奇异积分和函数的可微性（英文） [Singular Integrals and Diffferentiability Properties of Functions] pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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施泰恩（Stein E.M.） 著

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• 奇异积分
• 实分析
• 调和分析
• 函数可微性
• 傅里叶分析
• 辛奇积分
• 微积分
• 数学分析
• 泛函分析
• 概率论

出版社： 世界图书出版公司

ISBN：9787510035135

版次：1

商品编码：10891446

包装：平装

外文名称：Singular Integrals and Diffferentiability Properties of Functions

开本：24开

出版时间：2011-06-01

页数：287

正文语种：英文

内容简介

This book is an outgrowth of a course which I gave at Orsay duringthe academic year 1 966.67 MY purpose in those lectures was to pre-sent some of the required background and at the same time clarify theessential unity that exists between several related areas of analysis.These areas are：the existence and boundedness of singular integral op-erators；the boundary behavior of harmonic functions；and differentia-bility properties of functions of several variables.AS such the commoncore of these topics may be said to represent one of the central develop-ments in n.dimensional Fourier analysis during the last twenty years，and it can be expected to have equal influence in the future.These pos.

作者简介

作者：(美国)施泰恩(SteinE.M.)

内页插图

目录

PREFACE
NOTATION
I．SOME FUNDAMENTAL NOTIONS OF REAL．VARIABLE THEORY
The maximal function
Behavior near general points of measurable sets
Decomposition in cubes of open sets in R”
An interpolation theorem for L
Further results

II．SINGULAR INTEGRALS
Review of certain aspects of harmonic analysis in R”
Singular integrals：the heart of the matter
Singular integrals：some extensions and variants of the
preceding
Singular integral operaters which commute with dilations
Vector．valued analogues
Further results

III．RIESZ TRANSFORMS，POLSSON INTEGRALS，AND SPHERICAI HARMONICS
The Riesz transforms
Poisson integrals and approximations to the identity
Higher Riesz transforms and spherical harmonics
Further results

IV．THE LITTLEWOOD．PALEY THEORY AND MULTIPLIERS
The Littlewood-Paley g-function
The functiong
Multipliers（first version）
Application of the partial sums operators
The dyadic decomposition
The Marcinkiewicz multiplier theorem
Further results

V．DIFFERENTIABlLITY PROPERTIES IN TERMS OF FUNCTION SPACES
Riesz potentials
The Sobolev spaces
BesseI potentials
The spaces of Lipschitz continuous functions
The spaces
Further results

VI．EXTENSIONS AND RESTRICTIONS
Decomposition of open sets into cubes
Extension theorems of Whitney type
Extension theorem for a domain with minimally smooth
boundary
Further results

VII．RETURN TO THE THEORY OF HARMONIC FUNCTIONS
Non-tangential convergence and Fatou'S theorem
The area integral
Application of the theory of H”spaces
Further results

VIII．DIFFERENTIATION OF FUNCTIONS
Several qotions of pointwise difierentiability
The splitting of functions
A characterization 0f difrerentiability
Desymmetrization principle
Another characterization of difirerentiabiliW
Further results
APPENDICES
Some Inequalities
The Marcinkiewicz Interpolation Theorem
Some Elementary Properties of Harmonic Functions
Inequalities for Rademacher Functions
BlBLl0GRAPHY
INDEX

