普通高等院校十二五规划教材：数值计算方法 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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蔡锁章，杨明，雷英杰 著

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• 数值计算
• 数值分析
• 高等教育
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• 理工科
• 数学
• 算法
• 计算机
• 科学计算
• 十二五规划

出版社： 国防工业出版社

ISBN：9787118077476

版次：1

商品编码：10959640

包装：平装

开本：16开

出版时间：2011-12-01

页数：244

正文语种：中文

编辑推荐

《普通高等院校十二五规划教材：数值计算方法》是为理工科院校开设数值计算方法的课程而编写的教材。学习本书需具备高等数学、线性代数和算法语言等方面的知识。本书将介绍数值计算方法的基本概念、方法和理论，着重介绍科学、工程计算中的常用算法，包括误差理论、方程的近似解法、线性方程组解法、特征值和特征向量求法、插值法和曲线拟合、数值微分和数值积分、常微分方程的数值解法、偏微分方程的数值解法等。每章习题中都有该章主要算法的编程上机题，完成这些习题有助于真正掌握这些算法。

内容简介

《普通高等院校十二五规划教材：数值计算方法》在高等理工科院校的高等数学和线性代数知识的基础上，介绍数值计算方法的基本概念、方法和理论，着重介绍工程计算中的常用算法，包括误差理论、方程的近似解法、线性方程组解法、特征值和特征向量的求法、插值法和曲线拟合、数值微分与数值积分、常微分方程数值解法、偏微分方程数值解法等。各章配有适量习题，并附有习题答案。《普通高等院校十二五规划教材：数值计算方法》可作为高等工科院校数值计算方法的教材，也可供工程技术人员自学参考。

目录

第1章 误差分析与数值计算
1.1 引言
1.1.1 误差的来源
1.1.2 误差理论在数值计算中的作用
1.2 绝对误差与相对误差、有效数字
1.2.1 绝对误差与相对误差
1.2.2 有效数字
1.3 近似数的简单算术运算
1.3.1 近似数的加法
1.3.2 近似数的乘法
1.3.3 近似数的除法
1.3.4 近似数的幂和根
1.3.5 近似数的对数
1.3.6 近似数的减法
1.4 数值计算中误差分析的若干原则
习题1

第2章 非线性方程（组l的近似解法-
2.1 引言
2.2 根的隔离
2.2 1根的隔离
2.2.2 代数方程实根的上下界
2.2.3 代数方程实根的个数
2.3 对分法
2.4 迭代法
2.4 l迭代法
2.4.2 收敛定理
2.4.3 迭代法收敛速度
2.4.4 加速收敛技术
25牛顿迭代法
2.5.1 牛顿迭代公式
2.5.2 牛顿迭代法的收敛性
25.3 牛顿法中初始值的选取
2.6 弦截法
2.7 用牛顿法解方程组
习题2

第3章 线性方程组的解法
3.1 引言
3.2 高斯消去法
3.2.1 顺序高斯消去法
3.2.2 主元消去法
3.3 矩阵的Lu分解
3.3.1 矩阵的LU分解
33.2 矩阵A的Lu分解求法
3.4 对称矩阵的LDLT分解
3.4.1 对称矩阵的矩阵分解形式
3.4.2 对称矩阵LDLT分解的计算公式
3.4 3对称带形矩阵LDLT分解的带宽性质
34.4 解对称正定线性方程组的矩阵分解法
3.5 线性方程组解的可靠性
3.5.1 误差向量和向量范数
3.5.2 残向量
3.5.3 误差的代数表征
35.4 病态线性方程组
3.5.5 关于病态方程组的求解问题
36简单迭代法
3.6.1 迭代法简介
3.6.2 迭代过程的收敛性
3.7 雅可比迭代法与高斯一塞得尔迭代法
3.7.1 雅可比迭代法
3.7.2 高斯-塞得尔迭代法
3.7.3 雅可比迭代法和高斯一塞得尔迭代法的收敛性
3.8 解线性方程组的超松弛法
习题3

第4章 矩阵特征值与特征向量的计算
4.1 引言
4.2 幂法与反幂法
4.2.1 幂法
4.2.2 反幂法
4.3 雅可比方法
4.3.1 预备知识
4.3.2 雅可比方法
习题4

