位。我们将从达朗贝尔原理出发，系统推导拉格朗日方程的建立过程，并深入分析约束在广义坐标系下的处理方式。重点讲解动能与势能的广义坐标表示，以及循环坐标在确定守恒量（如角动量和能量）中的关键作用。 1.1 约束的分类与广义坐标的选择： 区分完整约束与非完整约束，阐明选择合适的广义坐标集对简化问题的重要性。 1.2 虚功原理与拉格朗日函数： 阐述虚功原理的物理意义，详细推导拉格朗日方程 $frac{d}{dt}left(frac{partial L}{partial dot{q}_i} ight) - frac{partial L}{partial q_i} = 0$。 1.3 守恒定律与诺特定理的预备知识： 在不引入量子力学背景的前提下，初步探讨系统中存在对称性时，对应守恒量产生的机制。 第二章：哈密顿体系的深层几何结构 哈密顿力学是连接经典与量子世界的桥梁。本章将聚焦于相空间的概念和哈密顿量的构造及其物理意义。 2.1 勒让德变换与哈密顿函数的构造： 如何从拉格朗日量 $L(q, dot{q}, t)$ 通过勒让德变换得到哈密顿量 $H(q, p, t)$，并讨论 $H$ 在保守系统（势能不显含时间）中即为总能量的物理基础。 2.2 正则方程与相空间轨迹： 详细分析一组一阶的哈密顿正则方程，及其在二维相空间中对系统行为的几何刻画。 2.3 泊松括号与守恒量的检验： 引入泊松括号 $left{A, B ight}$ 作为描述物理量之间相互作用的代数工具。重点论证 $frac{dA}{dt} = {A, H} + frac{partial A}{partial t}$ 这一基本关系，并利用它来直接判定一个量是否守恒。 第三章：刚体动力学的高级处理 本章将利用前述的分析力学工具，解决复杂的三维运动问题，特别是围绕质心运动和刚体的定点转动。 3.1 刚体的自由度与欧拉角： 确定刚体运动所需的九个广义坐标（或等效的欧拉角），并理解欧拉角在描述复杂转动时的局限性与便利性。 3.2 欧拉刚体动力学方程： 推导基于角动量的欧拉方程，并讨论绕定点转动（如陀螺）的受力情况与能量转化。 --- 第二部分：场论的统一——电磁学的波动本质与光速的根源 本部分将深入探索电磁场的本质，超越静电和稳恒电流的范畴，聚焦于麦克斯韦方程组的完备性以及电磁波的传播特性。 第四章：麦克斯韦方程组的完备性与规范选择 本章将详述四个麦克斯韦方程在源（电荷、电流）和场（电场、磁场）之间的关系，重点强调引入位移电流后的革命性意义。 4.1 场的通量关系与旋度形式： 逐一分析高斯定律、高斯磁定律、法拉第电磁感应定律和安培-麦克斯韦定律，阐明它们在微分形式下对场的空间分布和时间演化的限制。 4.2 连续性方程与电荷守恒： 证明 $ abla cdot mathbf{J} + frac{partial ho}{partial t} = 0$ 是麦克斯韦方程组的必然结果，体现了电荷守恒原理。 4.3 标量势与矢量势： 介绍电磁场与电磁四元势 $phi$ 和 $mathbf{A}$ 的关系。讨论 $mathbf{E}$ 和 $mathbf{B}$ 不变时，势函数可以进行规范变换的自由度，这为后续的场论处理奠定了基础（例如洛伦兹规范）。 第五章：电磁波的产生、传播与性质 基于麦克斯韦方程组的齐次形式，本章将推导出电磁波方程，并分析其在真空中的传播特性。 5.1 波动方程的推导： 在无源区域，从麦克斯韦方程组推导出 $ abla^2 mathbf{E} - mu_0 epsilon_0 frac{partial^2 mathbf{E}}{partial t^2} = 0$ 等形式的波动方程，并确定电磁波的速度 $c = 1/sqrt{mu_0 epsilon_0}$。 5.2 平面波的解与横波特性： 分析平面波的解析解 $mathbf{E}(mathbf{r}, t) = mathbf{E}_0 e^{i(mathbf{k} cdot mathbf{r} - omega t)}$，证明电场 $mathbf{E}$、磁场 $mathbf{B}$ 与波矢 $mathbf{k}$ 相互垂直，确立了电磁波是横波的本质。 5.3 能流与坡印廷矢量： 定义坡印廷矢量 $mathbf{S} = frac{1}{mu_0}(mathbf{E} imes mathbf{B})$，用以描述电磁能量的定向流动，并计算其随时间平均的能流密度。 --- 第三部分：微观世界的宏观体现——热力学与统计物理的桥梁 本部分旨在解释宏观热力学定律如何从微观粒子的大量统计行为中涌现出来，重点放在微观模型的建立和宏观定律的统计解释上。 第六章：统计系综与热力学量的统计起源 本章将引入统计物理学的基本工具——统计系综，并探讨如何利用这些工具计算宏观可观测量的平均值。 6.1 微观状态与宏观态： 明确区分微观状态（单个粒子的精确位置和动量）与宏观态（温度、压强等可观测量的集合）。引入相空间体积的概念。 6.2 概率分布与系综平均： 详细介绍微正则系综（能量确定）、正则系综（温度确定）和巨正则系综（温度和化学势确定）的概率分布函数，并阐明系综平均值即为宏观可测量的物理量。 6.3 玻尔兹曼因子与配分函数： 重点讲解在正则系综中，系统处于某一微观状态的概率由玻尔兹曼因子 $e^{-eta E_i}$ 决定。定义配分函数 $Z$，并展示它是连接微观能量与所有宏观热力学量的核心函数。 第七章：热力学定律的统计力学基础 本章将重新审视经典热力学定律，用统计学的语言赋予其微观解释。 7.1 熵的统计解释： 从微观角度重新定义玻尔兹曼熵公式 $S = k_B ln W$（其中 $W$ 为微观状态数），解释熵增原理的本质在于系统趋向于具有最大可能性的宏观状态。 7.2 自由能与热力学势： 阐明亥姆霍兹自由能 $F = -k_B T ln Z$ 和吉布斯自由能 $G$ 在平衡态判据中的作用，解释为什么系统倾向于使自由能最小化。 7.3 理想气体模型与麦克斯韦-玻尔兹曼分布： 运用统计方法推导经典理想气体粒子的速度分布——麦克斯韦-玻尔兹曼速度分布，并利用此分布计算气体的内能、压强，并解释温度的微观意义。 第八章：理想气体的量子修正：费米子与玻色子 本章将介绍当系统粒子的量子特性不能被忽略时，统计规律发生的变化，这是理解现代凝聚态物理和天体物理的基础。 8.1 费米-狄拉克统计： 介绍泡利不相容原理对费米子的影响，阐述费米-狄拉克分布，并讨论费米能的概念及其在常温下对金属电学特性的决定性作用。 8.2 玻色-爱因斯坦统计： 介绍玻色子不受限制地占据同一量子态的特性，阐明玻色-爱因斯坦分布，并简要提及低温下玻色-爱因斯坦凝聚现象的宏观表现。 --- 结语： 本书的目的是提供一个坚实的现代物理学框架，着重于从原理出发推导结果的严谨性，以及这些原理如何解释我们周围的宏观世界和支撑前沿科学研究的微观基础。内容涵盖了从精妙的分析力学到统一的场论，再到统计物理的跨越，为深入学习更专业的物理分支打下不可动摇的数理基础。