精彩书摘

The basic ideas of the theory of reaI variables are connected with theconcepts of sets and ftmctions，together with the processes of integrationand difirerentiation applied to them.WhiIe the essential aspects of theseideas were brought to light in the early part of our century，some of theirfurther applications were developed only more recently.It iS from thislatter perspective that we shall approach that part of the theory thatinterests US.In doing SO，we distinguish several main features： The theorem of Lebesgue about the differentiation of the integral.The study of properties related to this process iS best done in terms of a“maximal function”to which it gives rise：the basic features of the latterare expressed in terms of a“weak-type”inequality which iS characteristicof this situation. Certain covering lemmas.In general the idea iS to cover an arbitraryopen set in terms of a disioint union ofcubes or balls，chosen in a mannerdepending on the problem at hand.ORe such example iS a lemma ofWhitney，fTheorem 3）.Sometimes，however，it SHffices to cover only aportion of the set。as in the simple covering lemma，which iS used to provethe weak-type inequality mentioned above. f31 Behavior near a‘'general”point of an arbitrary set.The simplest notion here iS that of point of density.More refined properties are bestexpressed in terms of certain integrals first studied systematically by Marcinkiewicz.
（4）The splitting of functions into their large and small parts.Thisfeature which iS more of a technique than an end in itself，recurs often.ItiS especially useful in proving Linequalities，as in the first theorem ofthis chapter.That part of the proof of the first theorem iS systematizedin the Marcinkiewicz interpolation theorem discussed in§4 of this chapter and also in Appendix B.
......

