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单墫 著

图书标签:

• 数论
• 初等数论
• 数学
• 数学教材
• 高等数学
• 数论基础
• 数学分析
• 算法
• 数学研究
• 竞赛数学

出版社： 哈尔滨工业大学出版社

ISBN：9787560332178

版次：1

商品编码：10777778

包装：平装

丛书名： 数论经典著作系列

开本：16开

出版时间：2011-03-01

用纸：胶版纸

页数：224

字数：267000

内容简介

　　 《初等数论的知识与问题》共分两编，第一编初等数论的知识，第二编100道数论问题及解答。第一编包括第1章数的整除性，第2章同余，第3章数论函数，第4章不定方程，第5章连分数以及习题答案与提示；第二编包括第6章100道数论问题，第7章解答；附录包括2009年国家集训队的几道试题及空间格点三角形的面积。
　　 《初等数论的知识与问题》适合于数学奥林匹克竞赛选手和教练员，初、高等学校师生以及研究人员和数论爱好者。

作者简介

单壿，1943年11月生，我国著名的数学传播普及和数学竞赛专家。1964年毕业于扬州师范学院数学系，在中学、大学任教40多年，1983年获理学博士学位（我国首批18名博士之一），1991年获全国优秀教师称号，1991年7月起享受政府特殊津贴，1992年被评为国家有突出贡献的中青年专家，1995年被评为省“优秀学科带头人”。
曾任南京师范大学数学系主任，中国数学奥林匹克委员会委员、教练组组长，南京市数学学会理事长，主要研究领域是数论与组合，发表论文数十篇。同时，在数学的普及与数学竞赛方面做了大量工作。著作有《趣味的图论问题》、《覆盖》、《棋盘上的数学问题》、《组合几何》、《对应》、《数学竞赛史话》、《数学竞赛研究教程》、《国际数学竞赛中的解题方法》等20多种，主编《奥数教程》、《初等数学名题题典》、《几何不等式在中国》、《华罗庚数学奥林匹克丛书》等，译著有《几何不等式》、《近代欧氏几何学》等，很多成果达到国际先进水平。
1989年作为中国数学奥林匹克代表队副领队、主教练，1990年作为领队，率队参加IMO均获总分第一，为我国数学竞赛事业作出很大贡献。

目录

第一编 初等数论的知识
第1章 数的整除性
第2章 同余
第3章 数论函数
第4章 不定方程
第5章 连分数
习题答案与提示

第二编 100道数论问题及解答
第6章 100道数论问题
第7章 解答
附录
附录1 2009年国家集训队的几道试题
附录2 空间格点三角形的面积
参考文献
编辑手记