评分☆☆☆☆☆

翻开解析几何的部分，我立刻感受到了作者在内容组织上的匠心。以往看的很多教材，往往是把空间向量、平面方程、直线方程一股脑地堆在一起，搞得初学者头晕眼花，不知道该先抓住哪个重点。而这本教材的处理方式明显更具层次感。它非常清晰地划分了从二维坐标系到三维空间的处理逻辑，每引入一个新概念，都会立刻对应给出大量的几何解释和应用场景。比如在讲解曲面的参数方程时，作者不仅给出了标准公式，还特意插了一个小节，对比了不同参数化方式对图形描述的影响，这对于理解参数的物理意义至关重要。更让我印象深刻的是，书中的习题设计简直是教科书级别的“进阶引导”。基础题扎实地巩固了公式的应用，而中等难度题则开始要求综合运用向量的内积和外积来解决立体几何中的最短距离、夹角等问题。最难的那一类挑战题，往往不是考查你对单一知识点的掌握程度，而是要求你必须将微积分中的某些思想（比如如何用积分来理解曲面的面积）融入到几何的框架中去思考。这种交叉融合的训练，极大地锻炼了我的空间想象力和跨章节的解题能力，让我不再是死记硬背公式的“计算器”，而开始像一个真正的“几何构造师”那样去思考问题。

