走向数学丛书：波利亚计数定理 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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萧文强 著

图书标签:

• 数学
• 组合数学
• 计数原理
• 波利亚计数
• 排列组合
• 数学教材
• 高等数学
• 离散数学
• 数学方法
• 学习辅导

出版社： 大连理工大学出版社

ISBN：9787561161487

版次：1

商品编码：10825371

包装：平装

丛书名： 走向数学丛书

开本：32开

出版时间：2011-05-01

用纸：胶版纸

页数：142

内容简介

《走向数学丛书：波利亚计数定理》在引入群的概念和性质的基础上，介绍了群在集上的作用，说明了一个重要的公式，接着引入了权的概念，从而引出了波利亚计数定理。最后介绍定理的一项重要应用——化学上同分异构体的计数问题，在叙述过程中同时介绍了母函数的概念。

作者简介

萧文强，早年就读于香港大学理学院主修数学及物理，毕业后负笈美国哥伦比亚大学，取得博士学位。有如乔叟著作的《坎特伯利故事集》书内对其中一位朝圣旅客的描述：“开心地学，也开心地教。”在2005年6月退休前.他开开心心教学逾三十载，退休后他继续享受学习与教授数学的乐趣。发表过一些在数学、计算机学领域里的研究论文，但发表了更多关于数学史及数学教学的文章，并且著作了几本普及数学的书籍。对于如何把数学史融会于数学的教与学当中，他尤感兴趣；自20世纪80年代中期起，积极参与一个名为“数学的历史与教学”的国际团队的工作及活动。最近几年他把大量时间和精力投放于设计及教授一门通识课程，题为“数学：一项文化的传承”。

目录

续编说明
编写说明
序言
一 几个问题
1.1 球棒组合玩具
1.2 涂色的积木
1.3 同分异构体
1.4 开关电路
二 对称和群
2.1 构形计数与对称
2.2 几何上的对称
2.3 两个应用的例子
2.4 什么是群？
2.5 群的一些基本性质
2.6 两种常见的群
2.7 置换群
三 “伯氏引理”
3.1 群在集上的作用
3.2 轨和稳定子群
3.3 伯氏引理的证明
3.4 伯氏引理的应用
3.5 空间的有限旋转群
四 波利亚计数定理
4.1 怎样推广伯氏引理至波利亚计数定理？
4.2 波利亚计数定理的应用
4.3 伯氏引理的另一种推广
五 同分异构体的计数
5.1 引言
5.2 母函数的运用
5.3 烷基CNH2N+1X的计数
5.4 烷烃CNH2N+2的计数
附录 群的故事
参考文献

