差分方程及其应用 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

周义仓，曹慧，肖燕妮 著

图书标签:

• 差分方程
• 数值分析
• 数学模型
• 应用数学
• 离散数学
• 工程数学
• 控制理论
• 信号处理
• 优化算法
• 科学计算

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030407290

版次：1

商品编码：11488805

包装：平装

开本：16开

出版时间：2014-06-01

用纸：胶版纸

页数：312

字数：390000

正文语种：中文

内容简介

　　《差分方程及其应用》在大学数学课程的基础上较系统地介绍差分方程的基本概念、求解方法、线性差分方程组的基本理论、差分方程的定性、稳定性分析方法和分支理论等知识，特别是Liapunov函数、差分不等式和比较定理、鞍结点分支、Flip分支和不变解曲线的分支等知识，以便为读者进行差分方程的应用和理论研究提供基础。《差分方程及其应用》中给出了大量的应用例子来展示差分方程或差分方程组在物理学、经济学、生态学和传染病动力学等方面的广泛应用，包括我们近年来在研究人口增长、艾滋病和结核传播、甲型流感防控等问题中建立的差分方程模型的分析和应用。这是一本差分方程基础知识介绍和应用研究相结合的专著，我们希望《差分方程及其应用》能引导读者在差分方程的应用方面尽快地从学习基本理论和方法走到研究的前沿，能建立和应用差分方程研究和解决一些应用问题，并探索一些差分方程复杂的动力学性态。

内页插图

目录

第1章 绪论1.1 一些应用差分方程的例子1.1.1 兔子对数的递推关系1.1.2 从两个简单问题导出的差分方程1.1.3 近似计算与差分方程1.1.4 经济学中两个问题1.1.5 随机现象中概率的递推1.1.6 一个种群数量变化的描述 1.2 差分方程的概念和求解1.2.1 差分算子及其性质1.2.2 初等函数的差分1.2.3 不定和1.2.4 差分方程1.3 简单差分方程的复杂性态1.3.1 差分方程的平衡解及其稳定性1.3.2 虫口方程的倍周期分叉1.3.3 一个非线性模型的混沌性态1.3.4 帐篷映射习题1

第2章 线性差分方程2.1 线性差分方程解的一般理论2.1.1 n阶线性差分方程及其解的存在唯一性2.1.2 函数组的线性相关2.1.3 齐次线性差分方程解的一般理论2.1.4 非齐次线性差分方程解的叠加原理2.2 n阶常系数线性差分方程2.2.1 常系数线性齐次差分方程的解2.2.2 常系数线性非齐次差分方程2.2.3 算子法2.2.4 可以转换为线性方程的情形2.2.5 线性差分方程的应用举例2.3 线性差分方程组2.3.1 线性常系数齐次差分方程组2.3.2 线性差分方程组的一般理论2.3.3 常系数线性齐次差分方程组的解2.3.4 线性非齐次差分方程组的解2.3.5 线性周期差分方程组2.4 线性差分方程组的应用举例2.4.1 Markov链2.4.2 两个国家的国民收入和贸易2.4.3 热传导方程习题2

第3章 差分方程的稳定性3.1 解对初始值和参数的连续性3.1.1 向量的模3.1.2 差分不等式3.1.3 解对初始值的依赖性3.1.4 解对参数的依赖性3.2 稳定性的一些概念3.2.1 平衡解稳定性的定义3.2.2 稳定性的几个例子3.2.3 差分方程的比较原理3.2.4 动力系统3.3 线性差分方程平衡解的稳定性3.3.1 稳定性讨论的几个具体例子3.3.2 线性差分方程组零解的稳定性3.3.3 常系数线性差分方程组零解的稳定性3.4 稳定性研究中的线性化近似方法3.4.1 线性非自治方程组零解稳定性的比较方法3.4.2 非线性差分方程组与线性差分方程组的比较3.4.3 判断非线性差分方程组平衡解稳定性的线性化方法3.4.4 平衡解稳定性研究中的比较原理3.5 Liapunov直接方法3.5.1 Liapunov函数的定义3.5.2 Liapunov稳定性定理3.5.3 LaSalle不变性原理3.5.4 Liapunov不稳定性定理3.5.5 Liapunov函数的存在性3.6 差分方程模型的稳定性分析举例3.6.1 两阶段的种群模型3.6.2 一个具有时滞的种群模型平衡解的稳定性3.6.3 两种群相互竞争的模型习题3

