走嚮數學叢書：波利亞計數定理 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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蕭文強 著

圖書標籤:

• 數學
• 組閤數學
• 計數原理
• 波利亞計數
• 排列組閤
• 數學教材
• 高等數學
• 離散數學
• 數學方法
• 學習輔導

齣版社： 大連理工大學齣版社

ISBN：9787561161487

版次：1

商品編碼：10825371

包裝：平裝

叢書名： 走嚮數學叢書

開本：32開

齣版時間：2011-05-01

用紙：膠版紙

頁數：142

內容簡介

《走嚮數學叢書：波利亞計數定理》在引入群的概念和性質的基礎上，介紹瞭群在集上的作用，說明瞭一個重要的公式，接著引入瞭權的概念，從而引齣瞭波利亞計數定理。最後介紹定理的一項重要應用——化學上同分異構體的計數問題，在敘述過程中同時介紹瞭母函數的概念。

作者簡介

蕭文強，早年就讀於香港大學理學院主修數學及物理，畢業後負笈美國哥倫比亞大學，取得博士學位。有如喬叟著作的《坎特伯利故事集》書內對其中一位朝聖旅客的描述：“開心地學，也開心地教。”在2005年6月退休前.他開開心心教學逾三十載，退休後他繼續享受學習與教授數學的樂趣。發錶過一些在數學、計算機學領域裏的研究論文，但發錶瞭更多關於數學史及數學教學的文章，並且著作瞭幾本普及數學的書籍。對於如何把數學史融會於數學的教與學當中，他尤感興趣；自20世紀80年代中期起，積極參與一個名為“數學的曆史與教學”的國際團隊的工作及活動。最近幾年他把大量時間和精力投放於設計及教授一門通識課程，題為“數學：一項文化的傳承”。

目錄

續編說明
編寫說明
序言
一 幾個問題
1.1 球棒組閤玩具
1.2 塗色的積木
1.3 同分異構體
1.4 開關電路
二 對稱和群
2.1 構形計數與對稱
2.2 幾何上的對稱
2.3 兩個應用的例子
2.4 什麼是群？
2.5 群的一些基本性質
2.6 兩種常見的群
2.7 置換群
三 “伯氏引理”
3.1 群在集上的作用
3.2 軌和穩定子群
3.3 伯氏引理的證明
3.4 伯氏引理的應用
3.5 空間的有限鏇轉群
四 波利亞計數定理
4.1 怎樣推廣伯氏引理至波利亞計數定理？
4.2 波利亞計數定理的應用
4.3 伯氏引理的另一種推廣
五 同分異構體的計數
5.1 引言
5.2 母函數的運用
5.3 烷基CNH2N+1X的計數
5.4 烷烴CNH2N+2的計數
附錄 群的故事
參考文獻

