代数K理论及其应用 [Algebraic K-Theory and Its Applications] pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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[美] 罗森博格 著

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• 代数K理论
• K理论
• 代数拓扑
• 同调代数
• 代数几何
• 代数数论
• 高等代数
• 数学
• 学术著作
• 应用数学

出版社： 世界图书出版公司

ISBN：9787510005145

版次：1

商品编码：10515947

包装：平装

外文名称：Algebraic K-Theory and Its Applications

开本：24开

出版时间：2010-01-01

用纸：胶版纸

页数：392

正文语种：英文

内容简介

代数K理论在代数拓扑、数论、代数几何和算子理论等现代数学各个领域中的作用越来越大。这门学科的广泛性往往使人感觉望而生畏。《代数K理论及其应用》以1990年秋天Maryland大学讲义为基础，不仅为数学领域研究生提供很好的学习代数K理论的基本知识，也讲述其在各个领域的应用。全书结构完整，了解代数基础知识、基本代数拓扑和几何拓扑知识就可以完全读懂这《代数K理论及其应用》。该书也涉及到不少代数拓扑、拓扑代数和代数数论的知识。最后一章简明地介绍了循环同调以及其与K理论的关系。目次：环的K0群；环的K1群；范畴的K0、K1群，MilnorK2群；QuillenK理论和+-结构；循环同调及其与K理论的关系。
读者对象：数学系高年级学生及研究生的教材，也可供高校数学教师及数学研究人员阅读或参考。

目录

Preface
Chapter 1. Ko of Rings
1. Defining K0
2. Ko from idempotents
3. Ko of PIDs and local rings
4. Ko of Dedekind domains
5. Relative Ko and excision
6. An application： Swans Theorem and topological K- theory
7. Another application： Euler characteristics and the Wall finiteness obstruction

Chapter 2. K1 of Rings
1. Defining K1
2. K1 of division rings and local rings
3. K1 of PIDs and Dedekind domains
4. Whitehead groups and Whitehead torsion
5. Relative K1 and the exact sequence

Chapter 3. Ko and K1 of Categories， Negative K-Theory
1. Ko and K1 of categories， Go and G1 of rings
2. The Grothendieck and Bass-Heller-Swan Theorems
3. Negative K-theory

Chapter 4. Milnors K2
1. Universal central extensions and H2
Universal central extensions
Homology of groups
2. The Steinberg group
3. Milnors K2
4. Applications of K2
Computing certain relative K1 groups
K2 of fields and number theory
Almost commuting operators
Pseudo-isotopy

Chapter 5. The +-Construction and Quillen K-Theory
1. An introduction to classifying spaces
2. Quillens +-construction and its basic properties
3. A survey of higher K-theory
Products
K-theory of fields and of rings of integers
The Q-construction and results proved with it
Applications

Chapter 6. Cyclic homology and its relation to K-Theory
1. Basics of cyclic homology
Hochschild homology
Cyclic homology
Connections with “non-commutative de Rhom theory”
2. The Chern character
The classical Chern character
The Chern character on Ko
The Chern character on higher K-theory
3. Some applications
Non-vanishing of class groups and Whitehead groups
Idempotents in C*-algebras
Group rings and assembly maps
References
Books and Monographs on Related Areas of Algebra，Analysis， Number Theory， and Topology
Books and Monographs on Algebraic K-Theory
Specialized References
Notational Index
Subject Index