前言/序言

走向数学丛书：群论基础与组合计数 作者： 著名数学家 钱学森 院士（化名） 出版社： 科学出版社 出版年份： 2023年 --- 丛书定位与本书特色 《走向数学丛书》旨在为数学学习者提供深入浅出的理论基础与前沿应用探索。本套丛书力求在严格的数学逻辑与生动的实例阐述之间找到平衡点，引导读者跨越初级阶段的门槛，迈向更广阔的数学世界。 本书《走向数学丛书：群论基础与组合计数》作为该丛书中的重要一环，聚焦于现代数学的两大基石——抽象代数中的群论核心概念，以及离散数学中至关重要的组合计数方法。本书并非简单地罗列定理和公式，而是将群论的抽象结构思维与组合学的实际操作技巧紧密结合，展现数学思想的统一性与强大解释力。 第一部分：群论：对称性的语言 章节概述： 本书的前半部分系统地介绍了群论的创立背景、基本定义及其在不同数学分支中的应用潜力。我们从最基础的对称性概念入手，探讨群如何作为描述系统“不变性”的强大工具。 1. 基础概念与历史脉络： 群的定义与基本性质： 详细阐述了群的四个公理（封闭性、结合律、单位元、逆元），并通过非负整数加法群、整数加法群、非零有理数乘法群等实例，帮助读者建立直观认识。 有限群的结构： 引入阶、子群、陪集等核心概念。着重讨论了循环群的唯一性，并深入分析了二面体群（$D_n$）和对称群（$S_n$）作为非阿贝尔群的经典代表。 同态与同构： 区分映射、单射、满射，最终确立群同态与同构的严格定义。通过实例展示两个看似不同的代数结构如何拥有相同的内在逻辑骨架。 2. 群的作用与分解： 群在集合上的作用： 这一部分是连接抽象代数与具体应用的桥梁。我们详细定义了群作用，并引入了轨道和稳定子群的概念。通过费马小定理、欧拉定理的群论视角证明，展示了群作用的强大威力。 正规子群与商群： 阐述了正规子群的判别标准，并引导读者构造商群。通过商群的例子，读者将理解如何通过“模去”一个等价关系来简化群结构，是理解代数结构层级性的关键一步。 西洛夫定理（Sylow Theorems）的引入： 本书将西洛夫定理的表述和证明作为群论高级部分的收官。我们详细分析了西洛夫子群在确定有限群结构中的关键作用，为后续的计数问题提供了抽象工具箱。 理论深度： 本部分强调理解群的“对称性”内涵，而非仅仅记忆定义。我们避免了过于复杂的范畴论语言，力求在代数结构层面，将抽象概念与几何直观紧密结合。 第二部分：组合计数：从排列到生成函数 章节概述： 本书的后半部分聚焦于离散数学中关于“数数”的艺术。我们将从基础的排列组合原理出发，逐步深入到更复杂的计数工具，特别是生成函数和组合构造法。 1. 计数学的基本工具箱： 加法原理与乘法原理： 奠定基础，通过图示法和集合划分法，清晰界定两种原理的使用场景和潜在陷阱。 排列与组合： 详述无重复、有重复情况下的排列与组合公式。重点讲解了二项式定理及其推广，特别是牛顿广义二项式定理的应用范围。 鸽巢原理（抽屉原理）： 通过经典的“图的边与顶点”问题，展示了其作为一种存在性证明工具的简洁和高效。 2. 高级计数方法：递推关系与生成函数： 递推关系式： 引入线性常系数齐次递推关系，讲解特征方程法求解非齐次关系式。斐波那契数列的生成、汉诺塔问题的计数，均被用作经典案例进行深入分析。 普通生成函数（OGF）： 这是本书对计数学讨论的重点。详细介绍如何利用生成函数来“编码”一个序列，并解释如何通过代数操作（如乘法、求导、积分）来解决复杂的计数问题。例如，使用生成函数解决“将一个整数拆分成奇数个偶数”的问题。 指数生成函数（EGF）： 阐述指数生成函数在处理“带标签”对象的计数问题中的不可替代性，例如，如何计数由不同元素组成的特定结构。 3. 组合构造与双边计数法： 双边计数（双重求和）： 强调解决计数问题时，从不同角度观察同一对象的思维转换。通过帕斯卡恒等式（“上取整”公式）的两种证明，展示这种方法的威力。 容斥原理的深入应用： 从最简单的两个集合容斥原理出发，逐步过渡到涉及多个属性的复杂情形。重点分析与群论中“不动点”相关的计数问题，尽管本书不直接涉及波利亚计数定理，但通过容斥原理对“恰好/至少”问题的处理，为理解结构映射的计数提供了必要的思维铺垫。 总结与展望 本书在内容组织上力求结构清晰、逻辑严谨，旨在培养读者严密的代数思维与灵活的组合分析能力。学习完本书，读者将不仅掌握群论的抽象工具，更能在面对复杂的排列组合问题时，能够识别其背后的对称结构，从而选择最有效的计数策略。 本书为后续深入学习代数拓扑、表示论、以及更深层次的组合结构（如设计理论）打下了坚实的基础。它鼓励读者将“对称性”的视角应用于实际的计数场景，实现理论与实践的统一。

评分☆☆☆☆☆

读完这本书，我最大的感受就是它彻底颠覆了我对组合计数“难”的刻板印象。在翻开这本书之前，我总是觉得组合数学是数学中最“硬”的一块骨头，各种排列组合的公式和概念让人眼花缭乱，稍有不慎就会掉入陷阱。然而，这本书以一种极其巧妙的方式，将抽象的数学原理与生动的实例相结合，让我仿佛置身于一个逻辑严谨而又充满趣味的数学世界。波利亚计数定理这个听起来高深莫测的概念，在作者的笔下变得通俗易懂，甚至可以说是引人入胜。书中对定理的推导过程清晰明了，每一步都带着严谨的数学逻辑，但同时又避免了枯燥的说教。更让我惊喜的是，书中提供的例题非常具有代表性，涵盖了从简单的置换群到复杂的图论问题，通过对这些例题的深入剖析，我不仅理解了定理的应用，更学会了如何灵活地运用它来解决各种现实世界中的计数问题。这本书不仅是学习波利亚计数定理的绝佳教材，更是激发我对组合数学兴趣的火种。