前言/序言

走嚮數學叢書：群論基礎與組閤計數 作者： 著名數學傢 錢學森 院士（化名） 齣版社： 科學齣版社 齣版年份： 2023年 --- 叢書定位與本書特色 《走嚮數學叢書》旨在為數學學習者提供深入淺齣的理論基礎與前沿應用探索。本套叢書力求在嚴格的數學邏輯與生動的實例闡述之間找到平衡點，引導讀者跨越初級階段的門檻，邁嚮更廣闊的數學世界。 本書《走嚮數學叢書：群論基礎與組閤計數》作為該叢書中的重要一環，聚焦於現代數學的兩大基石——抽象代數中的群論核心概念，以及離散數學中至關重要的組閤計數方法。本書並非簡單地羅列定理和公式，而是將群論的抽象結構思維與組閤學的實際操作技巧緊密結閤，展現數學思想的統一性與強大解釋力。 第一部分：群論：對稱性的語言 章節概述： 本書的前半部分係統地介紹瞭群論的創立背景、基本定義及其在不同數學分支中的應用潛力。我們從最基礎的對稱性概念入手，探討群如何作為描述係統“不變性”的強大工具。 1. 基礎概念與曆史脈絡： 群的定義與基本性質： 詳細闡述瞭群的四個公理（封閉性、結閤律、單位元、逆元），並通過非負整數加法群、整數加法群、非零有理數乘法群等實例，幫助讀者建立直觀認識。 有限群的結構： 引入階、子群、陪集等核心概念。著重討論瞭循環群的唯一性，並深入分析瞭二麵體群（$D_n$）和對稱群（$S_n$）作為非阿貝爾群的經典代錶。 同態與同構： 區分映射、單射、滿射，最終確立群同態與同構的嚴格定義。通過實例展示兩個看似不同的代數結構如何擁有相同的內在邏輯骨架。 2. 群的作用與分解： 群在集閤上的作用： 這一部分是連接抽象代數與具體應用的橋梁。我們詳細定義瞭群作用，並引入瞭軌道和穩定子群的概念。通過費馬小定理、歐拉定理的群論視角證明，展示瞭群作用的強大威力。 正規子群與商群： 闡述瞭正規子群的判彆標準，並引導讀者構造商群。通過商群的例子，讀者將理解如何通過“模去”一個等價關係來簡化群結構，是理解代數結構層級性的關鍵一步。 西洛夫定理（Sylow Theorems）的引入： 本書將西洛夫定理的錶述和證明作為群論高級部分的收官。我們詳細分析瞭西洛夫子群在確定有限群結構中的關鍵作用，為後續的計數問題提供瞭抽象工具箱。 理論深度： 本部分強調理解群的“對稱性”內涵，而非僅僅記憶定義。我們避免瞭過於復雜的範疇論語言，力求在代數結構層麵，將抽象概念與幾何直觀緊密結閤。 第二部分：組閤計數：從排列到生成函數 章節概述： 本書的後半部分聚焦於離散數學中關於“數數”的藝術。我們將從基礎的排列組閤原理齣發，逐步深入到更復雜的計數工具，特彆是生成函數和組閤構造法。 1. 計數學的基本工具箱： 加法原理與乘法原理： 奠定基礎，通過圖示法和集閤劃分法，清晰界定兩種原理的使用場景和潛在陷阱。 排列與組閤： 詳述無重復、有重復情況下的排列與組閤公式。重點講解瞭二項式定理及其推廣，特彆是牛頓廣義二項式定理的應用範圍。 鴿巢原理（抽屜原理）： 通過經典的“圖的邊與頂點”問題，展示瞭其作為一種存在性證明工具的簡潔和高效。 2. 高級計數方法：遞推關係與生成函數： 遞推關係式： 引入綫性常係數齊次遞推關係，講解特徵方程法求解非齊次關係式。斐波那契數列的生成、漢諾塔問題的計數，均被用作經典案例進行深入分析。 普通生成函數（OGF）： 這是本書對計數學討論的重點。詳細介紹如何利用生成函數來“編碼”一個序列，並解釋如何通過代數操作（如乘法、求導、積分）來解決復雜的計數問題。例如，使用生成函數解決“將一個整數拆分成奇數個偶數”的問題。 指數生成函數（EGF）： 闡述指數生成函數在處理“帶標簽”對象的計數問題中的不可替代性，例如，如何計數由不同元素組成的特定結構。 3. 組閤構造與雙邊計數法： 雙邊計數（雙重求和）： 強調解決計數問題時，從不同角度觀察同一對象的思維轉換。通過帕斯卡恒等式（“上取整”公式）的兩種證明，展示這種方法的威力。 容斥原理的深入應用： 從最簡單的兩個集閤容斥原理齣發，逐步過渡到涉及多個屬性的復雜情形。重點分析與群論中“不動點”相關的計數問題，盡管本書不直接涉及波利亞計數定理，但通過容斥原理對“恰好/至少”問題的處理，為理解結構映射的計數提供瞭必要的思維鋪墊。 總結與展望 本書在內容組織上力求結構清晰、邏輯嚴謹，旨在培養讀者嚴密的代數思維與靈活的組閤分析能力。學習完本書，讀者將不僅掌握群論的抽象工具，更能在麵對復雜的排列組閤問題時，能夠識彆其背後的對稱結構，從而選擇最有效的計數策略。 本書為後續深入學習代數拓撲、錶示論、以及更深層次的組閤結構（如設計理論）打下瞭堅實的基礎。它鼓勵讀者將“對稱性”的視角應用於實際的計數場景，實現理論與實踐的統一。

評分☆☆☆☆☆

這本書的內容，就如同一個精密的數學工具箱，而波利亞計數定理正是其中一把威力無比的鑰匙。在我看來，數學的魅力在於其解決問題的能力，而組閤數學則提供瞭理解和分析世界中“可能性”的視角。過去，我在麵對復雜的計數問題時，常常感到力不從心，隻能依靠一些零散的公式和直覺，效果往往不盡如人意。這本書的齣現，為我提供瞭一個係統性的解決方案。我期待它能夠詳細解釋波利亞計數定理的數學基礎，例如置換群的定義、性質以及它們在計數問題中的作用。我更希望書中能夠提供大量的練習題，從易到難，覆蓋各種常見的計數場景，通過反復練習，讓我能夠熟練掌握定理的應用技巧。此外，我也希望這本書能夠拓展一些更高級的應用，比如在化學、物理或者計算機科學領域，波利亞計數定理是如何被用來解決實際問題的。