前言/序言

经典数学著作：现代代数几何与拓扑中的关键视角 书名：范畴论导论：从集合论到抽象代数的桥梁 作者： 史密斯 (A. Smith) / 约翰逊 (B. Johnson) 出版社： 学术前沿出版社 (Frontier Academic Press) --- 内容简介： 本书旨在为读者提供一个全面且深入的现代范畴论的视角，该理论作为连接代数、几何和拓扑学等多个数学分支的统一语言，在当代数学研究中占据着核心地位。我们不着眼于特定的应用领域，而是致力于构建坚实的理论基础，阐释范畴论的基本概念、构造及其内在的逻辑结构。 本书的结构设计旨在逐步引导读者，从最基础的集合论直觉出发，过渡到高度抽象的范畴框架，最终触及函子、自然变换以及极限与余极限等高级主题。全书共分为七个主要部分，力求在严谨性与可读性之间取得平衡。 第一部分：基础概念的建立 本部分首先回顾了必要的预备知识，侧重于集合论的现代观点，特别是关于类（Classes）而非仅限于集合（Sets）的讨论，为处理“大”范畴（如所有拓扑空间的范畴）打下基础。随后，我们正式引入范畴（Category） 的定义，详细阐述了对象（Objects）、态射（Morphisms）的性质，以及复合态射的结合律和单位态射的存在性。我们通过大量的实例，包括集合范畴 ($mathbf{Set}$)、群范畴 ($mathbf{Grp}$)、环范畴 ($mathbf{Ring}$)，以及拓扑空间范畴 ($mathbf{Top}$) 等，使读者直观理解范畴的结构。 第二部分：函子与自然性 在理解了范畴的静态结构后，本书转向研究范畴之间的动态联系——函子（Functors）。我们详细区分了协变函子和逆变函子，并强调了它们如何“翻译”一个范畴的结构到另一个范畴。紧接着，本书引入了自然变换（Natural Transformations） 的概念，这是范畴论的精髓所在。我们通过“自然性”这一核心思想，探讨了态射之间的“等价性”和“一致性”。本部分通过对比不同的构造方法（例如，自由对象、积、上积的构造）如何自然地生成函子，深刻揭示了自然变换在抽象推理中的威力。 第三部分：特殊结构的范畴 本部分专注于具有特殊代数或拓扑结构的范畴。我们深入研究了阿贝尔范畴（Abelian Categories），如模块范畴，并详细探讨了核（Kernels）、上核（Cokernels）、单射对象和投射对象的定义与性质。这为后续深入理解链复形和同调代数奠定了必要的语境。此外，我们还探讨了预加法范畴（Preadditive Categories）和加法范畴（Additive Categories）的构造，展现了如何在线性结构中嵌入范畴论的思想。 第四部分：极限与余极限的统一框架 极限（Limits）和余极限（Colimits）是范畴论中处理“组合”和“分解”操作的统一工具。本部分全面考察了这些概念。我们从具体例子（如笛卡尔积、纤维积、不相交并、纤维和）出发，抽象出乘积（Product）和上积（Coproduct）的普遍性质。随后，本书系统地讨论了极限（包括均衡子、纤维积）和余极限（包括推拉、自由和）的定义，并强调了它们通过函子表示和通过特定的对象组成的图表来定义的等价性。我们特别关注了伴随函子（Adjoint Functors） 的重要性，将其视为极限和余极限存在性的强大内在条件。 第五部分：等价性与范畴的“同构” 理解范畴之间的相似性是高层数学研究的关键。本部分详细区分了函子间的自然同构、函子之间的等价（Equivalence of Categories），以及范畴间的等价。我们详细分析了等价范畴的特征，证明了它们在数学本质上是不可区分的。这部分内容帮助读者建立起，在不同数学框架下，如何识别“相同”结构的严谨方法论。我们讨论了全纯函子（Fully Faithful Functors）和稠密函子（Dense Functors）在建立等价性中的作用。 第六部分：簇（Grothendieck Universes）与大范畴 在更高级的层面上，处理所有集合、所有拓扑空间等“太大”的结构时，传统的策梅洛-弗兰克尔集合论（ZFC）存在局限性。本部分引入了簇论（Grothendieck Universes） 的概念，作为处理“大”范畴的工具。我们探讨了什么是 $kappa$-完备的范畴，以及这些工具如何使得在理论上安全地讨论如所有向量空间的范畴 ($mathbf{Vect}_k$) 或所有小范畴 ($mathbf{Cat}$) 成为可能。这部分内容为后续接触概形论和高阶同调理论做准备。 第七部分：预备知识与展望 本书的最后一部分提供了必要的背景补充，包括对斜范畴（Skeletally small categories）的简要讨论，以及对双范畴（Bicategories） 的初步介绍，作为对普通范畴理论的自然推广。本部分还提供了大量未解决的或需要进一步探索的主题的参考文献，暗示了范畴论在代数拓扑、逻辑学和计算机科学（特别是类型论）中的广泛前沿应用。 目标读者： 本书适合于具有扎实抽象代数（群论、环论）和基本拓扑学知识的研究生和高年级本科生。它也是希望从基础开始系统学习范畴论，并将其作为后续研究工具（如代数几何、同调代数、表示论）的数学家的理想参考书。全书侧重于概念的澄清和结构的统一，而非具体应用领域的详细推导。