第5章 插值与拟合
5.1 引言
5.2 插值多项式的存在性和唯一性、线性插值与抛物插值
5.2.1 代数插值问题
5.2.2 插值多项式的存在性和唯一性
5.2.3 线性插值与抛物插值
5.3 拉格朗日插值多项式
5.3.1 插值基函数
5.3.2 拉格朗日插值公式
5.3.3 插值余项与误差估计
5.4 均差插值公式
5.4.1 均差的定义、均差表及性质
5.4.2 均差插值公式
5.5 差分、等距节点插值多项式
5.5.1 差分的定义、性质及差分袁
5.5.2 等距节点插值公式
5.6 埃尔米特插值
5.6.1 构造基函数的方法
5.6.2 构造均差袁的方法
5.7 分段低次插值
5.7.1 龙格现象
5.7.2 分段线性插值
5.7.3 分段三次埃尔米特插值
58三次样条函数
5.8.1 三次样条函数的定义
5.8.2 用节点处的二阶导数表示的三次样条插值函数
5.8.3 用节点处的一阶导数表示的三次样条插值函数
5.8.4 三次样条插值函数的误差估计
5.8.5 追赶法
5.9 曲线拟合的最小二乘法
5.9.1 问题的提出
5.9.2 最小二乘法表述
5.9.3 最小平方逼近多项式的存在唯一性
5.9.4 观察数据的修匀
习题5

第6章 数值积分和数值微分
6.1 引言
6.2 牛顿一柯特斯型数值积分公式
6.2.1 牛顿一柯特斯求积公式的导出
6.2.2 插值型求积公式的代数精度
6.2.3 梯形公式和辛普生公式的余项
63复合求积公式
6.3.1 牛顿一柯特斯公式的收敛性和数值稳定性
6.3.2 复合梯形公式与复合辛普生公式
6.3.3 步长的自、动选择
6.4 龙贝格求积公式
6.4.1 复合梯形公式的递推公式
6.4.2 龙贝格求积算法
6.4.3 计算步骤及数值例子
6.5 高斯求积公式
6.5.1 高斯积分问题的提出
6.5.2 高斯求积公式
6.5.3 勒让德多项式的性质
6.5.4 高斯-勒让德求积公式
6.5.5 高斯-勒让德求积公式的余项
6.6 二重积分的数值积分法
6.6.1 矩形域上的二重积分
66.2 一般区域上的=重积分
6.7 数值微分
6.7.1 均差公式
6.7.2 插值型求导公式
6.7.3 三次样奈求导
习题6

第7章 常微分方程的数值解法
7.1 引言
7.2 欧拉折线法与改进的欧拉法
7.2.1 欧拉（Euler）折线法
7.2.2 初值问题的等价问题与改进的欧拉法
7.2.3 公式的截断误差
7.2.4 预报一校正公式
7.3 龙格一库塔方法
7.3.1 泰勒级数法
7.3.2 龙格一库塔方法的基本思想
7.3.3 龙格一库塔公式的推导
7.3.4 步长的自动选择
7.4 线性多步法
7.4.1 线性多步方法
7.4.2 阿达姆斯外推法
7.4.3 阿达姆斯内插法
7.4.4 隐格式迭代、预报一校正公式
7.4.5 阿这姆斯预报一校正法的改进
7.4.6 利用泰勒展开方法构造线性多步公式
7.5 算法的稳定性与收敛性
7.5.1 稳定性
7.5.2 收敛性
7.6 微分方程组和高阶微分方程的解法
7.6.1 一阶方程组
7.6.2 高阶微分方程的初值问题
习题7

第8章 偏微分方程数值解法
8.1 引言
8.2 常微分方程边值问题的差分方法
8.2.1 差分方程的建立
8.2.2 差分方程解的存在唯一性、对边值问题解的收敛性、误差估计
8.2.3 差分方程组的解法
8.2.4 关于一般二阶常微分方程第3边值问题
8.3 化二阶椭圆型方程边值问题为差分方程
8.3.1 微分方程的差分逼近
8.3.2 边值条件的近似处理
8.4 椭圆差分方程组的迭代解法
8.4.1 差分方程的迭代解法
8.4.2 迭代法的收敛性
8.5 抛物型方程的显式差分格式及其收敛性
8.5.1 显式差分格式的建立
8.5.2 差分格式I的收敛性
8.6 抛物型方程显式差分格式的稳定性
8.6.1 差分格式的稳定性问题
8.6.2 □-图方法
8.6.3 稳定性的定义及显式差分格式的稳定性
8.7 抛物型方程的隐式差分格式
8.7.1 简单隐式格式
8.7.2 六点差分格式
8.8 双曲型方程的差分解法
8.8.1 微分方程的差分逼近
8.8.2 初始条件和边值条件的差分近似
8.8.3 差分解的收敛性和差分格式的稳定性
习题8
习题答案