前言/序言

好的，这是一本关于经典分析学中一个核心主题的综述性著作的简介，该书系统梳理了傅里叶分析与偏微分方程理论中的一些基础构建块。 --- 《调和分析基础：卷积、函数空间与奇异算子》 导言与全书概述 本书《调和分析基础：卷积、函数空间与奇异算子》旨在为研究人员、高级研究生以及希望深入理解现代数学分析，特别是泛函分析与偏微分方程理论中核心工具的学者，提供一个详尽而深入的指南。全书聚焦于调和分析的经典构架，从最基础的卷积运算出发，逐步过渡到处理更具挑战性的算子，如傅里叶积分算子和真正的奇异积分算子（尽管本书不会深入到奇异积分本身的难度，而是构建其必需的基础）。 本书的核心论点在于，理解如何通过卷积来研究函数的平滑性、局部行为以及在高频和低频区域的行为，是掌握现代数学分析的关键。我们详尽地阐述了傅里叶变换在 $mathbb{R}^n$ 上的定义、性质及其在解决微分方程中的应用，同时构建了理解函数在不同尺度下行为所需的函数空间理论。 第一部分：傅里叶变换与卷积的基石 (Foundations of Fourier Analysis and Convolution) 第一部分是全书的理论基础，着重于定义和证明分析学家赖以生存的工具。 第一章：$L^p$ 空间与测度论回顾 在深入傅里叶分析之前，本书首先对必要的测度论工具进行了回顾，特别是勒贝格积分理论。随后，我们将焦点完全转移到 $L^p(mathbb{R}^n)$ 空间。我们详细讨论了这些空间上的范数、完备性，并用严格的测度论语言定义了 Minkowski 不等式和 Fubini 定理在 $L^p$ 框架下的应用。这部分内容为后续讨论函数的“平均平滑性”奠定了严格的测度论基础。 第二章：卷积的定义、性质与应用 卷积是本书的生命线。我们从定义 $displaystyle (f g)(x) = int_{mathbb{R}^n} f(y) g(x-y) dy$ 开始，详细讨论了它作为一种“平滑化”或“平均化”操作的几何和分析意义。关键内容包括： 1. 交换性与结合律：这些基本代数性质如何简化高级运算。 2. 正则化核 (Regularizing Kernels)：我们重点分析了诸如高斯核（Heat Kernel）和狄拉克核逼近（如Fejér核、Mollifiers）的性质。这些核如何将不连续函数“近似”成连续函数，是理解函数平滑性的第一步。 3. 卷积在微分方程中的作用：如何利用卷积将非齐次线性常微分方程（ODE）转化为求解积分方程，并最终得到解的积分表示。 第三章：傅里叶变换在 $L^1$ 和 $L^2$ 上的性质 本章详细阐述了傅里叶变换 $mathcal{F}$ 的定义（采用何种标准化，如 $hat{f}(xi) = int e^{-2pi i x cdot xi} f(x) dx$ 或 $hat{f}(xi) = int e^{-i x cdot xi} f(x) dx$ ，本书统一采用后者，并在后文保持一致性），以及它如何将微分转化为代数运算： $$mathcal{F}(partial^alpha f) (xi) = (i xi)^alpha hat{f}(xi)$$ 核心证明包括：卷积定理（ $mathcal{F}(f g) = hat{f} cdot hat{g}$ ）和微分定理。此外，我们用普朗歇尔定理（Plancherel Theorem）确立了傅里叶变换在 $L^2$ 上的等距性，这是连接时间/空间域和频率域的桥梁。 第二部分：函数空间的扩展与基本不等式 (Extending Spaces and Fundamental Inequalities) 在掌握了 $L^p$ 上的傅里叶变换后，我们必须扩展到更广泛的空间，以处理那些傅里叶变换本身不在 $L^1$ 中的函数（例如，常数函数或增长过快的函数）。 第四章：缓增函数的空间 $mathcal{S}(mathbb{R}^n)$ 与 Schwartz 分布 (Tempered Distributions) 本章引入了Schwartz 空间 $mathcal{S}$，即那些比任何多项式衰减得更快的函数集合。这是傅里叶分析的理想环境，因为 $mathcal{F}$ 将 $mathcal{S}$ 映到 $mathcal{S}$ 上。 随后，我们发展了缓增分布（Tempered Distributions）的理论。分布被定义为连续线性泛函作用于 $mathcal{S}$ 空间上。这使得我们可以为 Dirac 测度 $delta_0$ 和多项式函数赋予“傅里叶变换”，例如 $mathcal{F}(delta_0) = 1$，以及 $mathcal{F}(x^alpha) = (-i partial_xi)^alpha delta(xi)$。这部分内容是理解所有线性偏微分算子（包括拉普拉斯算子 $Delta$）在整个空间上解的唯一可行路径。 第五章：Sobolev 空间 $H^s$ 与嵌入定理 Sobolev 空间是现代 PDE 理论的基石。我们将 Sobolev 范数 $Vert f Vert_{H^s}$ 定义为基于傅里叶系数的范数： $$Vert f Vert_{H^s}^2 = int_{mathbb{R}^n} (1 + |xi|^2)^s |hat{f}(xi)|^2 dxi$$ 通过这个定义，我们能够清晰地量化函数的“平滑度”。 1. Sobolev 不等式：建立了 $H^s$ 范数与 $L^p$ 范数之间的关系。 2. 嵌入定理 (Sobolev Embedding Theorems)：精确判断一个函数在 $H^s$ 空间中时，它在哪个 $L^p$ 空间中是连续的或有界可积的。这直接决定了一个解是否“足够好”以满足原始方程的要求。 第三部分：基础算子理论与边界行为 (Foundations of Operator Theory) 本部分应用前述理论来研究一类重要的积分算子，为更复杂的奇异积分算子（如 Calderón-Zygmund 算子）做准备。 第六章：傅里叶乘子 (Fourier Multipliers) 傅里叶乘子 $M$ 是一个作用于函数 $f$ 的算子，定义为 $mathcal{F}^{-1} (Phi cdot hat{f})$，其中 $Phi$ 是一个依赖于频率变量 $xi$ 的函数，称为乘子函数。 我们研究了哪些乘子函数 $Phi(xi)$ 可以保证 $M$ 是一个有界算子，特别是作用于 $L^p$ 空间上。关键结果包括： 1. Hörmander 乘子定理的简单形式：对于 $Phi(xi)$ 仅依赖于 $|xi|$ 的情况，我们给出了 $Phi$ 必须满足的关于其梯度和高阶导数的衰减或振荡条件，以确保算子在 $L^p$ 上有界。 2. 应用：对数导数与平滑化：如何使用乘子来构造一个作用于 $L^2$ 上的单位矩阵（在频率域上），以及如何利用它们来研究函数在微小尺度上的局部性质。 第七章：引向边界行为：卷积积分算子的初步分析 在结束本书之前，我们简要探讨了形如 $Tf(x) = int K(x, y) f(y) dy$ 的积分算子，其中核 $K(x, y)$ 依赖于两个变量。我们重点关注 $K$ 具有平移不变性（即 $K(x, y) = k(x-y)$）的情况，这自然导回卷积。 更进一步，我们考察了粗糙核 (Rough Kernels) 的情况。虽然本书不会深入到 Calderón-Zygmund 理论中的 $L log L$ 边界，但会通过一个简单的示例（如 1D 的 Hilbert 变换的核 $frac{1}{pi(x-y)}$）展示，当核在原点 $x=y$ 处具有奇点（即不满足 $L^1$ 可积性）时，为什么需要引入分布和更精细的技巧来定义其有界性。 结语 本书《调和分析基础：卷积、函数空间与奇异算子》为读者提供了一套坚实的工具箱，用以分析线性算子在函数空间上的作用。通过对傅里叶分析、函数空间理论和乘子算子的深入剖析，本书成功地在经典分析的严谨性和处理现代微分方程的实用性之间架起了一座桥梁。它为读者进入更高级的主题，如真正的奇异积分理论、非线性 PDE 或更复杂的几何分析奠定了不可或缺的基础。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计给我留下了深刻的第一印象。那种深邃的蓝色调，搭配着银色的、仿佛在跃动着的数学公式，营造出一种既神秘又充满智慧的氛围。我猜想，书中的内容一定也是如同这封面一般，蕴含着令人着迷的数学奥秘。尤其是在“奇异积分”这个词上，它本身就带有一种不寻常的、挑战常规的意味，让我忍不住去想象作者是如何处理那些在传统积分理论中可能出现的“病态”情况的。而“函数的可微性”则指向了分析学中一个非常核心且基础的领域。我很好奇，这本书是否会将这两个看似独立的概念巧妙地联系起来，揭示它们之间更深层次的数学本质？我期待着它能带领我进入一个全新的数学视角，去理解那些看似“奇异”的现象背后，隐藏着怎样严谨而优美的数学结构。这本书的厚度也恰到好处，既不会让人望而却步，又能支撑起一个相对深入的探讨。总而言之，在尚未翻开书页之前，这本书已经凭借其视觉语言，成功地激发了我对它内在内容的强烈好奇心和期待。

