汉译世界学术名著丛书：算术基础 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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G.弗雷格 著，王路 译

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• 数学
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• 数学史
• 欧几里得

出版社： 商务印书馆

ISBN：9787100032391

版次：1

商品编码：10554459

品牌：商务印书馆（The Commercial Press）

包装：平装

丛书名： 汉译世界学术名著丛书

开本：32开

出版时间：1998-08-01

页数：123

正文语种：中文

内容简介

《算术基础》本身包含着许多深刻的哲学探讨，比如关于数的讨论、关于分析和综合的讨论、关于逻辑和心理学的区别的讨论。

目录

序
1.在数学中近来可以看到一种旨在达到证明的严格性和概念的精确理解的努力
2.证明最终必然也涉及数这个概念。证明的目的。
3.如下研究的哲学动机：有争议的问题，数的定律是分析的真命题还是综合的真命题，是先验的还是后验的。这些表达式的意义.
4.本书的任务

I.一些著作家关于算术句子的性质的意见数公式是可证明的吗？
5.康德否认汉克尔正当地称之为悖论的东西
6.莱布尼兹关于2+2-4的证明有一个缺陷。格拉斯曼关于a+b的定义是不完善的
7.密尔的下述意见是没有根据的：单个的数的定义断定观察到的事实，而由这些事实得出计算
8.就定义的合理性而言，并不要求对事实的观察算术规律是归纳的真命题吗？
9.密尔的自然律。当密尔把算术的真命题称为自然律时，他混淆了这些命题和它们的应用
10.反对加法定律是归纳的真命题的理由：数的不同类性；我们并没有通过定义而得到数的许多共同特征；很可能正相反，归纳是基于算术而证明的
11.莱布尼兹的"生来就有的算术定律是先验综合的还是分析的？
12.康德。鲍曼。利普希兹。汉克尔。作为认识基础的内在直觉
13.算术和几何的区别
14.联系由真命题支配的领域来比较真命题
15.莱布尼兹和杰芬斯的观点
16.反对密尔贬低"对语言的熟练驾驭"。符号不意谓任何可感觉的东西，因此不是空的
17.归纳的不充分性。猜测，数的定律是分析判断；那么它们的用处在哪里。尊重分析判断

II.一些著作家关于数概念的看法
18.研究数这个普遍概念的必要性
19.定义不能是几何学的
20.数是可定义的吗？汉克尔·莱布尼兹数是外在事物的性质吗？
21.康托尔和施罗德的看法
22.鲍曼的不同看法：外在事物不表现出严格的性质。数似乎依赖于我们的理解
23.密尔下述看法是站不住脚的：数是事物的聚集的性质
24.数的广泛可应用性。密尔。洛克。莱布尼兹的非物质形象。如果数是某种有感觉的东西那么就不能把它们赋予没有感觉的东西
25.密尔关于2和3之间的物理区别。根据贝克莱，数实际上不在事物之中，而是通过心灵创造出来的数是主观的东西吗？
26.利普希兹关于数的构造的描述是不合适的，并且不能代替对概念的确定。数不是心理学的对象，而是某种客观的东西
27.数不是像施罗埃密尔西想说明的那样的关于一个对象在一个系列中的位置的表象作为集合的数
28.托迈的命名