第4章 差分方程的分支4.1 平衡解的分支4.1.1 分支点的定义4.1.2 逐次消元法4.1.3 零因子消去法4.2 一维差分方程平衡解的分支4.2.1 鞍结点分支4.2.2 跨临界分支4.2.3 音叉分支（pitchfork bifurcation）4.2.4 反转分支（flip bifurcation）4.3 二维差分方程组平衡解和稳定性的分支4.3.1 常系数线性齐次方程组平衡解的稳定性和相图4.3.2 一个非线性差分方程组平衡解的稳定性和分支4.4 不变闭曲线的分支4.4.1 Hopf分支4.4.2 不变闭曲线族的分支4.5 生态模型中的分支4.5.1 Beverton-Holt模型的分支4.5.2 两阶段种群模型平衡解的分支4.5.3 p=□时模型（4.5.2）的Flip分支4.5.4 p=□时模型（4.5.2）的Hopf分支？4.6 一个传染病模型的分支4.6.1 模型及其平衡解4.6.2 平衡解的稳定性4.6.3 模型（4.6.5）的Flip分支4.6.4 模型（4.6.5）的鞍结点分支4.6.5 模型（4.6.5）的Hopf分支习题4

第5章 差分方程在生态和传染病问题中的应用5.1 人口和种群增长的Leslie矩阵模型5.1.1 模型建立5.1.2 模型的分析5.1.3 一个非线性Leslie模型5.1.4 具有一般结构的Liesle模型5.2 离散传染病模型5.2.1 传染病问题的重要性5.2.2 几个基本的离散传染病模型5.2.3 具有感染阶段的艾滋病模型5.2.4 具有感染阶段的艾滋病模型的应用5.3 结核病传播的差分方程模型5.3.1 结核的传播过程5.3.2 结核的流行现状5.3.3 结核的建模与研究情况5.3.4 具有季节性的结核病模型5.3.5 具有年龄结构的结核模型5.4 Beverton-Holt模型5.4.1 自治Beverton-Holt模型的稳定性5.4.2 非自治Beverton-Holt模型的周期解5.4.3 具有脉冲收获策略的非自治Beverton-Holt离散模型习题5

附录A 映射的中心流形定理A.1 问题的提出A.2 差分方程组中心流形定理的几个结论A.3 中心流形定理在判定平衡解稳定性时的应用举例A.4 中心流形定理在研究分支问题时的应用举例附录B 2006年中国人口的一些统计数据附录C 2003年北京市sARs流行期间的数据参考文献索引