前言/序言

《初等数论的知识与问题》 这本著作深入探讨了数论这个古老而迷人的数学分支，重点关注那些在基础层面上既重要又富有启发性的概念和技巧。本书并非一个简单的公式汇编，而是旨在为读者构建一个严谨且直观的数论知识体系。 全书内容概览： 整除性理论： 这是数论的基石，我们将从最基本的整除关系开始，逐步引入最大公约数（GCD）和最小公倍数（LCM）的概念。学习欧几里得算法及其在求解GCD中的效率，并探索其在代数上的推广——裴蜀定理。此外，本书还会深入讲解素数的定义、性质，以及算术基本定理（又称素因数分解定理），揭示了所有大于1的整数都可以唯一地分解为素数的乘积这一深刻结论。我们还将探讨如何判断一个数是否为素数，以及一些初级的素数分布规律。 同余理论： 同余是数论中一个极其强大的工具，它允许我们将整数的性质映射到有限的集合上进行研究。本书将详细介绍同余的基本性质、同余方程的解法，包括一次同余方程以及线性同余方程组（中国剩余定理）。通过大量实例，我们将展示同余在密码学、编码理论以及组合数学等领域的实际应用。 数论函数： 我们将介绍一系列重要的数论函数，如欧拉函数 $phi(n)$、除数函数 $sigma_k(n)$ 和莫比乌斯函数 $mu(n)$。深入理解这些函数的性质，特别是它们的积性，是解决许多数论问题的关键。本书会详细推导这些函数的公式，并探讨它们与素数分解、整除性等概念之间的深刻联系。 二次剩余与平方数： 这是一个引人入胜的领域，我们将研究一个整数能否表示为另一个整数的平方。本书将引入二次剩余的概念，并详细阐述勒让德符号和雅可比符号的定义及其性质。我们将学习如何判断一个整数是否为二次剩余，并介绍二次互反律这一核心定理，它是解决二次剩余问题的有力工具。 不定方程： 数论中许多有趣的问题都归结为求解特定形式的不定方程。本书将重点讲解一类重要的不定方程——线性不定方程 $ax + by = c$ 的求解方法，以及如何利用同余理论和代数技巧来处理更复杂的不定方程，例如丢番图方程。我们将以一些经典的例子，如勾股定理相关的方程，来展示不定方程的魅力。 模算术与应用： 除了基本的同余理论，本书还将进一步探讨模算术在实际问题中的应用。这包括但不限于：如何在模 $n$ 意义下进行加减乘除运算，以及如何利用模算术来设计和分析简单的密码系统，例如仿射密码和希尔密码。 初等数论中的难题与挑战： 为了帮助读者巩固所学知识并激发进一步探索的兴趣，本书将精心挑选一系列具有代表性的初等数论问题。这些问题涵盖了整除性、同余、数论函数、不定方程等各个方面，从易到难，循序渐进。每一道题目都经过细致设计，旨在引导读者思考、分析，并运用所学的理论和方法去解决。此外，本书还将提供详细的解题思路和过程，帮助读者理解解题技巧，并从中学习到解决问题的通用策略。 本书特色： 严谨的数学推导： 理论部分力求概念清晰、逻辑严谨，证明过程详细，不跳跃推理，确保读者能够透彻理解每一个结论的由来。 丰富的例题与练习： 大量精心挑选的例题贯穿全书，直观地展示了数学概念的应用，并通过不同层次的练习题，帮助读者巩固和深化理解。 循序渐进的学习路径： 内容安排遵循由浅入深的原则，从最基础的定义出发，逐步深入到更复杂的定理和应用，适合初学者入门，也为有一定基础的读者提供进阶的参考。 强调数学思维的培养： 除了知识的传授，本书更注重引导读者养成严谨的数学思维习惯，学习如何分析问题、构建模型、运用工具，以及独立解决数学难题。 目标读者： 本书适合对数学，尤其是数论感兴趣的本科生、研究生，以及从事相关领域研究的科研人员。同时，它也是中学数学竞赛的指导用书，以及希望拓宽数学视野的数学爱好者们的理想读物。通过阅读和实践本书的内容，读者将能够建立起坚实的初等数论基础，并为进一步深入学习更高级的数论分支打下良好的基础。

评分☆☆☆☆☆

在学习过程中，我最看重的是书籍的实践性。一本好的教材，不仅要传授理论知识，更要能够引导读者将这些知识应用到实际问题中。这本书在这方面做得非常出色。每个章节的最后，都附有精心设计的习题，这些习题的难度循序渐进，从简单的概念巩固到复杂的综合应用，涵盖了该章节所讲授的所有知识点。更难得的是，作者在设计习题时，并没有局限于课本上的例子，而是引入了一些具有挑战性的问题，这些问题往往需要读者运用多种思维方式和技巧才能解决，极大地锻炼了我的解题能力。我特别喜欢其中的一些“思考题”，它们往往没有明确的答案，而是引导读者去思考一些开放性的问题，鼓励我们去探索新的可能性，培养独立思考和创新的能力。此外，书中的一些段落还穿插了对数论在密码学、编码理论等现代技术中的应用的简要介绍，这让我看到了理论知识的现实价值，极大地激发了我继续深入学习的动力。我相信，通过反复练习这些习题，我能够更好地掌握初等数论的精髓，并为将来的进一步学习打下坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

我发现这本书在历史背景的呈现上也有独到之处。它并没有将数论仅仅视为一套冰冷的数学符号和公式，而是穿插了许多关于数学家和数学发展史的小故事。例如，在介绍欧拉定理时，作者简要回顾了欧拉的生平，以及他在数论领域做出的巨大贡献，让我们了解到这些伟大的定理是如何在历史的长河中孕育和成长的。这种方式不仅增加了阅读的趣味性，更重要的是，它让我们认识到，数学研究并非凭空产生，而是无数代数学家辛勤耕耘、不断探索的结果。我尤其欣赏作者在描述数学难题时所展现出的耐心和细致。他会详细讲解某个问题在提出之初所面临的困难，以及历代数学家为了解决它所付出的努力，即使是那些尚未完全解决的猜想，作者也给出了清晰的介绍和研究现状，这让我对数学的复杂性和深邃性有了更深刻的认识。这种对历史的尊重和对前人智慧的致敬，让这本书不仅仅是一本教材，更是一部数学史的剪影，读起来让人受益匪浅。