前言/序言

深入浅出：现代科学计算与算法设计 （本书并非《普通高等院校十二五规划教材：数值计算方法》，而是专注于构建现代科学计算的理论基石、算法创新与工程实践的深度探讨。） --- 本书导言：跨越理论与应用的桥梁 在信息技术飞速发展的今天，无论是前沿的物理模拟、复杂的金融风险评估，还是高效的工程设计优化，都离不开强大而可靠的计算工具。然而，计算机的“计算”并非总是精确的，它依赖于对现实世界问题的数学抽象、算法的巧妙构建以及对有限精度运算的深刻理解。本书旨在为读者提供一个全面、深入且极具实践指导意义的现代科学计算框架，其核心关注点在于理解计算的本质、掌握核心算法的内在机制，并能够针对实际问题设计出鲁棒、高效的求解策略。 本书的编写理念是：理论的深度决定了应用的高度，而实践的广度则检验了理论的有效性。 我们将避开传统教材中可能出现的纯粹公式堆砌，转而强调算法背后的数学原理、收敛性的严格证明，以及在实际工程环境（如并行计算、大规模数据处理）中的适应性。 第一部分：计算的基石——误差分析与线性代数求解的再审视 本部分着重于建立读者对“计算的可靠性”的认知基础。 1. 浮点运算的精微世界与误差的量化 我们首先深入探讨计算机如何表示实数。IEEE 754 标准下的浮点数精度、舍入误差的传播机制，以及如何量化和控制累积误差，是进行任何科学计算的先决条件。读者将学习如何使用后验误差分析和前向误差分析工具，评估算法的“病态性”（Conditioning）和“稳定性”（Stability）。我们将详细分析不稳定的运算组合（例如两个极接近的量相减），并介绍如何通过重组表达式或使用高精度算法来规避这些陷阱。 2. 现代线性代数求解的优化与加速 线性方程组 $Ax=b$ 依然是科学计算的核心。本书不再停留于高斯消元法的基础介绍，而是侧重于矩阵的分解技术在结构化问题中的应用。我们将重点剖析： 稀疏矩阵的存储与迭代求解器： 针对千万级甚至亿级自由度的工程问题（如有限元分析），直接求解法因内存和计算量巨大而不可行。本书将详述 Krylov 子空间方法（如 GMRES, BiCGSTAB）的理论基础、收敛速度的度量，以及如何构造高效的预处理子（Preconditioners），如代数多重网格法（AMG）或不完全LU分解（ILU），以实现数万倍的加速。 特征值问题的优化计算： 对于大型、非对称矩阵，我们将深入探讨 Lanczos 算法和 Arnoldi 迭代，及其在求解结构动力学或量子化学问题中的实际应用。 第二部分：非线性世界的征服者——优化与非线性方程组 本部分聚焦于处理复杂、非线性的数学模型，这是工程和经济学中最常见的挑战。 3. 根的确定性与概率性搜索 对于单变量非线性方程 $f(x)=0$，我们将系统比较区间收敛法（如二分法、容斥法）的可靠性与开放区间法（如牛顿法、割线法）的快速性。重点在于牛顿法的局部收敛性证明、阻尼牛顿法的应用，以及如何处理导数缺失或难以计算的情况。 对于多变量非线性系统 $F(mathbf{x})=0$，我们将从梯度下降法的基本思想出发，过渡到更高级的拟牛顿法（BFGS, DFP），并探讨信任域（Trust Region）方法在确保全局收敛性方面的优越性。 