Ⅲ关于单位和一的看法
"一"这个数词表达对象的一种性质吗？
29."po岫℃"和"单位"这两个表达式的多义性。施罗德把单位解释为计数对象，似乎是没有用处的。"一"这个形容词不包含任何更进一步的确定，不能用作谓词
30.根据莱布尼兹和鲍曼所尝试的定义，似乎一这个概念完全消失了
31.鲍曼关于不可分性和分界性的标志。一这个观念不是由那个对象提供给我们的（洛克）
32.语言确实说明与不可分性和分界性的一种联系，然而在这里意义发生变化
33.不可分性（G.科普）是不能作为一的标志而得到的单位是否彼此相等？
34.作为"一"这个名字的基础的单位。施罗德。霍布斯。休谟。托迈。通过抽象掉事物的差异得不到数这个概念，而且由此事物不是相等的
35.即使应该谈论多，差异也是必要的。施罗德。杰芬斯
36.关于单位的差异性的看法也引起困难。杰芬斯的不同的
37.洛克、莱布尼兹、黑塞从单位或一对数的解释
38.“一”是专名，“单位”是概念词。数不能被定义为单位"和"和+的区别
39.由于"单位"的多义性，化解单位相等和可区别性的困难被掩盖起来克服这个困难的尝试
40.时间和空间作为区别的方法。霍布斯。托迈。相反的看法：莱布尼兹，鲍曼，杰芬斯
41.这个目的达不到
42.一个序列中的位置作为区别的方法。汉克尔的假定
43.施罗德通过1这个符号塑造对象
44.杰芬斯通过确定差异的存在而抽象掉差异特征。0和1是与其他数一样的数。困难依然存在困难的解决
45.回顾
46.数的给出包含着对一个概念的表达。反对意见，概念不变时数发生变化
47.数的给出这个事实由概念的客观性得到说明
48.解决几个困难
……
IV.数这个概念

精彩书摘

1.数学在长时间背离了欧几里得的严格性之后，现在又回到这种严格性，并且甚至努力超越它。在算术中，也许由于许多处理方式和概念发源于印度，因而产生一种不如主要由希腊人发展形成的几何学中那样严谨的思维方式。更高的数学分析的发现仅仅促进了这种思维方式；因为一方面，严格地探讨这些学说遇到了极大的几乎不可克服的困难，另一方面，为克服这些困难付出的努力似乎没有什么价值。然而，后来的发展总是越来越清楚地说明，在数学中一种以多次成功的运用为依据的纯粹的道德信念是不够的。许多过去被看作是自明的东西，现在都需要证明。通过证明，在一些情况下才确定了有效性的限度。函数、连续性、极限、无穷这些概念表明需要更明确的规定。负数和无理数长期以来已为科学所接受，它们的合理性却必须得到更严格的证明。
因此到处可以看到人们努力进行严格的证明，准确地划定有效性的限度，并且为了能够做到这些，努力准确地把握概念。
§2.沿着这条道路，必然达到构成整个算术基础的数这个概念和适合于正整数的最简单的句子。当然，像5+7-12这样的数公式和像加法结合律这样的定律，通过每天对它们的无数次运用而得到许多次确认，因此由于想要进行证明而对它们表示怀疑，看上去简直是可笑的。但是数学的本质就在于，凡是可以进行证明的地方，就要使用证明而不用归纳来确证。欧几里得证明了许多在他看来大家本来就承认的东西。

前言/序言

一这个数是什么，或者，1这个符号意谓什么，对这个问题，人们通常得到的答案是：一个事物。此外，如果人们注意到，
“一这个数是一个事物”（“die Zahl Eins ist ein Ding”）这个句子不是定义，因为它一边是定冠词，另一边是不定冠词，如果人们还注意到，这个句子只是说一这个数属于事物，而没有说是哪个事物，那么也许人们就不得不自己选择人们愿意称之为一的任何一个事物。但是，如果每个人都可以有权任意理解这个名称，那么关于一的同一个句子对于不同的人就会意谓不同的东西；这样的句子就不会有共同的内容。一些人也许会拒绝回答这个问题，他们暗示说，甚至算术中a这个字母的意谓也是不能说明的；而且，如果人们说a意谓一个数，那么这里就可能发现与“一是一个事物”这个定义中相同的错误。拒绝回答与a有关的问题是完全有理由的，因为它不是意谓确定的可指明的数，而是用来表示句子的普遍性。如果用任何一个数代入a+a-a-a中的a，并且处处都代入相同的数，那么总是得到一个正确的等式。a这个字母是在这种意义上使用的。但是关于一的问题，情况就根本不同。在1+1-2这个等式中，我们能用相同的对象，譬如月亮，两次代入1吗？

