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Jean Bernard Lasserre 著

圖書標籤:

• Positive polynomials
• Real algebraic geometry
• Moments
• Sums of squares
• Polynomial optimization
• Measure theory
• Functional analysis
• Convexity
• Optimization
• Algebraic geometry

店鋪： 瀾瑞外文Lanree圖書專營店

齣版社： Imperial College Press

ISBN：9781848164451

商品編碼：1078521286

包裝：精裝

外文名稱：Moments, Positive Poly...

齣版時間：2009-10-01

頁數：361

正文語種：英語

圖書基本信息

Moments, Positive Polynomials and Their Applications
作者： Jean-Bernard Lasserre
ISBN13： 9781848164451
類型： 精裝(精裝書)
語種： 英語（English）
齣版日期： 2009-10-01
齣版社： Imperial College Press
頁數： 361
重量（剋）： 703
尺寸： 23.114 x 15.494 x 2.286 cm

商品簡介

Many important applications in global optimization, algebra, probability and statistics, applied mathematics, control theory, financial mathematics, inverse problems, etc. can be modeled as a particular instance of the Generalized Moment Problem (GMP).This book introduces a new general methodology to solve the GMP when its data are polynomials and basic semi-algebraic sets. This methodology combines semidefinite programming with recent results from real algebraic geometry to provide a hierarchy of semidefinite relaxations converging to the desired optimal value. Applied on appropriate cones, standard duality in convex optimization nicely expresses the duality between moments and positive polynomials.In the second part, the methodology is particularized and described in detail for various applications, including global optimization, probability, optimal control, mathematical finance, multivariate integration, etc., and examples are provided for each particular application.Errata(s)Errata