前言/序言

动态系统建模与分析：线性代数与微积分视角 作者： 王志明、李慧敏 出版社： 科学出版社 页数： 680页 定价： 128.00元 --- 丛书定位与目标读者 本书是“现代工程数学与计算科学前沿系列”中的核心教材之一，旨在为理工科高年级本科生、研究生以及从事工程与科学计算的专业技术人员，提供一套全面、深入且极具应用导向的动态系统建模与分析的理论框架。不同于侧重特定微分方程类型的专著，本书的视角更为宏观和基础，它将动态系统的分析根植于线性代数和多元微积分的坚实基础之上，着重于系统解的结构、稳定性判定以及数值求解方法，而非仅仅停留在特定方程的解析求法。 本书特别强调从物理实际到数学模型的转化过程，并利用现代计算工具（如MATLAB/Python）来可视化和验证理论结果。 内容结构与核心特色 全书共分为六大部分，约三十章，结构严谨，层层递进。 第一部分：基础回顾与系统概念引入（约100页） 本部分首先对读者进行必要的数学基础巩固，但重点在于重新审视这些基础在描述动态过程中的意义。 1. 线性代数：从向量空间到算子。 重点复习特征值、特征向量、矩阵分解（Jordan标准形、SVD）的几何意义，并引入状态空间描述的数学基础。强调矩阵的幂次如何对应于离散时间系统的演化。 2. 多元微积分与向量场。 回顾泰勒展开的更高阶形式，重点讨论流形上的切线空间和梯度，为非线性系统的局部线性化奠定基础。 3. 动态系统的基本范式。 区分连续时间与离散时间系统，引入输入-状态-输出（Input-State-Output, ISO）框架。初步探讨守恒定律在系统建模中的体现。 第二部分：线性常系数系统的状态空间分析（约150页） 这是全书的理论核心之一，完全采用矩阵和线性代数的语言来描述和分析系统行为。 1. 系统的解的结构。 详细推导齐次系统的解的矩阵指数形式 $mathbf{x}(t) = e^{mathbf{A}t} mathbf{x}(0)$。着重讲解矩阵指数的计算方法（基于对角化、若尔当形式、拉普拉斯反变换法），并讨论其数值稳定性和计算复杂性。 2. 系统的稳定性理论。 从李雅普诺夫（Lyapunov）角度引入能量函数和李雅普诺夫方程。对于线性系统，重点分析矩阵 $mathbf{A}$ 的特征值位置与系统稳定性的直接关系（渐近稳定、指数稳定、边界稳定）。引入可控性与可观测量。 3. 传递函数与框图代数（作为补充视角）。 虽然本书主要聚焦状态空间，但为与经典控制理论衔接，本章简要介绍传递函数在单输入单输出（SISO）线性时不变（LTI）系统分析中的作用，重点在于理解其极点和零点与状态空间矩阵特征值的对应关系。 第三部分：非线性系统的局部分析与稳定性（约180页） 本部分将分析的复杂性提升到非线性领域，核心工具是局部线性化和李雅普诺夫稳定性理论。 1. 相平面分析（二维系统）。 针对二阶或可降维系统，利用相平面图直观展示平衡点、极限环和轨线结构。这部分强调几何直觉的培养。 2. 平衡点的线性化与Jacobian矩阵。 详细讲解如何通过泰勒展开在平衡点附近将非线性系统转化为线性系统，并利用Jacobian矩阵的特征值来判定平衡点的局部稳定性。 3. 李雅普诺夫稳定性理论的扩展。 深入讲解李雅普诺夫直接法（能量函数构造）。介绍间接法（利用线性化）的局限性。引入劳萨-赫尔维茨判据作为特征值判据在时域分析中的替代形式。 4. 极限环的存在性与判定。 介绍庞加莱-本迪克森定理的基本思想，以及如何利用极限环的性质（如周期性）进行系统设计。 第四部分：脉冲与激励下的系统响应（约100页） 本部分聚焦于系统如何响应外部作用，特别是突变和持续的输入信号。 1. 冲激响应与卷积积分。 详细推导连续时间系统的卷积积分公式 $mathbf{x}(t) = int_0^t e^{mathbf{A}(t- au)} mathbf{B} mathbf{u}( au) d au$。强调矩阵指数在计算瞬态响应中的核心作用。 2. 系统对阶跃、斜坡信号的稳态响应。 分析系统在不同输入下的最终状态，引入Type I、II、0系统的概念，并将其与状态空间中的零输入/零状态响应解耦。 3. 输入可达性与输出可控性分析。 利用可控性矩阵（Controllability Matrix）和可观测量矩阵（Observability Matrix）来严格定义系统在有限时间内是否能被驱动到任意状态，或能否从输出中完全推断出内部状态。 第五部分：离散时间系统的分析（约80页） 本部分将状态空间分析框架移植到离散领域，重点在于Z变换和迭代性质。 1. 离散系统的状态演化与Z变换。 讲解离散系统的演化方程 $mathbf{x}_{k+1} = mathbf{F} mathbf{x}_k + mathbf{G} mathbf{u}_k$。引入矩阵 $mathbf{F}$ 的幂次计算，并阐述Z变换在求解离散系统方程中的作用。 2. 离散系统的稳定性判据。 阐明离散系统稳定性与特征值在单位圆上的位置关系（内侧、圆上、外侧）。 3. 脉冲响应与零阶保持器（ZOH）的联系。 讨论如何从连续时间模型出发，通过零阶保持器采样得到等效的离散时间模型，理解采样周期对系统稳定性的影响。 第六部分：数值计算与现代工程应用（约70页） 本部分是理论与实践的桥梁，侧重于计算机辅助分析。 1. 数值积分方法综述。 对欧拉法、龙格-库塔法（RK4）等基础数值积分方法进行对比，重点分析其误差来源、收敛性和稳定性边界，特别是在处理刚性（Stiff）系统时的挑战。 2. 控制与优化初步。 简要介绍如何利用系统的状态空间描述进行反馈控制器的设计（如极点配置），以及如何使用优化方法（如梯度下降法）来寻找最优控制输入。 3. 应用案例：电路、机械振动与人口动力学。 通过具体的物理模型实例，展示如何从物理定律（基尔霍夫定律、牛顿第二定律）直接导出状态空间方程，并利用本书所学方法进行分析。 教材特色总结 本书的独特之处在于其强大的数学统一性。它避免了将常微分方程、偏微分方程、差分方程等主题割裂开来，而是将所有动态系统的分析视为迭代或连续的线性算子作用于状态向量的结果。通过深入剖析矩阵指数和李雅普诺夫函数，读者可以构建一个统一的“动态系统思维”，无论系统是连续的还是离散的，是线性的还是局部的非线性，其内在的演化结构都可以通过本教程中阐述的代数和微积分工具进行精确描述和分析。本书是工程和科学计算领域对“动态系统行为”进行量化和预测的坚实基石。