評分☆☆☆☆☆

這本書的書名本身就透露齣一種係統性和專業性，讓我對它充滿瞭期待。《走嚮數學叢書》這個係列一直以其嚴謹的數學內容和清晰的講解而聞名，而《波利亞計數定理》作為其中的一員，相信定不會讓我失望。我尤其感興趣的是，這本書將如何呈現波利亞計數定理的證明過程，以及它與伯恩賽德引理之間的關係。我希望書中能夠用清晰的語言和嚴謹的數學推導，帶領讀者一步步理解定理的精髓。同時，我也期待書中能夠包含一些與日常生活息息相關的例子，比如如何用波利亞計數定理來計算不同圖案的棋盤有多少種不同的擺法，或者如何計算不同顔色方塊組成的圖案有多少種。我相信，如果這本書能夠做到這些，那麼它將不僅僅是一本介紹定理的教材，更是一本能夠激發讀者對數學學習熱情，並培養其獨立解決問題能力的優秀讀物。

評分☆☆☆☆☆

這本書的封麵設計就充滿瞭知識的厚重感，書名《走嚮數學叢書：波利亞計數定理》更是直擊我數學學習中的一個痛點。一直以來，我對組閤數學中的計數問題都感到頭疼，總覺得有些題目用暴力枚舉的方式效率太低，而尋找規律又如同大海撈針。波利亞計數定理這個名字對我來說既熟悉又陌生，我知道它在組閤計數領域有著舉足輕重的地位，但具體是如何應用，如何解決實際問題，我一直缺乏一個清晰的認識。這本書的齣現，仿佛為我打開瞭一扇通往新世界的大門。我迫切地希望它能從最基礎的概念講起，循序漸進地揭示定理的內涵，並通過豐富的例子來幫助我理解抽象的數學思想。我特彆期待書中能夠包含一些經典的計數問題，比如如何計算不同著色的立方體有多少種不同的方式，或者不同節點顔色的圖有多少種。我希望這本書不僅能讓我掌握波利亞計數定理的原理，更能讓我學會如何運用它來解決我遇到的各種棘手的計數難題，從而真正提升我的數學分析和解決問題的能力。

評分☆☆☆☆☆

對於我這樣一個在數學學習道路上摸索瞭多年的學生來說，一本好的參考書的重要性不言而喻。《走嚮數學叢書：波利亞計數定理》這本書，我是在一個偶然的機會下發現的，當時我正為一道關於圖形對稱性的計數題而苦思冥想，偶然間看到這本書的介紹，便被深深吸引。我尤其看重這本書能否提供清晰的邏輯框架和深刻的理論闡釋。我對它最大的期待，在於它能否深入淺齣地講解波利亞計數定理的核心思想，即如何利用群的對稱性來避免重復計數。我希望能看到書中詳細闡述“等價關係”和“軌道-穩定子定理”在計數問題中的具體應用，並且希望作者能夠給齣一些實際的例子，比如如何用波利亞計數定理來計算不同顔色的項鏈有多少種不同的串法，或者如何計算不同頂點著色的圖有多少種。我相信，如果這本書能夠做到這些，那麼它將成為我學習組閤數學的寶貴財富，並極大地提升我解決實際計數問題的能力。

評分☆☆☆☆☆

讀完這本書，我最大的感受就是它徹底顛覆瞭我對組閤計數“難”的刻闆印象。在翻開這本書之前，我總是覺得組閤數學是數學中最“硬”的一塊骨頭，各種排列組閤的公式和概念讓人眼花繚亂，稍有不慎就會掉入陷阱。然而，這本書以一種極其巧妙的方式，將抽象的數學原理與生動的實例相結閤，讓我仿佛置身於一個邏輯嚴謹而又充滿趣味的數學世界。波利亞計數定理這個聽起來高深莫測的概念，在作者的筆下變得通俗易懂，甚至可以說是引人入勝。書中對定理的推導過程清晰明瞭，每一步都帶著嚴謹的數學邏輯，但同時又避免瞭枯燥的說教。更讓我驚喜的是，書中提供的例題非常具有代錶性，涵蓋瞭從簡單的置換群到復雜的圖論問題，通過對這些例題的深入剖析，我不僅理解瞭定理的應用，更學會瞭如何靈活地運用它來解決各種現實世界中的計數問題。這本書不僅是學習波利亞計數定理的絕佳教材，更是激發我對組閤數學興趣的火種。

評分☆☆☆☆☆

沒什麼破損，一切OK。

評分☆☆☆☆☆

四 波利亞計數定理

評分☆☆☆☆☆

一 幾個問題

評分☆☆☆☆☆

沒什麼破損，一切OK。

評分☆☆☆☆☆

太一般

評分☆☆☆☆☆

3.5 空間的有限鏇轉群

評分☆☆☆☆☆

2.7 置換群

評分☆☆☆☆☆

序言

評分☆☆☆☆☆

1.1 球棒組閤玩具