《解析几何基础：欧氏空间中的曲线与曲面》 著者： [此处填写虚构的作者姓名，例如：阿历山大·冯·赫尔姆霍茨（Alexander von Helmholtz）] 译者： [此处填写虚构的译者姓名，例如：李明德] 丛书： 现代数学前沿译丛 出版信息： [此处填写虚构的出版社和出版年份，例如：北京大学出版社，2023年] --- 内容提要 本书是为高等数学和理论物理专业的学生、研究人员以及对经典几何学有浓厚兴趣的读者精心撰写的一部关于解析几何基础的专著。它深入浅出地阐述了笛卡尔坐标系下，在三维欧氏空间中，曲线和曲面的代数表示、微分性质及其拓扑特征。全书聚焦于用严谨的数学语言和清晰的几何直觉相结合的方式，构建起从基础概念到高级应用之间坚实的桥梁。 本书的结构设计兼顾了历史的继承性和现代数学的严谨性。我们没有将解析几何视为纯粹的计算工具，而是将其视为理解空间结构和形变规律的基石。尤其重视对曲率、测地线、主方向等核心概念的物理和几何意义的阐释，力求使读者不仅“会算”，更能“明白”。 第一部分：欧氏空间基础与坐标变换 本部分作为全书的基石，首先回顾了向量代数在三维空间中的应用，包括向量的线性组合、内积和外积的几何意义。随后，我们系统地介绍了直角坐标系、柱坐标系和球坐标系之间的相互转换，并详细讨论了坐标系旋转带来的坐标分量变化规律。 重点章节探讨了刚体运动（平移与旋转）在坐标变换中的体现，推导了正交变换矩阵的性质。这种对变换不变性的强调，为后续讨论几何对象的内在属性奠定了严格的基础。我们引入了度规张量的概念，尽管此处尚未涉及黎曼几何的深度，但通过度规张量，读者可以直观理解长度和角度在不同坐标系下的表达方式，为后续的微分几何学习做好了铺垫。 第二部分：空间曲线的参数表示与微分几何 曲线是解析几何中最基本的研究对象之一。本部分从参数方程 $r(t) = (x(t), y(t), z(t))$ 出发，详细分析了曲线的性质。 首先，我们引入了弧长微分的概念，并基于此定义了单位切向量 $mathbf{t}(s)$。在引入自然参数化（按弧长参数化）后，我们才能进行真正的内在几何研究。 核心章节在于 Frenet-Serret 标架的构建。我们严格推导了挠率（torsion, $ au$）和曲率（curvature, $kappa$）的定义及其微分方程组。曲率被解释为曲线偏离其切线的程度，而挠率则衡量了曲线偏离其所在平面（由切向量和主法向量张成的平面）的程度。通过 Frenet-Serret 公式，读者将清晰地看到曲线在空间中“扭曲”和“弯折”的动态过程。 为避免对参数化的过度依赖，我们还引入了曲线的隐函数表示，并探讨了在局部可以如何定义与 Frenet 标架等价的几何量。 第三部分：曲面的几何描述与基本形式 曲面是三维空间中更复杂的研究对象。本书采用参数曲面 $S(mathbf{u}) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))$ 的方法进行系统分析。 第一基本形式（First Fundamental Form） 被引入作为曲面的“内度量”，它允许我们在曲面上计算长度、夹角和面积，而不依赖于曲面如何嵌入到外部空间。我们详细计算了度量系数 $E, F, G$ 及其与偏导数之间的关系，并展示了第一基本形式在曲面上的等距变换下保持不变的特性。 随后，我们转向研究曲面的“外在”弯曲——曲率。我们引入了法向量场 $mathbf{n}$，并通过曲面的第二偏导数定义了第二基本形式，它描述了曲面如何偏离其在某一点的切平面。 关键概念主曲率（Principal Curvatures）、高斯曲率（Gaussian Curvature, $K$） 和平均曲率（Mean Curvature, $H$） 被详细阐述。高斯曲率通过第一、第二基本形式的行列式比值得到，它是一个内蕴量（即不依赖于外在嵌入），这是本章的理论高潮。我们对Dupin 标架和曲面上的测地线进行了初步探讨，为读者理解更深层次的微分几何（如 Gauss-Bonnet 定理）打下坚实基础。 第四部分：特殊曲面与经典应用 本部分将理论应用于具体的几何实例，加深对概念的理解。 1. 二次曲面分类： 使用标准二次型理论，对椭球面、双曲面、抛物面等常见二次曲面进行系统的坐标轴对齐和分类，明确其几何特征（如焦点、准线）。 2. 旋转曲面： 重点分析了由平面曲线绕轴旋转生成的曲面，如圆环面（Torus），并计算了这些曲面的高斯曲率分布。 3. 测地线与最短路径： 探讨了测地线作为曲面上的“直线”的定义，并通过变分原理（欧拉-拉格朗日方程）推导了测地线的微分方程。特别地，对圆柱面和球面上的测地线（螺旋线和圆/大圆）进行了详尽的计算和几何解释。 结语与展望 本书旨在提供一个扎实、严谨且富有几何洞察力的解析几何入门体系。我们力求在不引入过多抽象代数工具的前提下，揭示欧氏空间几何学的深刻美感。掌握本书内容后，读者将具备分析复杂三维空间曲线和曲面几何特性的能力，为深入学习广义相对论、连续介质力学以及更高维的微分几何打下无可替代的分析基础。 --- 读者对象： 数学专业本科生（二、三年级） 物理学、航空航天、工程力学专业相关课程学生 需要复习或深入理解解析几何基础的研究人员。