评分☆☆☆☆☆

《群论与对称性》这本书，从最基础的群的定义出发，花了大量的篇幅来探讨有限群的结构定理和表示论。我个人认为，这本书最大的亮点在于它对群作用的灵活运用，通过轨道-稳定子定理等工具，将抽象的群结构与具体的集合操作紧密联系起来。作者在讲解不可约表示时，使用了非常清晰的线性代数语言，使得原本枯燥的特征标理论变得生动起来。书中收录的例子涵盖了从伽罗瓦群到晶体对称群的广泛领域，这极大地拓宽了我对群论实际应用的视野。然而，我感觉在关于无限群（如李群的初步介绍）的部分处理得稍显不足，似乎只是蜻蜓点水，未能充分展现其深邃之处。如果能增加更多关于非阿贝尔群的实例分析，比如更深入地探讨交换子子群的应用，这本书的价值会更上一层楼。对于希望打牢代数基础，特别是对对称性理论有兴趣的读者来说，这本书无疑是一本不可多得的良师益友。

评分☆☆☆☆☆

《抽象代数：结构与应用》这本书以其清晰的结构和丰富的应用实例成功吸引了我。它不仅仅是一本纯粹的理论教科书，更像是一本数学思维的训练手册。作者对环、域和理想的讨论非常到位，特别是对多项式环的深入挖掘，为理解代数数论和代数几何打下了坚实的基础。书中对模的概念的处理也十分巧妙，通过与向量空间的类比，使得模论不再那么神秘。我个人特别喜欢书中对费马大定理的历史背景介绍以及它如何激发了环论的发展这一段叙述，这种“问题驱动”的学习方式让人感到非常受启发。然而，我希望作者能在“同构定理”的证明部分，能够再多提供一些不同视角下的解读，目前的版本虽然正确，但对于初次接触的读者来说，可能稍显单调。总的来说，这本书的难度适中，内容覆盖面广，绝对是构建扎实代数基础的绝佳选择。

评分☆☆☆☆☆

《范畴论：抽象的语言》这本书给我的冲击非常大，它彻底改变了我看待数学结构的方式。作者从集合论的局限性出发，引出了范畴、函子和自然变换这些核心概念，展现了一种高度概括和统一的数学语言。书中对极限和余极限的讲解，清晰地揭示了它们在不同数学分支中的普适性。作者引入的阿贝尔范畴和导出范子（Derived Functors）虽然难度陡增，但其带来的洞察力是无与伦比的，它为同调代数提供了强大的工具箱。我曾尝试阅读其他范畴论的书籍，但往往在开头就被复杂的符号和定义劝退，而这本书的作者成功地保持了一种流畅的叙事节奏，使得抽象的概念可以逐步被“消化”。唯一的建议是，如果能在书中穿插更多关于范畴论在计算机科学（如类型论）中应用的具体案例，将更有助于巩固理论的实践价值。这本书要求读者具备较高的抽象思维能力，但它所给予的回报是跨越学科限制的深远理解。

评分☆☆☆☆☆

翻开《微分几何基础与应用》，我的第一印象是其严谨性令人印象深刻。这本书对于微分形式、外微分和德拉姆上同调的论述，完全遵循了现代微分几何的规范，逻辑链条无懈可击。作者在介绍黎曼度量和联络时，并没有急于引入复杂的张量分析，而是先通过切丛和向量场等直观概念逐步引导，这使得概念的接受度大大提高。书中穿插的对曲率张量的几何解释，比如高斯曲率和里奇曲率，让我对弯曲空间有了更深刻的物理直觉。我尤其欣赏作者在每一章末尾设置的“历史与展望”部分，它不仅提供了知识的背景，也指明了研究的方向。美中不足的是，对于那些不太熟悉微分方程和高等微积分的读者，开篇部分可能会略感吃力，可能需要先复习一下相关的分析工具。总而言之，这是一本结构严谨、内容详实的高质量教材，适合作为专业几何方向研究生的入门读物。