4. 约束优化理论与现代算法 优化问题（最小化或最大化目标函数，同时满足约束条件）是建模的核心。本书将系统介绍： KKT 条件的深入解读： 它们不仅是理论判据，更是构建有效算法的指南。 内点法（Interior Point Methods）的几何意义与实践： 特别是对于大规模线性规划和二次规划，内点法已成为工业界的首选。我们将剖析其障碍函数（Barrier Function）的构造与求解序列二次规划子问题的过程。 启发式优化方法简介： 在全局最优难以求得时，粒子群优化（PSO）和模拟退火（SA）等方法如何提供高质量的近似解，并讨论其适用边界。 第三部分：连续世界的离散化——微分方程的数值解法 本部分是科学计算应用最广泛的领域，涵盖了从流体力学到电磁学的所有物理过程。 5. 常微分方程（ODE）的稳定积分 我们将严格区分显式方法（如 Runge-Kutta 系列）和隐式方法（如向后欧拉法、Crank-Nicolson 方法）。核心讨论点在于稳定性区域（Stability Regions） 的概念，理解为何对于刚性（Stiff）系统，必须采用隐式方法，即使它们计算代价更高。我们将介绍 ODE 求解器（如 MATLAB 中的 `ode45`, `ode15s`）背后的技术选择逻辑。 6. 偏微分方程（PDE）的网格化与求解策略 本书不会全面铺陈有限差分、有限元和有限体积法的全部细节，而是着重于选择合适离散化方法的决策标准，以及离散化后产生的代数问题。 有限差分法： 侧重于如何通过高阶差分格式（如中心差分到紧致格式）提高精度，同时保持数值稳定。 有限元方法（FEM）的抽象介绍： 强调其在处理复杂几何域和变分原理转化中的优势，重点讲解形函数（Shape Functions）的选择对精度和计算成本的影响。 时间推进的挑战： 对于瞬态问题，我们将探讨如何平衡时间步长的选择，以满足 CFL 条件或保证精度要求。 第四部分：面向未来的计算——并行化与高性能实现 现代科学计算的瓶颈已从算法本身转移到如何利用多核处理器和分布式集群。 7. 算法的并行化思维 本部分将指导读者如何将串行算法转化为并行算法。我们将介绍数据并行（如向量化指令）和任务并行的基本概念。重点分析矩阵乘法、迭代求解器预处理以及傅里叶变换在现代 CPU/GPU 架构上的优化技巧。理解内存层次结构（Cache Coherence）对算法性能的决定性影响，是实现高性能计算的关键。 总结与展望 本书的最终目标是培养读者“算法工程师”的思维模式：面对一个实际问题，能够迅速识别其潜在的数学结构（线性/非线性、常微分/偏微分），选择最合适的数值方法，评估其误差和收敛性，并将其高效地实现在现代计算平台上。我们强调的不是某一个特定公式的记忆，而是计算科学的通用设计哲学。通过本书的学习，读者将能够自信地驾驭从理论建模到高性能求解的整个科学计算流程。 --- 目标读者： 计算机科学、应用数学、物理学、工程力学、航空航天、生物医学工程等领域的高年级本科生、研究生以及需要进行复杂数值模拟的研发工程师。