评分☆☆☆☆☆

这本书的语言风格是我非常欣赏的。它不像很多传统的数学教材那样，充斥着生硬的学术术语，而是用一种非常自然、流畅的语言来阐述数学概念。作者在遣词造句上非常讲究，既能够保证数学的严谨性，又能够让读者感到亲切和易懂。我尤其喜欢他在描述数学定理和证明时所使用的“画面感”。他会用形象的语言来描绘数学对象之间的关系，让抽象的数学概念变得触手可及。比如，在讲解费马小定理时，他用“旋转”的概念来比喻同余的性质，让我瞬间就明白了其中的奥妙。而且，这本书在章节的结尾处，常常会留下一些“开放性”的思考题，这些问题往往没有明确的答案，而是鼓励读者去大胆猜测，去探索未知的领域。这种引导读者进行独立思考的方式，对于培养我们的数学思维能力至关重要。总而言之，这本书就像一位经验丰富的向导，带领我在这片数论的奇妙世界里，踏上了一段充满惊喜和收获的旅程。

评分☆☆☆☆☆

我发现这本书非常适合作为独立学习的教材。其内容的编排非常具有条理性，每一个概念的引入都有清晰的铺垫，每一个定理的证明都有详尽的解释，这使得读者在没有老师指导的情况下，也能很好地理解和掌握。我尤其欣赏作者在讲解过程中所使用的“类比”和“比喻”。他非常善于将抽象的数学概念与我们熟悉的生活经验联系起来，比如在讲解模运算时，他会用时钟来类比，让整个过程变得生动易懂。这种“化繁为简”的教学方法，极大地降低了学习的门槛，让我在阅读过程中感到轻松愉快，而不是压力重重。而且，书中的许多例题都经过精心设计，它们不仅能够帮助我们巩固所学的知识，还能够引导我们去思考新的问题。我曾经花了很多时间去研究书中某个例题的解法，并尝试着将其推广到其他类似的问题上，这个过程让我学到了很多。可以说，这本书是一本能够激发自主学习能力的好书，它不仅教会我知识，更教会我如何去学习。

评分☆☆☆☆☆

这本书的逻辑结构非常严谨，章节之间的过渡自然流畅。作者在引入新概念时，总是会先回顾之前学过的相关知识，并指出新概念与旧概念之间的联系，从而帮助读者建立起一个完整的知识体系。我尤其喜欢他在推导定理过程中的详细阐述。他会一步一步地展示证明的每一个环节，并且对关键的推理步骤进行重点说明，确保读者能够理解其中的逻辑。即使是对于一些初学者可能感到困难的证明，作者也能够将其分解成若干个易于理解的小步骤，并提供必要的辅助说明。这种细致入微的讲解方式，让我能够跟随作者的思路，一步步地走进证明的殿堂，而不是仅仅看到一个最终的结论。而且，书中的符号约定非常清晰，每次出现新的符号时，都会给出明确的定义，并且在后续的叙述中保持一致性，这极大地减少了阅读过程中因为符号理解不清而产生的障碍。可以说，这本书在保持数学严谨性的同时，又做得非常“友好”，让我想起了那位伟大的数学家高斯说过的话：“数学是科学的皇后”，而这本书正是让我能够领略到这份“皇后”的严谨与美丽。

评分☆☆☆☆☆

我一直认为，一本好的数学书应该能够激发读者的好奇心，并引导他们主动去思考。这本书在这方面给我留下了深刻的印象。作者并没有将数学知识简单地灌输给读者，而是通过提出问题、引导思考的方式，让读者主动参与到知识的构建过程中。在介绍某些概念时，他会先抛出一个有趣的数学现象或一个看似简单但却难以解答的问题，然后引导读者去分析、去探索，最终引出相关的数学理论。这种“问题导向”的学习方式，让我在阅读过程中始终保持着高度的注意力，并能够积极地思考。我特别喜欢书中那些“拓展阅读”的部分，它们通常会介绍一些更深入或者与实际应用相关的数论知识，这些内容虽然不是课本的重点，但却能够极大地开阔我们的视野，让我们看到数论的广阔天地。作者在这些部分并没有止步于简单的介绍，而是会给出一些进一步的阅读建议，或者指出可以进一步探索的研究方向，这对于那些希望深入学习的读者来说，无疑是宝贵的资源。