评分☆☆☆☆☆

这本书给我带来的最大震撼，在于它所揭示的数学的“不可能”与“必然”。作者以一种近乎偏执的严谨，将看似简单的算术，拆解到最原始的公理和逻辑推演。这种深入骨髓的剖析，让我开始重新审视那些我们习以为常的数学符号和运算。比如，书中对于“0”和“1”的定义，并非我们直观理解的那样，而是通过一系列形式化的公理来确立其存在和性质。当我看到这些抽象的概念如何被严密地构建起来，并最终推导出我们熟悉的算术定律时，那种成就感是难以言喻的。这本书让我明白，数学的真理并非空中楼阁，而是建立在坚不可摧的逻辑基石之上。然而，也正是因为这种极致的严谨，使得本书的阅读门槛相当高，需要读者具备一定的逻辑思维能力和数学基础，否则很容易在复杂的符号和证明中迷失方向。

评分☆☆☆☆☆

初次翻阅这本《算术基础》，我原本以为会是一本相对容易入门的数学读物，没想到却打开了一扇通往抽象数学殿堂的大门。书中对数学概念的定义一丝不苟，每一个词语的选择都经过深思熟虑，这使得整个论证过程如同滴水穿石般精准。我尤其对书中关于“数”本身的定义和构造感到着迷。它并没有直接给出我们熟悉的1、2、3，而是从更基础的公理出发，一步步构建出自然数，这种“从无到有”的严谨推演过程，让我深刻体会到数学的逻辑之美。书中还涉及了大量的逻辑符号和证明技巧，刚开始接触时确实有些吃力，需要反复查阅资料和思考。但随着阅读的深入，我逐渐领略到了这种数学语言的强大之处，它能够清晰、无歧义地表达复杂的数学思想。这本书让我认识到，所谓的“基础”并非易事，而是蕴含着最深刻的智慧和最坚实的根基。

评分☆☆☆☆☆

这本书简直就是一本“数学宪法”。它所呈现的，不是我们日常生活中所使用的算术，而是一种更加基础、更加抽象的算术理论。我从中看到了数学的“元语言”，那些构成数学大厦最底层的基石。书中对于逻辑规则的强调，以及如何从简单的公理出发，一步步构建出复杂的数学体系，让我对数学的敬畏之情油然而生。每一次阅读，都像是进行一次严谨的哲学思辨，思考“什么是数”、“什么是证明”这些看似简单却又极其深刻的问题。当然，这本书对于读者的数学功底和逻辑分析能力要求极高，非数学专业的读者可能会感到望而生畏。但对于那些渴望探究数学本质，理解其内在逻辑的读者来说，这本书绝对是一部不可多得的经典之作，它将引领你进入一个更加广阔、更加深刻的数学世界。