评分☆☆☆☆☆

关于级数的部分，这本书的处理方式可以说是兼顾了广度和深度。在学习幂级数之前，作者花了大量的篇幅来回顾和强调函数一致收敛性与逐项求导、逐项求积之间的微妙关系。很多教材在讲到幂级数展开泰勒公式时，对收敛半径和收敛区间判断的严谨性往往一笔带过，导致学生在实际应用中对边界点的处理感到迷茫。但这本教材详尽地分析了柯西判别法和比值判别法在处理收敛半径时的适用范围，并详细演示了在收敛区间端点处如何使用阿贝尔定理等进行精确判断。更令人赞赏的是，它在介绍傅里叶级数时，并非照本宣科地给出狄利克雷条件，而是通过讲解傅里叶级数在信号处理和振动理论中的实际应用案例，比如如何用它来逼近方波信号，使得我们理解为何需要引入正交分解的概念。这种“先应用驱动，后理论支撑”的叙事结构，极大地激发了我对函数逼近理论的兴趣，让级数的学习不再是枯燥的收敛性检验，而是一场关于“如何用最简单的函数去完美还原复杂信号”的艺术。

评分☆☆☆☆☆

这本书拿到手的时候，心里其实是挺忐忑的。毕竟“高等数学”这四个字，光是听着就感觉能把我拉回那些在自习室里对着函数图像发呆的夜晚。不过，这本教材的开篇倒是出乎意料地友好。它没有一上来就抛出那些让人望而生畏的符号和定义，而是花了相当大的篇幅去铺垫微积分这门学科的历史背景和它在现代科学中的重要性。我特别喜欢作者在绪论部分对“变化率”和“积累”这两个核心概念的阐述，用了许多非常贴近生活的例子，比如汽车的速度变化，水箱的注水过程等等。这让我感觉数学不再是空中楼阁里的抽象推理，而是解决实际问题的有力工具。初次接触极限概念时，我总是卡在ε-δ语言上，觉得绕来绕去特别别扭。但这本书的讲解方式很巧妙，它首先从直觉上的“无限接近”讲起，通过大量的图示和具体数列的例子来建立感性认识，然后再逐步引入严谨的定义。这就像是先给你看了一部精彩的预告片，让你对最终的结果充满期待，再去啃那些硬骨头的定义时，心里就有了一个锚点，不至于完全迷失方向。对于那些基础相对薄弱的同学来说，这种循序渐进、注重直观理解的编排方式，无疑是降低了学习门槛的第一道成功的关卡。它做到了将“高深”的理论以“平易近人”的姿态呈现出来。

评分☆☆☆☆☆

这本书的整体排版和阅读体验也是值得一提的优点。作为一本厚重的教材，纸张的质量和印刷的清晰度直接影响学习的持久性。这本书的用纸非常考究，长时间在灯下阅读也不会感到眼睛特别疲劳。最关键的是，页边距的处理非常合理，为读者留出了足够的空白区域来标注自己的理解、画出辅助图形或者记录一些额外的参考资料，这对于习惯于在书本上“留下痕迹”的学习者来说非常友好。此外，书中对重要定理和定义都采用了加粗或边框突出显示，使得在复习时，重点一目了然，不需要花费大量时间在书海中搜索关键信息。我个人特别欣赏它在章节末尾设置的“知识回顾与展望”环节。这个环节不是简单的习题汇总，而是用思维导图的形式，将本章的核心概念串联起来，并清晰地指出了本章内容将如何作为基础支撑后续章节的学习。这种对知识体系的宏观把控能力，在很大程度上帮助我避免了“只见树木不见森林”的学习误区，让我能更清晰地规划自己的学习路径，对这部教材的整体设计深感信赖。

评分☆☆☆☆☆

微积分的计算部分，是任何一本高等数学教材都绕不开的硬仗。我用过好几本参考书，但很少有像这本一样，将“不定积分”的求解技巧划分得如此细致和系统。它不是简单地罗列反正切、反正弦等基本积分公式，而是将分部积分法、换元积分法等核心技巧进行模块化拆解。作者似乎非常理解学生在运用这些技巧时的常见误区。比如在讲解三角换元法时，它会特别提醒读者注意换元后积分区间的对应变化，这是一个极其容易出错的细节，但很多教材往往一笔带过。这本书不仅提醒了，还通过两个对比鲜明的例子，展示了如果不注意区间变化会导致多大的误差。在定积分的应用方面，本书的侧重点明显偏向于物理和工程背景的应用。从计算不规则形状的面积、体积，到更进一步的求质心、转动惯量，每一个案例都配有清晰的物理模型图，使得抽象的定积分符号“$int$”真正地与现实世界中的“累加”过程挂钩起来。这种注重实际建模能力的培养，对于未来打算从事理工科研究或工程实践的读者来说，是无价的财富。