评分☆☆☆☆☆

这本书的魅力在于它的系统性和深入性，让我从一个初学者的视角，对数值计算的整个体系有了更全面的认识。在“线性方程组的解法”这一章，我被高斯消元法、LU分解、雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法等一系列方法深深吸引。特别是高斯消元法，书中对其原理和操作步骤的分解非常细致，从最基本的思想，到如何处理对角元素为主元，再到如何进行回代求解，每一步都解释得清清楚楚。让我印象深刻的是，作者还对比了直接法和迭代法的优劣，以及它们各自适用的场景，这让我不再是盲目地选择方法，而是能够根据问题的规模和特点做出更明智的决策。书中对于矩阵的性质，比如对称正定性等，如何影响迭代法的收敛性，也进行了深入的探讨，这让我理解了数值计算背后更深层次的数学原理。我尤其喜欢作者在讲解迭代法时，所提出的“收敛判据”，这不仅是理论上的要求，更是实际操作中的指导，让我知道何时可以停止迭代，以达到预期的精度。这本书的例题非常丰富，覆盖了从简单到复杂的各种情况，这为我巩固知识、理解算法提供了极大的帮助。

评分☆☆☆☆☆

这本书给我最大的感受是，它不仅仅是一本教材，更像是一本“思想的启蒙书”。在“矩阵的特征值与特征向量”这一章节，我被幂法、反幂法以及QR算法等方法所深深吸引。书中对这些算法的原理阐述非常到位，配合着清晰的算法流程图，让我能够很容易地理解算法的每一步。特别让我印象深刻的是，作者在讲解特征值问题时，引入了许多实际应用的例子，例如结构振动分析、主成分分析等，这让我看到了数值计算在科学研究和工程实践中的巨大价值。书中对算法收敛性的讨论也相当深入，让我能够理解为什么某些算法在特定条件下收敛得更快，而另一些则可能陷入困境。我尤其欣赏作者在讲解QR算法时，所展示的矩阵分解与迭代的思想，这让我对算法的设计有了更深的理解。这本书不仅仅教授我计算的方法，更重要的是，它培养了我一种用数学和计算的思维去分析和解决问题的能力，让我对未来的学习和工作充满了信心。

评分☆☆☆☆☆

这本《数值计算方法》带给我的，不仅仅是知识的传递，更是一种思维方式的启发。在学习“插值与逼近”的章节时，我被拉格朗日插值、牛顿插值以及样条插值等方法所震撼。特别是样条插值，它能够平滑地连接各个数据点，并且在局部具有良好的性质，这在图形学、数据可视化等领域有着广泛的应用。书中对不同插值方法的比较分析，让我认识到“最优”的插值方法往往取决于具体的应用需求，没有绝对的好坏，只有适不适合。我特别喜欢书中关于“最佳平方逼近”的讲解，它提供了一种在不完全拟合所有数据点的情况下，找到一条最能代表整体趋势的曲线的方法。这让我想到了在数据分析中，我们常常需要从大量噪声中提取有用的信息，而这种逼近思想恰恰能派上用场。书中的图示非常直观，让我能够清晰地看到不同插值多项式的形状，以及它们与原始数据点之间的关系。这本书让我明白，数值计算并不仅仅是枯燥的公式推导，它更是一种将现实世界的问题抽象化、数学化，然后用计算的手段去解决的艺术。

评分☆☆☆☆☆

我一直觉得，数学的强大之处在于它能解决现实世界的问题，而这本书正是将这种理念发挥得淋漓尽致。在“数值积分与微分”的章节，我被辛普森公式、梯形公式以及龙格-库塔方法等深深吸引。让我眼前一亮的是，书中对这些方法的推导过程非常详尽，从泰勒展开到误差分析，每一步都清晰明了。这不仅仅是告诉我“怎么做”，更是让我理解了“为什么这么做”。书中关于常微分方程初值问题的数值解法，例如欧拉法、改进欧拉法以及四阶龙格-库塔法，都给出了非常生动的例子，让我能够直观地感受到不同方法的精度差异和计算复杂度。我特别欣赏作者在讲解这些方法时，所强调的“截断误差”和“舍入误差”，这让我对数值计算的精度问题有了更深刻的认识，也让我明白了在实际应用中，如何权衡精度和效率。这本书让我不再害怕那些复杂的微分方程，而是能够自信地运用这些数值方法去求解它们，这对于我日后的学习和研究无疑是巨大的帮助。

评分☆☆☆☆☆

拿到这本《数值计算方法》，感觉它像是打开了一个数字世界的钥匙。翻开目录，首先吸引我的是那章关于“方程求根”的内容，里面详细讲解了二分法、牛顿法、割线法等多种方法。读着读着，我仿佛看到了自己曾经在解一道复杂的数学题时，如何一步步逼近真实答案的模样。作者用非常清晰的语言，配合大量的图示和例子，把抽象的算法变得生动起来。特别是牛顿法，我一直觉得它就像是一个聪明的向导，总能以最快的速度找到目标。书里对收敛条件的分析也相当到位，这让我理解了为什么有些方法快，有些方法慢，也让我明白了在实际应用中，选择合适的方法是多么重要。而且，它不仅仅是理论的堆砌，还穿插了许多伪代码，这对于我这样想动手实践的读者来说，简直是雪中送炭。我尝试着按照书中的伪代码，用Python实现了一个简单的二分法求解器，运行结果和书本上的例子完美契合，那种成就感无法言喻。这本书的优点在于，它并没有因为是教材而变得枯燥乏味，反而充满了探索的乐趣，让我对数值计算这个领域产生了浓厚的兴趣，并且开始思考如何在我的实际项目中使用这些方法来提高效率。