圖書名稱：數學的群星——從數論到拓撲的壯麗旅程 內容簡介： 本書旨在為讀者呈現一個廣闊而深刻的數學世界圖景，它不是某一特定領域的詳盡教科書，而是一部引導讀者領略數學核心概念、曆史脈絡與跨學科連接的導覽手冊。我們聚焦於那些構建現代數學大廈的基石，探尋不同分支如何相互啓發，共同描繪齣自然界與抽象思維的精確藍圖。 本書的結構圍繞著幾個關鍵的數學領域展開，它們分彆是：數論的深邃基礎、代數的結構之美、分析學的連續性與極限、幾何學的空間想象，以及概率論的不確定性度量。我們不會深入到高度專業化的計算細節中，而是緻力於闡明這些領域的核心思想、重要定理的內涵及其曆史發展中的關鍵轉摺點。 第一部分：數論的神秘領域與整數的內在規律 數論，這門古老的學科，研究整數本身的性質。本書將從歐幾裏得對素數的永恒證明開始，引導讀者穿越到古希臘的幾何直覺與代數思維的交匯點。我們探討費馬大定理的漫長曆史，關注其證明如何催生瞭代數數論這一強大的工具，特彆是艾爾密特和懷爾斯的貢獻如何將看似簡單的整數問題提升到橢圓麯綫和模形式的復雜層麵。 隨後，我們將深入研究同餘關係，理解模算術的強大威力。這一基礎概念不僅是現代密碼學（如RSA算法）的理論支柱，也與群論的抽象結構有著深刻的關聯。讀者將瞭解到，看似簡單的“餘數”概念，實際上蘊含著控製離散係統的基本法則。此外，本書會簡要介紹解析數論的興起，特彆是黎曼$zeta$函數與素數分布之間的驚人聯係，展示分析工具如何被引入離散的整數世界。 第二部分：代數的結構與變換的藝術 代數學是關於結構和運算的科學。本書將從群論的簡潔優雅開始，介紹群、環和域這三大核心結構。我們著重闡述群論如何描述對稱性——無論是物理學中的基本粒子變換，還是晶體結構中的幾何重復。伽羅瓦理論作為代數發展史上的一個裏程碑，將被重點討論，它揭示瞭五次及更高次多項式方程不可用根式求解的根本原因，連接瞭群論與域的擴張，展現瞭理論的統一性。 在環和域的部分，我們將探討它們在抽象代數中的角色，以及它們如何為解決代數幾何和代數拓撲問題奠定基礎。我們關注的是“為什麼”這些結構是必需的，而不是單純的計算技巧。理解代數的本質，就是理解事物如何組閤、如何映射和如何保持其內在屬性的學問。 第三部分：分析學的極限、連續性與無窮的把握 分析學是數學中對極限、連續性、收斂性和無限過程進行精確研究的學科。本書從微積分的誕生講起，審視牛頓和萊布尼茨在處理變化率和纍積量時的突破。然而，我們不會停留在基礎計算，而是著重探討十九世紀數學傢如何通過$epsilon-delta$語言對這些直覺概念進行嚴格化。 實分析部分將深入討論測度論的齣現，闡明勒貝格積分相對於黎曼積分的優越性，這不僅解決瞭許多函數的可積性問題，更為概率論和泛函分析鋪平瞭道路。緊接著，我們將引入復分析的迷人世界，展示復數平麵上的解析函數如何展現齣驚人的整體性質，例如柯西-黎曼方程和留數定理在積分計算中的強大應用。 第四部分：幾何學的空間與形態的度量 幾何學已遠超歐幾裏得時代的平麵與立體。本書將帶領讀者進入非歐幾何的領域，探討如何在麯麵上進行測地綫的思考，這不僅是思想解放的標誌，也是愛因斯坦廣義相對論的數學基礎。 更進一步，我們將探討微分幾何，理解如何使用微積分工具來研究光滑流形上的局部性質。麯率的概念如何從二維平麵推廣到任意維度的空間，是本章的核心議題。 最後，本書將觸及拓撲學——“橡皮泥幾何學”。我們關注的是在連續形變下保持不變的性質，例如連通性、洞的數量。同胚的概念如何將看似不同的物體（如甜甜圈和咖啡杯）置於同一分類之下，展示瞭數學傢對“形狀”最本質的理解。 第五部分：概率論與不確定世界的量化 在麵對現實世界中固有的隨機性時，概率論提供瞭精確的語言。本書將追溯概率論從早期賭博問題的解決，到測度論基礎上的嚴格建立的過程。我們將重點討論大數定律和中心極限定理，它們是連接個體隨機事件與宏觀統計規律的橋梁，是現代科學推斷的基石。 我們還將簡要探討隨機過程，如布朗運動，這些模型如何被用來描述金融市場波動、粒子擴散等動態係統，展示數學如何量化和預測不確定性。 總結： 《數學的群星》緻力於在不同數學分支之間架設橋梁。它強調的是數學思想的連貫性——一個領域産生的工具（如群論）如何被應用於解決另一個領域（如數論或幾何學）中的難題。本書希望讀者在讀完之後，能對數學這門學科的廣度、深度以及它在理解宇宙中所扮演的不可替代的角色，形成一個全麵且富有洞察力的認識。它不提供現成的答案，而是提供理解問題的視角和工具。

評分☆☆☆☆☆

閱讀體驗上，這本書的排版和符號係統處理得相當專業，這在處理復雜的張量分析和高階矩矩陣時至關重要，沒有齣現讓人分心的排版錯誤。我特彆留意瞭關於“Moment Problem and Orthogonal Polynomials”那一章的論述。作者對經典Chibyshev正交多項式族與半定規劃解的聯係給齣瞭一個非常優雅的概括。然而，在某些證明步驟中，作者似乎默認讀者已經非常熟悉某些特定領域的約定俗成，比如在引入Gram矩陣的半正定性作為充分必要條件時，對於其背後涉及的測度論基礎介紹得較為簡略。這使得我在試圖從頭梳理整個邏輯鏈條時，不得不頻繁地翻閱其他基礎教材進行補充驗證。這更像是一本寫給同行，而非寫給入門者的學術專著，它假設瞭讀者對分析基礎的掌握程度已經達到瞭較高的水平，從而使得敘述更加精煉和高效。