评分☆☆☆☆☆

这本书的题目，起得真是非常“有分量”。“奇异积分”这个词本身就带着一股子学术的严谨和一点点神秘感，让我联想到那些在数学界被精心研究过的、不那么“乖巧”的积分形式。比如，那些在积分区间内存在奇点，或者积分过程本身就需要特殊处理的积分。这很容易让人联想到在物理学或者工程学中遇到的那些复杂的场分布或者信号处理问题，背后往往隐藏着对这类积分的深入理解。而“函数的可微性”，更是分析学中的核心概念，它描述了函数在某一点附近变化率的稳定性，是微积分的基石。将这两者并列在一起，我立刻产生了一个强烈的疑问：作者究竟想探讨的是什么样的联系？是奇异积分对函数可微性带来的影响，还是函数在某些“奇异”情况下的可微性如何帮助我们理解奇异积分？这种结合，听起来像是在探索分析学中一些最前沿、最微妙的课题，可能会揭示一些传统教科书里不会详细介绍的数学细节和技巧。我非常期待能在这本书中找到答案，学习到一些处理复杂数学问题的全新视角和工具。

评分☆☆☆☆☆

看到“奇异积分”和“函数的可微性”这两个词组放在一起，我的脑海里立刻浮现出那些在数学分析的“前沿阵地”上进行的探索。想象一下，传统的积分和可微性理论就像是一片风平浪静的湖面，而“奇异”则像是湖底暗流涌动、甚至出现旋涡的地方。作者很可能是在研究这些“不那么寻常”的数学对象，比如那些在奇点附近行为复杂的积分，或者那些虽然处处连续但却处处不可微的“怪异”函数，亦或是那些在某些点上虽然存在导数但其行为又表现出某种“奇异”特性的函数。这不禁让我好奇，这本书是否会深入探讨柯西主值积分、分布论中的积分，或者与傅里叶分析、希尔伯特变换等密切相关的奇异积分算子？同时，“可微性”的讨论，很可能也会超越我们熟知的“处处可微”或“分段可微”的范畴，去触及一些更精细的、与函数性质相关的判定定理。我感觉这本书很有可能是一本能够拓宽我视野、挑战我认知边界的著作，让我对数学分析的深刻性有更一步的体会。