评分☆☆☆☆☆

这是一次与数学“本体”的深度对话。这本书没有花哨的图表，也没有生动的案例，只有纯粹的符号、公理和证明。它像是一面镜子，映照出数学世界中最本质、最纯粹的面貌。我花了很长时间去理解书中的一些证明，有时甚至需要几个小时才能消化一个小小的推论。那种感觉就像是在解一道极其复杂的谜题，每一步都必须小心翼翼，稍有差池便前功尽弃。但当最终谜底揭晓，整个证明豁然开朗时，那种智力上的满足感是无与伦比的。这本书让我看到了数学的“冷峻”之美，它不迎合，不讨好，只追求最纯粹的真理。它教会我，真正的理解来自于艰苦的思考和不懈的探索，而不是简单的接受。

评分☆☆☆☆☆

一本晦涩的数学巨著，虽然名字听起来像是基础的算术，但实际内容却远超我的想象。这本书深入探讨了数学的根基，从公理、定义到各种证明，其严谨性令人叹为观止。我花了很长时间才理解其中一些核心概念，比如集合论的公理化构建，以及皮亚诺公理体系是如何一步步奠定自然数基础的。书中对于逻辑推理的极致运用，让我感受到了数学作为一门“思辨的艺术”的魅力。每一次读懂一个证明，都像是在黑暗中点亮了一盏灯，让我对数学的理解更加清晰。当然，这并不是一本轻松的读物，它需要读者投入大量的时间和精力去消化，但对于那些真正热爱数学，渴望探究其本质的读者来说，这本书无疑是一座宝藏。它不仅仅是关于数字的游戏，更是关于数学世界最深层次的逻辑结构和思想体系的展示。

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弗雷格是个政治立场保守的德国数学家，他重新激起人们对逻辑学的哲学兴趣。弗雷格试图找出算术的“基础”，以演绎的方式证明“二加二等于四”这类基本恒等式必然为真。从亚里斯多德以降，逻辑学一直是研究命题与命题彼此关系的学问，弗雷格则扩大逻辑学的内容，创造了“量化”逻辑 ( 与“全部”、“有些”、“无”等范畴有关)，使其成为今日哲学家熟知与沿用的知识。正如笛卡儿与洛克沿着知识论大道发展现代哲学，弗雷格也沿着逻辑学与语言分析之路发展当代哲学。“语言学转向”是个令人兴奋的突破，它试图以“分析”哲学为基础，解释所有的理论。[1]

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数学在长时间背离了欧几里得的严格性之后，现在又回到这种严格性，并且甚至努力超越它。在算术中，也许由于许多处理方式和概念发源于印度，因而产生一种不如主要由希腊人发展形成的几何学中那样严谨的思维方式。更高的数学分析的发现仅仅促进了这种思维方式；因为一方面，严格地探讨这些学说遇到了极大的几乎不可克服的困难，另一方面，为克服这些困难付出的努力似乎没有什么价值。然而，后来的发展总是越来越清楚地说明，在数学中一种以多次成功的运用为依据的纯粹的道德信念是不够的。许多过去被看作是自明的东西，现在都需要证明。通过证明，在一些情况下才确定了有效性的限度。函数、连续性、极限、无穷这些概念表明需要更明确的规定。负数和无理数长期以来已为科学所接受，它们的合理性却必须得到更严格的证明。

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46.数的给出包含着对一个概念的表达。反对意见，概念不变时数发生变化

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才来咯额咯木有莫露露屋头有土木哦哦OK了的吧阿莱西娅卡拉

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1.在数学中近来可以看到一种旨在达到证明的严格性和概念的精确理解的努力

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一直很喜欢这本书，这本真心不错。喜欢

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Classic, no need to say more.

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29."po岫℃"和"单位"这两个表达式的多义性。施罗德把单位解释为计数对象，似乎是没有用处的。"一"这个形容词不包含任何更进一步的确定，不能用作谓词