评分☆☆☆☆☆

我一直对数学充满好奇，尤其是在接触过一些基础的代数和微积分之后，总觉得在数的奥秘中，似乎还隐藏着更深层次的智慧。这本书恰好满足了我这种求知欲。我非常喜欢作者的讲解方式，他并没有一上来就抛出大量艰深的定义和定理，而是通过生动有趣的例子，引导读者一步步地走进数论的世界。比如，在介绍素数分布的章节，作者并没有直接引用复杂的渐近公式，而是先从直观的观察开始，比如列举一些较小的素数，然后讨论它们之间的间隔规律，再引入一些历史上的猜想，最后才逐步构建出更严谨的数学框架。这种“先感性，后理性”的教学方法，让我在理解过程中感到轻松愉快，仿佛不是在被动地学习，而是在主动地探索。而且，书中的语言风格非常亲切，没有太多生硬的学术术语，即使是对于一些稍显抽象的概念，作者也善于用贴近生活的比喻来解释，比如在讲解中国剩余定理时，他用到了“借东西”的比喻，让我瞬间就明白了那个看似复杂的定理的核心思想。这种接地气的讲解方式，让我感觉数学不再是高高在上、遥不可及的学科，而是充满了智慧和趣味的探索过程。

评分☆☆☆☆☆

在阅读这本书的过程中，我最大的感受就是它非常“有温度”。尽管是关于抽象的数学理论，但作者的文字中却充满了人文关怀。他善于用诗意的语言来描述数学的美妙，比如将素数比作“孤独而闪耀的宝石”，将数学证明的过程比作“探索未知的旅程”。这些富有感染力的文字，让我感受到了数学的魅力，并逐渐爱上了这个学科。我尤其欣赏作者在介绍一些著名的数学猜想时所流露出的情感。他会细致地描述这些猜想的提出背景，以及数学家们为之付出的努力和遇到的挫折，甚至会提到一些猜想至今未能完全解决，这种对人类智慧和探索精神的赞美，让我深受感动。这本书不仅是一本教授知识的书，更是一本传递精神的书。它让我明白，数学不仅仅是逻辑和推理，更是一种追求真理、探索未知的精神。当我合上书本，回味其中的内容时，我感到自己仿佛完成了一次心灵的洗礼，对数学的理解也上升到了一个新的高度。

评分☆☆☆☆☆

这本书的装帧设计非常用心，封面采用了素雅的淡蓝色，搭配烫金的字体，散发出一种沉静而专业的学术气息。翻开书页，纸张的质感也相当不错，厚实而不失细腻，即使长时间阅读也不会感到疲倦。印刷清晰，排版布局合理，公式符号的标注准确无误，这对于一本偏向理论的数学书籍来说至关重要。我尤其欣赏它在细节上的处理，比如页眉页脚的设计，既有书名和章节标题，又留有空白，方便读者进行笔记的添加。在初步浏览时，我注意到作者在章节划分上做了精心的考量，从最基础的数论概念引入，逐步深入到更复杂的理论和应用，这种循序渐进的方式无疑能帮助新手读者建立起扎实的数学基础。而且，书中的插图虽然不多，但都恰到好处，能够帮助理解抽象的概念。例如，在讲解整除性和同余时，一些巧妙的图示能够直观地展示出数之间的关系，避免了纯文字描述可能带来的枯燥感。总而言之，这本书在物理层面的呈现，就已经给我留下了极佳的第一印象，它不仅仅是一堆纸张的堆砌，更像是一件精心打磨的工艺品，让人愿意去探索其中蕴含的知识宝藏。

评分☆☆☆☆☆

这本书在内容呈现上，给我最大的惊喜在于其“深度与广度的兼顾”。它并没有仅仅停留在初等数论的表面，而是巧妙地引入了一些更高级的概念和方法，但又不会让读者感到突兀。例如，在讲解整除性和模运算时，作者会适时地引入一些关于群论和环论的初步概念，但仅仅是点到为止，为后续的学习留下空间。这种处理方式非常巧妙，既能够让读者对未来的学习有一个大致的了解，又不会因为过多的专业术语而望而却步。我尤其欣赏作者在处理一些“边缘”知识点时的态度。比如，他会提到一些与数论相关的有趣数学现象，或者是一些历史上的争议性问题，并给出自己的见解。这些内容虽然不是考试的重点，但却能够极大地丰富我们的知识储备，让我们对数论有一个更全面、更立体的认识。这本书就像一个精心设计的宝库，里面不仅有我们必须掌握的核心知识，还藏着许多意想不到的惊喜，让人在探索中不断发现新的乐趣。

评分☆☆☆☆☆

很好 速度很快 服务很周到哦

评分☆☆☆☆☆

京东的书真是不错！

评分☆☆☆☆☆

看着不错，还没使用，用完再来评价

评分☆☆☆☆☆

这本书非常适合数论的初学者，也非常适合竞赛中的学生，也可以作为辅导用书，然后作为辅导教材，对于学生和老师的帮助都非常大，值得推荐

评分☆☆☆☆☆

非常好的书籍！经常在京东上买书，不错！快递很负责，是个好快递员！

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竞赛教材，都是大家的作品

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正版图书,价格实惠！不错

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好好！

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