评分☆☆☆☆☆

这本书的书名，尤其是“奇异积分”这个词，立刻就吸引了我。这让我联想到在数学分析中那些不那么“规矩”的积分形式，比如柯西主值积分，或者在积分区域内存在奇点的积分。这些积分常常在物理学、工程学以及更高级的数学分支中扮演重要角色，但它们的处理方式往往需要超越标准的黎曼积分定义。而“函数的可微性”又是分析学中的一个核心概念，它描述了函数在局部行为的平滑程度。将这两个概念并列，我很好奇作者将如何把它们巧妙地联系起来。这本书是否会探讨在什么条件下，带有奇异性的积分算子能够保持函数的某些可微性？或者，反过来，函数的“奇异”可微性（例如，导数在某些点上趋于无穷，或者导数本身也是奇异的）又会如何影响我们理解和计算相关的奇异积分？这种跨越性的结合，听起来就非常吸引人，预示着对数学分析中一些更深层、更微妙问题的探讨。我希望这本书能为我提供一种新的视角，去理解那些在传统框架下难以处理的数学对象，并可能从中获得解决实际问题的灵感。

评分☆☆☆☆☆

我一直对数学分析中的一些“边界情况”和“反常例子”特别感兴趣，那些突破常规、挑战直觉的数学对象，往往蕴藏着最深刻的数学洞察。这本书的书名，特别是“奇异积分”这四个字，立刻抓住了我的注意力。它预示着作者可能要探讨的是那些不遵循标准积分定义的积分，比如柯西主值积分，或者在积分区域上具有奇点的积分。这些积分在物理学、工程学等领域有着广泛的应用，理解它们对于解决实际问题至关重要。而“函数的可微性”又是分析学中的一个基石概念，它关乎函数的局部线性化性质，也与很多高级的数学理论紧密相连，比如微分方程、复变函数等等。我非常好奇，这本书将如何把这两个概念融为一体？它会探讨在什么条件下，带有奇异性的积分运算能够保持函数的某种可微性？或者，反之，函数的奇异可微性又会如何影响我们理解奇异积分？这种跨越式的结合，听起来就极具挑战性和吸引力，似乎能够提供一种全新的理解分析学的方法，让我对那些“毛茸茸”的、在细节处行为诡异的函数和积分产生更深刻的认识。

评分☆☆☆☆☆

关于张美丽的很多据说，后来就变成了更多的据说。关于她与男友约会如何被抓；关于她身上有种香味，能让男人一闻就忘不掉；关于她男人其实是个开国将军的后代……

评分☆☆☆☆☆

这个小镇的每个人，都在经历内心激烈的冲击。他们一方面到处打听那些勇敢迈进舞厅的人，打听那白白的大腿和金色的墙面，另一方面又马上摆出一种道貌岸然的神情，严肃地加以批评。但谁都知道，随着沸腾的财富，每个人内心的各种欲求在涌动。财富消除了饥饿感和贫穷感，放松了人心。以前，贫穷像个设置在内心的安全阀门，让每个人都对隐藏在其中的各种欲望不闻不问。然而现在，每个人就要直接面对自己了。

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先买来看看，写得怎么样的

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给同学买的，她说很好的教材

评分☆☆☆☆☆

stein 的书，比较老，不过很经典。

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非常好的书啊，小朋友很喜欢看

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好书

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2. 本书应用将近万次

评分☆☆☆☆☆

Stein大师著名的调和三部曲之一，买来学习观摩