评分☆☆☆☆☆

读完《现代拓扑学导论》之后，我感觉自己对流形、同调和上同调这些概念有了更扎实的理解。这本书的作者在构建理论框架时非常细致，尤其是在引入纤维丛和陈类时，讲解得深入浅出。虽然某些章节的代数部分需要读者有一定的基础，但整体而言，它成功地搭建了一座从经典拓扑学到现代几何学的桥梁。我特别欣赏作者在讲解时总是能联系到具体的例子，比如黎曼几何中的曲率计算，这使得抽象的理论变得可以触摸。书中对辛几何的简要介绍也让我对更前沿的研究领域有了初步的认识，为我后续深入学习打下了良好的基础。不过，对于初学者来说，可能需要配合其他更基础的代数拓扑教材来辅助阅读，因为在某些核心概念的铺垫上，可能略显紧凑。这本书的排版和图示都做得相当出色，有效地帮助理解那些复杂的结构。总的来说，这是一本值得反复研读的优秀教材，尤其适合有一定数学背景，希望系统学习拓扑学高级主题的读者。

评分☆☆☆☆☆

这个课题最早由亚历山大·格罗滕迪克1957年发现，名字取自德文“Klasse”，意为“分类”class ，进而表述为格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理[1]。格罗腾迪格需要在代数簇 X 的层上工作。不是直接在处理层，他给出了两个构造。首先，他利用直和运算将层的交换幺半群转换成一个群 通过取层的分类的形式和以及形式加法逆（这是得到给定函子左伴随的明确方法）。在第二个构造中，他强加以与层扩张一致的额外关系，得到一个现在记作 的群。这两个构造都被称为格罗腾迪克群； 具有上同调表现而 有同调表现。

评分☆☆☆☆☆

在物理学中，K-理论特别是扭曲K-理论（twisted K-theory）出现在II型弦理论（Type II string theory），其中猜测它们可分类D-膜（D-branes）、拉蒙-拉蒙场强（Ramond-Ramond field）以及广义复流形上某些旋量。

评分☆☆☆☆☆

书很好，只是有点脏

评分☆☆☆☆☆

在物理学中，K-理论特别是扭曲K-理论（twisted K-theory）出现在II型弦理论（Type II string theory），其中猜测它们可分类D-膜（D-branes）、拉蒙-拉蒙场强（Ramond-Ramond field）以及广义复流形上某些旋量。

评分☆☆☆☆☆

书很好，只是有点脏

评分☆☆☆☆☆

孩子用的，物流棒.....

评分☆☆☆☆☆

这个课题最早由亚历山大·格罗滕迪克1957年发现，名字取自德文“Klasse”，意为“分类”class ，进而表述为格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理[1]。格罗腾迪格需要在代数簇 X 的层上工作。不是直接在处理层，他给出了两个构造。首先，他利用直和运算将层的交换幺半群转换成一个群 通过取层的分类的形式和以及形式加法逆（这是得到给定函子左伴随的明确方法）。在第二个构造中，他强加以与层扩张一致的额外关系，得到一个现在记作 的群。这两个构造都被称为格罗腾迪克群； 具有上同调表现而 有同调表现。

评分☆☆☆☆☆

joli

评分☆☆☆☆☆

在1955年，让-皮埃尔·塞尔已经用具有投射模向量丛的类似物来表述塞尔猜想（Serre's conjecture），该猜想声称一个域上多项式环上的投射模是自由模；这个论断是正确的，但知道20年后才解决（斯旺定理（Swan'theorem）是这个类比的另一方面）。1959年，塞尔给出了环的格罗腾迪克群构造，用它来证明投射模是稳定自由的。这个应用是代数K-理论之开端。