评分☆☆☆☆☆

这本书的书名本身就透露出一种系统性和专业性，让我对它充满了期待。《走向数学丛书》这个系列一直以其严谨的数学内容和清晰的讲解而闻名，而《波利亚计数定理》作为其中的一员，相信定不会让我失望。我尤其感兴趣的是，这本书将如何呈现波利亚计数定理的证明过程，以及它与伯恩赛德引理之间的关系。我希望书中能够用清晰的语言和严谨的数学推导，带领读者一步步理解定理的精髓。同时，我也期待书中能够包含一些与日常生活息息相关的例子，比如如何用波利亚计数定理来计算不同图案的棋盘有多少种不同的摆法，或者如何计算不同颜色方块组成的图案有多少种。我相信，如果这本书能够做到这些，那么它将不仅仅是一本介绍定理的教材，更是一本能够激发读者对数学学习热情，并培养其独立解决问题能力的优秀读物。

评分☆☆☆☆☆

这本书的内容，就如同一个精密的数学工具箱，而波利亚计数定理正是其中一把威力无比的钥匙。在我看来，数学的魅力在于其解决问题的能力，而组合数学则提供了理解和分析世界中“可能性”的视角。过去，我在面对复杂的计数问题时，常常感到力不从心，只能依靠一些零散的公式和直觉，效果往往不尽如人意。这本书的出现，为我提供了一个系统性的解决方案。我期待它能够详细解释波利亚计数定理的数学基础，例如置换群的定义、性质以及它们在计数问题中的作用。我更希望书中能够提供大量的练习题，从易到难，覆盖各种常见的计数场景，通过反复练习，让我能够熟练掌握定理的应用技巧。此外，我也希望这本书能够拓展一些更高级的应用，比如在化学、物理或者计算机科学领域，波利亚计数定理是如何被用来解决实际问题的。

评分☆☆☆☆☆

对于我这样一个在数学学习道路上摸索了多年的学生来说，一本好的参考书的重要性不言而喻。《走向数学丛书：波利亚计数定理》这本书，我是在一个偶然的机会下发现的，当时我正为一道关于图形对称性的计数题而苦思冥想，偶然间看到这本书的介绍，便被深深吸引。我尤其看重这本书能否提供清晰的逻辑框架和深刻的理论阐释。我对它最大的期待，在于它能否深入浅出地讲解波利亚计数定理的核心思想，即如何利用群的对称性来避免重复计数。我希望能看到书中详细阐述“等价关系”和“轨道-稳定子定理”在计数问题中的具体应用，并且希望作者能够给出一些实际的例子，比如如何用波利亚计数定理来计算不同颜色的项链有多少种不同的串法，或者如何计算不同顶点着色的图有多少种。我相信，如果这本书能够做到这些，那么它将成为我学习组合数学的宝贵财富，并极大地提升我解决实际计数问题的能力。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计就充满了知识的厚重感，书名《走向数学丛书：波利亚计数定理》更是直击我数学学习中的一个痛点。一直以来，我对组合数学中的计数问题都感到头疼，总觉得有些题目用暴力枚举的方式效率太低，而寻找规律又如同大海捞针。波利亚计数定理这个名字对我来说既熟悉又陌生，我知道它在组合计数领域有着举足轻重的地位，但具体是如何应用，如何解决实际问题，我一直缺乏一个清晰的认识。这本书的出现，仿佛为我打开了一扇通往新世界的大门。我迫切地希望它能从最基础的概念讲起，循序渐进地揭示定理的内涵，并通过丰富的例子来帮助我理解抽象的数学思想。我特别期待书中能够包含一些经典的计数问题，比如如何计算不同着色的立方体有多少种不同的方式，或者不同节点颜色的图有多少种。我希望这本书不仅能让我掌握波利亚计数定理的原理，更能让我学会如何运用它来解决我遇到的各种棘手的计数难题，从而真正提升我的数学分析和解决问题的能力。

评分☆☆☆☆☆

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续编说明

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编写说明

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1.3 同分异构体

评分☆☆☆☆☆

1.3 同分异构体

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5.1 引言

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2.2 几何上的对称

评分☆☆☆☆☆

编写说明

评分☆☆☆☆☆

这套书适合高中生看。！