评分☆☆☆☆☆

翻开这本书，扑面而来的便是那种严谨的学术氛围。我对差分方程的了解还停留在非常基础的层面，所以这本书的名字对我来说，简直是打开了一扇通往更广阔数学世界的大门。我非常期待书中能够从最基本的定义和性质讲起，让我对“差分”这个概念有清晰的认识，并理解它与微分的联系和区别。 我特别想了解的是，书中会如何系统地介绍不同类型的差分方程。比如，线性常系数差分方程是如何被分类和求解的？非线性差分方程又有什么特点，是否存在一些通用的求解策略，或者更多依赖于数值方法？希望作者能够提供详尽的推导过程和清晰的逻辑脉络，让我能够理解这些方法的由来和原理，而不是简单地记忆公式。 “应用”这个词对我来说有着巨大的吸引力。我希望这本书能够把我脑海中那些抽象的数学公式，转化为现实世界中可触碰的现象。比如，在生物学中，差分方程如何用来模拟种群的繁衍和衰退？在工程领域，如何用于分析电路的瞬态响应或者机械结构的稳定性？如果书中能提供一些贴近生活或前沿研究的案例，并详细解析其建模过程，那将是极大的收获。 我还会关注书中对于差分方程的稳定性分析。在很多应用场景中，一个模型的稳定性至关重要，它决定了系统的长期行为是否可预测。希望书中能解释清楚如何通过特征根、李雅普诺夫函数等方法来分析差分方程的稳定性，以及稳定性与系统参数之间的关系。这对于理解和设计可靠的系统至关重要。 总的来说，我希望这本书能成为我系统学习差分方程的起点，并为我打开一扇通往多学科应用的大门。我期待它能够兼具理论的深度和应用的广度，让我不仅能掌握差分方程的数学工具，更能理解它在解决实际问题中的强大力量。