評分☆☆☆☆☆

這本《Moments, Positive Polynomials and Their Applications》似乎是為那些在數學、尤其是分析和代數領域有深厚積纍的讀者量身定做的。我花瞭相當長的時間來消化其中的一些核心概念，比如半定規劃在處理矩問題上的應用。作者在講解如何將一個抽象的矩問題轉化為一個具體的半定規劃模型時，展現瞭極強的洞察力。書中對Krein-Milman定理在函數空間上的推廣進行瞭細緻的闡述，這一點對於理解高維插值和逼近理論至關感冒。特彆是關於“Positivity Preserving Maps”那一部分，我感覺作者在試圖搭建一個從經典分析到現代優化理論的橋梁，思路非常開闊，但對於初學者來說，中間的跳躍性略顯突然，可能需要反復咀嚼纔能真正領會其精妙之處。整個行文風格偏嚮於嚴謹的數學論證，缺乏一些直觀的幾何解釋，這使得我在嘗試構建這些抽象結構的直觀圖像時略感吃力。不過，對於一個希望深入研究數值分析與優化交叉領域的專傢而言，這無疑是一部極具價值的參考資料，它提供的定理證明和具體算法的理論基礎非常紮實。

評分☆☆☆☆☆

這本書的敘事節奏有些齣乎我的意料，它不像傳統教科書那樣循序漸進，而是采取瞭一種“先拋齣深刻結論，再逐步迴溯論證”的風格。這種風格對於那些已經掌握瞭基礎概念，希望迅速領略前沿研究脈絡的讀者來說，是一種高效的閱讀方式。例如，書中對Schur-Horn定理在多錐上的推廣討論得極為深入，展示瞭凸幾何和優化理論的完美交融。但是，這種高度濃縮的信息量也意味著極高的認知負荷。我發現自己必須不斷地停下來，在腦海中重構作者的思維地圖，以確保沒有遺漏任何一個關鍵的邏輯連接點。特彆是在處理無限維空間中的逼近理論時，作者對拓撲條件的選取非常講究，這也反映齣作者對分析基礎的精深理解。總的來說，這是一部需要“沉浸式”閱讀的書，不適閤碎片化學習，它要求讀者全身心地投入到作者構建的數學世界中去。

評分☆☆☆☆☆

我對這本書的興趣點主要集中在它如何處理“Positive Polynomials”在幾何學和控製理論中的實際落地。書的後半部分，涉及Sturm-Hurwitz判據與多變量多項式的非負性判斷，寫得相當精彩。書中引入瞭Choquet邊界的概念來分析緊緻集上的函數，這種跨學科的整閤方式令人印象深刻。我尤其欣賞作者在討論Löwner–Johnell 矩陣不等式時所采用的清晰的推導路徑。然而，我希望能有更多關於這些理論如何指導實際工程問題的案例分析。例如，在信號處理中，如何利用這些多項式的非負性約束來設計更魯棒的濾波器，書中雖然提到瞭應用方嚮，但深度上略顯不足，更像是點到為止的理論介紹。總體而言，這本書的理論深度毋庸置疑，它構建瞭一個堅實的數學框架，但如果能輔以更多貼近應用的、細節更豐富的“做中學”的例子，對於更廣泛的工程師讀者群來說，價值會更高。

評分☆☆☆☆☆

從一個純粹的數學美學角度來看待這本書，它確實展現瞭數學結構本身的和諧與統一性。特彆是關於“Nuclear Norm Minimization”與矩錶示之間的對偶關係，作者用極其簡潔的語言勾勒齣瞭問題的核心所在。我非常喜歡作者在引言部分對這些概念的曆史沿革的簡要迴顧，這為理解為什麼這些特定結構（如正多項式）會自然地齣現在這些問題中提供瞭必要的背景脈絡。這本書的強大之處在於其理論的普適性，它提供的工具箱似乎可以應用於許多看似不相關的領域，從控製工程到量子信息理論。盡管內容深奧，但書中對關鍵定義和引理的錶述都力求做到精確無誤，這在處理涉及嚴格不等式和邊界條件的數學領域中是極其寶貴的品質。它無疑會成為未來數年內，該領域內引用率極高的一部經典著作。