评分☆☆☆☆☆

当我看到“差分方程及其应用”这个书名时，我的脑海里立刻勾勒出一幅画面：数学的严谨与现实的活泼交织在一起。我是一名对数据分析和建模有浓厚兴趣的在校学生，深知在处理离散化数据和序列时，差分方程是不可或缺的工具。 我期望书中能够从最基础的概念入手，清晰地定义差分、差分算子，以及如何从实际问题中提取出差分方程。希望作者能够用生动易懂的语言，解释不同阶差分方程的性质，以及它们在描述不同类型动态系统时的优势。 在求解方面，我非常期待书中能够系统地介绍各种方法，从简单的代数技巧到更复杂的生成函数法。对于线性常系数差分方程，希望能够提供详尽的例题，帮助我掌握解法的步骤和技巧。对于那些解析解不易获得的情况，希望书中能详细介绍数值求解方法，并讨论它们的优缺点和适用范围。 “应用”这个词对我而言，是这本书最大的亮点。我热切地希望看到差分方程在经济学中的宏观和微观模型，在工程学中的控制理论和信号处理，甚至在社会科学中对人类行为模式的分析。如果书中能提供一些实际数据的建模案例，并展示如何利用差分方程进行预测和决策，那将是一场视觉和思想的盛宴。 我还想了解书中是否会涉及到一些前沿的应用，比如在机器学习中，差分方程是否可以用于设计新的算法或者分析现有算法的收敛性。 总而言之，我希望这本书能够成为我探索差分方程世界的绝佳向导，让我不仅能理解其数学之美，更能感受到它在解决实际问题中的强大力量。

评分☆☆☆☆☆

这本书的书名“差分方程及其应用”就如同一个清晰的指引，告诉我它将带领我深入探索数学中一个至关重要的分支。我对差分方程的接触不多，但隐约感觉到它在描述离散系统和动态过程方面有着不可替代的作用。我非常期待这本书能够提供一个循序渐进的学习路径。 我希望书中能够详细介绍差分方程的构建过程。很多实际问题，当我们将其离散化时，便会产生差分方程。希望作者能展示如何从实际问题出发，一步步地建立起相应的差分模型。这包括如何定义自变量和因变量，如何建立它们之间的递推关系。 在求解方法方面，我期待书中能涵盖从解析解到数值解的各种手段。比如，对于线性差分方程，希望能够详细讲解特征方程法、生成函数法等，并提供足够的例题来巩固理解。对于更复杂的方程，希望书中能介绍常用的数值算法，并说明它们的适用范围和精度。 “应用”的部分更是我关注的焦点。我希望看到差分方程在信号处理、图像识别、控制系统等现代科技领域中的实际应用。如果书中能提供一些具体的算法实现思路，或者与计算机编程相结合的示例，将能极大地提升我学习的积极性。 我也好奇书中是否会讨论差分方程与差分代数方程（Differential-Algebraic Equations, DAEs）之间的联系。在某些复杂的工程问题中，常常会遇到混合了微分和代数方程的系统，了解差分方程在其中扮演的角色，或许能为我打开新的思路。 最终，我希望通过阅读这本书，能够对差分方程形成一个全面而深入的理解，并具备运用它来分析和解决实际问题的能力。

评分☆☆☆☆☆

这本书的书名，简单明了，却包含了我一直以来想要深入了解的数学工具——差分方程，以及它那广阔的应用领域。我目前对差分方程的理解非常有限，更多地停留在一些零散的概念和简单的例子上。因此，我期望这本书能够提供一个系统而全面的视角。 我特别想了解的是，书中会如何从数学的根源上解释差分方程的生成机制，以及它与微积分的内在联系。例如，当我们对一个连续系统进行离散化处理时，是如何一步步地推导出差分方程的。希望作者能在这方面给予详细的阐述，让我理解差分方程的数学基础。 在求解方法上，我希望书中能够详细讲解各种解析和数值方法。对于线性常系数差分方程，我期待能看到特征方程法、母函数法等经典方法的详细推导和应用。对于非线性差分方程，我希望书中能介绍一些迭代法、扰动法等近似求解的技巧，并分析它们的收敛性和精度。 “应用”部分是我最为期待的。我希望书中能够展示差分方程在金融建模、经济预测、通信系统、甚至生物信息学等领域的实际应用案例。如果能有具体的案例分析，详细说明如何建立数学模型，如何求解，以及如何解释结果，那将是非常有价值的学习资料。 此外，我还会关注书中是否会讨论差分方程的稳定性分析。在许多动力学系统中，了解系统的长期行为是否稳定至关重要。希望书中能介绍如何通过判断特征根的性质来分析系统的稳定性，以及如何通过参数调整来改善系统的稳定性。 总之，我希望这本书能够成为我学习差分方程的“宝典”，它不仅能帮助我掌握数学理论，更能让我看到差分方程在解决现实世界问题中的强大威力。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计简洁大方，书名“差分方程及其应用”几个字显得稳重而富有学术气息。我是一名对数学模型和工程应用充满好奇的学习者，一直在寻找一本能够系统介绍差分方程并且能展示其广泛应用的书籍。这本书的内容，虽然我还没有深入研读，但仅从目录和扉页的介绍中，我便能感受到其厚重和全面的体系。 我尤其期待书中能够详尽地阐述差分方程的基本概念，比如差分的定义、不同阶的差分方程的构造，以及如何通过迭代、特征方程等方法求解这些方程。希望作者能够循序渐进地引导读者，从最简单的线性常系数差分方程开始，逐步过渡到更为复杂的非线性、偏微分方程等，确保即使是初学者也能逐步建立起扎实的理论基础。 更吸引我的是“及其应用”这部分。我希望能看到差分方程在不同领域的实际应用案例。例如，在金融学中，差分方程如何用于建模股票价格的波动、期权定价；在经济学中，如何分析经济增长模型、宏观经济调控；在物理学中，如何描述离散系统的动力学行为，如振动、扩散等；在计算机科学中，如何用于算法分析、图像处理等。期待书中能提供丰富的实例，并对这些应用场景下的模型构建、求解过程及其结果进行深入的解读，让我能够直观地理解理论知识的价值。 此外，我还会关注书中是否有关于数值方法的介绍。虽然理论解是理想的，但在许多实际问题中，差分方程可能无法得到解析解，此时就需要借助数值方法来逼近求解。希望书中能涵盖一些常用的数值算法，例如欧拉法、龙格-库塔法等，并解释它们在差分方程求解中的具体应用和局限性。同时，如果能有关于算法的伪代码或者与实际编程相结合的示例，那就更完美了，能够帮助我将理论知识转化为实际操作能力。 总而言之，我对这本书抱有极高的期望。我希望它不仅仅是一本理论教材，更是一本能够激发学习兴趣、拓展应用视野的工具书。我期待通过阅读这本书，能够深入理解差分方程的精妙之处，并掌握将其应用于解决实际问题的能力，为我在未来的学习和研究中打下坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

8，乘积拓扑、乘积空间、Tychonoff乘积定理、连通的拓扑空间、商拓扑、Alexandroff定理、粘合拓扑、完备的度量空间、度量空间的完备化、闭球套引理、第一纲集与第二纲集、Baire纲定理、拓扑空间上的映射的极限、拓扑空间上的映射的连续与一致连续、二重极限与累次极限、压缩映像原理。

评分☆☆☆☆☆

5，Heine归结原理、极限的算术运算、滤子极限、Cauchy准则、复合函数与单调函数的极限、无穷大与无穷小量及其阶。

评分☆☆☆☆☆

差分方程及其应用比较系统的参考书

评分☆☆☆☆☆

9，线性赋范空间、Banach空间、Euclid空间、Hilbert空间、线性算子、算子的范数、连续算子空间、赋范空间上的可微映射、映射的微分与导数、映射的微分的Jacobi矩阵、函数的连续性与可微性、微分的算术运算、复合映射的微分、逆映射的微分、映射的偏导数与微分、方向导数与梯度。

评分☆☆☆☆☆

8，乘积拓扑、乘积空间、Tychonoff乘积定理、连通的拓扑空间、商拓扑、Alexandroff定理、粘合拓扑、完备的度量空间、度量空间的完备化、闭球套引理、第一纲集与第二纲集、Baire纲定理、拓扑空间上的映射的极限、拓扑空间上的映射的连续与一致连续、二重极限与累次极限、压缩映像原理。

评分☆☆☆☆☆

大概概念就是以上的那些。

评分☆☆☆☆☆

大概概念就是以上的那些。

评分☆☆☆☆☆

7，用滤子基对Heine定义的函数极限进行推广、函数的上下极限。

评分☆☆☆☆☆

微分方程的通解：如果微分方程的解中含有任意常数，且常数的个数与微分方程的阶数相同。